小学奥数汇编教材 第七讲 行程综合（一）

特级教师小学奥数汇编教材

第七讲行程综合（一）

溥【专题知识点概述】

我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程

问题.在对小学数学的学习中，我们已经接触过一些简单的行程应用题，行程问

题主要涉及时间（t）、速度（V）和路程（S）这三个基本量，它们之间的关系如

下：

（1）速度X时间=路程可简彳己为：S=vt

（2）路程+速度=时间可简记为:t=s：v

（3）路程+时间=速度可简己为：v=s+t

「【授课批注】

解行程问题得抓住不变量或相等量，最常见的相等量是时间相等。相遇、追及、钟表等等

绝大部分行程问题都是建立在等时性下的运算，特别是用比例解行程问题更是如此。

V7

一、相遇问题.

假设甲乙分别从A,B两地出发相向而行，速度分别为唯和史，A,B两地相

距S,甲乙经过时间t后相遇，那么我们可以明显的看出，在时间t内，甲乙共

同走了一个A,B全长，即甲乙的路程之和为S.

那么我们分别利用公式表示甲乙两人在时间t内所走的路程：

5甲=%3*/,坛乙X.,那么路程的和S=S甲+S乙甲X'+V乙x'=（%+v乙）X/

所以我们得到了相遇问题中最重要的结论

速度和X相遇时间=路程和

二、追击问题

与相遇问题类似的一个问题便是追击问题

假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点（0米）处，乙位于中间

5米处，经过时间t后甲乙同时到达终点，甲乙的速度分别为叫和吃，那

么我们可以看到经过时间t后，甲比乙多跑了5米，或者可以说，在时间t

内甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间t追了乙5米

由S甲=%aX/S乙=丫乙义1S甲一S乙乙Xf=（v甲一V乙）xf=5米

由此我们可以得到追击问题的一个重栗结论：

速度差X追及时间=路程差

三、多人多次相遇追击问题

多人相遇与追击问题往往是将几个“两人之间的相遇与追击问题”结合

在了一起，这就首先栗求同学们对前一讲中的两人相遇与追击问题的知识

方法和分析技巧掌握的扎扎实实。在这个基础之上，解决多人多次相遇与

追击问题的关键是看我们是否能够准确的对题目中所描述的每一个行程状

态作出正确合理的线段图进行分析，并且往往我们需要做的线段图不止一

个。

多次相遇与追击涉及到两类行程路线，即直线型与环线型.对于这两种

基本路线与方向中第n次相遇（追上）时路程S的关系，归纳如下：

环线型直线型

迎面后面

相遇追上

同一出

直径两端（路（路

发点

程程

和）差）

同nS（路"SO.55（路

2nS2nS

向程差）程差）

相"S(路775-0.5s(路(2n-(2n-

对程和）程和）1)S1)S

（反

向）

一【重点难点解析】

1.行程三要素的理解和应用

2.相遇和追击问题

3.多人多次相遇追击问题

瓯0【竞赛考点挖掘】

1.行程三要素理解和应用

2.多人多次相遇和追击

【习题精讲】

【例1】（难度等级X）

甲、乙两地相距6千米，某人从甲地步行去乙地.前一半时间平均每分钟行80米，后

一半时间平均每分钟行70米.问他走后一半路程用了多少分钟？

【分析与解】

如果前一半时间平均速度为每分钟80米，后一半时间平均速度为每分钟70米，则这个人

从甲走到乙的平均速度就为每分钟走（80+70）+2=75米.这是因为一分钟80米，一分钟70

米，两分钟一共150米，平均每分钟75米.而每分钟走80米的时间与每分钟走70米的时

间相同，所以平均速度始终是每分钟75米.

【例2】（难度等级X）

甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先行三小时后乙车从B地出发，乙

车出发5小时后两车还相距15千米.甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米.求A、

B两地间相距多少千米？

【分析与解】

在整个过程中，甲车行驶了3+5=8=（小时），行驶的路程为：48X8=384（千米）；

乙车行驶了5小时，行驶的路程为：50X5=250（千米），此时两车还相距15千米,

所以A、B两地间相距：384+250+15=649（千米）.

【例3】（难度等级派※）

甲、乙两人分别以每小时6千米和每小时4千米的速度从相距30千米的两地向对

方的出发地前进.当两人之间的距离是10千米时，他们走了几小时？

【分析与解】

本题有两种情况，一种是甲、乙两人还未相遇过，此时两人一共走30—10=20（千米），

另一种是甲、乙两人相遇过后继续向前走到相距10千米，一共走30+10=40（千米），

所以有两种答案：（30—10）+（6+4）=2（小时）;或（30+10）。（6+4）=4（小时）.

【例4】（难度等级X）

甲、乙两人分别从相距35.8千米的两地出发，相向而行.甲每小时行4千米，但每

行30分钟就休息5分钟；乙每小时行12千米，则经过小时分的

时候两人相遇.

【分析与解】

经过2小时15分钟的时候，甲实际行了2小时，行了4X2=8千米，乙则行了

12x2^=27千米，两人还相距35.8-27-8=0.8千米，此时甲开始休息，乙再行0.84-

4

12X60=4分钟就能与甲相遇.所以经过2小时19分的时候两人相遇.

【例5】（难度等级派※）

甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。

相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用24秒

同时回到原地。求甲原来的速度。

【分析与解】

因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用24秒，则相遇前两

人和跑一^也用24秒。

以甲为研究对象，甲以原速V跑了24秒的路程与以（V+2）跑了24秒的路程之和等于

400米，24V+24（V+2）=400易得V=7,米/秒

3

【例6】（难度等级派※）

小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走52米，小强每分走70米，二人

在途中的A处相遇。若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两

人仍在A处相遇。小红和小强两人的家相距多少米？

【分析与解】

因为小红的速度不变，相遇的地点不变，所以小红两次从出发到相遇行走的时间不变，也

就是说，小强第二次走的时间比第一次少4分钟。（70X4）+（90-70）=14分钟可知小

强第二次走了14分钟，他第一次走了14+4=18分钟；两人家的距离：（52+70）X18=2196

（米）.

【例7】（难度等级派※※）

甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C点。如果甲车速

度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇

地点距C点12千米，如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A、

B两地同时出发相向而行,则相遇地点距C点16千米。甲车原来每小时向多少千米？

【分析与解】

设乙增加速度后，两车在D处相遇，所用时间为T小时。甲增加速度后，两车在E处相

遇。由于这两种情况，两车的速度和相同，所以所用时间也相同。于是，甲、乙不增加速

度时，经T小时分别到达D、EoDE=12+16=28（千米）。由于甲或乙增加速度每小时5

千米，两车在D或E相遇，所以用每小时5千米的速度，T小时走过28千米，从而T

282?

=28+5=5小时，甲用6一5=|■（小时），走过12千米，所以甲原来每小时行124-y

=30（千米）

【例8］（难度等级派※※）

甲、乙二人分别从A、B两地同时出发相向而行，5小时后相遇在C点。如果甲速

度不变，乙每小时多行4千米，且甲、乙还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇

点D距C点10千米；如果乙速度不变，甲每小时多行3千米，且甲、乙还从A、

B两地同时出发相向而行，则相遇点E距C点5千米。问：甲原来的速度是每小时

多少千米？

【分析与解】

当乙每小时多行4千米时，5小时可以多行20千米，所以当两人相遇后继续向前走到5

小时，甲可以走到C点，乙可以走到C点前面20千米。而相遇点D距C点10千米，

因此两人各走了10千米，所以甲乙二人此时速度相等，即原来甲比乙每小时多行4千米。

同理可得，甲每小时多行3千米时，乙走5千米的时间甲可以走10千米，即甲的速度

是乙的2倍。（4+3）+（2-1）+4=11（千米/小时），所以甲原来的速度是每小时11千米。

【例9】（难度等级派※※）

在400米的环行跑道上，A,B两点相距100米。甲、乙两人分别从A,B两点同时

出发，按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都

要停10秒钟。那么甲追上乙需要时间是多少秒？

【分析与解】

甲实际跑100/（5-4）=100（秒）时追上乙，甲跑100/5=20（秒），休息10秒;乙跑100/4=25

（秒），休息10秒，甲实际跑100秒时，已经休息4次，刚跑完第5次，共用140秒；

这时乙实际跑了100秒，第4次休息结束。正好追上。

［例10］（难度等级派※）

甲、乙两车的速度分别为52千米/时和40千米/时，它们同时从A地出发到B地

去，出发后6时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1时后乙车也遇到了这辆卡车。求

这辆卡车的速度。

【分析与解】

甲乙两车最初的过程类似追及，速度差义追及时间=路程差；路程差为72千米;72千

米就是1小时的甲车和卡车的路程和，速度和X相遇时间=路程和，得到速度和为72

千米/时，所以卡车速度为72-40=32千米/时。

【例11］（难度等级派※）

甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是

各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快。两人出发后1小时，甲与乙在离山顶

600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？

【分析与解】

甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲走过的路程应该是一个单程的1X1.5+1/2=2倍,

就是说甲下山的速度是乙上山速度的2倍。两人相遇时走了1小时，这时甲还要走一段

下山路，这段下山路乙上山用了1小时，所以甲下山要用1/2小时。甲一共走了

1+1/2=1.5（小时）

【例12］（难度等级派※※）

早晨，小张骑车从甲地出发去乙地.下午1点，小王开车也从甲地出发，前往乙地.下

午2点时两人之间的距离是15千米.下午3点时，两人之间的距离还是15千

米.下午4点时小王到达乙地，晚上7点小张到达乙地.小张是早晨几点出发？

【分析与解】

从题中可以看出小王的速度比小张块.下午2点时两人之间的距离是15千米.下午3点

时，两人之间的距离还是15千米，所以下午2点时小王距小张15千米，下午3点时

小王超过小张15千米，可知两人的速度差是每小时30千米.由下午3点开始计算，小

王再有1小时就可走完全程，在这1小时当中，小王比小张多走30千米，那小张3小

时走了153045=+千米，故小张的速度是45+3=15千米/时，小王的速度是15+30=45

千米/时.全程是45X3=135千米，小张走完全程用了135+15=9小时，所以他是上午

10点出发的。

【例13］（难度等级派※※）

每天早晨，小刚定时离家步行上学，张大爷也定时出家门散步，他们相向而行，并且

准时在途中相遇.有一天，小刚提早出门，因此比平时早7分钟与张大爷相遇.已知

小刚步行速度是每分钟70米，张大爷步行速度是每分钟40米，那么这一天小刚比平

时早出门多少分钟？

【分析与解】

比平时早7分钟相遇，那么小刚因提早出门而比平时多走的路程为小刚和张大爷7分钟

合走的路程，所以当张大爷出门时小刚已经比平时多走了（70+40）X7=770米，因此

小刚比平时早出门7704-70=11分钟.

【例14］（难度等级派※※）

甲、乙两车从A、B两地同时出发相向而行，5小时相遇；如果乙车提前1小时出

发，则差13千米到中点时与甲车相遇，如果甲车提前1小时出发，则过中点37千

米后与乙车相遇，那么甲车与乙车的速度差等于多少千米/小时？

【分析与解】

第一次行程甲、乙两车同时出发，所以两车走的时间相同；第二次乙车提前1小时出发，

所以这次乙车比甲车多走了1小时；第三次甲车提前1小时出发，所以这次甲车比乙车

多走了1小时.那么如果把第二次和第三次这两次行程相加，那么甲车和乙车所走的时间

就相同了，而所走的路程为2个全程.由于两人合走一个全程要5小时，所以合走两个

全程要10小时.由于第二次在乙车在差13千米到中点与甲车相遇，所以此次甲车走了

全程的一半加上13千米；第三次在过中点37千米后与乙车相遇，所以此次甲车走了全

程的一半加上37千米；这两次合起来甲车走了一个全程加上13+37=50千米，所以乙

车走了一个全程少50千米，甲车比乙车多走50X2=100千米.而这是在10小时内完

成的，所以甲车与乙车的速度差为100+10=10千米/时

【例15］（难度等级派※※）

甲、乙两车分别从A,B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C点.如果甲车

速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A,B两地同时出发相向而行，则

相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行5千米，则相

遇地点距C点16千米.甲车原来每小时行多少千米？

【分析与解】

题中出现三次行程，且每次甲、乙两车的速度都有变化，所以不好直接运用公式.看看这

三次行程中是否有不变的量呢？第二次行程是甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，那

么两车的速度之和是原来两车速度之和加上5;第三次行程是乙车速度不变，甲车速度每

小时多行5千米，两车的速度之和也是原来两车速度之和加上5,所以第二次和第三次两

车的速度之和相同，那么它们所用的时间也相同，发现了这一点，题目就好做了.

第二次相较于第一次，甲车的速度不变，乙车的速度提高了，那么走同样的路程所花的时

间比第一次少，所以甲车走的路程比第一次走得少，那么第二次相遇地点在A、C之间；

同样分析可知第三次相遇地点在B、C之间，所以这两次相遇地点之间的距离为12+16

=28（千米）.由于第二次和第三次所用的时间也相同，而第三次甲车的速度比第二次甲车

的速度大每小时5千米，第三次甲车走的路程比第二次走的路程多28千米，所以这两次

行程的时间为284-5=5.6（小时）；再看第一次和第二次，这两次中甲车的速度相同，但

走的时间不同，第一次比第二次多走了6-5.6=0.4（小时），第一次比第二次多走的路程

则为12千米，所以甲车原来的速度为12+0.4=30（千米/时）

【例16］（难度等级派※※）

A、B两地间有一座桥（桥的长度忽略不计），甲、乙二人分别从两地同时出发，3小

时后在桥上相遇.如果甲加快速度，每小时多走2千米，而乙提前0.5小时出发，

则仍能恰在桥上相遇.如果甲延迟0.5小时出发，乙每小时少走2千米，还会在桥

上相遇.则A、B两地相距多少千米？

【分析与解】

因为每次相遇的地点都在桥上，所以在这三种情况中，甲每次走的路程都是一样的，同样

乙每次走的路程也是一样的.在第二种情况中，乙速度不变，所以乙到桥上的时间还是3小

时，他提前了0.5小时，那么甲到桥上的时间是3-0.5=2.5小时.甲每小时多走2千

米，2.5小时就多走2X2.5=5千米，这5千米就是甲原来3-2.5=0.5小时走的，所

以甲的速度是5+0.5=10千米/时.在第三种情况中，甲速度不变，所以甲到桥上的时间

还是3小时，他延迟了0.5小时，那么乙到桥上的时间是3+0.5=3.5小时.乙每小

时少走2千米，3.5小时就少走2X3.5=7千米，这7千米就是甲原来3.5-3=0.5

小时走的，所以乙的速度就是14-0.5=14千米/时.所以A、B两地的距离为（10+

14）X3=72千米.

【例17］（难度等级派※※）

地铁有A,B两站，甲、乙二人都要在两站间往返行走.两人分别从A,B两站同时出

发，他们第一次相遇时距A站800米，第二次相遇时距B站500米.问：两站相距

多远？

【分析与解】

从起点到第一次迎面相遇地点，两人共同完成1个全长，从起点到第二次迎面相遇地点，

两人共同完成3个全长，一个全程中甲走1段800米，3个全程甲走的路程为3段800

米.画图可知，由3倍关系得到：A,B两站的距离为800X3-500=1900米

【例18］（难度等级派※※）

甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B之间不断往返行驶，已知甲车的速度是

3

乙车的速度的一，并且甲、乙两车第2007次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点

7

与第2008次相遇的地点恰好相距120千米，那么，A、B两地之间的距离等于多少千

米？

【分析与解】

甲、乙速度之比是3:7,所以我们可以设整个路程为3+7=10份，这样一个全程中甲

走3份，第2007次相遇时甲总共走了3X（2007X2-1）=12039份，第2008次相

遇时甲总共走了3X（2008X2-1）=12045份，所以总长为120+［12045-12040-

（12040-12039）］X10=300米.

【例19］（难度等级派※※）

在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过

4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？

由题意知，甲行4分相当于乙行6分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）

从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行12分，而乙行12分相当于甲行8分,

所以甲环行一周需12+8=20（分），乙需204-4X6=30（分）.

【例20］（难度等级派※※）

如右图，A,B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人

在C点第一次相遇，在D点第二次相遇.已知C离A有80米，D离B有60米,

求这个圆的周长.

【分析与解】

根据总结可知，第二次相遇时，乙一共走了80X3=240米，两人的总路程和为一周半，又

甲所走路程比