湖南省长沙市开福区长沙市第一中学2025届高一下数学期末学业水平测试模拟试题含解析

湖南省长沙市开福区长沙市第一中学2025届高一下数学期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数，且此函数的图象如图所示，由点的坐标是（）A． B． C． D．2．已知数列的前项和为，若，对任意的正整数均成立，则（）A．162 B．54 C．32 D．163．数列中，，且，则数列前2019项和为（）A． B． C． D．4．若展开式中的系数为-20，则等于（）A．-1 B． C．-2 D．5．已知，则的值等于()A． B． C． D．6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则B为（）A． B．或 C． D．或7．若关于x的方程sinx+cosx-2A．(2,94] B．[2,58．在中，角的对边分别为，且，，，则的周长为（）A． B． C． D．9．已知平面向量，，，，在下列命题中：①存在唯一的实数，使得；②为单位向量，且，则；③；④与共线，与共线，则与共线；⑤若且，则.正确命题的序号是()A．①④⑤ B．②③④ C．①⑤ D．②③10．平面平面，直线，，那么直线与直线的位置关系一定是（）A．平行 B．异面 C．垂直 D．不相交二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若，则__________.（结果用反三角函数表示）12．在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________.13．若锐角满足则______.14．数列的前项和为，，且（），记，则的值是________.15．已知数列满足，则__________.16．在轴上有一点，点到点与点的距离相等，则点坐标为____________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．解下列三角方程：（1）；（2）.18．已知点．（1）求中边上的高所在直线的方程；（2）求过三点的圆的方程．19．已知直线的方程为．（1）求直线所过定点的坐标；（2）当时，求点关于直线的对称点的坐标；（3）为使直线不过第四象限，求实数的取值范围．20．已知数列an满足an+1=2an（1）求证:数列bn（2）求数列an的前n项和为S21．已知数列满足：（1）设数列满足，求的前项和：（2）证明数列是等差数列，并求其通项公式；

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

先由函数图象与轴的相邻两个交点确定该函数的最小正周期，并利用周期公式求出的值，再将点代入函数解析式，并结合函数在该点附近的单调性求出的值，即可得出答案。【详解】解：由图象可得函数的周期∴，得，将代入可得，∴（注意此点位于函数减区间上）∴由可得，∴点的坐标是，故选：B．【点睛】本题考查利用图象求三角函数的解析式，其步骤如下：①求、：，；②求：利用一些关键点求出最小正周期，再由公式求出；③求：代入关键点求出初相，如果代对称中心点要注意附近的单调性。2、B【解析】

由，得到数列表示公比为3的等比数列，求得，进而利用，即可求解.【详解】由，可得，所以数列表示公比为3的等比数列，又由，，得，解得，所以，所以故选B.【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，以及数列中与之间的关系，其中解答中熟记等比数列的定义和与之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3、B【解析】

由，可得，化为：，利用“累加求和”方法可得，再利用裂项求和法即可得解．【详解】解：∵，∴，整理得：，∴，又∴，可得：．则数列前2019项和为：．故选B．【点睛】本题主要考查了数列递推关系、“累加求和”方法、裂项求和，考查了推理能力、转化能力与计算能力，属于中档题．4、A【解析】由，可得将选项中的数值代入验证可得，符合题意，故选A.5、D【解析】，所以，则，故选择D.6、C【解析】

根据正弦定理得到，再根据知，得到答案.【详解】根据正弦定理：，即，根据知，故.故选：.【点睛】本题考查了根据正弦定理求角度，多解是容易发生的错误.7、D【解析】

换元设t=sinx+cos【详解】sinx+cosx-2sint=sinx+cosa=t-如图：数a的取值范围为[2,故答案选D【点睛】本题考查了换元法，参数分离，函数图像，参数分离和换元法可以简化运算，是解题的关键.8、C【解析】

根据，得到，利用余弦定理，得到关于的方程，从而得到的值，得到的周长.【详解】在中，由正弦定理因为，所以因为，，所以由余弦定理得即，解得，所以所以的周长为.故选C.【点睛】本题考查正弦定理的角化边，余弦定理解三角形，属于简单题.9、D【解析】

分别根据向量的平行、模、数量积即可解决。【详解】当为零向量时不满足，①错；当为零向量时④错，对于⑤：两个向量相乘，等于模相乘再乘以夹角的余弦值，与有可能夹角不一样或者的模不一样，两个向量相等要保证方向、模都相同才可以，因此选择D【点睛】本题主要考查了向量的共线，零向量。属于基础题。10、D【解析】

利用空间中线线、线面、面面的位置关系得出直线与直线没有公共点.【详解】由题平面平面，直线，则直线与直线的位置关系平行或异面，即两直线没有公共点，不相交.故选D.【点睛】本题考查空间中两条直线的位置关系，属于简单题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、；【解析】

由条件利用反三角函数的定义和性质即可求解.【详解】，则，故答案为：【点睛】本题考查了反三角函数的定义和性质，属于基础题.12、【解析】

假设正方体棱长，根据//，得到异面直线与所成角，计算，可得结果.【详解】假设正方体棱长为1，因为//，所以异面直线与所成角即与所成角则角为如图，所以故答案为：【点睛】本题考查异面直线所成的角，属基础题.13、【解析】

由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，利用两角差的余弦公式即可计算得解．【详解】、为锐角，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14、3【解析】

由已知条件推导出是首项为，公比为的等比数列，由此能求出的值.【详解】解：因为数列的前项和为，，且（），，.即，.是首项为，公比为的等比数列，故答案为：【点睛】本题考查数列的前项和的求法，解题时要注意等比数列的性质的合理应用，属于中档题.15、【解析】

数列为以为首项，1为公差的等差数列。【详解】因为所以又所以数列为以为首项，1为公差的等差数列。所以所以故填【点睛】本题考查等差数列，属于基础题。16、【解析】

设点的坐标，根据空间两点距离公式列方程求解.【详解】由题：设，点到点与点的距离相等，所以，，，解得：，所以点的坐标为.故答案为：【点睛】此题考查空间之间坐标系中两点的距离公式，根据公式列方程求解点的坐标，关键在于准确辨析正确计算.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）或.【解析】

（1）先将等式变形为，并利用两角和的余弦公式得出，即可得出，即可得出该方程的解；（2）由，将该方程变形为，求出的值，即可求出该方程的解.【详解】（1），，即，，解得；（2），整理得，即，，得或，解得；解，得.因此，原方程的解为或.【点睛】本题考查三角方程的求解，对等式进行化简变形是计算的关键，考查运算求解能力，属于中等题.18、（1）；（2）【解析】

（1）边上的高所在直线方程斜率与边所在直线的方程斜率之积为-1，可求出高所在直线的斜率，代入即可求出高所在直线的方程。（2）设圆的一般方程为，代入即可求得圆的方程。【详解】（1）因为所在直线的斜率为，所以边上的高所在直线的斜率为所以边上的高所在直线的方程为，即（2）设所求圆的方程为因为在所求的圆上，故有所以所求圆的方程为【点睛】（1）求直线方程一般通过直线点斜式方程求解，即知道点和斜率。（2）圆的一般方程为，三个未知数三个点代入即可。19、（1）；（2）；（3）【解析】

（1）把直线化简为，所以直线过定点（1，1）；（2）设B点坐标为，利用轴对称的性质列方程可以解得；（3）把直线化简为，由直线不过第四象限，得，解出即可．【详解】（1）直线的方程化简为，点满足方程，故直线所过定点的坐标为．（2）当时，直线的方程为，设点的坐标为，列方程组解得：，，故点关于直线的对称点的坐标为，（3）把直线方程化简为，由直线不过第四象限，得，解得，即的取值范围是．【点睛】本题考查直线方程过定点，以及点关于直线对称的问题，直线斜截式方程的应用，属于基础题．20、(1)证明见解析；(2)S【解析】

（1）计算得到bn+1bn（2）根据（1）知an【详解】(1)因为bn+1b所以数列bn(2)因为bn=aSn【点睛】本题考查了等比数列