上海市徐汇中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

徐汇中学2023学年第二学期高一年级数学期末2024.06一､填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）1.已知，且，则点在第__________象限.2.在正方形中，向量与向量的夹角是__________（用弧度制表示）.3.若为锐角，，则__________.4.已知复数，且复数满足，则在复平面内对应的点位于第__________象限.5.已知，若，则__________.6.已知数列是等比数列，且，则__________.7.已知向量和，则在方向上的投影是__________.8.函数的部分图像如图所示，则__________.9.若复数满足，且（为虚数单位），则的最小值为__________.10.已知数列满足：（为正整数，若，则所有可能的取值集合为__________.11.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图中所示的窗花轮廓可以看作是一个正八边形.已知该正八边形的边长为10，点在其边上运动，则的取值范围是__________.12.定义：若，则称是函数的倍伸缩周期函数.设，且是的2倍伸缩周期函数.若对于任意的，都有，则实数的最大值为__________.二､选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）13.“”是“复数是纯虚数”的（）条件.A.必要不充分B.充分不必要B.充要D.既不充分又不必要14.已知三角形的三条边长分别为，若，则此三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能15.函数的周期是，图象关于直线对称，则以下正确的是（）A.的最大值是B.在区间上是减函数C.的图象过点D.的图象的一个对称中心是16.已知是等比数列，公比为，若存在无穷多个不同的满足，则下列选项之中，不可能成立的为（）A.B.C.D.三､解答题（本大题共有5题，满分48分）17.（本题8分）已知是关于的方程的一个虚根.（1）求的值；（2）记复，求复数的模.18.（本题8分）已知向量.（1）求函数的最大值及相应的值；（2）在中，角为锐角，且，求边的长.19.（本题10分）在各项均为正数的等比数列中，，且成等差数列.（1）求等比数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和的最大值.20.（本题10分）如图所示，是边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是半径为90米的扇形草地，是弧上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在和上的长方形停车场.（1）设，长方形的面积为，试建立关于的函数关系式；（2）当为多少时，最大，并求最大值.21.（本题12分）平面直角坐标系中，设点是线段的等分点，其中.（1）当时，试用表示；（2）当时，求的值；（3）当时，求的最小值.四､附加题（本大题共有2题，满分10分，不计入总分）1.对于项数为10的数列，若满足（其中为正整数，），且，设，则的最大值为__________.2.对于实数，用表示不超过的最大整数，例如.已知，则下列3个命题中真命题的个数为__________.（1）函数是周期函数；（2）函数的图像关于直线对称；（3）方程有2个实数根.参考答案一､填空题1.二2.3.4.二5.6.7.8.9.10.11.12.11.【答案】【解析】分别过作的垂线，垂足为，且因为点在正八边形上运动，所以在上的投影向量的起点为，终点在相等上移动，则当在上运动时，取得最大值，为当在上运动时，取得最小值，为所以的取值范围是.故答案为：.12.【答案】【解析】由题意，可知，当；当；以此类推，当；当，当，令，得，或（舍），，所以的最大值为.二､选择题13.A14.B15.D16.C15.【答案】D【解析】函数的周期是，则；又的图象关于直线对称，则；所以，又，所以；所以；对于A时，的最大值是故错误.对于B，的单调性与有关系，故错误；对于C，时，，图象过点，故错误；对于D，时，图象的一个对称中心是，故正确；故答案为：D.16.【答案】C【解析】是等比数列，公比为，存在无穷多个不同的满足，当时，则：当时，则为非零常数列，符合题意，故A可能成立；当时，则为单调数列，恒不成立，且不合题意；当时，可得，则：①当时，若为偶数时，则；若时，为奇数时，则符合题意，故可能成立；②当，若为偶数时，则，且，即若为奇数时，则，且，即；故符合题意，故D可能成立；③当，，则，可得则，这与等比数列相矛盾，故和均不合题意，故C不可能成立.故选：C.三､解答题17.（1）6（2）18.（1），此时（2）19.（1）（2）2520.【答案】（1）（2）当时，有最大值.【解析】（1）延长交于，设则（2）设，知，当时，有最大值.答：长方形停车场面积的最大值为平方米.21.【答穼】（1）.（2）（3）【解析】（1）由题意可得：当时，.（2），则，由（1）