专题5.1平面向量的概念及线性运算-高考数学一轮复习宝典（新高考专用）

第五章平面向量和复数专题5.1平面向量的概念及线性运算理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．考点一平面向量的基本概念考点二平面向量的线性运算考点三共线定理及其应用知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的模(或长度)．(2)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0．(3)单位向量：模等于1的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等的向量：大小相等且方向相同的向量．(6)相反向量：大小相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb如果a≠0，且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→))，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0⇔P为△ABC的重心，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．4．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.第一部分核心典例题型一平面向量的基本概念1．设是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（

）A．与的方向相反 B．与的方向相同C． D．【答案】B【详解】对于A，当时，与的方向相同，当时，与的方向相反，故A不正确；对于B，显然，即B正确；对于C，，由于与1的大小不确定，故与的大小关系不确定，故C不正确；对于D，是向量，而表示长度，两者不能比较大小，故D不正确．故选：B2．已知是两个非零向量，且｜＋｜＝｜｜＋｜｜，则下列说法正确的是

（）A．＋＝ B．＝C．与共线反向 D．存在正实数λ，使＝λ【答案】D【详解】因为是两个非零向量，且｜＋｜＝｜｜＋｜｜，则与共线同向，故D正确.故选：D3．下列命题不正确的是（

）A．零向量是唯一没有方向的向量B．零向量的长度等于0C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线D．若，，则【答案】A【详解】A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；C选项，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与是反向共线时才成立，故C正确；D选项，由向量相等的定义知D正确.故选：A4．已知四边形，下列说法正确的是（

）A．若，则四边形为平行四边形B．若，则四边形为矩形C．若，且，则四边形为矩形D．若，且，则四边形为梯形【答案】A【详解】A选项，若，则且，则四边形为平行四边形，正确；选项，如图，但是四边形不是矩形，错误；选项，若，且，则四边形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故错误．选项，若，且，则四边形可以是平行四边形，也可以是梯形，故错误.故选：A5．关于向量，，，下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，，则C．若，则 D．若，则【答案】C【详解】选项A，因为，只说明两向量的模长相等，但方向不一定相同，故选项A错误；选项B，当时，有，，但可以和不平行，故选项B错误；选项C，若，由向量相等的条件知：，故选项C正确；选项D，因向量不能比较大小，只有模长才能比较大小，故选项D错误.故选：C题型二平面向量的线性运算6．已知为△所在平面内一点，，为边的中点，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】由题意可知,故选：.7．下列命题中，正确的是（）A．若，，则B．若则或C．对于任意向量，有D．对于任意向量，有【答案】D【详解】对于A，当时，满足，，但不一定平行，故A错误；对于B，当，时，满足，但，不成立，故B错误；对于C，若非零向量方向相反，则，故C错误；对于D，当中有零向量时，；当为非零向量时，若共线且方向相同时，则，当为非零向量时，若共线且方向相反时，则，当为非零向量时，且不共线时，如图所示，，综上，，故D正确．故选：D．8．在△ABC中，，若，，则＝（）A． B． C． D．【答案】A【详解】法一：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以，又因为，所以，，所以．法二：．法三：由，得，所以．故选：A．9．如图，在平行四边形中，，，，若，则下列关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由，得，所以.由，得，所以.因为，所以.所以，所以，即.故选：A.10．已知的重心为，则向量（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】设分别是的中点，由于是三角形的重心，所以.故选：B.题型三共线定理及其应用11．已知向量是平面内的一组基底，若向量与共线，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为向量与共线，所以存在唯一实数，使，即，所以，因为向量是平面内的一组基底，所以，解得，，故选：D12．已知平面向量a，b不共线，，，则（）A．A，B，D三点共线 B．A，B，C三点共线C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线【答案】D【详解】对A，与不共线，A错误；对B，则与不共线，B错误；对于C，则与不共线，C错误；对于D，，即，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线，D正确.故选：D.13．已知，是两个不共线的平面向量，向量，，若，则有（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以设，因为，，所以，可得，所以，故选：C．14．在中，点在线段上，，则（

）A． B． C． D．1【答案】C【详解】因为点在线段上，所以存在实数，使得，所以，即，所以，又，所以，所以.故选：C15．已知，，，则（

）A．M，N，P三点共线 B．M，N，Q三点共线C．M，P，Q三点共线 D．N，P，Q三点共线【答案】B【详解】，，，，，由平面向量共线定理可知，与为共线向量，又与有公共点，，，三点共线，故选：B．第二部分课堂达标一、单选题1．设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（

）A．相同的向量 B．模相等的向量C．共线向量 D．共起点的向量【答案】B【详解】是正的中心，向量分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，到三个顶点的距离相等，但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量.故选：B2．在中，，则是（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【详解】因为，，，，所以，所以是等边三角形．故选：A．3．如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（

）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】C【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，所以，，，，故ABD错误，C正确.故选：C.4．已知向量如下图所示，下列说法不正确的是（

）A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向C．向量的起点是 D．向量的终点是【答案】D【详解】由图可知，向量可以用表示，故A正确；向量的方向由指向，故B正确；向量的起点是，故C正确；向量的终点是，故D不正确.故选：D5．化简向量等于（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】.故选：D.6．在平面四边形ABCD中，E为线段CD上任一点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得，.故选：C7．如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点的三等分点，点F在BE上且为中点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】点F在BE上且为中点，且E是对角线AC上靠近点的三等分点，则，故选：A.8．已知向量，不共线，且向量与方向相同，则实数的值为（

）A．1 B． C．1或 D．1或【答案】A【详解】因为向量与方向相同，所以存在唯一实数，使，因为向量，不共线，所以，解得或（舍去），故选：A二、多选题9．下列命题中，正确的有（

）A．若，则存在唯一的实数，使得 B．C．为单位向量，且，则 D．与共线，与共线，则与共线【答案】BC【详解】对于选项A，若，则不存在唯一实数，使得，所以选项A错误；对于选项B，由向量的数量积公式可知，，所以选项B正确；对于选项C，因为，若两向量同向，则，若两向量反向，则，所以选项C正确；对于选项D，若，满足与共线，与共线，但与可不共线，所以选项D错误.故选：BC.10．设点M是所在平面内一点，则下列说法正确的是（

）A．若，则点M是BC的中点B．若，则点M是的重心C．若，则点M，B，C三点共线D．若，则【答案】ACD【详解】对于A中，如图所示，根据向量的平行四边形法则，可得，若，可得M为BC的中点，所以A正确；对于B中，若M为的重心，则满足，即，所以B不正确；对于C中，由，可得，即，所以M，B，C三点共线，所以C正确；对于D中，如图所示，由，可得，所以D正确．故选：ACD三、填空题11．设与是两个不共线向量，且向量与共线，则.【答案】/【详解】依题意知向量与共线，设，则有，所以，解得，.故答案为：12．如图，点P在由射线OD、线段OA，线段BA的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且OD与BA平行.若，则当时，x的取值范围是【答案】.【详解】当y=时，要使点P落在指定区域内，M为OA的中点，,点P应落在线段上，作交OB于点C，则，因此x的取值范围为.故答案为：.四、解答题13．已知，，，求证：A，B，C三点共线．【答案】证明见解析【详解】证明:因为，，所以，因此，A，B，C