人教版数学六年级上册教学案

人教版数学六年级上册

目录

第一单元位置

第二单元分数乘法

第三单元分数除法

第四单元圆

综合应用：确定起跑线

第五单元百分数

第六单元统计

综合应用：合理存款

第七单元数学广角

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人教版《义务教育课程标准实验教科书数学六年级上册》介绍

人民教育出版社、课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心编写的

《义务教育课程标准实验教科书数学（1~6年级）》，是以《全日制义务教育数

学课程标准（实验稿）》（以下简称《数学课程标准》）的基本理念和所规定的教

学内容为依据，在总结现行九年义务教育小学数学教材研究和使用经验的基础上

编写的。本套的各册教材已经陆续通过全国中小学教材审查委员会的审查，并于

2001年9月进入新一轮课程改革实验区开始使用。从近6年来所收集到的各种

反馈信息看，这套实验教材受到广大教师、学生和家长的普遍好评，在体现《数

学课程标准》的改革理念、促进课堂教学的改革、满足各地教育发展需求等方面

都能起到了很好的作用。

《义务教育课程标准实验教科书数学六年级上册》的研究与编写，仍然坚持

“在体现新理念的同时注意具体措施的可行性”“处理好继承与发展的关系”两

个基本原则，力求使实验教材具有创新、实用、开放的特点。注意符合教育学、

心理学的原理和学生的年龄特征，关注学生的兴趣和经验，体现数学知识的形成

过程，努力为学生的数学学习提供生动活泼、主动求知的材料与环境；使学生在

获得数学基础知识、形成基本技能的同时得到情感、态度、价值观的熏陶与培养,

促进学生的全面而富有个性的发展。

本册实验教材的教学内容主要有：位置，分数乘法，分数除法，圆，百分数,

统计，数学广角和数学实践活动等…对于这些教学内容的编排和处理，以整套

实验教材的编写思想、编写原则等为指导，体现了前几册实验教材同样的风格与

特点，所以本册实验教材仍然具有内容丰富、关注学生的经验与体验、体现知识

的形成过程、鼓励算法多样化、改变学生的学习方式，体现开放性的教学方法等

特点。同时，由于教学内容的不同，本册实验教材还具有下面几个明显的特点。

1.改进分数乘、除法的编排，体现数学教学改革的新理念，加深学生对数

学知识的理解，培养学生的应用意识。

分数四则运算的知识和技能是小学生应该掌握的基础知识和基本技能。分数

四则运算在计算方法上与整数、小数计算有一定的区别，在算理上比整数、小数

计算稍显复杂，所以学生理解和掌握起来更困难一些。分数的加法和减法，在计

算方法上与整数、小数的加法和减法虽有区别，但是在算理上与整数、小数的加、

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减法又有联系，都是相同单位的数才能直接相加、减。为了突出这一共同的规律,

加之学生已学习过简单的同分母分数加、减法，所以，在五年级下册里，实验教

材将分数的加法和减法安排在同一单元里穿插教学。分数的乘法和除法有密切的

联系，教学分数除法需要有分数乘法作基础；而且分数乘、除法的内容比较多，

学生理解它们的算理也更为困难些；因此，本套实验教材仍采用分单元教学分数

乘法和分数除法的编排方式。在具体编排上，两个单元都先结合实际问题教学每

种计算的算法和算理，然后将解决一些含有特殊数量关系的问题安排在“解决

问题”小节里单独教学。通过解决实际问题，理解这类问题的数量关系，在掌握

解题思路和方法的同时，进一步加深学生对分数乘、除法的理解。这样的编排重

点突出，比较有利于学生理解和掌握分数乘、除法的算理、算法和实际应用。

与原通用教材的编排相同，在分数除法单元仍安排“比”的小节，教学比的

意义、性质和应用。把“比”提前到分数中教学，主要出于两点考虑：第一，比

和分数有密切的联系，两个整数相除(除数不等于0)可以用分数表示它们的商,

也可以说成两个数的比，两个数的比也可以用分数形式来表示。加强比和分数的

联系，可以加深学生对分数的意义的理解和对比的认识，还可以提高学生灵活运

用知识解决简单实际问题的能力。第二，提早教学比的概念，可以为后面教学圆

周率、百分数、统计等打好基础。例如，学生有了比的概念，就容易理解百分数

为什么还可以叫做百分比。在这里有关比的应用，只教学按比例分配的问题，比

例尺则放在“比例的应用”中教学。

与整数、小数的计算教学相同，分数的乘法和除法的教学，同样要体现计算

教学改革的理念。因此，实验教材的编排与原通用教材相比有以下几方面的改进。

(1)不单独教学分数乘法、分数除法的意义，而是让学生通过解决实际问

题，结合具体情境和计算过程去理解运算意义。

(2)通过实际问题引出需要用分数乘、除法计算的问题，让学生在现实情

境中体会、理解分数乘、除法算法和算理，将解决问题教学与计算教学有机地结

合在一起，在学习计算的同时培养学生应用数学的意识和解决问题的能力。

(3)借助操作与图示，引导学生探索并理解分数乘、除法的算法和算理.

对分数乘、除法计算方法的探索与理解，历来是教学的难点。教材根据学生的思

维特点，设计了涂色、折纸、画线段图等活动，采用手脑并用、数形结合的策略

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加以突破。

(4)不再出现文字叙述式的计算法则，简化了算理推导过程的叙述及解决

问题思路的提示，通过直观与操作等手段，在重点关键处加以提示和引导，为学

生探索与交流提供更多的空间。

(5)调整了分数乘、除法应用问题的编排，注重培养学生用数学解决实际

问题的能力。

用分数乘、除法解决问题以往也是小学数学教学的难点教学内容，本套实验

教材的编排，根据《标准》的要求，一方面降低了题目数量关系的复杂性，从而

也就降低了解题的难度；另一方面选取了在日常生活中经常遇到的实际问题进行

分析，进而达到培养学生用数学解决实际问题的意识和能力。

2.改进百分数的编排，注意知识的迁移和联系实际，加强学生学习能力和

应用意识的培养。

百分数是用来表示一个数是另一个数的百分之几的数，通常也叫做百分率和

百分比。由于百分数的分母化一，便于比较，因此，在工农业生产、科学研究以

及日常工作中有着广泛的应用。有关百分数的教学内容较多，如它的意义与写法、

它与小数、分数的互化、它在实际中的应用，等等，所以实验教材仍单独设一个

单元对百分数进行教学。

有关百分数的计算，通常是化成分数和小数来算；解决含有百分数的实际问

题在解题思路和解答方法上与解决分数问题基本相同。因此，教材在这些方面不

作为新知识用较多的例题来教学，只对求百分率的问题，特别是求增加百分之几、

减少百分之几的问题适当举例加以教学，然后加强百分数实际应用方面的教学。

例如，结合求百分率，出现求达标率、发芽率等的计算(还提示了出勤率、合格

率、出粉率)；介绍折扣、纳税和利息等知识中百分数的计算知识等。

同样，百分数这部分教材的编排注意体现当前数学教学改革的新理念。首先,

加强数学知识与生活实际的联系。随着我国经济生活的不断繁荣，数学知识的广

泛应用，百分数的实际应用也日益广泛。所以，这一单元的编排，教材选取了较

为丰富的、贴近学生生活又富有时代气息的素材。例如，百分数意义的教学，教

材用主体图的形式列举了大量当前实际生活中百分数应用的实例；“百分数与分

数的互化”的编排，教材采用解决实际问题方式引入互化的教学，使学生体会互

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化知识的实际应用。在“用百分数解决问题”一节，增加了当前学生比较容易接

触到的商品的“折扣”的教学，等等。这样的编排，使学生在联系生活实际中认

识百分数，理解百分数的意义，感受百分数在生活实际中的应用，有利于形成学

生对数学价值的正确认识，提高学生用数学解决问题的能力。其次，加强了教学

的探索性和开放性。教材注意利用合适机会设置有效的数学活动，让学生通过自

主探索，体会、理解百分数的的知识。例如，百分数意义的教学，在列举了生活

中百分数应用实例的基础上，教材通过小精灵提出要求，让学生自己试着说一说

这些百分数的具体含义，使学生在自主探索、讨论交流中体会和理解百分数的含

义。又如，教学求百分率的实际问题时，在第（2）题探索了发芽率的含义和求

法的基础上，教材在“做一做”中设计了一个小组合作的探索活动，放手让学生

自己讨论如何求出出勤率、成活率、命中率等。既拓展了学生所学的知识范围，

加深学生对百分率知识的理解；又培养了自主探索、合作交流的良好学习习惯。

3.提供丰富的空间与图形的教学内容，注重动手实践与自主探索，促进学

生空间观念的发展。

小学阶段空间与图形教学的主要目标是发展学生的空间观念，与前几册一

样，本册教材继续把促进学生空间观念的发展作为空间与图形内容编排的研究重

点。在教学内容方面安排了“位置”“圆”两个单元。

“位置”的教学内容是第一学段相应教学内容的扩展和提高。学生在低年级

时已经学习了如何根据行、列确定物体的位置，并通过中年级“位置与方向”的

学习，知道了在平面内可以根据两个条件确定物体的位置。本册教材在上述学习

的基础上，教学用数对表示物体的位置以及如何在方格纸上用数对确定位置。通

过教学促进学生空间观念的进一步发展，为初中学习“图形与坐标”打好基础。

教材的编排，首先注意了利用学生已有的知识和经验一一用“第几组第几个”描

述实际情境中物体的位置一一学习新知识，并及时对学生已有经验进行提升，迅

速将具体的情境数学化，抽象成学习如何在平面图上确定位置，帮助学生理解用

数对确定位置的方法。另一方面，注意呈现丰富的生活情境和现实素材，帮助学

生掌握用数对确定位置的方法。例如，提供国际象棋的棋盘，让学生练习确定棋

子的位置；呈现地图或路线图，让学生了解在地图上如何确定一个地点的位置。

还在“生活中的数学”中介绍了在围棋盘上用19条横线和19条纵线确定棋子位

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置，以及地球上用经线和纬线确定地点位置等确定位置方法的实际应用，拓展了

学生的视野。在练习中，教材注意为学生提供综合运用知识解决问题的机会，发

展学生的空间观念。如练习一的第6题让学生用数对确定图形平移后顶点所在的

位置；第7题联系方位的知识，让学生根据图上的数据描述建筑物的实际方位及

行走路线。使学生在综合运所学知识解决问题的过程中，加深对用数对确定位置

内容的理解，体会数学知识之间的联系，锻炼空间想象的能力。

圆是一种曲线图形，它同直线图形有不同的特点。在本册之前各册教材出现

的平面图形都是直线图形。所以“圆”的教学是学生系统认识曲线图形特征的开

始。在低年级的教学中虽然也出现过圆，但只是直观的认识，本册的教学要认识

圆的特征、圆的周长和圆的面积等。从学习直线图形到学习曲线图形，不论是内

容本身，还是研究问题的方法，都有所变化，教材通过对圆的研究，使学生初步

认识研究曲线图形的基本方法，同时，也渗透了曲线图形与直线图形的内在联系。

在这一单元里，教材还利用学生已有的对轴对称图形的初步知识探讨圆的轴对称

特点，给出轴对称图形的概念，使学生关于轴对称图形的知识系统化，从而更好

地发展学生的空间观念。教材在编排上加强了启发性和探索性，注重动手操作，

让学生在自主探索的活动中通过交流、思考来探究圆的特征、圆的周长和面积的

计算方法。例如，教学圆的面积时，教材启发学生自己寻找解决问题的思路和方

法，回忆以前用过的转化方法，从而把圆的面积转化为熟悉的直线图形的面积来

计算。教材还注意通过介绍圆周率的史料，渗透数学文化和爱国主义教育。

4.加强统计知识的教学，发展学生的统计观念，逐步形成从数学的角度进

行思考问题的思维习惯。

通过前面五年的数学学习，在统计与概率方面，学生已经掌握了一定的知识,

形成了一定的能力，积累了一定的经验。本册教材安排的是关于统计知识的教学,

即教学扇形统计图的知识。通过教学使学生认识扇形统计图的特点和作用；能从

扇形统计图中获取有价值的数学信息；并能根据数据的不同特征，选择适当的统

计图或统计表来反映现实情况、说明问题。教学中学生同样要经历简单的数据收

集、整理、描述、分析的过程，并要根据统计数据分析的结果做出简单的判断和

预测，以便更好地理解统计知识在解决问题中的作用，形成良好的统计观念。

在教材的具体编排上，一是注意与先前学习过的统计知识的联系，帮助学生

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理解扇形统计图的特点和作用。例如，注重与学生已经学习过的条形统计图和折

线统计图的联系。通过条形统计图与扇形统计图特点及作用的对比，引导学生认

识扇形统计图的特点和作用。二是注意挖掘生活中的数学素材，凸现统计的实用

价值。教材在素材选取方面，注重从生活、生产中选取，努力挖掘学生身边的相

关数学元素，这样不仅拓宽了学生数据收集的渠道，也凸现了统计与生产、生活

密切的联系，使学生体会到统计的实用价值。例如，教材所选素材涉及到体育、

营养、环保、人口等方面，扩大了学生处理信息的范围，更好地体会统计知识和

方法在实际生活中的作用，有利于发展学生的统计观念，形成从数学的角度思考

问题的良好习惯。

5.有步骤地渗透数学思想方法，培养学生数学思维能力和解决问题的能力。

数学学习不仅可以使学生获得参与社会生活必不可少的知识和能力，而且还

能有效地提高学生的逻辑推理能力，进而奠定发展更高素质的基础。因此，培养

学生良好的数学思维能力是数学教学要达到的重要目标之一。本套实验教材总体

设想之一是：系统而有步骤地渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通

过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣的事例呈现出来。通过教学使学生受

到数学思想方法的熏陶，形成探索数学问题的的兴趣与欲望，逐步发展数学思维

能力。据此，在本册教材的“数学广角”单元，安排了我国民间广为流传的数学

趣题“鸡兔同笼”，通过教学，一方面使学生了解古人解决此类问题的巧妙思路,

感受祖先的聪明才智，激发学生对数学的学习兴趣；另一方面，通过对此题多种

解题方法的探索和对比，使学生体会到解题策略的多样性和用代数方法解决问题

的优越性，促进学生逻辑推理能力的发展，感受化繁为简的数学思想方法，培养

学生观察、分析、推理以及解决问题的能力，以及探索数学问题的兴趣。

用数学解决问题能力的培养是义务教育阶段数学课程的重要目标之一，因此

解决问题教学在数学教学中有着重要的作用。它既是发展学生数学思维的过程，

又是培养学生应用意识、创新意识的重要途径。与前面几册教材一样，本册教材

仍然注意将解决问题的教学融合于各部分内容的教学中，通过各部分内容的教学

培养学生用数学解决问题的能力。同时在“数学广角”单元以及数学综合运用活

动中，加强了综合运用知识解决问题和解决问题策略多样化的教学，使学生逐步

提高数学思维能力和解决问题的能力。本册教材设计了“确定起跑线”和“合理

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存款”两个数学综合运用活动，让学生通过小组合作的探究性活动，综合运用所

学的数学知识和方法(如圆的周长知识、百分数的实际应用、储蓄存款以及国债

利率等有关知识)，动手实践解决问题，体会数学在日常生活中的应用价值，增

强学生应用数学的意识，不断提高学生的实践能力和解决问题的能力。

6.情感、态度、价值观的培养渗透于数学教学中，用数学的魅力和学习的

收获激发学生的学习兴趣与内在动机。

本次数学课程改革强调了对学生情感、态度和价值观的培养，全面提高学生

的素质。小学高年级学生已经具有了一定的知识和生活经验，对自然与社会现象

有了一定的探求欲望，此时需要教育者进行有目的的启发与引导。在数学教学中，

就是要通过数学学习活动，使学生形成丰富的情感、积极的态度和正确的价值观,

这同样是学生学习、生存和发展的重要基础。本册实验教材不仅内容涉及数学教

学内容的各个领域，为学生探索奇妙的数学世界提供了丰富素材，而且注意结合

教学内容安排了许多体现数学文化的阅读材料、数学史实等，使学生的数学学习

活动丰富多彩、充满魅力。这些都有助于学生初步认识数学与人类生活的密切联

系，了解数学的价值，激发学生学习数学的欲望。

(1)提供丰富的培养学习数学兴趣爱好的素材。

考虑到学生年龄的增长、视野的扩大等因素，实验教材注意选择知识内容深

刻、内涵更丰富的教学素材，使学生在学习数学的同时，受到情感、态度、价值

观的熏陶。例如，在“比的应用”小节里，通过“你知道吗？”介绍的“黄金比”

的知识和以“黄金比”设计的艺术品、建筑物等；数学广角“鸡图同笼”蕴涵了

化繁为简的数学思想方法；数学综合应用“合理存款”中渗透着的优化的方案设

计思想，等等。简洁、巧妙的解决问题策略中闪烁的数学方法的奇妙。严密的逻

辑推理、精确的计算、形式完美的原理与规律，都潜移默化地让学生体会到数学

所特有的形式美、结构美和方法美，这些都有利于激发学生学习数学的兴趣，形

成稳定的探索数学的爱好。

(2)注意反映数学与人类生活的密切联系以及数学的文化价值。

与前几册实验教材一样，本册教材仍然注意采用阅读材料的形式，结合教学

内容编排一些有关的数学史料，丰富学生对数学发展的整体认识，培养学生探索

数学、学习数学的兴趣与欲望。如安排了多个“你知道吗？”“生活中的数学”

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和“阅读资料”。介绍了现实生活中数学知识的应用、古代数学家的故事等等。

这些内容不仅可以使学生对数学本身产生浓厚的兴趣，激励他们扩大知识面和进

一步探索研究的欲望，而且对学生具有陶冶科学情操。培养科学精神的作用。

（3）通过自主探索的活动，让学生获得学习成功的体验，增进学好数学的

信心。

结合学生的年龄特点和教学内容,本册教材设计了很多需要学生自主探索的

活动，例如，探究圆的周长时，让学生采用围一围、滚一滚的方法先测出周长的

数值，在此基础上再引导学生探究周长与直径的关系，得到圆的周长的计算公式。

同样，圆的面积计算公式的推出，让学生小组合作，通过动手剪切、拼贴，从而

“化圆为方”，得出圆面积的计算方法。又如“鸡兔同笼”的教学，教材先安排

了数据较小的问题，让学生自己探索解决这类问题的方法，等等。让学生有更多

的机会应用数学知识，进行自主探索的实践，并通过这些活动获得自己成功、能

力增强等良好体验，从而逐步增强学好数学、会用数学的信心。

本册教材包括下面一些内容：分数乘法，分数除法，百分数，位置，圆，统

计，数学广角和数学综合应用等。

（一）数与代数

第二单元分数乘法

第三单元分数除法

第五单元百分数

（-）空间与图形

第一单元位置

第四单元圆

（三）统计与概率

第六单元统计一一扇形统计图

（四）数学思想方法

第七单元数学广角一一鸡兔同笼

（五）数学综合应用

1.确定起跑线

2.合理存款

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单元分析

六上第一单元位置

一、教学内容

用数对确定物体的位置。

二、教学目标

1.在具体的情境中，探索确定位置的方法，能用数对表示物体的位置。

2.使学生能在方格纸上用数对确定位置。

三、具体编排

学生在一年级下册已经学会了在具体的情境中，根据行、列确定物体的位置,

并通过四年级下册位置与方向的学习进一步认识了在平面内可以通过两个条件

确定物体的位置。本单元在此基础上，让学生学习在具体情境中用数对表示物体

的位置或在方格纸上用数对确定位置，进一步提升学生的已有经验，培养学生的

空间观念，为第三学段学习“图形与坐标”的内容打下基础。

本单元共安排了两个例题。

例1(用数对确定教室里的座位的位置)

结合生活实例引出数对，使学生体会用数对可以准确、简洁地表示物体的位

置。

在呈现确定多媒体教室中学生的座位这个情景时，有两个问题：(1)通过让

学生找出哪个是张亮，明确“列”“行”的含义及确定第几列、第几行的一般规

则。(2)给出了用数对表示张亮同学位置的方法，并通过表示王艳、赵强的位置,

比较有什么不同，强调有序数对中两个数顺序的重要性。

教学时，应使学生明确：

(1)“列”“行”的含义及确定第几列、第几行的一般规则：先说列，再说

行；再从左往右数列，从下往上数行。这样就与在平面直角坐标系上表示一个点

的位置是一致的。

(2)用数对如何表示位置。

(3)两个数的顺序不能随意调换。

做一做

让学生举出一些生活中用数对确定物体位置的例子，如电影院座位、队列、

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书架、楼房房间号等等。本单元最后“生活中的数学”介绍了围棋棋盘用19条

纵线19条横线确定围棋棋子的位置、用经度和纬度确定地球上某一地点的位置

的例子。使学生认识到生活中用有序数对表示位置的情况很常见。

例2(教学在方格纸上用数对表示一个物体的位置)

与例1的区别：

把具体环境中的物体的位置关系，在方格纸上表示出来，也就是在方格纸上

画出物体的平面示意图，这时物体用一个点代替。

具体化编排：

(1)把动物园的各场馆的位置画在方格纸上。

(2)两个学生对话给出用数对表示位置的方法。

(3)下面两个问题从正反两方面掌握在方格纸上表示物体位置的方法。

四、教学建议

L注意提升学生已有的确定物体位置的知识经验。

2.注意知识的综合性。

3.准确把握教学要求。

本单元只要求学生会用数对表示物体的位置，既可以是具体情境中的位置，

也可以是方格纸上点的位置。不用区分它们有什么不同。

六上第二单元分数乘法

一、教学内容

本单元教学内容包括三部分内容：分数乘法、解决问题和倒数。

二、教学目标

1.理解分数乘法的意义，掌握分数乘法的计算方法，会进行分数乘法计算。

2.理解乘法运算定律对于分数乘法同样适用，并会应用这些运算定律进行

一些简便计算。

3.理解倒数的意义，掌握求倒数的方法。

4.会运用分数乘法解决一些简单的实际问题，体会数学与日常生活的联系。

三、具体编排

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H分效乘法I--1分数柒分数I

承但加螂到

分1

itr求-■个数的几分之几是多少的丽

取--1解决问题卜」稍复杂的求一个数的几分之几是多少的问题।

法

1.分数乘法(安排了6个例题)

分三个层次进行教学。

第一个层次学习分数乘整数，在整数乘法和分数加法的基础上学习。

第二个层次学习分数乘分数，在理解分数乘法意义的基础上，通过操作去理

解和学习。通过这两个层次的学习帮助学生理解并掌握分数乘法的计算方法。

第三个层次学习混合运算的内容,使学生理解整数乘法运算定律与运算顺序

对分数运算同样适用，并会运用乘法运算定律进行分数的简便计算。

例1(教学分数乘整数)

从分数乘整数引入分数乘法教学，帮助学生理解分数乘整数的意义及算理,

掌握计算方法。从人的步距与袋鼠步距的比较这样一个实际问题引入。分四个步

骤安排教学内容。

(1)给出信息，提出问题。

(2)用线段图帮助学生理解题意，使学生明确：求人跑3步的距离是袋鼠

跳一下的几分之几，实际上是求3个为探究计算方法做好准备。

(3)探究计算方法。

先出示加法计算，是同分母分数相加，属已学过的内容。

再出示乘法计算，根据乘法的意义，将乘式转化为加法算式计算：分母不变,

分子相加。再根据乘法的意义，将同分子连加的形式转化为乘式，得出分数乘整

数的计算方法：分母不变，分子与整数相乘的积作分子。

(4)讨论归纳分数乘整数的计算方法。

例2(说明分数乘整数，为了计算简便能约分的要先约分再计算)

在学生掌握分数乘整数的计算方法基础上，使学生进一步了解乘得的积一般

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应该化成最简分数。把积化为最简分数有两种处理方法，一是将乘得的积的分子

与分母约分，另一种方法是在乘的过程中将分数的分母与整数进行约分。教材突

出第二种方法，说明能约分的先约分再计算可以使计算简便。

例3（教学分数乘分数）

分数乘分数的算理较难理解，所以本例通过直观操作，帮助学生理解算理。

分两个层次教学，先解决求一个数的几分之一的问题，再解决求一个数的几分之

几是多少的问题。（具体说明）

解决第一个问题：,小时粉刷这面墙的几分之几？可分两步操作。第一步

4

把一张长方形的纸片看作一面墙，先涂出1小时粉刷的面积，即这面墙的（，第

二步再涂出2小时粉刷这面墙的面积，即1的1,直观得出工的L是-1。在此

4545420

基础上，根据操作的过程和结果推导出计算方法。

第二个问题：三a小时粉刷多少？让学生用前面的方法涂色、推导与计算，

4

自主解决问题。

在此基础上以学生讨论的形式得出分数乘分数的计算方法。

例4（说明分数乘分数应先约分再乘）

通过计算，使学生明确分数乘分数计算也应该先约分再乘，这样计算比较简

便。

这里还提出了分数乘整数的计算方法，除了像例2那样写成”后进行约

分，也可以把分数的分母与整数直接约分。把分数乘法的两种形式集中呈现，加

强对比与联系。

例5:教学整数乘法运算定律推广到分数。

通过观察计算得出“整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也

同样适用”。

例6（乘法运算定律的应用）

结合具体计算，说明乘法运算定律在分数乘法计算中的应用。

“做一做”安排运用运算定律进行分数乘法的简便计算。

2.解决问题

教材共安排3个例题，分2个层次教学。

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例1教学解答求一个数的几分之几是多少的问题；

例2、例3教学稍复杂的求一个数的几分之几是多少的问题。

例1（教学求一个数的几分之几是多少的问题）

以中国人均耕地面积与世界人均耕地面积这两个量的比较引入。

用线段图表示出问题的数量关系和要求的问题，用“想”这种形式来提示学

生根据线段图思考解决问题的思路，由于是“我国人均耕地面积”与“世界人均

耕地面积”相比较，其中“世界人均耕地面积”是表示单位“1”的量，知道世

界人均耕地面积为2500m\求我国人均耕地面积就是求2500的:是多少。最后

列式计算解决问题。

最后针对计算的结果进行国情教育。

“做一做”安排一道与例题相同类型的题目，以巩固这类问题的解决思路与

方法。

例2（稍复杂的求一个数的几分之几是多少的问题）

这是一个数量与它的部分量的比较关系，即知道一个部分量是总量的几分之

几，求另一个部分量的问题。

教材选取了绿化造林可以降低噪音这一环保题材，出示一幅情景图：公路上

汽车的噪音有80分贝，在绿化隔离带后面，噪音降低了提出问题：人现在

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听到的声音是多少分贝？

解答一般有两种方法，一种是先求出已知是总量几分之几的部分量，再用总

量减去这个部分量，求出另一个部分量。教材用线段图表示出数量关系及解题的

两个步骤，并以学生叙述解决思路的方式提示出先求什么。然后列出算式，让学

生求出结果。

另一种是先求出要求的部分量占总量的几分之几，再根据分数乘法的意义求

出这个部分量是多少。教材仅出示线段图，提示要找出先求什么，没有给出解答

算式，意图要求学生自主探索解决问题。

最后要求学生对两种思路进行比莪，目的是通过比较，加深对两种思考方法

的认识，同时培养学生比较、归纳的能力。

例3（稍复杂的求一个数的几分之几是多少的问题）

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这是两个数量的比较关系，即已知一个数量比另一个数量多（少）几分之几,

求这个数量。

教材以人心脏跳动次数为素材引入例题。

其中“婴儿每分钟心跳的次数比青少年多是解题的关键。教材由小精灵

提出“婴儿每分钟心跳的次数比青少年多［表示什么意思？”让学生理解其含义。

这句话可以转化为“婴儿每分钟比青少年多跳的次数是青少年每分钟心跳次数的

2。”理解了这句话，就应该知道把什么看作单位“1”，就容易理解数量关系了，

接着教材还是利用线段图帮助理解数量关系。

这题也有两种解答方法，教材只出现一种，另一种方法教材没有出示，只是

用“想一想，还有其他的方法吗”提示让学生结合例2的学习自己想出。

3.倒数的认识

这部分内容是在学习了分数乘法的基础上教学的，主要为后面学习分数除法

做准备。

安排了2个例题，分别教学倒数的意义和求倒数的方法。

例1（教学倒数的含义）

编排了几组乘积为1的乘法算式，通过学生观察、讨论等活动，找出它们的

共同特点，导出倒数的定义。

要让学生理解“互为倒数”的含义，即倒数是表示两个数之间的关系，这两

个数是相互依存的，倒数不能单独存在。如“不能说（是倒数”。

可以让学生根据对倒数意义的理解，说出几组倒数，看学生是否真正理解和

掌握。

例2（教学求倒数的方法）

教材先安排找倒数的活动，从而初步体验找倒数的方法：调换分子、分母的

位置。

在总结求倒数的方法时，要分三种情况：

一般求一个分数的倒数是交换分数的分子、分母的位置；

求整数的倒数是把整数看作分母是1的分数，再交换分子和分母的位置。

1和。的倒数的问题，让学生思考讨论得到结论。

15

在讨论的基础上归纳：根据倒数的意义，因为IX1=1,所以1的倒数是1；

因为。与任何数相乘都是0,所以。没有倒数。

四、教学建议

1.注意相关的已有知识的复习。

本单元各部分知识都与前面的知识有密切的联系。

2.加强分数乘法的意义的教学。

对分数乘法的意义理解不仅是理解分数乘分数算理的关键，而且是求一个数

的几分之几是多少的基础。因此一定要重视分数乘法意义的教学。

3.借助多种方式帮助学生学会分析数量关系的方法。

本单元的解决问题是由乘法意义的扩展产生的，数量关系比较特殊，借助多

种方式帮助学生学会分析数量关系的方法。

六上第三单元分数除法

一、教学内容

主要内容包括：分数除法的意义与计算；分数除法的应用；比的意义与基本

性质，求比值与化简比，以及比的应用。

二、教学目标

1.理解分数除法的意义，掌握分数除法的计算方法，会进行分数除法计算。

2.会用方程或算术方法解答已知一个数的几分之几是多少求这个数的实际

问题。

3.理解比的意义，知道比与分数、除法的关系，并能类推出比的基本性质。

能够正确地化简比和求比值。

4.能运用比的知识解决有关的实际问题。

三、具体编排

16

第3节|比利比的应丽

|1~4例1,化蔺比I

――的应用］-------［洌2,校比例分司

1.分数除法

例1（教学分数除法的意义）

教材采用了整数与分数对比，乘法与除法对比的方式，揭示出分数除法的意

义与整数除法的意义相同。

首先由整数乘法的实际例子“每盒水果糖重100g,3盒有多重？”引入整数

乘法，同时改编成用除法计算的问题，得出两个相应的除法算式。然后将其中的

100g改成J_kg,引出一个分数乘法算式和两个分数除法算式。使学生看到这些

问题无论涉及整数还是分数，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个

因数的运算。

“做一做”让学生根据已知的分数乘法算式，直接写出两个相应除法算式

的商，旨在通过练习，巩固对分数除法意义的认识。

例2（教学分数除以整数）

通过折纸帮助学生理解算理。分两个层次教学，先解决分子能被整数整除的

特殊情况，即把一张纸的㊀平均分成2份，看每份是这张纸的几分之几？再引出

分子不能被整数整除的一般情况：把这张纸的色平均分成3份，看每份是这张纸

的几分之几？让学生经历由特殊到一般的过程，由此体会到用整数去除分数的分

子的方法不是总能计算出得数，通常可以转化成乘这个整数的倒数，进一步渗透

转化的数学思想。在此基础上让学生概括出分数除以整数的方法。

例3（教学分数除以分数）

例题以比较小明、小红两位同学“谁走得快些”引出两种情况。

17

首先列式的依据是“路程+时间=速度”的数量关系，与以前不同的是路程、

时间由整数换成了分数。由于学生对解决“谁走得快些”这类问题比较熟悉，所

以由原来学习的整数除法算式，类推出分数除法算式不会感到困难。因而有利于

集中精力投入计算方法的探索与理解。

其中计算小明平均每小时走的路程“2+：”是探索的重点。教材采用画线

段图的直观方式展现推算的思路：

711

已知士小时走了2km,可以先求出上小时走了1km,算式是2x±;再求1小

332

时即3个1小时走了多少千米，算式是2x^x3。

32

由于数据简单，便于口算，整个推算过程处在学生思维能力的最近发展区内,

加上线段图的直观效果，因此降低了学生探究算法、理解算理的难度。

找到了整数除以分数的计算方法，就可以依次类推，再来解决分数除以分数

的计算，即通过之+3,求出小红平均每小时走的路程。

612

最后教材以小精灵提问的方式，引导学生总结分数除法的一般方法，并启发

学生用自己的方式加以表示。

例4（分数除法的混合运算）

以小红剪彩带做花送同学为题材，通过解决实际问题，引出涉及分数除法的

混合运算，使学生看到已经掌握的混合运算顺序，同样适用于分数运算。

2.解决问题

例1（已知一个数的几分之几是多少，求这个数）

“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”有两种情况：一种是是部分与

整体之间的关系，可以在一条线段上表示；另一种是两个数量之间的关系，需要

画出两条线段加以表示。它们是同一种数量关系，教材把它们放在同一题里，用

同一个问题情境串联起来，比较自然，便于展开教学，也便于学生理解。

教材以人体中水分与体重的关系为素材，引出问题。教材以插图的形式给出

条件，图中医生介绍人体中水分与体重的关系。小明讲出两个已知条件。进而分

别提出求小明、爸爸体重的两个问题。这里“成人体内的水分约占体重的

是一个多余条件，需要学生通过审题、分析加以识别。由于在现实生活中，解决

问题所需的条件，往往需要我们从各种信息里筛选出来，所以像例1这样有多余

18

条件的问题情境，比较接近真实情况，有利于培养学生的信息识别能力。

为了帮助学生分析、理解数量关系，教材分别画出了线段图。可分步出示条

件和问题。通过对比让学生看到用方程解的优势。

例2（教学稍复杂的已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题）

由学校兴趣小组为题材，引出“稍复杂的已知一个数的几分之几是多少，求

这个数”的问题。以对话方式给出条件，再给出问题。

为了帮助学生思考，教材提示“先画线段图看看”，并给出了完整的图示，

为学生分析、理解等量关系提供直观支柱。然后由图得出等量关系，并据此列方

程解答。

解决这种数量关系的问题，可以列成形如（1+与%=。的方程，也可以列成形

a

如7+2%=c的方程，前者仍然要经历从“多几分之几”到“是几分之几”的转

a

化，实际上是方程的形式，算术的思路。后者只要根据一个数加上增加部分等于

增加后的数，就能列出方程。这样的等量关系，学生容易理解。因此，教材选择

最简捷的思路，给出解题的全过程。

3.比和比的应用

这部分内容过去是安排在小学最后阶段进行教学。由于比与分数有密切联

系，把比的基础知识提前安排在分数除法单元中教学，既能加强知识间的内在联

系，又可为以后学习比例、圆周率、百分数及其他方面的知识打下较好的基础。

本节教材分成三段。

比的意义

传统的算术教材在讲比的意义时，只强调比的一种情况，即两个同类量的倍

数关系。但在实际应用中，经常要用到比的另一种情况，如路程和时间的比（速

度），质量和体积的比（密度）等。所以现在的小学数学教材，既讲同类量的比,

又讲不同类量的比。当然，不同类的量相比，有关联的才行。这样，小学生进入

中学后就便于理解物理等学科中经常出现的不同类量的比。

教材选取我国第一艘载人飞船的有关内容作为引入比的载体,通过这一富有

时代性的情节内容，引出同类量的比（介绍飞船里的两面长方形小旗，给出真实

数据，引导学生讨论长与宽的倍数关系，得到长度相除的两个算式，由此引出同

类量的比）、非同类量的比（介绍飞船的运行路程与时间，让学生用除法表示飞

19

船进入轨道后的速度，由此引出非同类量的比）。在此基础上概括比的意义。

接着以这几个比为例，说明比的读、写及比的各部分名称，并计算出其中一

个比的比值，说明“比值通常用分数表示”。

然后根据分数与除法的关系，说明比也可以写成分数形式。最后，由小精灵

提出问题，引导学生联系比与除法、分数的关系，同时思考比的后项可不可以为

0.

做一做

第1题是根据条件和要求写出比并求比值的练习，用以巩固比的概念

第2题是求未知的前项或后项的练习，旨在通过求比的未知项，从另一侧面

理解比与除法的关系

比的基本性质

在比较两个量的关系时，可以把除法、比、分数看作是形式的不同，它们可

以互相转化。比的基本性质可由商不变的性质和分数的基本性质导出。

教材先让学生回顾商不变的性质和分数的基本性质，再启发学生联系比和除

法、分数关系，思考：“比中有什么样的规律？”教材先利用比和除法的关系进

行研究，然后让学生根据比和分数的关系来研究，在此基础上概括出比的基本性

质。也可先猜测后验证。

作为比的基本性质的直接应用，例1教学化简比。例1有两道题。第（1）

题，化简整数比。仍采用“神舟五号”有关旗的题材，但讨论的是两面一大一小

的联合国旗。题目已知两面旗的长和宽，要求这两面旗长和宽的最简单的整数比。

这里的两个答案相同，渗透了两面旗按比例缩小的相似变换思想，同时也便于学

生感悟化简的必要性，即能使数量关系更加简单明了。选取这一素材，既有思想

性、趣味性，且数据真实，又有数学内涵。

第（2）题化简分数、小数比。让学生结合具体例子总结：当一个比不是整

数比时，如何化简比。

比的应用

在小学数学中，比的应用主要有两个内容，即比例尺和按比例分配。由于比

例尺与比例的联系更多一些，且《标准》把比例尺归入空间与图形领域中，因此

留在后面教学，这里只教学怎样解答按比例分配的实际问题。

20

教材通过例2,以清洁剂浓缩液的稀释为例，提出问题，引导学生把一个数

量按照已知的比分成两部分。

例2创设了一个日常生活中比较常见的稀释清洁剂浓缩液的问题情境。教材

首先通过一段文字说明稀释瓶上用不同颜色条形标明的比的含义，使学生了解按

比配制的实际意义。然后由阿姨说明稀释的配制要求，并提出问题，再由两个同

学讨论算法，引导学生思考。这里介绍了两种解法。一种是先求出每份是多少，

再求几份是多少。即转化为整数的除法、乘法来解决。另一种是把比转化成每种

成份占总数的几分之几，变成求一个数的几分之几是多少，用分数乘法来解决。

做一做的第2题，教学把一个数量按照已知的比分成三部分的问题。

黄金比

ACB

在线段AB上，点C把线段AB分成两段AC和BC,如果生=.，那么称

ABAC

线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金

比，即

ACV5-1

«0.618o

AB2

黄金分割具有艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。例如五角星是非常

美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是因为在

五角星中线段之间的长度关系符合黄金分割比。又如舞台上的报幕员以站在舞台

长度的黄金分割点最美观，声音传播的最好。

黄金比的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且

在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。

四、教学建议

1.注意相关知识的复习。

本单元很多内容都与前面的知识有密切的联系，教学时，应当充分利用学生

原有的知识基础，学习新内容。

2.让学生感悟相关知识的联系和区别。

如分数乘除法解决问题，求比值、化简比，比和除法、分数之间的关系等。

21

六上第四单元圆

一、教学内容

本单元主要内容：认识圆、圆的周长和圆的面积。

二、教学目标

1.认识圆，掌握圆的基本特征，理解直径与半径的相互关系；学会用圆规

画圆。

2.理解圆周率的意义，掌握圆周率的近似值，理解和掌握圆的周长与面积

的计算公式，并能正确地计算圆的周长与面积。

三、具体编排

主题图

主题图呈现了城市广场的生活场景，里面包含了很多圆形的物体，如喷水池、

花坛、车轮等等，从而说明圆在生活中随处可见，应用非常广泛。

教学时，可以把主题图作为认识圆的起点来讲授，如可把主题图制成多媒体

课件，然后点击凸现其中的圆形物体，让学生利用圆的基本特性（如易滚动、外

形美观等）来理解这些物体设计成圆形的道理；也可结合后面圆的周长和面积的

计算穿插进行教学，如车轮、花坛的周长，喷水池的面积等，都可以作为后面相

关教学内容的素材。

1.认识圆

主要教学认识圆的各部分名称、用圆规画圆以及圆的轴对称性等内容。安排

了3个例题。

例1（用一般物体画圆）

让学生想办法在纸上画圆，直观感受圆的曲线特征，并且画出的圆可以作为

认识圆的学具。

教学时，学生也可能会提出用圆规画圆的方法，教师不用回避，说明这种方

法将在后面学习。

例2（认识圆、用圆规画圆）

认识圆，主要认识圆的各部分名称及特征。圆的各部分名称及特征不是直接

告诉学生，而主要是通过操作活动来认识的。

首先让学生将画好的圆反复对折，发现折痕相交于一点，引出圆心。由圆心

22

出发，定义半径和直径。然后让学生探索出在同一个圆内，半径和直径的特征及

关系。通过画和测量等活动，学生发现：同一个圆内，半径和直径都有无数条。

同一圆内所有的半径都相等，所有的直径也都相等，并且半径的长度是直径的

2

用圆规画圆：呈现了三个学生画圆的情境，以对话的形式给出了画圆的三个

步骤，每个学生说出一个步骤。

做一做

第3题，让学生找出圆的圆心和直径，由于这两个圆都是画在纸上的无法通

过折叠的方法来确定，所以较难。可以引导学生借助正方形的对称性来找圆心，

只要连接正方形的对角线即可。

第4题，主要说明圆形物体具有易滚动这一特性，故车轮常做成圆形的，而

车轴之所以装在圆心的位置，则是因为圆心到圆上任意一点的距离都相等，故只

有把车轴装在圆心处，当车轮滚动时方可使行进的车辆保持平稳状态。

例3（认识圆是轴对称图形）

教材结合前面所学的轴对称图形，说明长方形、正方形和圆等都是对称图形,

都有对称轴，引出轴对称图形的概念。

通过例3,让学生在给出的两个圆内画对称轴，看能发现什么。认识到圆是

轴对称图形，且有无数条对称轴。

2.圆的周长

圆的周长

引出圆的周长。

教材呈现了一个学生绕圆形花坛骑车的情境，提出问题：“自行车绕圆形花

坛骑一圈大约有多少米？”让学生思考求的是什么？引出圆的周长概念。使学生

明确：围成圆一周的长度是周长。

测量圆的周长。

接着让学生思考：如何求一个圆的周长。由于三年级学生已经学过周长的概

念，知道怎么测量一个一般图形的周长，可以自己完成这个任务。如用一根绳子

或纸条绕圆一周，再来测量这段绳子或纸条的长度，也可以在圆形硬纸板上做个

记号，与直尺的。刻度对齐，在直尺上滚动一周，直接测量出圆的周长。

探究周长与直径的关系。

23

上面测量圆的周长的方法存在一定的局限性，例如，当圆很大的时候，就不

具有操作性了。因此，需要寻找一个一般化的方法来求圆的周长。

在此基础上，教材为学生直接指明了研究的方向，即通过测量不同大小的圆

的周长和直径，计算出周长和直径的比值，发现比值是一个固定值，从而引出圆

周率的概念，并总结出圆的周长计算公式。

你知道吗

教材通过介绍了圆周率的一些历史材料，特别指出了我国古代数学家祖冲之

在这方面的伟大成就。

例1（圆的周长的计算）

圆的周长计算情况。

关于圆的周长的计算公式的应用有多种情况：已知圆的半径或直径求圆的周

长，或者已知圆的周长求圆的半径或直径。教材安排例1教学知道直径求周长的

情况，其他一些情况，如已知半径求周长或已知周长求直径或半径，则安排在练

习中让学生计算。

例1具体编排。

设计了两个问题，一是计算圆形花坛的周长，二是计算小自行车绕花坛一周

车轮大约转动多少周。第二个问题要先计算出小自行车车轮的周长，再用圆形花

坛的周长一小自行车车轮的周长。都是知道直径求周长。

3.圆的面积

探索圆的面积公式

引出圆面积。

呈现工人在圆形草坪上铺草皮的情境，提出问题“这个圆形草坪的占地面积

是多少平方米？”一方面引出圆的面积，使学生了解圆的面积的含义，另一方面,

使学生体会计算圆面积的必要性。

推导圆的面积计算公式。

教材直接提出问题“怎样计算一个圆的面积呢？”直接提示学生思考能否把

圆转化成已学的图形来计算面积。

教材采用实验的方法，指导学生把圆分割成若干等份（偶数份，如16等份、

32等份），再拼成一个近似的长方形。使学生看到分的份数越多，拼得的图形就

24

越接近于长方形。

引导学生把长方形的长与宽跟原来的圆的周长、半径进行比较，并通过填空

独立完成圆面积计算公式的推导过程。最后概括出圆的面积计算公式。

例1（圆的面积计算）

利用圆的面积计算公式，计算圆形花坛的面积。这里是给出直径求面积，其

他情况安排在练习中。

例2（圆环面积的计算）

以求光盘环形部分的面积为例，教学如何利用圆的面积计算公式求圆环的面

积。使学生理解求圆环的面积是用外圆面积减去内圆面积。

教材给出了两种算法。两种算法可以通过乘法分配律沟通，学生能够发现这

两种算法的一致性。

四、教学建议

1.结合生活实际体会圆的特征。

圆在生活中有广泛的应用，可以结合生活实际体会圆的特征。使学生感受到

圆在生活中的应用，同时加深对圆的特征的认识，同时可以培养学生运用数学知

识解决实际问题的意识。

2.加强动手操作，培养学生自主探索能力。

教材里安排了很多活动让学生探究圆的基本特征，故实际教学时，教师应注

意让学生动手操作，通过画一画、剪一剪、围一围等多种方式，帮助学生认识圆

的基本特征，探讨圆的周长和面积计算公式。

比如在探索圆的面积时，教师可利用书中的附页或备好的学具，引导学生动

手剪切、拼贴，从而“化圆为方”，得出圆面积的计算方法。

实际教学时，教师不应把学生的动手操作简单地作为活动目的，而应合理引

导学生在操作的基础上，自主探索和发现圆的有关特性。

3.注意让学生感悟“化曲为直”“化圆为方”的转化思想。

本单元除了让学生掌握圆的周长和面积的计算公式外，更重要的是在推导过

程中要让学生了解研究曲线图形的基本方法。

“化曲为直”“化圆为方”的方法主要体现在圆周率的计算、圆面积计算公

式的推导上。

25

六上综合应用：确定起跑线

综合应用“确定起跑线”是在学生掌握了圆的概念和周长等知识的基础上设

计的。通过该活动一方面让学生了解椭圆形田径场跑道的结构，学会确定跑道起

跑线的方法；另一方面让学生切实体会到数学在体育等领域的广泛应用。

“确定起跑线”活动由以下四个部分组成。

1.提出研究的问题。

教材呈现了400m椭圆形跑道的一部分，跑道上有一些同学站在起跑线上正

准备起跑，教材开门见山地提出问题，引起学生对起跑线位置的关注和思考。

经过小组同学共同讨论，达成共识：“终点相同，但每条跑道的长度不同，

如果在同一条起跑线上，外圈的同学跑的距离长，所以外圈跑道的起跑线位置应

该往前移”。

在此认知基础上，教材紧接着引申出进一步研究的问题“各条跑道的起跑线

应该相差多少米”，即如何确定每条跑道的起跑线。

2.收集数据。

教材第75页第二幅图中呈现了小组同学测量有关数据的场景，旨在帮助学

生了解400m跑道的结构以及各部分的数据。

由于不同田径场的规格可能有所不同，而且进行实地测量需要花费较多的时

间，同时测量还可能会产生误差，因而实际教学时不必要求学生实际测量。只要

通过该图让学生明确相关的数据是通过测量获得的即可，具体的数据则可以配合

图片、投影片等相应形式给出。老师还可就半圆形跑道的直径在此是如何规定的，

以及跑道线的宽在这里忽略不计等问题向学生作一具体说明。

3.整理数据，确定思路。

学生对已获得的数据进行整理，通过适宜的方式呈现数据，使学生明确：（1）

每圈跑道的长度等于两个半圆形跑道合成的圆的周长加上两个直道的长度。（2）

两个半圆形跑道合在一起就是一个圆。（3）各条跑道直道长度相同。要确定跑道

的起跑线，只要算出每相邻两条跑道的长度差就可以了。

4.进行计算，得出结论。

在学生明确解决问题的思路和方法后，教材在第四幅图中给出了一张表格，

26

通过让学生分别计算各条跑道的半圆形跑道的直径、两个半圆形跑道的周长以及

跑道的全长，从而计算出相邻跑道长度之差，确定每条跑道的起跑线。在此，可

以向学生说明：理论上相邻跑道之间的长度差是相同的2.57T,由于7T的取值造

成了有的相邻跑道之间的差是7.85m,有的是7.86m,。在确定起跑线时，可以根

据计算结果来确定。

最后，为了