刚体力学课件

刚体力学

(MechanicsofRigidBody)主要内容刚体定轴转动定律力矩和转动惯量刚体定轴转动动能定理角动量定理和角动量守恒定律刚体的平面平行运动（纯滚动）

刚体是一个理想的力学模型，它是指各部分的相对位置在运动中（无论有无外力作用）均保持不变的物体。1§7.1刚体运动的描述1.刚体的基本运动形式

刚体——由无数个连续分布的质点组成的质点系，每个质点称为刚体的一个质量元。每个质点都服从质点力学规律。——基础刚体的运动——平动和转动。任何复杂的运动为两者的叠加。2对刚体运动进行全面描述，即需要确切给出刚体所有质元的运动。如图所示。刚体上任选质元i，j，相对参考点O的位置矢量分别为和，表示质元i

指向质元j的矢量。根据刚体平动的特点，由上式可得：结论：刚体的平动可以简化为质点的运动。3

定点转动——转轴上只有一点相对参考系静止，转动方向不断变动。定轴转动——整个转轴相对参考系静止。如果刚体上所有的质点都绕同一直线作圆周运动，这种运动称刚体的转动，这条直线称转轴。（二）转动（rotation）陀螺4刚体的复杂运动——平动和转动的叠加。5（a）2.定轴转动的运动学描述如图(a)所示，O-XYZ坐标系的Z轴与转轴重合。刚体上坐标（X,Y）相同但Z

坐标不同的质元，具有相同的运动状态。用O-XY坐标平面自刚体截出一平面图形如图(b)所示。（b）6在平面图上除O点外任选一点A，则图形的位置可由A的位置唯一确定。A点的位置矢量为，由于矢经的大小不变，故其位置可由自OX轴逆时针转至OA的角说明。－－刚体定轴转动的角坐标（规定：逆时针为正）。故：刚体定轴转动的运动学方程为：在时间内刚体发生角位移则刚体转动的角速度为：7则刚体转动的角加速度为：与质点运动学相似，已知初始条件，由角速度、角加速度通过积分可以求出刚体的运动方程。角加速度为常量的转动－－匀变速转动，则有：角量线量83.角速度的矢量性、角加速度定轴转动的特征：方向：右手螺旋法则。9刚体定轴转动说明：有限大小的角位移并不是矢量，只有无限小的角位移、角速度才是矢量。104.刚体的平面运动刚体上各点均在平面内运动，且这些平面均与一固定平面平行－－－刚体的平面运动。利用与固定平面平行的平面在刚体体内截出一平面图形，此平面图形位置确定，则刚体的位置即可确定。11在图形所在的平面内建立O－xyz坐标系，z轴与图形平面垂直，如图所示。在刚体上任选一点B－－基点，位置矢量为：，仅有B点还不能完全确定刚体位置，why？以基点B为原点，建立如图所示的坐标系。A为刚体上任一点，其位置矢量与轴的夹角为，如何确定刚体的位置呢？12刚体平面运动可表示为：刚体随基点的平动＋刚体绕过基点且与图形平面垂直的转轴的定轴转动。刚体随基点的平动:绕过基点且与图形平面垂直的转轴的定轴转动说明：在运动学中，基点的选择完全是任意的。13如图所示，A点相对坐标系的位置矢量为：两边对时间求导数，得：如何计算刚体平面运动时A运动的速度？14P利用讨论车轮无滑滚动的条件。圆柱体滚动时，圆柱体边缘上各点与支撑面接触的瞬时，与支撑面间无相对滑动－－无滑滚动。无滑滚动的特点：圆柱体边缘在与支撑面接触时，相对于支撑面的瞬时速度为零。15则轮胎边缘上任一点的速度为：P选择车轴上一点C为基点，平动速度为，车轮半径为r

，绕过C点的轴转动的角速度为，车轮无滑滚动时，对于瞬时接触地面的P点，其瞬时速度为零。即：在如图所示的坐标系水平方向上的分量为：上式即为圆柱体做无滑滚动的条件。16P摆线、圆滚线圆柱体做无滑滚动时，边缘上一点在空间画出的轨迹如图所示。17§7.2

刚体的动量和质心运动定理质点的动量：质点系的动量：一、刚体的质心质点系的质心坐标表示为：18则刚体的质心坐标表示为：例1:求长为L的均匀细棒的质心。(棒的质量为m)解：选取质量微元dm，则19即:质心位于棒中点处例2:求半径为a的均匀半球体的质心。解：由对称分析可知：20将半球分割成一个个半径r

的小圆盘，则：如果刚体由几个部分组成,则刚体的质心如何计算？21如果刚体由几个部分组成,则刚体的质心与组建刚体的各部分的质心关系仍可采用前面讲过的质心坐标公式，仅需做如下的变换:

－－表示刚体各部分的质量(刚体各部分的质心坐标)22例3:在半径为R的均匀等厚大圆板一侧挖去半径为

R/2的小圆板，大小圆板相切，如图所示。求：剩余部分的质心。解：建立如图所示的坐标系。考虑对称性可知：圆板单位面积的质量；大圆板质量：大圆板质心坐标：23小圆板质心坐标：小圆板质量：剩余部分质量：则剩余部分质的质心坐标由下式确定：24二、刚体的动量与质心运动定理刚体可视为由无穷多个质点组成，则刚体的动量应等于所有质点动量的矢量和。即：由质心的定义式：----刚体的动量可得：25刚体动量表达式两边对时间求导数，可得：即：刚体质心运动定理表示为－－作用在刚体上所有外力的矢量和等于刚体质量与刚体质心运动加速度的乘积。－－刚体质心运动定理若刚体所受合外力为零，则动量守恒。26解:质心偏离转轴,则质心绕转轴作半径为d的圆周运动,其向心加速度为：例4：园盘形匀质飞轮m＝5kg，半径r＝0.15m，转速为n＝400转/分，飞轮做匀速转动，飞轮质心距离转轴d＝0.001m。（忽略飞轮自身的质量）求:轴处所受作用力27方向:由质心指向转轴。由于转动体质心偏离转轴,则轴承和支座受到时上时下时左时右的周期力的作用,使机座产生有害震动。但是在实际中有时还需要这种震动进行工作，例如震动打桩机，震动泵的工作，就需要转动体质心偏离轴线，偏离轴线的距离大小可以精确设计。由于当飞轮转动时,不考虑重力的影响,故轴承处受到的作用力大小为：28§7.3刚体定轴转动的角动量•

转动惯量一、刚体定轴转动对轴上一点的角动量如图所示，由m1、m2以及细绳组成的刚体，绕轴以旋转O点为轴上任意一点，则m1和m2对O点的角动量分别为：则刚体对O点的角动量为：刚体对O点的角动量与角速度方向不相同。29说明：

动量总是沿速度方向，但刚体绕定轴转动时的角动量不一定沿角速度方向；

当质量分布与几何形状有共同的对称轴，且刚体绕该对称轴转动时，角动量与角速度方向相同；刚体对转轴的角动量为：30二、刚体对一定转轴的转动惯量由刚体对轴的角动量的表达式：可知，令－－转动惯量则刚体对轴的角动量表示为：刚体：质点：角动量、动量、转动惯量、质量、角速度速度转动惯量I是用于描述刚体转动惯性大小的量度。对于质量连续分布的刚体：31平行轴定理和正交定理平行轴定理:正交轴定理:32

例一求一质量为m，长为l的均匀细棒的转动惯量。（1）轴通过棒的中心并与棒垂直。（2）轴通过棒的一端并与棒垂直。

解：（1）在棒上取质量元，长为dx，离轴O为x，棒的线密度为整个棒对轴O的转动惯量为则dm对转轴的转动惯量为33（2）或利用平行轴定理同样得34

例二求质量为m，半径为R的细圆环和均匀薄圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动时的转动惯量。解：（1）在圆环上取一质量元为该质量元对轴O的转动惯量为整个细圆环对轴O的转动惯量为35（2）在r

处取一宽为dr

的圆环，质量为于是有整个薄圆盘对轴O的转动惯量为中间挖空后如何？36

例三密度为σ的均匀矩形板，求通过与板面垂直的几何中心轴线的转动惯量为。其中a为矩形板的长，b为它的宽。它对过O且垂直于矩形板的轴的转动惯量为

解一：在矩形板上任取面元

dS，其质量为37整个矩形板对该轴的转动惯量为38同理得：由垂直轴定理：解二：如图：39（一）I与M对转轴的分布有关；（二）I与刚体质量M有关；（三）I与转轴的位置有关。转动惯量的计算：点→线→面→体40几何形状不规则刚体的I，由实验测定。普通物理实验中《用扭摆法测量物体转动惯量》会详细介绍有关测量仪器合测量原理。介绍完刚体定轴转动定律之后，通过例题再给大家介绍一种测量物体转动惯量的原理。41二、刚体定轴转动的角动量定理和转动定律（1）角动量定理由质点系对Z轴的角动量定理，可得刚体定轴转动对轴的角动量定理：两边同乘dt，可得：两边同时积分，可得：即：作用于刚体上合外力矩的冲量等于刚体对该轴角动量的增量－－－角动量定理。42转动动能刚体为什么会转动？刚体转动状态改变的规律是什么？第

i质量元的动能为（2）定轴转动定律43整个刚体的动能为刚体绕定轴的转动惯量转动动能

刚体绕给定轴的转动惯量

I等于刚体中每个质元的质量与该质元到转轴距离的平方的乘积之总和。44单位（SI）：对于质量连续分布的物体：45对转轴的力矩力对转轴的力矩大小为

力对转轴的力矩等于在转动平面内的外力F的大小和F与轴之间的垂直距离d的乘积。举例：门的转动46一般情况∥平行转轴垂直转轴——大小和方向4748定轴转动定律由牛顿运动定律推导：根据牛顿第二定律有49外力矩内力矩

对所有质量元求和，且它们的角加速度β均相同，有50合外力矩合内力矩

因为内力中任一对作用力和反作用力的力矩为零，所以有令则51

瞬时性。同一时刻对同一刚体，同一转轴而言。

刚体所受的对于某定轴的合外力矩等于刚体对此定轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所获得的角加速度的乘积。——定轴转动定律52

由角动量定理推导定轴转动定律刚体定轴转动的角动量定理：若刚体对轴的转动惯量，则：与相似。53根据牛顿定律和转动定律列方程：

解：隔离物体，受力分析，作示力图。54绳与滑轮无相对滑动55联立（1）——（4）式可解得5657例2：下图为测量转动惯量的实验装置示意图。转动架的轮轴半径为r，转动惯量为I0，重物的质量为m，测得重物下降高度h所用时间为t，求待测物体转动惯量。解：分析质点m和转动系统,受力分析如图:58例3.半径为R的放水弧形闸门,可绕支点O转动,总质量m,质心在距转轴2R/3处,闸门及钢架对O点的总转动惯量I=7mR2/9,用钢丝绳将弧形闸门提起放水,近似认为开始时钢架处于水平:弧形部分的切向加速度at=0.1g(1)求开始提升的瞬间,钢丝绳对弧形闸门的拉力和支点对闸门钢架的支撑力.(2)若以同样的加速度提升同质量的平板闸门拉力多大?59解：(1)由转动定律有：由质心运动定理有：在坐标系下的分量式为：60考虑到刚体在x方向不运动，刚开始拉时，闸门质心速度为零，向心加速度为零（），但切向加速度不为零（）。则有：如图所示，若提升平板闸门，则