高中一轮复习数学课时跟踪检测（五十四）排列与组合

课时跟踪检测（五十四）排列与组合一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·金华十校联考)将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组每组至少一人，则不同的分配方案的种数为()A．50 B．80C．120 D．140解析：选B根据题意，分2种情况讨论：①甲组有2人，首先选2个放到甲组，有Ceq\o\al(2,5)＝10种，再把剩下的3个人放到乙和丙两个位置，每组至少一人，有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6种，∴共有10×6＝60种分配方案，②当甲中有三个人时，有Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(2,2)＝20种分配方案，∴共有60＋20＝80种分配方案．2．(2018·福建质检)5名学生进行知识竞赛，笔试结束后，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“你们5人的成绩互不相同，很遗憾，你的成绩不是最好的”；对乙说：“你不是最后一名”．根据以上信息，这5人的笔试名次的所有可能的种数是()A．54 B．72C．78 D．96解析：选C由题得甲不是第一，乙不是最后，先排乙，若乙得第一，则有Aeq\o\al(4,4)＝24种，若乙没得第一，则乙有3种，再排甲也有3种，余下3人有Aeq\o\al(3,3)＝6种，故有3×3×6＝54种，所以共有24＋54＝78种．3．某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有()A．900种 B．600种C．300种 D．150种解析：选B依题意，就甲是否去支教进行分类计数：第一类，甲去支教，则乙不去支教，且丙也去支教，则满足题意的选派方案有Ceq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(4,4)＝240(种)；第二类，甲不去支教，且丙也不去支教，则满足题意的选派方案有Aeq\o\al(4,6)＝360(种)，因此，满足题意的选派方案共有240＋360＝600(种)，选B.4．(2018·温州期末)某篮球队有12名球员，按位置区分，为3名中锋，4名后卫，5名前锋．某一场比赛进行中，教练员拟派出1名中锋，2名后卫和2名前锋的标准阵容．现已知中锋甲与后卫乙不能同上，则不同的选派方法种数有()A．180 B．150C．120 D．108解析：选B若不考虑限制情况，则不同的选派方法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)＝180种，其中中锋甲与后卫乙同上的选派方法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,5)＝30种，所以满足条件的不同选派方法有180－30＝150种．故选B.5．(2018·北京西城区模拟)大厦一层有A，B，C，D四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有________种．(用数字作答)解析：元素相邻利用“捆绑法”，先从3人中选择2人坐同一电梯有Ceq\o\al(2,3)＝3种，在将“2”个元素安排坐四部电梯有Aeq\o\al(2,4)＝12种，则不同的乘坐方式有3×12＝36种．答案：36二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·舟山模拟)将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是()A．40 B．60C．80 D．100解析：选A三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是2Ceq\o\al(3,6)＝40种．2．(2018·永康名校联考)将数字“123367”重新排列后得到不同的偶数个数为()A．72 B．120C．192 D．240解析：选B先排个位，有Ceq\o\al(1,2)＝2种排法，再排其他五位数，有eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(2,2))＝60种排法，所以得到不同的偶数个数为2×60＝120.3．(2018·衢州期末)小明有3双颜色相近的袜子(不分左右脚)．某天早晨，由于贪睡造成晚起．为了防止上学迟到，小明随手从这3双颜色相近的袜子中抓起两只袜子套在脚上，拔腿就走．则小明穿的不是同一双袜子的可能性有几种()A．22 B．24C．28 D．30解析：选B根据条件，先从三双袜子中任选一双，选一只，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝6种不同的选法；再从剩余的2双袜子中任选一只，有Ceq\o\al(1,4)＝4种不同的选法．由分步乘法计数原理可知，N＝6×4＝24种．故选B.4．有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是()A．24 B．48C．72 D．96解析：选B据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，此时共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,4)种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)种不同的摆放方法，由分类加法计数原理可得共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)＝48(种)摆放方法．5．(2016·福建三明调研)将A，B，C，D，E排成一列，要求A，B，C在排列中顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，这样的排列数有()A．12种 B．20种C．40种 D．60种解析：选C(排序一定用除法)五个元素没有限制全排列数为Aeq\o\al(5,5)，由于要求A，B，C的次序一定(按A，B，C或C，B，A)，故除以这三个元素的全排列Aeq\o\al(3,3)，可得这样的排列数有eq\f(A\o\al(5,5),A\o\al(3,3))×2＝40(种)．6．现有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一列，有________种不同的方法．(用数字作答)．解析：第一步，从9个位置中选出2个位置，分给相同的红球，有Ceq\o\al(2,9)种选法；第二步，从剩余的7个位置中选出3个位置，分给相同的黄球，有Ceq\o\al(3,7)种选法；第三步，剩下的4个位置全部分给4个白球，有1种选法．根据分步乘法计数原理可得，排列方法共有Ceq\o\al(2,9)Ceq\o\al(3,7)＝1260(种)．答案：12607．(2018·台州高三年级调考试题)某校在一天的8节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与2节自修课，其中第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，第8节只能安排选修课或自修课，且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻，则所有不同的排法共有__________种．(用数字表示)解析：根据题意，因为第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门，则第一节课有Ceq\o\al(1,3)＝3种排法；对第8节课分情况讨论：①若第8节安排选修课，需要将语文、数学、英语、物理、化学中剩余的4科全排列，有Aeq\o\al(4,4)＝24种情况，排好后，除最后的空位之外，有4个空位可选，在其中任选2个，安排2节自修课，有Ceq\o\al(2,4)＝6种情况，此时有24×6＝144种安排方法；②若第8节安排自修课，将语文、数学、英语、物理、化学中剩余的4科全排列，有Aeq\o\al(4,4)＝24种情况，排好后，除最后的空位之外，有4个空位可选，在其中任选2个，安排剩下的自修课与选修课，有Aeq\o\al(2,4)＝12种情况，此时有24×12＝288种情况，则后面7节课有144＋288＝432种安排方法．故所有不同的排法共有3×432＝1296种．答案：12968．(2018·黄冈质检)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．解析：不相邻问题插空法.2位男生不能连续出场的排法共有N1＝Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,4)＝72(种)，女生甲排第一个且2位男生不连续出场的排法共有N2＝Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(2,3)＝12(种)，所以出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.答案：609．把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为________(用数字作答)．解析：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人每人一张，一人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1,2,3,4,5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有Ceq\o\al(3,4)＝4(种)情况，再对应到4个人，有Aeq\o\al(4,4)＝24(种)情况，则共有4×24＝96(种)情况．答案：9610．(1)已知Ceq\o\al(n－1,n＋1)＝Aeq\o\al(2,n－1)＋1，求n；(2)若Ceq\o\al(m－1,8)>3Ceq\o\al(m,8)，求m.解：(1)由Ceq\o\al(n－1,n＋1)＝Aeq\o\al(2,n－1)＋1得eq\f(n＋1n,2)＝(n－1)(n－2)＋1.即n2－7n＋6＝0.解得n＝1，或n＝6.由Aeq\o\al(2,n－1)知，n≥3，故n＝6.(2)原不等式可化为eq\f(8！,m－1！9－m！)>eq\f(3×8！,m！8－m！)，解得m>eq\f(27,4).∵0≤m－1≤8，且0≤m≤8，∴1≤m≤8.又m是整数，∴m＝7或m＝8.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．甲、乙等5人在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有()A．12种 B．24种C．48种 D．120种解析：选B甲、乙相邻，将甲、乙捆绑在一起看作一个元素，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)种排法，甲、乙相邻且在两端有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)种排法，故甲、乙相邻且都不站在两端的排法有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2)－Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝24(种)．2．现准备将6台型号相同的电脑分配给5所小学，其中A，B两所希望小学每个学校至少2台，其他小学允许1台也没有，则不同的分配方案共有()A．13种 B．15种C．20种 D．30种解析：选B先给A，B两所希望小学每个学校分配2台电脑，再将剩余2台电脑随机分配给5所希望小学，共有Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＝15种情况.3．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有Ceq\o\al(3,4)种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有Ceq\o\al(4,5)种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有Aeq\o\al(7,7)种情况．所以符合题意的