初中函数习题

二次函数与其他函数的综合测试题

一、选择题:

2.在地表以下不太深的地方，温度y(℃)与所处的深度x(k机)之间的关系可以近似用关系式y=35x+20表示，

这个关系式符合的数学模型是()

(A)正比例函数(B)反比例函数.(C)二次函数(D)一次函数

3.若正比例函数y=(1—2加)x的图像经过点A(X],%)和点Bl%,为)，当王<起时月>当，则机的取

值范围是()(A)m<0(B)m>Q(C)m<-(D)m>-

22

x

y=一—

4.函数y=kx+l与函数上在同一坐标系中的大致图象是()

(A)(B)(C)(D)

5.下列各图是在同一直角坐标系内，二次函数丁=ax2+(〃+c)x+c与一次函数y=ax+c的大致图像，有且只有一

个是正确的，正确的是()

入联驮料

(A)(B)(C)(D)

6.抛物线y=2(x—I)2+1的顶点坐标是()A.(1,1)B.(1,-1)C.(一1,1)D.(-1,-1)

7.函数y=ar+b与y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则下列选项中正确的是()

A.ab>0,c>0B.a/?<0,c>0C.ab>0,c<0D.ab<0,c<0

nh

8.已知a,b,c均为正数，且k-=二在下列四个点中，正比例函数y=kx的图像一定经过的点

b+ca+ca+b

的坐标是()A.(1,—)B.(1,2)C.(1,)D.(1,-1)

22

9.如图，在平行四边形ABC。中，AC=4,BD=6,尸是上的任一点，过尸―-----------------------------0

作E歹〃AC,与平行四边形的两条边分别交于点E,F.设8P=x,EF=y,则能反

映y与x之间关系的图象为...........()

A.B.C:.D.

10.如图4,函数图象①、②、③的表达式应为（）

54

(A)y二—X,y=x+2,y=―一

2X

54

(B)y二一x,y=-x+2,y=-

2X

54

(C)y二------X9y-x-2,y=-

2X

54

(D)y二—X，y-x-2,y=―一

2X

11.张大伯出去散步，从家走了20分钟，到一个离家900米

的阅报亭，看了10分钟报纸后，用了15分钟返回到家，下

面哪个图形表示张大伯离家时间与距离之间的关系（）

12.二次函数y=x2-2x+2有（）A.最大值是1B.最大值是2C.最小值是1D.最小值是2

.....................2

13.设A（尤1，力）、B（如丫2）是反比例函数尸-图象上的两点，若无则力与之间的关系是（）

x

A.丁2〈力<0B.力〈丁2VoC.y2>yi>0D.力>>2>0

14.若抛物线y=x2-6x+c的顶点在x轴上，则c的值是（）A.9B.3C.-9D.0

3

15.二次函数y=——3x+］的图象与x轴交点的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.不能确定

二、填空题：

1.完成下列配方过程：

x2+2px+1=［x2+2px+（）］+（）=（x+）2+（

2.写出一个反比例函数的解析式，使它的图像不经过第一、第三象限：.

2

3.如图，点P是反比例函数y=——上的一点，轴于点D,则APOD的面积为

X

4、H知实数机满足加，一加-2=0,当“2=时，函数y=x'"+（m+l）x+m+l的图象与x轴无交点.

5.二次函数y=/+（2m+l）x+（7”2-1）有最小值，则加=：

6.抛物线y=——2x-3向左平移5各单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为；

7.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元.为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价

措施，经调查发现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要赢利1200元，则每

件衬衫应降价;

8.某学生在体育测试时推铅球，千秋所经过的路线是二次函数图像的一部分，如果这名学生出手处为A（0,2）,

铅球路线最高处为B（6,5）,则该学生将铅球推出的距离是；

9.二次函数y=a/+bx+c（aH0）的图像与x轴交点横坐标为一2,b,图像与y轴交点到

圆点距离为3,则该二次函数的解析式为；

10.如图，直线y=2（公0）与双曲线y=&在第一象限内的交点R,与x轴、y轴的交点

x

分别为P、Q.过R作RMLx轴，M为垂足，若△OP0与的面积相等，则%的值

等于

三、解答题：1已知二次函数y=/+bx+c的图像经过A(0,1),3(2,—1)两点.

(1)求匕和c的值；

(2)试判断点尸(-1,2)是否在此函数图像上？

Q

2.已知一次函数y=fcr+左的图象与反比例函数y=—的图象交于点尸(4,”).

x

(1)求W的值.(2)求一次函数的解析式.

3.看图，解答下列问题.

(1)求经过A、B、。三点的抛物线解析式；

(2)通过配方，求该抛物线的顶点坐标和对称轴;

(3)用平滑曲线连结各点，画出该函数图象.

4.已知函数y=d+bx-l的图象经过点(3,2)

(1)求这个函数的解析式；

(2)画出它的图象，并指出图象的顶点坐标;

(3)当x>0时，求使左2的龙的取值范围.

5.某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一段时间的每天销售统计中，随机抽取一部分情况如

下表所示：

每件销售价(元)506070758085

每天售出件数30024018015012090

假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律.

(1)观察这些统计数据，找出每天售出件数y与每件售价x(元)之间的函数关系，并写出该函数关系式.

(2)门市部原设有两名营业员，但当销售量较大时，在每天售出量超过168件时，则必须增派一名营业员才能

保证营业有序进行，设营业员每人每天工资为40元.

求每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大(纯利润指的是收入总价款扣除成本及营业员工资后的

余额，其它开支不计)

6.如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈

抛物线状.

(1)一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离；

(2)为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0.4米的木板，除掉系木板用去的绳子后，两边的绳长

正好各为2米，木板与地面平行.求这时木板到地面的距离(供选用数据：7136=^1.8,Vl64^1.9,7436=2.1)

7.已知抛物线y=-x-\-rnx—m+2.

(I)若抛物线与X轴的两个交点A、8分别在原点的两侧，并且48=逐，试求加的值；

(II)设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N,并且△MNC的面积等于27,试求

m的值.

8.如图，已知点A(tana,0),B(tang,0)在x轴正半轴上，点A在点B的左

边，a、8是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的RtZ\ABC的两个锐角.

2S2

(1)若二次函数y=-x——kx+(2+2k-k)的图象经过A、B两点，求它的解析式;

2

(2)点C在(1)中求出的二次函数的图象上吗？请说明理由.

9.已知抛物线,=/+乙+5经过点P(2,-3),2(-1,0).

(1)求抛物线的解析式.

(2)设抛物线顶点为N,与y轴交点为A.求sinNAON的值.

(3)设抛物线与x轴的另一个交点为M,求四边形OANM的面积.

10.如图9,抛物线y=ax"+8ax+l2a与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，抛物线上另有一点C在第一象限,

满足NACB为直角，且恰使△OCAsaOBC.

(1)求线段0C的长.

(2)求该抛物线的函数关系式.

(3)在x轴上是否存在点P,使4BCP为等腰三角形？

若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，

请说明理由.

2

11.已知函数y=—和y=kx+l(kWO).

x

(1)若这两个函数的图象都经过点(1,a),求a和k的值;

(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点？

12.已知如图，矩形OABC的长0A=E,宽0C=l,将△AOC沿AC翻折得△APC。

(1)填空：ZPCB=度，P点坐标为(，)；

(2)若P,A两点在抛物线y=—gx2+bx+c±,求b,c的值，并说明点C在此抛物线上；

(3)在(2)中的抛物线CP段(不包括C,P点)上，是否存在一点M,使得四边形MCAP的

面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由.

13.如图，二资助函数y=x?+bx+c的图象经过点M(1,一2)>N(一1,6).

(1)求二次函数y=/+/+C的关系式.

(2)把Rt^ABC放在坐标系内，其中NCAB=90°,点A、B的坐标分别为(1,0)、(4,0),

BC=5o将AABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求aABC平移的距离.

14.如图，在平面直角坐标系中，两个函数旷=%,丁=-,x+6的图象交于点A。动点P从点0开始沿0A方向以每秒

1个单位的速度运动，作PQ〃x轴交直线BC于点Q,以PQ为一边向下作正方形PQMN,设它与AOAB重叠部分的面积

为S.

(1)求点A的坐标.

(2)试求出点P在线段0A上运动时，S与运动时间t(秒)的关系式.

(3)在(2)的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出

最大值；若没有，请说明理由.

(4)若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与AOAB重叠部分面

积最大时，运动时间t满足的条件是.

15.已知一次函数y=g+m(0<mWl)的图象为直线/,直线/绕原点。旋转180°后得直线AABC三个顶点的坐标

分别为A(-^,-1)、B(6,-1)、C(0,2).

(1)直线AC的解析式为,直线厂的解析式为(可以含m)；

(2)如图，I、r分别与AABC的两边交于E、F、G、H,当m在其范围内变化时，判断

四边形EFGH中有哪些量不随m的变化而变化?并简要说明理由；

(3)将(2)中四边形EFGH的面积记为S,试求m与S的关系式，并求S的变化范围；

(4)若m=l,当4ABC分别沿直线y=x与y=7ix平移时，判断AABC介于直线/，厂之间部分的面积是否改变?若

不变请指出来.若改变请写出面积变化的范围.(不必说明理由)

16.在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、0B的长(OA〈OB)是方程x"18x+72=0的两个根，点

C是线段AB的中点，点D在线段0C上，0D=2CD.

(1)求点C的坐标；

(2)求直线AD的解析式；

(3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q,使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点

Q的坐标；若不存在，请说明理由.

17.在平面直角坐标系中，已知A(0,2)f(4,0),设尸、0分别是线段A3、03上的动点,它们同时出发，点P以每秒3个单位的

速度从点4向点5运动，点。以每秒1个单位的速度从点B向点。运动.设运动时间为,(秒).

(1)用含f的代数式表示点P的坐标；

⑵当f为何值时,为直角三角形？

(3)在什么条件下，以及△。尸。的三个顶点能确定一条对称轴平行于y轴的抛物线?选择一种情况，求

出所确定的抛物线的解析式.

18.已知：抛物线丁=/一2%-根(m>0)与y轴交于点C,C点关于抛物线对称轴的对称点为。点.

(1)求C点、)点的坐标(可用含m的代数式表示)

(2)如果点Q在抛物线的对称轴上，点P在抛物线上，以点C、C，、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求Q点和

P点的坐标(可用含m的代数式表示)

(3)在(2)的条件下，求出平行四边形的周长.

19.如图，△OAB是边长为2+6的等边三角形，其中0是坐标原点，顶点B在y轴正方向上，将△OAB折叠，使点

A落在边0B上，记为A，，折痕为EF.

(1)当A，E〃x轴时，求点卜和E的坐标；

(2)当A，E〃x轴，且抛物线丁=——Y+笈+。经过点A'和E时，求抛物线与x轴的

6

交点的坐标；

(3)当点A，在0B上运动，但不与点0、B重合时，能否使AA，EF成为直角三角形？

若能，请求出此时点A，的坐标；若不能，请你说明理由.

20.已知抛物线y=x2—4x+l.将此抛物线沿x轴方向向左平移4个单位长度，得到一条新的抛物线.

⑴求平移后的抛物线解析式；

⑵若直线y=m与这两条抛物线有且只有四个交点，求实数m的取值范围；

⑶若将已知的抛物线解析式改为y=ax2+bx+c(a>0,b<0),并将此抛物线沿x

b

轴方向向左平移个单位长度，试探索问题⑵.

a

21.直线y=-1-x+l分别与x轴、y轴交于B、A两点.

⑴求B、A两点的坐标；

⑵把AAOB以直线AB为轴翻折，点O落在平面上的点C处，以BC为一边作

等边4BCD求D点的坐标.

22.已知抛物线y=ax，bx+c经过A,B,C三点，当x》0时，其图象如图所示.

(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；

(2)画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象；

(3)利用抛物线y=ax2+bx+c,写出x为何值时，y>0.

23.如图,在平面直角坐标系中,0为坐标原点,B(5,0),M为等腰梯形OBCD底边0B上一点,OD=BC=2,ZDMC=ZD0B=60°.

(1)求直线CB的解析式：

⑵求点M的坐标；

⑶NDMC绕点M顺时针旋转a(30°<a<60°)后，得到NDM3(点D“G依次

与点D,C对应)，射线MDi交直线DC于点E,射线MG交直线CB于点F,设DE=m,

BF=n.

求m与n的函数关系式.

(第28题)

24.如图，边长为1的等边三角形0AB的顶点0为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，动点D在线

段0A上移动(不与0,A重合)，过点D作DELAB,垂足为E,过点D作DFL0B,垂足为F。点M,N,P,Q分别是线

段BE,ED,DF,FB的中点。连接MN,NP,PQ,QM。记0D的长为t.

(1)当，=工时，分别求出点D和点E的坐标；

3

(2)当，=工时，求直线DE的函数表达式；

3

(3)如果记四边形MNPQ的面积为S,那么请写出面积S与变量t之间的函数关

系式，并写出自变量t的取值范围，是否存在s的最大值？若存在，求出这个最大

值及此时t的值；若不存在，请说明理由。

25.如图，在△ABC中，AB=AC=1,点D,E在直线上运动，设3O=x,CE=y.

(1)如果NB4C=30°,ZDAE=105°,试确定y与x之间的函数关系式；

(2)如果NBAC的度数为a,NZME的度数为£,当a,£满足怎样的关系

(第题

式时，(1)中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由.22

26.如图，平面直角坐标系中，四边形O43C为矩形，点A3的坐标分别为(4,0),(4,3),动点N分别从。，B

同时出发，以每秒1个单位的速度运动.其中，点”沿OA向终点A运动，点N沿向终点C运动，过点〃作

MPLOA,交AC于P,连结NP,已知动点运动了x秒.

(1)P点的坐标为(,)(用含x的代数式表示)；

(2)试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；

(3)当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由.

27.已知抛物线％=——2x+c的部分图象如图1所示。

(1)求C的取值范围；

(2)若抛物线经过点(0,T),试确定抛物线％=——2x+c的解析式；

(3)若反比例函数为=&的图象经过(2)中抛物线上点(1,a),试在图2所示直角坐标系中，画出该反比

X

例函数及(2)中抛物线的图象，并利用图象比较％与%的大小.

28.已知抛物线y=ax?+bx+c经过点(L2).

(1)若a=L抛物线顶点为A,它与x轴交于两点B、C,且aABC为等边三角形，求b的值.

(2)若abc=4,且aNbNc,求|a|+|b|+|c|的最小值.

29.已知抛物线y=a/+bx+c与y轴的交点为C,顶点为M,直线CM的解析式y=-x+2并且线段CM的长为2J5

(1)求抛物线的解析式。

(2)设抛物线与x轴有两个交点A(Xi,0)、B(X2,0),且点A在B的左侧，求线段AB的长。

(3)若以AB为直径作。N,请你判断直线CM与。N的位置关系，并说明理由。

30.已知：抛物线y=-x?+4x-3与x轴相交于A、B两点(A点在B点的左侧)，顶点为P.

(1)求A、B、P三点坐标；

(2)在下面的直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x取何值时，函数值y大于零;

(3)确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数，并说明理由.

31.已知：如图，A(0,1)是y轴上一定点，B是x轴上一动点，以AB为边，在N0AB的外部作NBAE=N0AB,过

B作BCLAB,交AE于点C.

(1)当B点的横坐标为时，求线段AC的长；

(2)当点B在x轴上运动时，设点C的纵、横坐标分别为y、x,试求y与x的

函数关系式(当点B运动到0点时，点C也与。点重合)；

(3)设过点P(0,-1)的直线1与⑵中所求函数的图象有两个公共点Mi(xi,

22

yi)>M2(X2,y2)»KXI+X2-6(xi+x2)=8,求直线(的解析式.

32.如图，已知抛物线与x轴交于A(m,0)、B(n,0)两点，与y轴交于点C(0,3),点P是抛物线的顶点,

若m-n=-2,m,n=3.

(1)求抛物线的表达式及P点的坐标;

(2)求4ACP的面积SAACP.

33.已知抛物线G：y=-x2+2mx+n{m,",为常数，且仅WO,〃〉0)的顶点为A,与y轴交于点C；抛物

线。2与抛物线G关于y轴对称，其顶点为3,连接AC,BC,AB.

注：抛物线y=ax2+》x+c(awo)的顶点坐标为言六.

(1)请在横线上直接写出抛物线。2的解析式：；

(2)当刃=1时，判定△ABC的形状，并说明理由；

(3)抛物线G上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出机的值；如果不存在，请说明理由.

34.如图10(单位：m