数形结合思想在小学五年级数学教学的应用研究-以苏教版教材为例 论文

PAGE3数形结合思想在小学五年级数学教学的应用研究-以苏教版教材为例摘要数形结合思想是数学思想中最重要的一条之一，贯穿在整个小学数学教学之中。数形结合思想使“数”与“形”之间的分界线消失，从而有效的连接在一起。但在实际的问题解决中，学生们没有用这种思想方法的意识，也就很少在问题情境中去用这种方法，培养学生数形结合的思想，不仅能使学生解决问题的正确率增加，而且能够提高学生的思维创造力与学习数学的兴趣，感受数学的美。本文采用了文献研究法、案例分析法和文本研究法对数形结合思想方法在小学五年级数学教学中的应用进行研究。本论文分为四个部分，第一部分为前言，包括选题依据、文献综述、研究方法和研究意义；第二部分为数形结合思想方法的理论探讨，其中包括数形结合思想方法方面的概念界定、理论基础以及培养价值。通过对理论的探讨，对数形结合思想方法得到初步的认识。第三部分为教材内容分析，包括教材中“以形助数”、“以数解形”内容呈现及特点分析。通过对教材内容的分析，得到在小学五年级数学中哪些知识是关于数形结合思想，以及这些内容都有哪些特点，为第四部分奠定基础。第四部分为数形结合思想在小学教学中的运用策略。通过对前几章的研究得到了数形结合思想方法在小数五年级数学中的运用策略。关键词：数形结合思想；小学数学；五年级；以形助数；以数解形

AStudyOnTheApplicationOfTheIdeaOfCombinationOfNumbersAndShapesInMathematicsTeachingInTheFifthGradeOfPrimarySchoolAbstractThecombinationofnumberandshapeisoneofthemostimportantideasinmathematics,whichrunsthroughthewholeprimaryschoolmathematicsteaching.Theideaofcombinationofnumberandshapemakestheboundarybetween"number"and"shape"disappear,soastoconnectthemeffectively.Butintheactualproblem-solving,studentsdonothavetheconsciousnessofusingthiskindofthinkingmethod,andtheyseldomusethismethodintheproblemsituation.Cultivatingstudents'thinkingofcombiningnumbersandshapescannotonlyincreasethecorrectrateofsolvingproblems,butalsoimprovestudents'thinkingcreativityandinterestinlearningmathematics,andfeelthebeautyofmathematics.Inthispaper,theliteratureresearchmethod,caseanalysismethodandtextresearchmethodareusedtostudytheapplicationoflogarithmcombinationinmathematicsteachingofgradefive.Thispaperisdividedintofourparts,thefirstpartistheforeword,includingthebasisoftopicselection,literaturereview,researchmethodsandresearchsignificance;thesecondpartisthetheoreticaldiscussionoftheideologicalmethodofthecombinationofnumbersandshapes,includingtheconceptdefinition,theoreticalbasisandcultivationvalueoftheideologicalmethodofthecombinationofnumbersandshapes.Throughthediscussionofthetheory,wecangetapreliminaryunderstandingofthecombinationoflogarithmandform.Thethirdpartisthecontentanalysisofthetextbook,includingthecontentpresentationandcharacteristicanalysisof"formhelpsnumber"and"solveformwithnumber".Throughtheanalysisofthecontentofthetextbook,wecanfindoutwhichknowledgeisaboutthecombinationofnumberandshapeinthefifthgrademathematics,andwhatcharacteristicsthesecontentshave,whichlaysthefoundationforthefourthpart.Thefourthpartistheapplicationstrategyofthecombinationofnumberandshapeinprimaryschoolteaching.Throughthestudyofthepreviouschapters,wegettheapplicationstrategyofthecombinationofnumberandshapeinthefifthgrademathematics.KeyWords:combinationofnumberandshape；elementaryMathematicsfifthgrade；formhelpsnumber；solveformbynumber

目录摘要1AbstractⅡ目录Ⅲ前言1选题依据1国内外文献综述2研究方法3研究意义4二、数形结合的理论探讨5（一）概念界定5（二）数形结合的理论基础5（三）数形结合的培养价值6三、苏教版数学五年级教材中蕴含的数形结合思想的内容分析7（一）教材中“以形助数”内容的呈现及特点分析7（二）教材中“以数解形”内容的呈现及特点分析8四、数形结合思想在小学五年级数学教学中的应用策略11（一）“以形助数”在小学五年级数学教学中的应用策略11（二）“以数解形”在小学五年级数学教学中的应用策略14结语16参考文献一前言（一）选题依据《义务教育数学课程标准》（2011年版）中明确指出数学学习要注重学生的基础知识和基本技能的理解和掌握，要感悟数学思想，积累数学活动经验。中华人民共和国教育部制定：《义务教育数学课程标准》，北京：北京师范大学出版社，2011年版，第45页。这一表述把以前的“双基”改成了“四基”，第一次把数学思想作为义务教育阶段的基础目标。以及新课标也提及了数学素养是当代每个人都要去培养的基本素养，它具有培养人的思维创新能力的作用。中华人民共和国教育部制定：《义务教育数学课程标准》，北京：北京师范大学出版社，2011年版，第1页。数学核心素养的描述中也说明了数学思维的重要性。学生走出校门，可能会忘记数学知识，但是对于数学思想却不会忘，数学思想在学生脑海里存在并指导着学生在生活中和问题解决中运用。数学思想方法有很多，比如数形结合思想、方程与函数思想、建模思想、分类讨论思想和划归与转化思想等，其中数形结合思想是小学数学问题解决中最为重要和运用最广的数学思想方法一。数学结合思想是要在毕达哥拉斯时代就已经开始发展，毕达哥拉斯学派中的好多数的性质都用到了数形结合思想。法国著名数学家拉格朗日也说过代数和几何分开研究，它们的发展进程就会变得异常缓慢。随着代数与几何的发展越来越统一，数形结合思想在数学思想中越来越重要，它作为一种基础的数学思想方法，极大的推动了数学的中华人民共和国教育部制定：《义务教育数学课程标准》，北京：北京师范大学出版社，2011年版，第45页。中华人民共和国教育部制定：《义务教育数学课程标准》，北京：北京师范大学出版社，2011年版，第1页。在现实生活中发现，虽然一直在小学数学教学中强调数形结合思想的运用，但是没有得到特别好的的效果，学生遇到题目还是不会去把“数”和“形”结合起来去思考问题，只是简简单单的用基础数学知识去解决问题，导致学生学习数学效果不理想，从而学生对数学的学习产生厌恶与抵制的情绪。这些问题的产生的原因可能是老师在平时上课中没有在创设情境中没有长期的去给学生介绍这种思想，导致这种思想没有深入渗透学生的心里；也可能是老师在讲数学题目的过程中知识浮于表面，没有深入的向学生介绍这种方法，导致学生不注重对数形结合思想的认识和运用；也有可能是老师在教授数学结合思想后，学生没有进行大量的练习，从而使学生只学到了数形结合的形式，没有学习到它的精髓。本论文的目的所在就是通过对小学五年级教材内容的分析，得到在小学五年级教学中如何运用数形结合思想的策略，提高学生的数学思维能力。国内外文献综述1.数形结合的历史演变（1）数学萌芽期间，人们就有了结绳和石头等计数方式，人们从实物中抽象出“数”，并且古埃及为了测量土地，从而产生了几何学，使得“数”能够借助“形”而存在。在这个期间，数形结合很大程度上推动了社会的发展。（2）在古希腊时期，毕达哥拉斯学派将“数”和“形”结合起来，促进了古希腊数学的发展，该学派认为“万物皆数”，认为数是一切的来源，他们尝试将数建立在几何学上面，但是由于他们错误的认知，引发了第一次数学危机。欧几里得是古希腊几何学的集大成者，代表著作是《几何原本》。欧几里得虽然用几何方法去研究问题，但是不可避免的用到代数等价方法来解决问题。虽然上面的研究者在观念上是认为数和形是分开的，但是在客观上他们还是用到了数形结合思想方法。（3）法国数学家笛卡尔和费马创立了解析几何，将几何问题用代数方法解决，然后用代数方法去研究图形的几何性质。数和形第一次真正的统一是坐标系的建立，数轴上的点可以用数来表示，数的变化也可以用数轴上的点来说明。近现代时期，数和形的分界线变的模糊起来，由于各种分析学的建立，大大加强了数和形的融合。数形结合思想也慢慢的渗透到数学发展中来，并成为了一种解决问题的方法。2.数学思想方法的内涵数学思想是对数学本质的认识，是对数学内容的总结提升并对数学内容提炼出数学观点，是数学的中心。数学方法是解决数学问题的手段和途径。数学思想提供的是解决问题的策略，数学方法提供的是解决问题的方向。表面上看数学思想和数学方法有区别，但是研究其本质就会发现两者非独立并且相互渗透。在积累了大量数学方法的基础上，数学方法就变成了数学思想，有了数学思想学生就可以选择适当的数学方法解决问题。所以数学思想和数学方法在数学上没有本质的区别，通常在研究两者时会不加区分，统称为数学思想方法。数学思想方法的两个源头为《几何原本》和《九章算术》，虽然它们产生的时间、目的以及它们的内容虽有不同，但是它们都对数学思想的发展有深远的影响。数学思想方法是对数学概念和方法的本质认识，是数学的灵魂，是数学知识的总结升华。它是高于数学知识的一种数学哲理知识，只有在反复实践中才能得到的宝藏。数形结合思想的内涵“数学是研究数量关系和空间形式的科学”中华人民共和国教育部制定：《义务教育数学课程标准》，北京：北京师范大学出版社，2011年版，第1页。，“数”与“形”之间相互依存。数形结合一词第一次出现在华罗庚先生《谈谈与蜂房结构有关数学问题》一书中，书中说到“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”华罗庚：《谈谈与蜂房结构有关数学问题》，北京：北京出版社，1979年版，第37页。其中“中华人民共和国教育部制定：《义务教育数学课程标准》，北京：北京师范大学出版社，2011年版，第1页。华罗庚：《谈谈与蜂房结构有关数学问题》，北京：北京出版社，1979年版，第37页。数形结合就是“数”和“形”结合在一起，到目前为止数形结合思想方法还没有严格的统一定论，不同的学者对数形结合有不同的理解，但是究其本质都是一样的。罗增儒认为，数形结合是一种“数”和“形”的相互转换，其中包括两个方面，一是将“数”转化为“形”，即通过直观的图形去解释抽象的数之间的逻辑关系；另一方面是把“形”转化为“数”，即通过抽象的数解释图形的本质属性罗增儒：《数学解题学引论》，西安：陕西师范大学出版社，2001年版，第384页。。徐斌艳认为，数形结合就是把抽象思维和形象思维相结合，从而数量关系与图形性质实现相互转化并结合在一起研究数学问题。徐斌艳：《数学课程与教学论》，杭州：浙江教育出版社，2003年版，第75页。任樟辉认为数形结合包括了数或形它们本身的变化以及它们之间的迁移。任樟辉：《数学思维理论》，南宁：广西教育出版社，2001年版，第148页。虽然目前没有统一的定论，罗增儒：《数学解题学引论》，西安：陕西师范大学出版社，2001年版，第384页。徐斌艳：《数学课程与教学论》，杭州：浙江教育出版社，2003年版，第75页。任樟辉：《数学思维理论》，南宁：广西教育出版社，2001年版，第148页。（三）研究方法1.文献研究法文献研究法主要指搜集、分析、整理有关文献材料，全面、准确、科学的研究某一问题的方法。本研究查阅了有关数形结合思想的著作以及苏教版五年级教材，通过对国内外文献的搜集、分析和整理，来探究数形结合思想方法在小学五年级数学教学中的运用策略。2.案例分析法收集五年级大量教案以及各种资料，听取了大量五年级数学的课堂，并且向优秀的数学老师询问了一些建议，寻找到把数形结合思想方法结合到教学中策略的方法，为本文提供了实践支撑。3.文本研究法本论文选取了苏教版小学五年级数学教材，为“以形助数”、“以数解形”两个方面的内容呈现和特点分析提供帮助，为本文提供理论指导。（四）研究意义1.理论意义数形结合思想方法是一种基础并且很常用的数学思想方法，它的价值逐渐被挖掘出来。它使得抽象概念能够和具体几何图形相互转化，数与形的信息相互渗透，起到让许多数学问题简单化、数学图形形象化的作用。2.实践意义通过对五年级数学教材中数形结合思想内容和特点的分析，提出小学五年级教学中数形结合思想的应用策略，旨在帮助教师更好的将数形结合思想运用到课堂中，从而提高学生学习数学的兴趣，并提升学生的数学思维能力。二数形结合思想的理论探讨“数”与“形”是数学中最基本的研究对象，他们在一般条件下可以相互转化。数形结合的应用分为两种情况：借助“形”的直观性来解决“数”的复杂性，或是借助“数”的精准性来解决“形”的抽象性，也就是数形结合的两个方面：“以形助数”、“以数解形”。（一）概念界定1.以形助数把“形”对应的“数”找出来从而解决问题。“数”与“形”是相互对应的东西，“数”是比较抽象的，学生难以把握，“形”又比较直观，所以在解决复杂数字问题中“形”起到了关键的作用。“以形助数”也就是把数量问题转化为图形问题进行解决。2.以数解形把“数”对应的“形”找出来从而解决问题。“数”与“形”是相互依存的关系，“形”在有些情况较为复杂，学生难以抓住图形的本质，需要进行“数”地计算，才能解决问题，所以在解决复杂图形问题中“数”起到了关键的作用。“以数解形”也就是把图形问题转化为数量问题进行解决。（二）数形结合的理论基础1.认知表征理论表征是认知心理学的一个重要术语，其概念为当某一事物消失时，它就代表这一事物。认知心理学派中较为著名的教育家布鲁纳把认知表征分为三种，即动作表征、形象表征和符号表征，这三种表征形式同时存在、相互补充、共同完成认知活动。数学表征分为外部表征和内部表征。从表征的视角来说，数学中的“数”主要是指数学言语表征，如文字、数字、式子、数学概念，数学性质，数学定理等概念和命题。数学中的“形”主要是指数学中图形表征，如实物、教学模型、图像、几何图形等。所以在数学学习中，我们可以运用“数”与“形”的多种形式表征出来。小学生的思维受认知水平的限制，还处于具体形象思维阶段，逻辑推理能力还没有成熟，把数学中的“数”与“形”相结合，学生通过清晰的图形表征更容易理解问题的含义。数形结合有利于形成较为清晰丰富的表象表征，便于学生对数学概念的理解与掌握。2.建构主义学习理论建构主义认为知识不是通过教师传授得到的，而是学习者自身通过构建的方式获得来的。构建主义非常强调学习者本身已有的知识经验，它认为学生不是空着脑袋进入教室。构建主义更愿意把教师看作是学生的帮助者、合作者，通过提供帮助，学生在原有的知识经验上生长出新的知识经验。在实际课堂中，教师要积极主动的帮助学生构建数学知识。数形结合思想方法对于老师提高教学效率，学生构建数学知识起到很大的作用。代数与几何是数学知识的两个重要部分，掌握数与形的变化，有利于学生对抽象的知识进行理解。在教学过程中，教师要创设合理的情境，帮助学生找到新旧知识之间的联系，从而掌握数学知识。教师还要学会采用符号表征、图形表征等多种表征形式去帮助学生促进对新知识的理解。对小学生来说，掌握数形结合思想方法，不仅有利于解决数学问题，而且可以使学生增强学习数学的动机。（三）数形结合的培养价值1.对于学生小学阶段的学生还是以具体形象思维为主，抽象逻辑思维的发展才刚刚发展。离开了具体形象的事物，学生的思维发展就会进行缓慢，只有通过对真实物体的感知，才能认识事物的本质。数形结合，顾名思义，就是把数与图形结合在一起，复杂的问题简单化，抽象的知识具体化。用数形结合思想方法去解题，具有灵活性与直观性等特点。学生培养数形结合思想，能够提高解决问题的正确率，把数形结合思想作为解题的手段，学生能够把抽象的数学知识简单化，能够发展学生的具体形象思维和抽象逻辑思维，从而培养学生创造性思维。2.对于老师对于老师来说，数形结合思想方法是一种很好的教学方法。在教学过程中，教师创设一定的问题情境，在情境中结合数形结合思想，长期使用，深入渗透，可以提高学生的思维能力，激发学生的学习数学兴趣，从而提高课堂的教学效率。美国学者哈里有一句名言：“千言万语不及一张图。”课堂上实施有效的教学，使教学时间缩短，教学效率提高，空间思维能力得到发展，教师职业幸福感得到提高。三苏教版数学五年级教材中蕴含数形结合思想的内容分析（一）教材中“以形助数”内容的呈现及特点分析1.教材中“以形助数”内容的呈现表3-1：苏教版五年级教材中“以形助数”内容呈现教材中的内容“以形助数”在教材中的应用负数的初步认识例1通过对温度计的直接观察得，低于零下的表示为负数，从而掌握负数的特征和本质；例2通过对珠穆朗玛峰与吐鲁番盆地与海平面的对比，认识负数的性质；例4通过线段图描述了正数与负数的方向与性质。小数的意义与性质例1通过对直尺上的刻度进行转换，初步认识了小数以及掌握了分数和小数之间的转换。在练一练中，把图形分为十份、百份、千份，然后把涂色部分分别用分数和小数表示出来，这样就把分数和小数联系起来了。通过把图形进行涂色以及观察直尺的刻度线认识了小数的性质。统计表和条形统计图（二）通过采用不同颜色的长方形纸条去表示复式条形统计，这样不仅直观的表现出不同数据的差别，而且还能看出整体的情况，提高学生解决数学数据的能力。简易方程通过在天平上摆放东西帮助学生理解等式与方程的关系，学会列式及知道等式的性质。在列方程的时候，可以根据画线段图来帮助学生更快的解决问题。折线统计图在折线统计图中，通过线段，我们可以看出数据的变化，在复式折线统计图中，我们还可以根据线段来比较数据的不同情况。因数与倍数通过把12个小正方形拼成一个长方形这一操作过程，学生写出摆法的乘法算式，从而理解了因数与倍数的意义并学会怎么找一个数的因数与倍数。分数的意义和性质通过把一个完整的物体进行平均分然后涂色，帮助学生理解了什么叫单位“1”。对物体进行涂色，认识了真分数与假分数以及分数的基本性质。在数轴上描点，学生学会比较数的大小。分数的加法和减法通过把纸对折以及进行涂色，掌握分数的加法和减法。从表3-1可见：教材主要以直观实物、动手操作、涂色等方式，从研究“形”的角度出发，借助“形”直观易理解的特点去解决抽象的数学知识。小学生的思维还处在具体形象思维这一水平，很难用抽象逻辑思维去解决问题。教师通过创设“形”的情境来帮助学生掌握“数”的知识，不仅能使学生掌握书本上的数学知识，帮助学生把复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从而激发学生学习数学的兴趣，而且在掌握和理解知识的基础上减轻学生的压力，让学生能够快速的掌握知识，留出充分的课余时间去发展自己的兴趣，提高学生自己的思维能力与创造力。2.教材中“以形助数”内容的特点分析通过对五年级教材有关“以形助数”思想方法的分析，发现教材在编写过程中有以下的特点。（1）以形助数，理解小数、分数的意义在小学阶段，小数与分数是数以代数中较为重要的部分，也是较为抽象的部分，并且小学生掌握知识的规律及认知水平有限。在这一部分学生很难理解小数与分数的意义性质，通过直观图形学生掌握小数与分数的意义。教材的编写遵循了不断加深，层层递进，螺旋上升的模式。在小学三年级我们初步建立了分数与小数的概念，在五年级的时候，学生学习小数与分数的意义与性质，我们通过给图形涂上颜色，发现了分数与小数之间存在的内在联系，了解并理解真分数与假分数的意义，以及帮助学生更好的理解分数加法与减法的运算规律。（2）以形助数，理解方程的含义高年级学生的抽象思维能力已经得到了一定的发展，简易方程被安排在五年级下册的第一单元是合情合理的。在低年级阶段引入代数知识，为高年级学习方程打下良好的基础。在教材编排中，注重方程的含义和等式的性质，含有未知数的等式就是方程，在学习方程之前，学生接触的都是具体的数字，而在这一章接触到了未知数x，这对学生学习方程起了阻碍的作用，为了保证教学的顺利进行，采取了实物天平帮助学生理解了等式的性质。在后续的解决问题中，教材采用了画线段图的方式，帮助学生理解题意，从而找到问题的等量关系式，从而解决数学问题。（二）教材中“以数解形”内容的呈现及特点分析1.教材中“以数解形”内容的呈现表3-2：苏教版五年级教材中“以数解形”内容呈现教材中的内容“以数解形”在教材中的应用多边形的面积用数方格的方式，数出多边形的面积。通过割补的方法，把多边形转化为已经学习过的图形并计算面积。圆通过圆规画圆这一操作过程，知道了圆的性质。通过用直尺测量与计算，得到了圆的周长与直径的关系。把圆转化为长方形，并用长方形的面积公式推算出圆的面积公式。从表3-2可见：这两册书中用“以数解形”解决问题的知识比较少，都集中在图形与几何的内容上。具体来说就是平行四边形的面积、三角形的面积、梯形的面积与圆的面积。这些几何图形的面积都可以通过转化成其它图形，并通过数字计算得到了图形的面积公式。学生在建立空间观念的过程中，需要通过数字的计算之后，才能掌握图形的本质，建立精确地空间观念。我们通过在复杂的图形问题中使用“以数解形”的思想方法，“以形助数”的缺点会被消除掉。教师在课堂教学过程中要恰当地运用“以数解形”的方法，去引导学生从“数”的方向去揭示“形”的本质，培养学生数形结合思想。2.教材中“以数解形”内容的特点分析（1）注重转化和割补的思想方法苏教版的教材中注重转换和割补的思想方法，在教材中的“多边形面积”和“圆的面积”两课时中，都在寻找新学习的图形与以前学习过的图形之间的关系，把复杂图形转化为我们学习过图形的面积，从而得到图形的面积公式。教材从长方形面积出发，通过转化和割补的方法求出平行四边形、三角形、梯形和圆的面积。比如平行四边形的面积公是由长方形面积公式推导而来；三角形的面积公式是由平行四边形面积公式推导而来；梯形的面积公式是由平行四边形和三角形面积公式推导而来；圆的面积公式是由长方形面积公式推导而来。教材这样编排有很大的好处，把新知识与旧知识联系在一起，找到了新旧知识的之间的本质联系，教材内容不断深入，学生得到了图形的面积公式，掌握了图形本质，发展了学生的抽象思维能力，促进了学生空间观念的提升。（2）注重动手操作能力小学生正处于皮亚杰提出的认知发展理论中的及具体运算阶段，在这个阶段，学生能够运用逻辑思维解决问题，但是必须依赖于实物和直观形象的支持才能进行逻辑推理和运用逻辑思维去解决问题，不能够进行纯符号的计算。这就需要在书本中加强学生的动手能力，通过动手操作，自己探索去解决问题。在教材中要求学生动手操作有很多，比如把平行四边形剪一剪，补一补找到平行四边形与长方形之间的内在联系；把两个三角形摆在一起找到了三角形与平行四边形之间的内在关系；把梯形剪一剪，找到梯形与平行四边形和三角形之间的内在关系；把圆剪一剪，拼一拼，找到圆与长方形之间的内在联系。教材的编写中注重实践操作，自主探索，培养学生的动手操作能力。三数形结合思想在小学五年级教学中的应用策略（一）“以形助数”在小学五年级数学教学中的应用策略1.以形助数，抽象问题具体化数形结合思想方法的最大特点就是将抽象的问题简单化，生动形象的图形将抽象的问题趣味化、直观化，从做题中得到了有趣的情感体验，增强学习动机。在教学过程中，老师要引导学生体会线段图的优点，学会用数形结合的眼光去看待问题。画线段图已经成为解决问题中普遍的方法之一。行程问题是解决问题中最常见的类型，它研究物体运动，即物体速度、时间、行程之间的关系。行程问题一直是小学数学的热点题目。行程问题涉及的变化比较多，有时研究的是一个物体的运动，有时研究的是两个物体的运动，有时研究的是三个物体的运动，但是不管是研究几个物体的运动，它们都有共同的数量关系，都可以用公式表示为“速度×时间=路程”、“路程÷速度=时间”、“路程÷时间=速度”。要正确的解答行程类的应用题，就必须清楚的知道物体的运动情况，在这个时候数形结合方法就是很好的工具，我们可以通过画图帮助我们理解题目的意义。

苏教版的“行程问题”出现在五年级下册中，下面我用书上的习题为例，一辆客车和一辆货车同时从相距540千米的两地出发，相向而行，经过3个小时相遇。客车的速度是95千米/时，货车的速度是多少？这道题是很典型的“行程问题”，拿到这道题之后，先让学生看清楚题目中的两车是如何行驶的（是相向行驶还是同向行驶），接着可以引导学生利用数形结合思想来画图分析和理解题目中的数量关系，接着找出题目中的等量关系，根据等量关系来列出方程解决问题。引导学生学会画图，如下图：（95）千米／时3小时相遇（）千米／时客车（540）千米货车学生在画图的过程中要把题目中有用的信息标记出来，知道了总路程540千米，两车用的总时间3小时，客车的速度是95千米/时。接下来就可以让学生们通过线段图写出该题的等量关系式，即客车行驶的路程＋货车行驶的路程＝总路程。下面学生就可以根据等量关系式列出方程解答。解：设货车的速度是x千米／时。3x＋95×3＝5403x＋285＝5403x＝255x＝85答：货车的行驶速度是85千米／时。“行程问题”的类型很多种，但是本质就是要抓住题目中的数量关系，数形结合思想方法就是一个很好的工具，使用数形结合思想方法可以使行程问题更加直观形象，这样提高了学生学习数学知识的效率，而且增加了学生对数学学习的兴趣。2.以形助数，抽象数字形象化数学是一门逻辑性较强的学科，导致了学生会对数学产生厌恶心理。动手操作在抽象的知识与小学生具体形象思维之间架起了一座桥梁。教师在设计教案的时候，让学生自己动手操作，使学生感受数学知识。学习统计的知识中，我们经常会运用到数形结合思想方法。当学生面对大量枯燥的数字时，不明白这些数字的含义，而且还会产生厌恶学习数学的心理。教师在课堂上通过让学生动手操作进行画图，让学生直观的看出这些数据的不同以及知道这些数据的含义。这里我采用的案例是五下折线统计图这一课时。体会身高的变化情况

出示例1的统计表

提问:这个是我们已经学习过的统计表，从统计表中你知道了什么信息？（生回答）提问:那么老师现在想知道张小楠的身高是怎么样变化的？引导:你能比划一条线来表示他的身高增加的情况吗？（带领学生一起比划，重点让学生明白这不是条直线，是有拐点的，是一条转折的线。）

刚刚我们已经用手指画线表示了身高增加的情况，现在拿出练习本，在练习本上自己试着画一画，表示出小楠身高增长的变化？（拿同学画的折线投影）

同学们从这条线中能看出小楠同学每个年龄段的身高是怎样变化的吗？

说明:从大家划的线上，我们可以看出小楠同学的身高在每一年都在增长，这七个点组成的这条线我们就叫折线（板书折线），这条折线就表示出了小楠同学身高逐年增长的情况。认识折线统计图

下面老师想要准确地表示身高变化的数据，你们觉得应该把这条折线画在哪呢？引导：类比条形统计图（生回答）

我们把这条折线画在表示有年龄和身高数据的格子图上，这也就是我们今天要学习的折线统计图。（完成课题板书）出示条形统计图，学生观察折线统计图，比较两者相同与不同的地方。（同桌讨论）（生回答）

说明:相同:统计内容的标题，统计日期，横向底线表示年龄身高，纵向左边线表示身高。不同:折线统计图用的是折线表示，条形统计图用的是长方形表示。

提问:老师问一下，这里的刻度上一格表示多少厘米呢？（生回答）同学们看一下最底下的这一段，我们用曲线来表示0～110厘米，这是为什么呢？（生回答）说明：这是因为小楠同学的最低身高就是116厘米，我们为了统计图的好看，就不让这一段空着，所以就用曲线表示。（问学生还有什么疑难，老师进行解答）3、画折线统计图同学们你知道这条折线在方格上怎么画出来的吗？（学生到讲桌前回答）（进行小组讨论）（解答完，ppt上进行动画展示）

说明:画这条折线时，我们要先确定每个年龄的身高数据点，然后依次连接这些点成为折线，最后标上数据。

提问:从这张折线统计图上，你知道了什么数据呢？（生回答）3.巧借面积，获得公式，理解算法复杂的图形需要借助“以数解形”思想去解决，学生要借用数字的计算找到图形之间的联系，这样学生不仅获得正确的解题方法，而且对于数字计算得到了更深的理解。用面积的方法去证明公式其中比较流行的是用面积的方法去证明平方差公式和完全平方差公式。如证明a²－b²＝(a+b)(a－b)。拿到这道题，一般学生第一时间思考如何去用公式证明推导出来，但学生不会拆、不会凑，就放弃解答这道题。但是如果学生大脑里有数形结合思想，那这道题学生就可以很快的证明出来。这道题我们可以借用面积来解决，老师引导学生朝着正方形的面积上想，看到a²，b²能想到这两个单项式可以用两个边长为a和b正方形的面积，接着我们假设a的长度大于b的长度，在黑板上画上图，边长为a的正方形面积减去边长为b的正方形面积那么只要求剩下的图形的面积我们就能证明这个公式是正确的，剩下图形的面积我们只要通过面积的割补，将剩下的图形转化为一个长方形就可以证明这个公式。如下图：aa－babba－b“面积证明公式”这类题很多，还有证明完全平方方差公式，本质还是一样，我们不能只用公式推导的方法去做，要去想想还有什么更好的方法，本例题中用到的数形结合思想很好的解决了这类问题，数形结合方法将抽象的问题形象化、简单化，提高了学生对对图形的探索兴趣，使学生们在数学中找到方向。（二）“以数解形”在小学五年级数学教学中的应用策略1.分析数据，寻找图形内在关系小学阶段，我们遇到的几何图形（长方形、正方形、平行四边形等）是较为基础的，学生的抽象思维能力还没有成熟，这就需要学生通过动手操作，在实物的基础上去学习几何知识。学习的几何图形之间都有内在的联系，学生面对抽象的数字，要去整理归纳，把握图形结构关系。比如在学习多边形的面积时，学生动手操作将多边形通过割补的方法，发现了平行四边形、三角形与梯形之间如何转化的过程，学生头脑中模块化的知识变成了一个有联系的整体。这里我采用的案例是平行四边形面积这一课时。一、回顾旧知我们以前学过那些平面图形？（生回答）长方形的面积公式是什么？正方形呢？（生回答）二、探究新知两位小朋友正在争吵。我们来看一看他们正在争些什么，原来是他们的老师布置一道题目，不用量，你能直接说出这两个图形的面积大小吗？两位小朋友一位觉得两个图形面积相等，一个觉得左边的面积大于右边的面积。大家能判断一下哪个小朋友说的正确呢？为什么呢？（出示例1）小组讨论，学生回答。（小组代表发言）接下来老师这边还有个问题要考考大家。你能把右边的平行四边形转化成长方形吗？（出示例2）（生回答）（预设有两种方法，一种沿着高剪出一个三角形，平移后转化城长方形，另一种是沿着高剪出一个梯形，平移后转化呈长方形。）那这两种方法有什么相同点呢？（生回答）（