人教版数学六年级上册全册课件

人教版数学六年级上册全册教学课件数分乘整数(1)人教版数学六年级上册第一单元复习导入基础练习拓展练习课堂小结数学阅读探究新知（1）列式并根据题意说出算式中的两个乘数各表示什么。5个12是多少？9个11是多少？8个6是多少?（2）思考：乘法和加法之间有什么关系？12+12+12+12+12=5×12几个相同加数的和可以用乘法表示。乘法可以用几个相同加数的和表示。复习导入12×511×96×812是加数，5是个数；11是加数，9是个数；6是加数，8是个数。（一）出示信息，明确问题例1：小雅、爸爸、妈妈一起吃蛋糕，每人吃个，3人一共吃多少个？92你从题目中知道了什么信息？问题是什么？你能试着用图表示出题意吗？探究新知信息：3人吃蛋糕，每人吃整个蛋糕的九分之二。问题：3人一共吃了这块蛋糕的几分之几？（二）数形结合，明白题意1.画示意图表示题意。2.画线段图表示题意。？个探究新知

3.从上面两种示意图上，可以看出一共吃了多少？929292？个个个个

个（三）探究意义，感悟方法92＋92＋92？个探究新知69=

92+2+2（三）探究意义，感悟方法（2）结合前面复习的知识，还可以怎样列式？或92×3923×探究新知

92

923×

（4）观察等式两端，你会有什么发现？分数乘整数，用分子乘整数的积作分子，分母不变。（四）深化理解，总结方法探究新知92×3＝92×3＝96

同学们有没有不同的约分方法？92×3＝92×3＝96约分分子6和分母9有公因数3，所以上、下同除以3。2323=探究新知约分整数3就是分母9的因数，所以整数和分母同时除以3。13探究新知×32923==观察比较以上两种约分的过程有什么不同，你喜欢哪个？说说想法。1392×3＝92×3＝962323=探究新知×32923==分数乘整数法则总结1、分数乘整数，用分子乘整数的积作分子，分母不变。2、乘得的结果要化成最简分数。3、能先约分的可以先约分，再计算，结果相同。分数乘整数意义分数乘整数表示求几个相同的分数的和。通过上面的探究，同学们能不能总结出分数乘整数的意义和分数乘整数的法则？（小组讨论、分组汇报）探究新知你知道了什么？问题是什么？如何解决“3袋重多少千克”这个问题？请你列出算式并计算。一袋面包重kg，3袋重多少千克？说说你的计算过程。103预设1：×3＝103109预设2：3×103109＝基础练习计算下面各题。＝0×4152×8125×492×172×0322×43158＝＝310＝23＝72＝98基础练习拓展练习

答：这袋糖果还剩下。唐僧师徒四人去西天取经，一天路过桃园，停下来休息。孙悟空、猪八戒见了水蜜桃口水直流。师傅说：“要吃桃子可以，不过我得先考考你们。”悟空、八戒连连点头说：“行啊，行啊。”师傅说：“有四个桃子平均分给你们两人，每人得到几个？请写下这个数。”徒弟一听，哈哈大笑，这还不容易！提笔写了个“2”。师傅接着说：“要是把两个桃子平均分给你们两人，每人得到几个？再写下这个数。”孙悟空手快，顺手写了个“1”。师傅不紧不慢地说：“要是把一个桃子平均分给你们两人，每人得到多少？又该怎么写呢？”“半个！”“半个！”“半个该怎么写呢？”二位徒弟你看看我，我看看你，不知所措。分数在我们中国很早就有了,最初分数的表现形式跟现在不一样。后来,印度出现了和我国相似的分数表示法。再往后,阿拉伯人发明了分数线,分数的表示法就成为现在这样了。把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。分母表示把一个物体平均分成几份,分子表示取了其中的几份。数学阅读唐僧师徒分桃子谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。分数乘整数(2)人教版数学六年级上册第一单元复习导入基础练习拓展练习课堂小结数学阅读探究新知根据题意列出算式复习导入（1）5个12是多少？（2）小明每天阅读6页书，一周能阅读多少页书？12+12+12+12+12=12×5=606+6+6+6+6+6+6=6×7=42

你发现了什么？整数乘整数，表示求几个相同整数的和。分数乘整数，表示求几个相同分数的和。一个数乘整数，表示求几个相同的数的和。

要求“3桶水是多少升”怎样列式？说说你是怎么想的。一桶水的体积是12L。3桶水是多少升？就是求3个12的和，即12+12+12=36，可以用乘法来计算，即12×3=36。复习导入问题：1.你知道了什么？

桶水是多少升？21要求“

”怎样列式？

桶水是多少升

，

21一桶水的体积是12L。探究新知

12×21怎么计算？回顾上节课所学知识，算出来并说一说计算过程。整数乘分数，整数与分子相乘作分子，分母不变，最后计算结果要化成最简分数，计算过程中能约分的先约分再计算。探究新知16=12×21=6（L）12×21122=方法一方法二=6（L）12×2112×21=61你知道了什么？问题是什么？

桶水是多少升？41一桶水的体积是12L。探究新知41

33=3（L）

观察比较上面两个算式表示的意思有什么相同之处？想一想一个整数乘分数表示什么意思？小结：一个整数乘分数表示的是求这个数的几分之几是多少。

桶水是多少升？41一桶水的体积是12L。

桶水是多少升？21一桶水的体积是12L。

探究新知1.一袋面粉重5kg，已经吃了它的，吃了多少千克？大家试着做一做。

其实

就是求5kg的是多少。可以这样列式计算：1031015105×3==5×103基础练习103（千克）

其实

就是求60页的是多少。可以这样列式计算：53=60×53基础练习36（页）2.一本书共有60页，已经读了它的，已经读了多少页？拓展练习

（1）要求小明还剩多少页没有读，需要先算什么？先算小明已经读了多少页。（2）小明已经读了多少页，题目中给出了吗？怎么算？

（3）书的总页数题目中给出了吗？怎么算？没有给出，可以求3本书的页数的总和。即60×3=180（页）

18032拓展练习

（1）先算小明的书一共多少页：60×3=180（页）（2）再算小明已经读了多少页：

（3）最后算小明还剩多少页没有读：180-120=60（页）答：小明还有60页没有读。你能列出综合算式吗？

答：小明还有60页没有读。

从前有一位老年人，在他临终时，三个儿子围在床前。他对儿子们说：“我有十七匹马，留给你们，三个人分。分马的时候，老大呢，出力最多，得总数的二分之一；老二嘛，得总数的三分之一；老三最小，你呀，就拿总数的九分之一。”勉强说完这几句，老人就去世了。三兄弟执行遗嘱时，一致认为这些马是父亲生前的心爱之物，决不能将其中任何一匹劈成几块分，但是遗嘱又要完全照办，如何是好呢？

正巧，这时他们的老娘舅骑马赶来了，听完事由，眉毛一扬，说：“我来分。”

猜猜看，老娘舅怎样分马？

因为希望每人得到的马都是整数匹，所以根据遗嘱，在分马的时候，马的匹数应该是三个分母的公倍数。分母2、3、9的最小公倍数是18，因而在分马时的马匹总数最好能成为18的倍数。老人留给儿子们的马是17匹，老娘舅把自己带来的一匹马临时借出来凑数，共有18匹马参加分配。

准备就绪，老娘舅开始宣读和执行遗嘱：

“……分马的时候，老大呢，出力最多，得总数的二分之一……”宣读到这里，老娘舅数出9匹马，让老大领过去。

“老二嘛，得总数的三分之一……”读到这里，老娘舅数出6匹马，让老二领过去。“老三最小，你呀，就拿总数的九分之一。”读完最后这一句，老娘舅数出2匹马，让老三领过去。

三位晚辈分到手的马，总和恰好是父亲留下的17匹：

9＋6＋2=17。

分马场地上的18匹马，现在剩下最后一匹，这当然就是老娘舅自己带来临时借用的那匹，依然物归原主。数学阅读巧分遗产谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。分数乘分数(1)人教版数学六年级上册第一单元复习旧知情景导入基础练习拓展练习课堂小结探究新知复习旧知1.比一比，看谁算得又对又快。

2.填一填。

（2）一个数乘几分之几表示求这个数的（）。

几分之几是多少情景导入小明家来了客人，小明把一个西瓜先平均切成两瓣，把其中的一半又平均切成两瓣，客人吃了这样的一小瓣，你知道客人吃了这个西瓜的几分之几吗？同学们先观察一下，客人吃了这个西瓜的几分之几？

探究新知小明家来了客人，小明把一个西瓜先平均切成两瓣，把其中的一半又平均切成两瓣，客人吃了这样的一小瓣，你知道客人吃了这个西瓜的几分之几吗？1

探究新知小明家来了客人，小明把一个西瓜先平均切成两瓣，把其中的一半又平均切成两瓣，客人吃了这样的一小瓣，你知道客人吃了这个西瓜的几分之几吗？1

分数乘分数，分子相乘作分子，分母相乘作分母。李伯伯家有一块公顷的地。这块地的种土豆，种玉米（1）种土豆的面积是多少公顷？（2）种玉米的面积是多少公顷？515321

分数乘分数（把这块地平均分成5份，种土豆的面积占1份。）探究新知21公顷21公顷的51？公顷2151×＝2×51×1101＝（公顷）探究新知拿一张纸表示1公顷，试着表示出来。（2）种玉米的面积是多少公顷？同学们试着自己解决。探究新知公顷的是？公顷21531公顷2153×＝2×51×3103＝（公顷）探究新知分数乘分数，就是先把单位1平均分成若干份，拿出其中的一份或若干份再平均分成几份，求这样的一小份或者几小份占单位1的几分之几。2153×＝2×51×3103＝2151×＝2×51×1101＝归纳总结：观察刚才两个算式，请同学们总结一下分数乘分数的意义。探究新知21公顷21公顷的51？公顷21公顷21公顷的51？公顷分数乘分数，其实就是求这个分数的几分之几是多少。分数乘分数，用分子相乘的积作分子，用分母相乘的积作分母。2153×＝2×51×3103＝2151×＝2×51×1101＝归纳总结：观察刚才两个算式，请同学们总结一下分数乘分数的计算法则。探究新知（1）kg的是多少千克？×（2）小时的是多少小时？1.只列式，不计算。542174127×215412774基础练习2.计算下面各题。×5392×9776×5485×215209×3556×21113＝2152＝283＝＝32＝21223＝基础练习拓展练习1、看图计算并说说它的意思。

课堂小结谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。分数乘分数(2)人教版数学六年级上册第一单元复习导入基础练习拓展练习课堂小结数学阅读探究新知复习导入1.观察下面的几个算式，说说它们的意义。1.5×725×4

它们都表示求几个相同加数的和的简便运算。

它们都表示求一个数的几分之几是多少。复习导入2.整数乘分数或者分数乘整数的乘法法则是什么？举例说明。整数和分数的分子相乘作分子，分母不变。3.分数乘分数的乘法法则是什么？举例说明。分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。

复习导入4.整数乘分数或者分数乘整数在计算的过程中，我们用什么办法使得运算比较简便？举例说明。整数乘分数或者分数乘整数的过程中，能约分的先约分，再乘就比较简便。

212比较简便。乌贼每分钟可游km。（1）李叔叔每分钟游的距离是乌贼的。李叔叔每分钟游多少千米？109454探究新知怎么列式？怎么计算？

450225

1525

简便一些结论：计算分数乘分数的时候，能约分的先约分，计算起来比较容易。

910454乌贼每分钟可游km。（2）乌贼30分钟可以游多少千米？

109探究新知31

（3）李叔叔30分钟能游多少千米？你能列出一个综合算式吗？1531

1094545125×你还有其他的计算方法吗？你喜欢哪一种约分方法?=基础练习

1.计算：2.计算下面各题，并说一说你是怎么做的。

×4174×103986×103＝71154＝＝59基础练习×5392×9776×5485×215209×3556×21113＝2152＝283＝＝32＝21223＝拓展练习

是整个西瓜的几分之几？是整个西瓜的几分之几？

拓展练习是整个西瓜的几分之几？

拓展练习

假如参赛学生的总数是120人，获一等奖的男生有多少人？

管家算账

数学阅读谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。小数乘分数人教版数学六年级上册第一单元复习导入基础练习拓展练习课堂小结探究新知直接说出得数。说说你是怎样想的。4×83×3152×6125×092×197×393＝23＝0＝1＝52＝25＝97复习导入

你知道了什么？（一）出示信息，明确问题松鼠的尾巴长度约是身体长度的。（1）松鼠欢欢的尾巴约有多长？（2）松鼠乐乐的尾巴约有多长？43欢欢松鼠欢欢身体长2.1dm。乐乐松鼠乐乐身体长2.4dm。要求“松鼠欢欢的尾巴约有多长”怎样列式？你是怎样想的？探究新知（二）解决问题，提炼方法怎样计算呢？请你试一试。预设2：2.1×0.75＝1.575（dm）43预设1：102143×＝4063（dm）2.1×列式：把2.1转化成分数进行计算。探究新知

（二）解决问题，提炼方法预设2：2.4×0.75＝1.8（dm）预设3：要求“松鼠乐乐的尾巴约有多长”怎样列式？你是怎样想的？小组讨论，自己解决。预设1：102443×＝59（dm）2.4×43＝2.4×430.61＝1.8（dm）观察这3种做法，你喜欢哪一种？说说你的想法。探究新知列式：（二）解决问题，提炼方法观察上面两道小数乘分数的计算过程，试着总结一下小数乘分数的计算方法。小结：小数乘分数，可以把小数化成分数再计算，或者可以把分数化成小数再计算。102143×＝4063（dm）2.1×0.75＝1.575（dm）102443×＝59（dm）2.4×0.75＝1.8（dm）

=

=探究新知观察这种做法，想一想小数乘分数和整数乘分数有什么联系？2.4×43＝2.4×430.61＝1.8（dm）小数乘分数，和整数乘分数一样，能约分的可以直接约分，计算起来简便。探究新知做一做。1.2×212.5×531.4×652.4×650.8×43×3.283＝2＝53＝23＝67＝53＝56基础练习拓展练习一、计算

87112551289二、判断1、小数乘分数，可以把小数化成分数计算，但不可以把分数化成小数计算。（）拓展练习2、小数乘分数，不能先约分再计算。（）3、小数乘分数的意义就是表示求这个数的几分之几是多少。（）××√课堂小结谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。分数四则混合运算人教版数学六年级上册第一单元复习导入基础练习拓展练习课堂小结数学阅读探究新知1、说出下面各题的运算顺序。15×（34－27）（35＋21）×2816×4－7×936×2＋15复习导入12×5÷875÷（15×6）复习导入2、说说整数四则混合运算的顺序。如果只有加减法或者乘除法，按照从左到右的顺序计算；如果有加减乘除，则先算乘除，再算加减；如果有括号，则先算括号里面的，再算括号外面的。你知道了什么？（一）出示信息，明确问题要求做这个画框需要多长的木条也就是求什么？一个画框的尺寸如右图，做这个画框需要多长的木条？应该怎样列式？21m54m求这个长方形的周长。探究新知（二）解决问题，提炼方法你会计算吗？自己试着做一做。21m54m预设1：21（＋）×254预设2：21

×2＋×254探究新知

（二）解决问题，提炼方法21m54m探究新知

（二）解决问题，提炼方法1、两种方法的计算结果相同。2.分数混合运算的顺序与整数混合运算的顺序相同：先算乘除法，再算加减法，有括号的先算括号里面的。21m54m探究新知（二）解决问题，提炼方法从这些算式中，你发现了什么规律？左右两边的结果相同，可以得出：整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也适用。计算下面每组的两个算式，看看它们有什么关系。探究新知×3121×213121（＋）×315121

×

＋×315151（×）×41325341

×（×）3253基础练习1、先按一般方法计算，再用简便方法计算，并说说你简便运算的依据。

乘法交换律乘法分配律基础练习1、先按一般方法计算，再用简便方法计算，并说说你简便运算的依据。

乘法分配律乘法分配律拓展练习

2.一条绳子长8米，第一次用去米，第二次用去的是第一次的，最后还剩几米？拓展练习

=24-（8+6）=24-14答：还剩10吨。=10(吨）数学阅读四则混合运算简介：加法、减法、乘法、除法，统称为四则混合运算。其中，加法和减法叫作第一级运算；乘法和除法叫作第二级运算。运算顺序：同级运算时，从左到右依次计算；两级运算时，先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的；有多层括号时，先算小括号里面的，再算中括号里面的，再算大括号里面的，最后算括号外面的；要是有乘方，最先算乘方。表示方法：脱式计算，即递等式计算，把计算过程完整写出来的运算，也就是脱离竖式的计算。在计算混合运算时，通常是一步计算一个算式(逐步计算，等号不能写在原式上），要写出每一步的过程。一般来说，等号要往前，不与第一行对齐。谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。整数运算定律推广到分数人教版数学六年级上册第一单元复习导入基础练习拓展练习课堂小结探究新知1、下面两个算式结果一样吗？为什么？25×36（35＋21）×28

复习导入36×25

35×28＋21×28=乘法交换律=乘法交换律=乘法分配律=乘法分配律

7×25×47×（25×4）=乘法结合律2、请你说说分数乘法的运算定律。复习导入整数乘法的运算定律同样适用于分数乘法……运用定律简便计算研讨问题：你运用了什么运算定律？例7你是怎样想的？请你先独立计算上面的题。53（1）×（×5）61预设1：53

×（×5）＝61×6553＝211112预设2：（×5）×＝5361＝53×（×5）＝612111×61312（先算小括号里的，再算括号外的。）（乘法交换律和乘法结合律。）你有没有其他的计算办法？探究新知运用定律简便计算研讨问题：你是怎样想的？预设3：＝53×（×5）＝6121

×

×561112153（同级运算去掉括号，一次约分计算简便。）探究新知方法1：53

×（×5）＝61×6553＝211112方法2：（×5）×＝5361＝53×（×5）＝612111×61312方法3：＝53×（×5）＝6121

×

×561112153探究新知比较总结前面的3种方法，你有什么想法？合理使用乘法定律，可以使运算变得更简便。运用定律简便计算研讨问题：你运用了什么运算定律？小结：整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也适用。应用乘法的运算定律，可以使一些计算简便。研讨问题：你是怎样想的？观察这2种计算方法，你喜欢哪种方法？说说你的想法。65（2）（＋）×1241预设1：（＋）×1265（＋）×1241＝12101231213＝×12＝1311＝预设2：×12＋×1265（＋）×1241＝10＋3＝1365412131探究新知（运用乘法分配律，计算简便。）（先算小括号里的，再算括号外的。）基础练习1.在□或〇里填上合适的数字或符号，并说明使用了什么运算定律。

×)×（

×)×（

×)×(

××+

乘法结合律乘法交换律和乘法结合律乘法交换律和乘法结合律

2.用简便方法计算下面各题，并说一说运用了什么运算定律。32

×

×341（＋）×279827487×8632132

×

×3411121＝＝＝24＋4＝28×27＋98274×27＝31111×＋86×863863＝863＋3＝3863＝基础练习32

×

×341（＋）×2798274=（1＋86）×86387×863基础练习

基础练习

=203

=

×2141=

713.奶牛场每头奶牛平均日产牛奶t，42头奶牛100天可产牛奶多少吨？501

×42×100501

×42×10050121＝84（t）＝基础练习答：42头奶牛100天可产牛奶84吨。课堂小结谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。分数乘法的应用(1)人教版数学六年级上册第一单元复习导入基础练习拓展练习课堂小结数学阅读探究新知复习导入用字母表示出乘法运算定律，并说一说具体的内容。a×b=b×a乘法交换律：两个因数相乘，交换因数的位置，积不变。a×b×c=(a×b)×c=a×(b×c)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。（a+b）×c=a×c+b×c或（a-b）×c=a×c－b×c乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以把两个加数（或被减数、减数）分别与这个数相乘，在把两个积相加（或相减），结果不变。a×c+b×c=（a+b）×c或a×c－b×c=（a-b）×c乘法分配律：一个数分别与两个数相乘的和或者差，可以用这个数乘两个数的和或者两个数的差，结果不变。（一）阅读与理解探究新知1.从题目中你知道了什么？整个大棚的面积是

。红萝卜地的面积占萝卜地面积的

。要求的是

的面积。红萝卜地萝卜地的面积占整个大棚面积的

。

（一）阅读与理解2.怎样理解“其中的一半种各种萝卜”？3.怎样理解“红萝卜地的面积占整块萝卜地的

”？414.要算红萝卜地的面积先要算出什么？

探究新知（把这块地平均分成2份，其中1份种各种萝卜）（把种各种萝卜的面积平均分成4份，红萝卜占其中的1份。）（二）分析与解答5.你能用示意图表示出题目的意思吗？6.请你结合图说说你是怎样算各种萝卜地的面积的。

21480×＝240（平方米）探究新知（把整块地作为单位“1”，用480与萝卜地所占单位1的分率相乘，就可以求出萝卜地的面积。单位“1”单位“1”的量分率（即相对单位“1”所占的分率分率对应的量（二）分析与解答7.请你结合图说说你是怎样算红萝卜地的面积的。41240×＝60（平方米）探究新知（以萝卜地的面积作为单位“1”,用240与红萝卜地占萝卜地面积的分率相乘，就可以求出红萝卜地的面积。单位“1”单位“1”的量分率（即相对单位“1”所占的分率分率对应的量（二）分析与解答21480×＝240（平方米）41240×＝60（平方米）×4121＝8181480×＝60（平方米）探究新知8.上面我们是分步计算的方法，先算出各种萝卜地的面积，再算出红萝卜地的面积。你有没有其他的方法呢？说说你的想法。

9.你能列出一个综合算式吗？2141480×

×

探究新知10.你能计算出结果吗？480

=602141（）×××81=48012401602141×480×=60（三）回顾与反思研讨问题：请你结合图说说你检验的思路。预设1：60×4×2＝480（）探究新知（红萝卜地的面积乘4表示萝卜地的面积，再乘2就是整个大棚的面积。）

预设2：60×（4×2）＝480（）研讨问题：请你结合图说说你检验的思路。（把整个大棚的面积平均分成2份，把其中的一份再平均分成4份，相当于把整个大棚的面积平均分成了8份，红萝卜地占其中的1份是60m²，用1份的面积乘8就是整个大棚的面积。）探究新知1.求一个数的几分之几是多少，属于两个量相比的关系。用线段图可以比较清楚地表示出数量之间的关系：单位“1”的量×比较量占单位“1”的几分之几=比较量2.解决连续求一个数的几分之几是多少的实际问题，弄清每一步单位“1”的量是谁最关键。探究新知43想成为科学家的人数是想当老师人数的。31想成为老师36人1、36××＝9（人）

3143基础练习？这个班有多少名同学想成为科学家？试着画出示意图，并列式计算。先把全班当作单位“1”，算出想成为老师的人数，再把想当老师的人数当作单位“1”，算出想成为科学家的人数。412、36×（×）＝36×3143＝9（人）先算出想成为科学家的人数占全班人数的几分之几。拓展练习答：这次考试女生及格了16人。方法一：

方法二：

倒解法巧解应用题数学阅读谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。探究新知基础练习拓展练习课堂小结复习导入分数乘法的应用(2)人教版数学六年级上册第一单元复习导入1.列式计算并解答。

复习导入2.计算：

复习导入3.填空：（1）单位“1”的量×（

）=分率对应的量（2）比较量÷单位“1”的量=（）（3）整数乘分数，就是求（）（4）分数乘整数，就是求（）（5）分数乘分数，就是求（）分率分率这个整数的几分之几是多少。几个这样的分数的和是多少。这个分数的几分之几是多少。（一）阅读与理解教学例9这道题怎样解答？请你根据题意先画出线段图。人心脏每分钟跳动的次数因年龄而变化。青少年每分钟心跳约75次，婴儿每分钟心跳的次数比青少年多。婴儿每分钟心跳多少次？54怎样理解“婴儿每分钟心跳的次数比青少年多”？54探究新知（婴儿每分钟心跳次数与青少年心跳次数比较，青少年每分钟心跳次数是单位“1”；把青少年心跳次数平均分成5份，婴儿心跳次数比这5份还多出4份，就是（5＋4）份。（二）分析与解答“1”请你结合图说说你是怎样想的。（把青少年心跳次数作为单元“1”，先求出婴儿比青少年多的，再加上和青少年同样多的，就是婴儿每分钟心跳次数。）探究新知青少年：婴儿：75次75次婴儿心跳次数?

（二）分析与解答“1”探究新知青少年：婴儿：75次75次婴儿心跳次数?先求这一部分的值

75+60=135（次）答：婴儿每分钟心跳135次。

（二）分析与解答“1”探究新知青少年：婴儿：75次75次婴儿心跳次数?答：婴儿每分钟心跳135次。

（三）回顾与反思问题：1.两种解题思路有什么不同？小结：虽然两种解法不同，都是依据了分数乘法的意义，求一个数的几分之几用乘法计算。2.刚才用两种方法求出了婴儿的每分钟心跳次数，那么对不对呢？可以怎样检查？（135－75）÷75＝75＋75×＝75＋60＝135（次）54595475×（1＋）＝75×＝135（次）54青少年：婴儿：75次135次比青少年多？探究新知1.噪音对人的健康有害，绿化造林可降低噪音。80分贝噪音降低81绿化带降低了噪音以后，人听到的声音是多少分贝？人听到多少分贝？降低81“1”基础练习汽车噪音是80分贝人听到多少分贝？降低81“1”

基础练习方法一汽车噪音是80分贝先求出降低了多少分贝80-10=70（分贝）答：人听到的声音是70分贝。人听到多少分贝？降低81“1”

基础练习方法二汽车噪音是80分贝

答：人听到的声音是70分贝。单位1

拓展练习

单位“1”

企鹅身高=鹌鹑身高=

课堂小结谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。

描述物体的位置人教版数学六年级上册第二单元探究新知基础练习拓展练习课堂小结复习导入东西南北复习导入绘制地图时，一般使用上面的方向：上北下南，左西右东。所有的地图，一般都会标明某个方向的位置。你能说出什么是东北方向和正东北方向吗？45°东北方向正东北方向你能说出每个方向的相对方向吗？南、北相对；东、西相对；东北、西南相对，东南、西北相对。

目前台风中心位于A市东偏南30°方向、距离A市600km的洋面上，正以20千米/时的速度沿直线向A市移动。探究新知1.这是根据刚才的题意，绘制的方向位置图，你会描述台风中心的方向和位置吗？探究新知30°东北西南东北西南A市台风中心位置100km600km描述方向和位置1.这是根据刚才的题意，绘制的方向位置图，你会描述台风中心的方向和位置吗？探究新知30°东北西南100km600km描述方向和位置A市（1）方向坐标（2）观测点台风中心（3）位置点（4）位置点方向（5）比例尺（6）位置点距离（1）

你知道这个图上各部分的名称吗？1.这是根据刚才的题意，绘制的方向位置图，你会描述台风中心的方向和位置吗？探究新知30°东北西南100km600km描述方向和位置A市（2）你能说一说方向坐标的特征吗？台风中心方向坐标是由两条带方向箭头的直线垂直相交组成，每个方位代表一个方向，一般情况下是上北下南，左西右东。（3）你能说一说什么是观测点吗？观测点就是方向坐标的中心点，即两条直线相交的地方，说谁在谁的什么方向，都是以观测点为中心而言的。1.这是根据刚才的题意，绘制的方向位置图，你会描述台风中心的方向和位置吗？探究新知30°东北西南100km600km描述方向和位置A市（4）什么是比例尺？台风中心绘图时，要把很大的地方绘制在较小的纸上，我们用图上一定长度的线段代表实际距离的一定长度，这就是比例尺，一般情况下都是用图上一厘米代表实践距离多少米或者多少千米等。这个图上就用一厘米代表实际距离100km.就是以A城市为观测点，台风中心位于A城市东方偏南30°（5）题目中说台风中心在A城市东偏南30°，是什么意思？探究新知以A市作为观测点，画出方向标。A市东西南北如果以南方为起点边线，从正南方朝东偏60°，画出的方向线会怎么样呢？30°正东方向为起点边线，从正东起往南偏30°。探究新知A市东西南北30°台风中心以南作为起点线向东偏60°南偏东60°东偏南30°东偏南30°和南偏东60°是一样的，是一个方向。你发现了什么？一般情况下，我们在描述位置点方向时，都是用较小的偏角来表述。如上面台风中心的方向，一般用东偏南30°表述，而不用南偏东60°来表述。在国际航海中，统一使用南北方向为基准方向，所有的方向都是以北偏多少度或者南偏多少度来表述，和我们平时的表述是不一样的。如果没有特别要求，我们一般用前面第一种方法表述。1.这是根据刚才的题意，绘制的方向位置图，你会描述台风中心的方向和位置吗？探究新知30°东北西南100km600km描述方向和位置A市（6）说台风中心位于A城市东偏南30°，是否把台风中心的具体位置描述清楚了？台风中心没有，这只是确定的台风中心位于A城市的具体方向，但没有说明具体距离。（7）怎么描述台风中心的具体距离？把图上线段长度换算成实际距离再描述，从图上可以看出台风中心与A城市的距离是6厘米，图上一厘米代表实际距离100km，所以说台风中心在A城市600km处。1.这是根据刚才的题意，绘制的方向位置图，你会描述台风中心的方向和位置吗？探究新知30°东北西南100km600km描述方向和位置A市（7）你现在会描述台风中心的具体位置了吗？台风中心台风中心位于A城市东偏南30°方向600km处。1.这是根据刚才的题意，绘制的方向位置图，你会描述台风中心的方向和位置吗？探究新知30°东北西南100km600km描述方向和位置A市（8）台风正以每小时20千米的速度向A城市移动，台风大约多长时间后到达A市？台风中心600÷20=30（时）1.说出红线的方向。基础练习2.在图上画出北偏东25°方向。西偏南30°3.用量角器量一下A点在方向标中的方向。30°30°东北西南A25°40°1.下面是小华家和小明家的位置坐标图，以小明家为观测点，你能描述一下小华家的具体位置吗？基础练习一、先确定方向：以小明家为观测点，从图上可以看出小华家位于小明家东偏北20°的方向。东北西南小明家5km小华家20°二、再确定距离：图上1厘米代表实际5km，图上小华家距离小明家3厘米，所以实际距离是3×5=15km。三、最后表述具体位置：小华家在小明家东偏北20°方向上，距离小明家15km。（1）学校在小明家北偏

方向上，距离是

m。（2）书店在小明家

偏

方向上，距离是

m。（3）邮局在小明家

偏

方向上，距离是

m。（4）游泳馆在小明家

偏

方向上，距离是

m。东25°400东南30°200西南40°600西北40°600基础练习课堂小结谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。确定物体的位置人教版数学六年级上册第二单元探究新知基础练习拓展练习课堂小结复习导入复习导入北南东西借助工具，你能说出小明家在学校的什么方向，什么位置吗？2km学校小明家小明家在学校西偏北40°方向

8千米的位置。问题：你知道了什么？B市位于A市北偏西30°方向，距离A市200km。C市在A市正北方，距离A市300km。请你在图中标出B市、C市的位置。探究新知知道了两个位置点位于观测点的具体方向和具体距离。1.你准备怎么画B市的位置？2.要想确定B市的位置，还需要什么条件呢？3.怎样表示距离呢？30°距离A市200千米。探究新知确定B市的位置B市先确定方向，画出北偏西30°方向。图上1厘米表示实际100千米，B市距离A市200千米，图上就是2厘米，所以在北偏西30°的方向上，距离A市画2厘米长的线段。30°东北西南东北西南A市台风中心位置100km600kmB市位于A市北偏西30°方向，距离A市200km。C市在A市正北方，距离A市300km。请你在图中标出B市、C市的位置。

按上面的方法，自己画出C市的位置。30°探究新知B市C市确定C市的位置B市位于A市北偏西30°方向，距离A市200km。C市在A市正北方，距离A市300km。请你在图中标出B市、C市的位置。30°东北西南东北西南A市台风中心位置100km600km台风到达A市后，改变方向，向B市移动，移动速度变为40千米/时，几小时后到达B市？200÷40=5（时）答：5小时后到达B市。探究新知B市距离A市200千米探究新知小华家在小明家东偏北20°方向上，距离小明家15km。请你画出方向坐标图，并确定小华家的具体位置。小明家（观测点）按上北下南，左西右东，画出十字方向标。北南东西1、根据题意，先确定观测点。2、以小明家为观测点，画出一个方向坐标图。我们在方向和位置知识中，总有两个点，一个是观测点，一个是位置点。观测点就是被比较的点，例如小华家在小明家的什么方向和位置，问的是在小明家的哪个方向和位置，那么被比较点就是小明家，所以小明家就是观测点，小华家就是位置点。探究新知小华家位小明家东偏北20°的方向，距离小明家15km。请你画出方向坐标图，并确定小华家的具体位置。北南东西3、根据题意，确定方向并画出方向线。4、确定比例尺；比例尺可以根据实际需要确定，并不是统一要求，此图中我们以图上1厘米代表实际5km来确定比例尺。小明家（观测点）20°5km5、把实际距离换算成图上线段长度，此题中，实际距离是15km，比例尺是1厘米代表5km，所以图上线段长度应该为15÷5=3厘米。6、在前面确定好的方向线上，从观测点开始量出3厘米长度，就是小华家的位置。小华家探究新知从上面两个例题中，你能总结一下如何确定一个物体的具体位置吗？确定物体的具体位置，必须是相对观测点而言，所以一定要有明确的观测点；在确定了观测点之后，要确定这个物体的具体位置，要首先确定该物体位于观测点的具体方向；然后用一定的比例尺表示图上距离和实际距离的关系，再在事先确定好的方向线上画出换算好的线段，就能准确地确定这个物体的位置。1.在平面图上标出校园内各建筑物的位置。（1）教学楼在校门的正北方向150m处。（2）图书馆在校门的北偏东35°方向150m处。（3）体育馆在校门的西偏北40°方向200m处。基础练习2.石油勘探队在A城东偏北40°方向，约45km处打出一口油井。请你在平面图上确定油井的位置。打出的油井正好位于石油厂的北偏西45°方向，相距90km,你能画出石油厂的位置吗？15km东北西南A油井40°45km拓展练习拓展练习打出的油井正好位于石油厂的北偏西45°方向，你准备怎么画出石油厂的位置？2.石油勘探队在A城东偏北40°方向，约45km处打出一口油井。请你在平面图上确定油井的位置。打出的油井正好位于石油厂的北偏西45°方向，相距90km,你能画出石油厂的位置吗？15km东北西南A油井40°45km油井位于石油厂的北偏西45°方向，也可以理解为石油厂在油井的什么方向？南偏东45°方向。石油厂课堂小结谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。认识路线图人教版数学六年级上册第二单元探究新知基础练习拓展练习课堂小结复习导入1.我们在描述方向和位置时，至少要用到

个点。它们分别是

点和

点。同学们，通过这两天的学习，我们知道了一些关于方向和位置的相关知识，下面，请同学自己完成下面的测试题，看看大家对前面知识的掌握情况。复习导入观测2.我们在描述方向和位置时，首先要确定

点，然后以这个点为中心，要画出

。在画这个图时，一般情况下，我们把上面标为

方，下面标为

方，左面标为

方，右面标为

方。一、填空。2位置观测方向坐标图北南西东

3.要描述一个位置点在观测点的具体什么位置，我们至少要知道两个数据，一个是

，一个是

。方向距离1、小明家在北偏西30°方向20km处。（）复习导入二、判断题。说说你的理由。×2、小华在学校东偏南30°方向，那么学校就在小华家西偏北30°

方向

。

（）3、超市在小明家东偏南方向，是以超市为观测点。（）√×第1题没有指出观测点。第3题观测点应该是小明家而不是超市。问题1.想一想，在说台风移动路线时，都要说明什么？此次台风的大致路径如下图。你能用自己的语言说说台风的移动路线吗？探究新知（方向，距离）问题1.台风生成后，先是怎样移动的？2.然后台风改变了方向，又是怎样移动的？3.最后台风是怎样移动，到达了哪里？4.你能照样子完整地说一说台风移动的路线吗？1.描述路线。探究新知台风生成后，向西移动540km；后改变了方向，向西偏北30°方向移动了600km，到达A市；台风再次改变方向，向北偏西30°方向移动200km到达B市；然后向西移动100km。描述路线图的方法：1．描述简单的路线图，可以把行程路线分成几段，再逐段描述。2．要按照行走的路线，确定观测点及行走的方向和距离。探究新知2.根据同伴的描述，画路线示意图。探究新知探究新知先假定一个出发时的位置点，把这个点作为观测点画出十字坐标,标上方向标和比例尺10m北按比例尺在正南方向上确定路口位置路口这时候，观测点就是路口，以路口作为观测点再画出方向坐标图公园在南偏西30°方向画出方向线，再用比例尺算出图上线段长度，并在方向线上画出。探究新知10m北路口公园最终的路线图（1）根据上面的路线图，说一说小玲从家去书店和回来时所走的方向和路程，并完成下表。路线方向路程时间家→商场15分钟商场→书店7分钟书店→商场8分钟商场→家18分钟全程（2）小玲走完全程的平均速度是多少？西偏北30°1000m西偏南45°400m东偏北45°东偏南30°400m1000m2800m48分钟基础练习2800÷48≈58（米/分）1路公共汽车从起点站先沿西偏北40°方向行驶3km，然后向正西方向行驶4km，最后沿南偏西30°方向行驶3km到达终点站。（2）根据路线图，说一说公共汽车沿原路返回时行驶的方向和路程。终点站30°拓展练习（1）根据上面的描述，把公共汽车行驶的路线图画完整。汽车返回时，从终点站向北偏东30°行驶3km后向东行驶4km，最后向东偏南40°行驶3km到达起点站。北1km40°起点站课堂小结谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。倒数的认识探究新知基础练习拓展练习课堂小结数学阅读人教版数学六年级上册第三单元复习导入口算下面各题。×3883＝1×715157＝15×51＝1×12121＝11×613136＝1×2992＝复习导入×2992＝问题：1.观察上面各题，你有什么发现？2.请你再写出几个这样的算式。（一）观察前面的口算算式，揭示课题1×715157＝15×51＝1×12121＝11×613136＝1×3883＝探究新知（两个数的乘积都是1。相乘的两个数的分子和分母正好颠倒了位置。）（二）出示概念，加深理解2.请你举例说说，什么是“互为”倒数？

乘积是1的两个数互为倒数。和互为倒数，就是指：

的倒数是，的倒数是。388383383883探究新知1.你能说说什么是互为倒数吗？能说是倒数吗？为什么？73773两个数的乘积为1，那么这两个数就叫做互为倒数。不能说是倒数，因为倒数是相对两个数的关系而言的，只是一个分数，和才能叫做互为倒数，是的倒数，是的倒数。73377373373773（三）自学概念，探究理解问题：1.怎样找一个数的倒数呢？下面哪两个数互为倒数？5362735611720探究新知因为乘积是1的两个数互为倒数，所以只要两个数相乘，积是1，那么这两个数就一定互为倒数。一个数×一个数=1互为倒数探究新知1的倒数是多少？0有倒数吗？一个数×一个数=1互为倒数53×=1?6×?=11×?=127=1×?0×?=10.5的倒数是多少？0.5×?=11÷=?0.53561721?22探究新知发现：

3.因为1×1=1，所以1的倒数还是它本身。4.0与任何数相乘都不能等于1，所以0没有倒数。5.小数的倒数是用1除以这个小数。

问题：说说你是怎样写的？（反馈与交流）写出下面各数的倒数。9161143587154探究新知

说说你的依据是什么？1.将互为倒数的两个数用线连起来。763131338186726251001001599999592526基础练习两个数相乘的积是1，这两个数互为倒数。（1）0.8的倒数是（

）或（）。2.写出下面各数的倒数。1.2545（2）

的倒数是（

）。3141332.找的倒数，先要怎样做？314基础练习54（预设1：0.8×1.25＝1预设2：0.8＝）问题：1.你是怎样想的？先把化成假分数，再写倒数。314（1）与的乘积为1，所以和互为倒数。（）127712127712（4）一个数的倒数一定比这个数小。（）

（2）

，所以、、互为倒数。（）×3421×23＝1213423（3）0的倒数还是0。（）拓展练习3.下面的说法对不对？为什么？√×××问题：你认为谁说得对?说明你的理由。4.小兵和小丽谁说得对？拓展练习小兵说得对。乘积是1的两个数就互为倒数，这两个数可以是分数，也可以是小数或整数。数学阅读

世界上最早期的分数，出现在埃及的阿默斯纸草卷。在阿默斯纸草卷中，我们见到了四千年前分数的一般记法，当时埃及人已经掌握了单分数——分子为1的分数的一般记法，并把单分数看作是整数的倒数。埃及人的这种认识以及对单分数的统计法，是十分了不起的，它告诉人们数不仅有整数，而且有它的倒数——单分数。分数终究不只是单分数，大约在公元前5世纪，中国开始出现把两个整数相除的商看作分数的认识，这种认识正是现在的分数概念的基础。在这种认识下，一个除式也就表示一个分数，被除数放在除数的上面，最上面留放着商数，例如：若是假分数，化成带分数后与现在的记法不同的是，假分数的整数部分放在分数的上面，而不是放在左边。大约在12世纪后期，在阿拉伯人的著作中，首先用一条短横线把分子、分母隔开来，这可以说是世界上最早的分数线；13世纪初，意大利数学家菲波那契在他的著作中介绍阿拉伯数字，也把分数的记法介绍到了欧洲。西汉时期，张苍、耿寿昌等学者整理、删补自秦代以来的数学知识，编成了《九章算术》。在这本数学经典的《方田》章中，提出的完整的分数运算法则大约在15世纪才在欧洲流行。欧洲人普遍认为，这种算法起源于