2022-2023学年福建省福州市四校联考高二（下）期末数学试卷

2022-2023学年福建省福州市四校联考高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15分）设集合A＝{（x，y）|y＝2x}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B的元素个数为()25分）欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数e，虚数单位i与三角函数cosθ,sinθ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z=，则z的虚部为()35分）已知圆Mx﹣2）2+（y﹣1）2＝1，圆Nx+2）2+（y+1）2＝1，则下列不是M，N两圆公切线的直线方程为()A．y＝045分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°,PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°,则△PAC的面积为()55分）在数列{an}中，a1＝1，且函数f（xx5+an+1sinx2an+3）x+3的导函数有唯一零点，则a9的值为()A．(−1，)B．(，)C．(，)D．(，)75分）已知椭圆+=1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，x轴上方两点A，B在椭圆上，AF1与BF2平行，AF2交BF1于P．过P且倾斜角为α(α≠0）的直线从上到下依次交椭圆于S，T．若|PS|=β|PT|，则“α为定值”是“β为定值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不必要也不充分条件85分）在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数f（xaxex﹣ln（ax）和g(x)=2ln(−1)图象上的动点，若对任意a＞0，有|PQ|≥m恒成立，则实数m的最大值为()二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）95分）已知向量=(1，3)，=(2x，2−x)，其中x∈R，下列说法正确的是()→→A．若a⊥b，则x＝6→→B．若a与b夹角为锐角，则x＜6→C．若x＝1，则a在b方向上投影向量为b→（多选）105分）已知函数f（xx3+ax2+bx+c（a，b，c∈R则下列说法正确的是()A．若函数f（x）的图象关于点（1，f（1中心对称，则a=﹣3B．当c＝0时，函数f（x）过原点的切线有且仅有两条C．函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减的充要条件是2a﹣b≥3D．若实数x1，x2是f（x）的两个不同的极值点，且满足x1+x2＝x1x2，则a＞0或a<﹣6（多选）115分）已知函数f（x2sinx+|sin2x|，则()A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的图象关于x=对称C．f（x）在[0，2π]上有四个零点D．f（x）的值域为[−2，]（多选）125分）已知抛物线C：y2＝4x，过焦点F的直线l与C交于A（x1，y1B（x2，y2）两点，y1＞2，E与F关于原点对称，直线AB与直线AE的倾斜角分别是α与β,则()A．sinα>tanβB.∠AEF=∠BEFC.∠AEB＜90°D.α＜2β三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.135分）(2x−y)5展开式中x2y3的系数为（用数字作答）145分）已知某批零件的质量指标ξ（单位：毫米）服从正态分布N（25.40，σ2且P(ξ≥25.45）=0.1，现从该批零件中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值ξ不位于区间（25.35，25.45）的产品件数，则D（X）=.155分）已知f（x）为奇函数，当x∈（0，1]，f（xlnx，且f（x）关于直线x＝1对称．设方程f（x）=x+1的正数解为x1，x2，⋯,xn，⋯,且任意的n∈N，总存在实数M，使得|xn+1﹣xn|＜M成立，则实数M的最小值为.165分）在平面四边形ABCD中，∠ADB＝90°,∠ABC＝90°,BD＝BC＝2，沿对角线BD将△折起，使平面ADB⊥平面BDC，得到三棱锥A﹣BCD，则三棱锥A﹣BCD外接球表面积的最小值四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1710分）已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足sn=()2. ；=，设数列{bn}的前n项和为Tn，若m2＜Tn＜对一切n∈N*恒成立，求1812分）记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知siB)=si（1）求证：B＝C；（2）若asinC＝2，求+的最大值.1912分）如图4，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1为等腰梯形，且A1C1＝AA1＝1，D为A1C1的中点.（1）证明：AC⊥BD；（2）记二面角A1﹣AC﹣B的大小为θ,θ∈[，]时，求直线AA1与平面BB1C1C所成角的正弦值的取值范围.2012分）已知函数f（xex+cosx﹣2，f'（x）为f（x）的导数.（1）当x≥0时，求f'（x）的最小值；（2）当x≥时，xex+xcosx﹣ax2﹣2x≥0恒成立，求a的取值范围.2112分）甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码．一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜．由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3、乙胜的概率为0.2.（1）第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和期望；（2）求四局比赛后，比赛结束的概率；2212分）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线MA与直线y＝x垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线y=﹣x垂直，B为垂足且位于第二象限．四边形OAMB（O为原点）的面积为2，记动点M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）点E(22，0)，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别为k1，k2，k3．若(+)⋅k3=−6，求△PQE周长的取值范围.2022-2023学年福建省福州市四校联考高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15分）设集合A＝{（x，y）|y＝2x}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B的元素个数为()【解答】解：如图，集合A为函数y＝2x图象的点集，集合B为函数y＝x2图象的点集，两函数的图象有三个交点，所以A∩B的元素个数为3个.故选：C.25分）欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数e，虚数单位i与三角函数cosθ,sinθ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z=，则z的虚部为()【解答】解：z=e=ei=cos+sini=+i，其虚部为.故选：D.35分）已知圆Mx﹣2）2+（y﹣1）2＝1，圆Nx+2）2+（y+1）2＝1，则下列不是M，N两圆公切线的直线方程为()A．y＝0【解答】解：如图，圆心M（2，1N(﹣21半径r1＝r2＝1，两圆相离，有四条公切线.另两条切线与直线MN平行且相距为1，lMN：y=1 x x设切线l：y=x+b，则=1，解得b=±（或通过斜率排除所以D项不正确.故选：D.45分）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°,PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P﹣AC﹣O为45°,则△PAC的面积为()【解答】解：如图所示，∵AB为底面直径，∠APB＝120°,PA＝2，∴△PAB是等腰三角形，由余弦定理可得AB2=AP2+BP2−2AP⋅BP⋅cOS120°=12⇒AB=23=2OA，PO=PA2−OA2=由圆锥的特征易知PA＝PC、OA＝OC，PO⊥⊙O，取AC中点D，连接PD、OD，显然有OD⊥AC，PD⊥AC，即二面角P﹣AC﹣O为∠PDO＝45°,∴PO=OD=1，PD=2，则AC=2AD=2PA2−PD2∴S△PAC=AC⋅PD=2.故选：B.55分）在数列{an}中，a1＝1，且函数f（xx5+an+1sinx2an+3）x+3的导函数有唯一零点，则a9的值为()A．1021B．1022C．1023D．1024【解答】解：f′（x5x4+an+1cosx2an+3易知函数f′（x）为偶函数，又f′（x）有唯一零点，则必有f′（0）＝an+1﹣（2an+3）＝0，即an+1＝2an+3，则有an+1+3＝2（an+3所以数列{an+3}是以2为公比的等比数列，则an+3=4×2n−1，6AABC中，sin(B)=cos2A，则AC的取值范围是()A．(−1，)B．(，)C．(，)D．(，)【解答】解：由题意，sin(B)=cosB=cos2A，所以2A＝B，C=π﹣A﹣B=π﹣A﹣2A=π﹣3A，因为C=π﹣3A∈（0，π),所以A∈(0，)，n=2sinA=sinnA， 2cosA−12cosA−14cos2A−1(2cosA−1)(2cosA+1)，==因为A∈(0，)，所以2cosA﹣1＞0，故AC=，因为A∈(0，)，所以cOSA∈(，1)，2cosA∈（1，22cosA+1∈（2，3故选：B.75分）已知椭圆+=1(a＞b＞0)的两焦点为F1，F2，x轴上方两点A，B在椭圆上，AF1与BF2平行，AF2交BF1于P．过P且倾斜角为α(α≠0）的直线从上到下依次交椭圆于S，T．若|PS|=β|PT|，则“α为定值”是“β为定值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不必要也不充分条件【解答】解：不妨设M（x，y）为椭圆+=1(a＞b＞0)上的动点，c为椭圆的半焦距，所以|MF1|=(x+c)2+y2=(x+c)2+b2(1)不妨设直线l：x=，则点M到直线l的距离为d=|x+|，设直线MF1的倾斜角为γ,过M作l的垂线，垂足为S，同理，|F1P|=|A|)，此时|MF1||同理，|F1P|=|A|)，所以|MF1|=1sy，不妨设p=，此时|MF1|=1−osy，同理的|MF2|=1+osy，设AF1的倾斜角为θ,因为AF1∥BF2，则|F2P|=|B|)，此时|AFF2|=|A2P|==2a|1则|F2P|=|B|)，所以|F2P|+|F1P|=2a=2a−ep，则P的轨迹方程为+(a22)2=1，其中y＞0，因为a2≠a4+22+c4，所以不是定值，即即β不是定值，故“当α取定值，β是定值”不符合条件，又直线ST的参数方程为整理得(ca+sia)t2+2(x0sa+y0a)t++2−1=0，t1t2=因为|PS|=β|PT|，此时tc)，(x0sa+y0na(x0sa+y0na)2所以当P（x0，y0）变化时，(x0a)2始终为定值，(x0sa+y0na)2x2a+2x0y0coa+y02n2a+1x[ca−(]+2x0y0coa+b22a=x[]+1cos2acos2ab2sin2a则−(2=解得a=，b2sin2a 所以(2=(−1)=b2−1=b2×(a22)+y02−1但此时(2随y02的变化而变化，不是定值，则“当β取定值，α是定值”是错误的.故选：D.85分）在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数f（xaxex﹣ln（ax）和g(x)=2ln(−1)图象上的动点，若对任意a＞0，有|PQ|≥m恒成立，则实数m的最大值为()【．解答】解：因为点PQ2分别是函数f（x）axex﹣ln（ax）和g(x=22ln(−1)图象上的动点，不妨设P（k，akek﹣ln（aka，k＞0Q（t，2ln(−1))t＞1可得|PQ|2t﹣k）2+[（akek﹣ln（ak−2ln(−1)]²≥[t−2ln(−1)+akek−ln(ak)−k]2不妨设h（t2ln(−1)，数定义域为（1，+∞),可得ℎ'(t)=1−2[t1−(t−1)]=t2−t1ln(t−1)，不妨设u（tt²−t1+2ln（t﹣1函数定义域为（1，+∞),可得u'(t)=2t−(t)2+t1=2t(2)＞0，所以函数u（t）在定义域上单调递增，因为u（2）＝0，所以函数h（t）在t＝2时取得极小值即最小值，此时h（2）＝2，不妨设v（kakek﹣ln（akk，函数定义域为（0，+∞),可得v'(k)=a(k+1)ek1=(k+1)(aek)，易知函数y=aek在区间（0，+∞)上单调递增，所以存在k0＞0，使得aek0=0，解得k0=﹣ln（ak0所以函数v（k）在k＝k0时取得极小值即最小值，此时v（k0）＝1+k0﹣k0＝1，则|PQ|2≥=，解得|PQ|≥，因为对任意a＞0，都有|PQ|≥m恒成立，所以m≤，即m的最大值为.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）95分）已知向量=(1，3)，=(2x，2−x)，其中x∈R，下列说法正确的是()→→A．若a⊥b，则x＝6→→B．若a与b夹角为锐角，则x＜6→C．若x＝1，则a在b方向上投影向量为b→→a【解答】→a→→→若a⊥b，则a⋅→→→=2x+3(2−x)=0，解得x＝6，故A正确；若与夹角为锐角，则⋅=2x+3(2−x)＞0，解得x＜6，又当x=，=(，)，此时=，与夹角为0，故x的取值范围为(﹣∞,）∪(，+∞)，→→因为a在b方向上投影为→==5，与b同向的单位向量为→=(，)， →因为a在b方向上投影为→==5，与b同向的单位向量为→=(，)， |b||b|→所以a在b方向上投影向量为||=(2，1)=b，C正确；→→故选：AC.（多选）105分）已知函数f（xx3+ax2+bx+c（a，b，c∈R则下列说法正确的是()A．若函数f（x）的图象关于点（1，f（1中心对称，则a=﹣3B．当c＝0时，函数f（x）过原点的切线有且仅有两条C．函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减的充要条件是2a﹣b≥3D．若实数x1，x2是f（x）的两个不同的极值点，且满足x1+x2＝x1x2，则a＞0或a<﹣6【解答】解：A．函数f（xx3+ax2+bx+c，f′（x3x2+2ax+b，f″（x6x+2a，令f″（x）＝6x+2a＝0，解得x=，∵函数f（x）的图象关于点（1，f（1中心对称，∴=1，解得a=﹣3，因此A正确.B．c＝0时，原点（0，0）在函数f（xx3+ax2+bx的图象上，因此过原点有一条切线；若切点不是原点时，设切点为P（x0，f（x0x0≠0则切线方程为yx+ax+bx03x+2ax0+bx﹣x0把（0，0）代入可得：x0=，若a＝0，则函数f（x）过原点的切线有且仅有一条；若a≠0，则函数f（x）过原点的切线有两条．因此B不正确.C．函数f（x）在[﹣1，1]上单调递减⇔f′（x）＝3x2+2ax+b＝3(x+)2+b=g（x）≤0（不恒等于0）在[﹣1，1]上恒成立，其对称轴为x=.3，因此C正确.D．f′（x）＝3x2+2ax+b，由实数x1，x2是f（x）的两个不同的极值点，则Δ=4a2﹣12b＞0，即a2﹣3b＞0，∴x1+x2=，x1x2=，∴=，化为b=﹣2a，代入a2﹣3b＞0，可得a2+6a＞0，解得a＞0或a<﹣6，因此D正确.故选：ACD.（多选）115分）已知函数f（x2sinx+|sin2x|，则()A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的图象关于x=对称C．f（x）在[0，2π]上有四个零点D．f（x）的值域为[−2，]π【解答】解：对于A，函数y＝2sinx的最小正周期为2π,函数y＝|sin2x|的最小正周期为，2所以函数f（x）＝2sinx+|sin2x|的最小正周期为2π,选项A正确；对于B，f(﹣x+π)=2sin(﹣x+π)+|sin2(﹣x+π)|＝2sinx+|sin(﹣2x）|＝2sinx+|sin2x|＝f（x所以f（x）的图象关于直线x=对称，选项B正确；对于C，当0≤x≤时，f（x2sinx+sin2x＝2sinx+2sinxcosx＝2sinx（1+cosx易知此时f（x）有唯一零点x＝0；当＜x≤π时，f（x2sinx﹣sin2x＝2sinx﹣2sinxcosx＝2sinx（1﹣cosx易知此时f（x）有唯一零点x=π;当π＜x≤时，f（x2sinx+sin2x＝2sinx+2sinxcosx＝2sinx（1+cosx易知此时f（x）无零点；当＜x≤2π时，f（x2sinx﹣sin2x＝2sinx﹣2sinxcosx＝2sinx（1﹣cosx易知此时f（x）有唯一零点x＝2π,所以f（x）在[0，2π]上有三个零点，选项C错误；对于D，当x=时，y＝2sinx取得最小值﹣2，此时y＝|sin2x|恰好取得最小值0，故f（x）的最小值为﹣2；由选项C的分析可知，当x∈(π,2π]时，f（x0，当x∈[0，π]时，f（x0，而f（x）关于直线x=对称，故可考虑0≤x≤时，f（x2sinx+sin2x的取值情况，f′（x2cosx+2cos2x＝2（2cos2x﹣1）+2cosx=4cos2x+2cosx﹣2，令f′（x0，解得cosx=﹣1（舍）或cosx=，则x=，易知当0＜x<时，f′（x0，f（x）单调递增，当＜x<时，f′（x0，f（x）单调递减，所以此时，f(x)max=f()=2sin+sin=3+=，综上，函数f（x）的值域为[−2，].故选：ABD.（多选）125分）已知抛物线C：y2＝4x，过焦点F的直线l与C交于A（x1，y1B（x2，y2）两点，y1＞2，E与F关于原点对称，直线AB与直线AE的倾斜角分别是α与β,则()A．sinα>tanβB.∠AEF=∠BEFC.∠AEB＜90°D.α＜2β【解答】解：作AD⊥x轴于D，作BC⊥x轴于C，所以D（x1，0C（x2，0抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0整理得k2x22k2+4）x+k2＝0，所以x1+x2=，x1x2＝1，y=4x1，对于A，sinα==x1，tanβ==x1，所以sinα=tanβ,故A错误；对于B，因为kAE=，kBE=，所以kAE+kBE=+=k(x2−1)(1)(x2+1)=k×2x1xx2−2=0，所以直线AE与BE的倾斜角互补，即∠AEF=∠BEF，故B正确；对于C，因为x1＞1，所以tanβ==x1=1＜=1，即∠AED＜45°,因为∠AEF=∠BEF，所以∠AEB＜90°,故C正确；对于D，因为∠AEB＜90°,所以0°＜2β＜90°,tanα==x1，tanβ==x1，所以tanα﹣tan2β=211)=y1x1−1−2y1=−1＜0，故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分.135分）(2x−y)5展开式中x2y3的系数为﹣20（用数字作答）【解答】解：(2x−y)5的展开式的通项为Tr+1=c(2x)5−r⋅(−y)r=c(2)5−r⋅(−1)r⋅x5−ryr，取r＝3得到T4=c(2)2⋅(−1)3⋅x2y3=−20x2y3.故答案为20.145分）已知某批零件的质量指标ξ（单位：毫米）服从正态分布N（25.40，σ2且P(ξ≥25.45）=0.1，现从该批零件中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值ξ不位于区间（25.35，25.45）的产品件数，则D（X0.48.【解答】解：由正态分布的对称性可知，P（25.35<ξ＜25.45）＝1﹣2P(ξ≥25.45）＝1﹣0.2＝0.8，故1件产品的质量指标值ξ不位于区间（25.35，25.45）的概率P＝0.2，则X～B（3，0.2故D（X）＝3×0.2×（1﹣0.2）＝0.48.故答案为：0.48.155分）已知f（x）为奇函数，当x∈（0，1]，f（xlnx，且f（x）关于直线x＝1对称．设方程f（x）=x+1的正数解为x1，x2，⋯,xn，⋯,且任意的n∈N，总存在实数M，使得|xn+1﹣xn|＜M成立，则实数M的最小值为2.【解答】解：因为f（x）为奇函数，所以f（x）=﹣f(﹣x且f（00，又f（x）关于直线x＝1对称，所以f（1+xf（1﹣x所以f（2+xf(﹣x）=﹣f（x则f（4+x）=﹣f（2+xf（x所以函数f（x）是以4为周期的周期函数，作出函数y＝f（x）和y＝x+1的图像如图所示：所以xn+1−xn)=2.所以得任意的n∈N，|xn+1﹣xn|＜2，已知任意的n∈N，总存在实数M，使得|xn+1﹣xn|＜M成立，可得M≥2，即M的最小值为2.故答案为：2.165分）在平面四边形ABCD中，∠ADB＝90°,∠ABC＝90°,BD＝BC＝2，沿对角线BD将△折起，使平面ADB⊥平面BDC，得到三棱锥A﹣BCD，则三棱锥A﹣BCD外接球表面积的最小值为【解答】解：在平面四边形中，设∠CBD=θ（0<θ<∠ABD=θ,在Rt△ADB中，可得∠BAD=θ,AD=.在△BCD中，CD＝2BCsin=4sin.设△BCD外接圆圆心为M，外接圆半径为r，由正弦定理可得2r===，即r=.设三棱锥A﹣BCD外接球球心为O，则OM⊥平面BCD.又∵平面ADB⊥平面BDC，平面ADB∩平面BDC＝BD，∠ADB＝90°,∴AD⊥平面BDC，则AD∥OM，得四边形OMDA为直角梯形.设外接球的半径为R，在平面四边形OMDA中，过O作OE⊥AD于E，在△AOD中，AO＝DO＝R，E为AD的中点，OM＝DE=AD=,由DO2＝DE2+OE2，得R2＝DE2+r2=+，令3﹣2cosθ=t，1＜t＜3，则cosθ=3t，令3﹣2cosθ=t，1＜t＜3，则cosθ=3t，5,t5,t4−(t+)+6，4即t=5时（满足1＜t＜3）等号成立.∴外接球表面积的最小值为4πR2=4π×=(25+2)π.故答案为：(25+2)π.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.1710分）已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足sn=()2. ；=，设数列{bn}的前n项和为Tn，若m2＜Tn＜对一切n∈N*恒成立，求实数m的取值范围.【解答】解1）当n＝1时，a1=s1=()2，∴a1＝1，当n≥2时，an=sn−sn−1=()2−(an+1)2=a−a−1+(an−an−1)，即a−a−1−2(an+an−1)=0，∴（an+an﹣1an﹣an﹣1﹣20，由已知，数列{an}各项均为正数得an﹣an﹣1＝2，∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列，∴an＝2n﹣1；＜，＜，要使m2＜Tn＜恒成立，只需，解得≤m＜.所以实数m的取值范围是[，).1812分）记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知siB)=siC).（1）求证：B＝C；（2）若asinC＝2，求+的最大值.【解答】解1）证明：由于siB)=siC)，所以sinACOs（2）若asinC＝2，求+的最大值.整理的cosA（sinBcosC﹣cosBsinC）＝0，即cosAsin（B﹣C）＝0，因为A为锐角，所以cosA＞0，故sin（B﹣C）＝0，由B，C为锐角可得B＝C；因为asinC＝2，且由正弦定理得asinC＝csinA＝bsinA＝asinB＝2，所以a=，b=，11114(sin2A+sin2B)sin22B)=[sin2B+sin2(B+C)]=[sin2B+sin22B]=(1−Cs2B+ 3 8因为B<，所以＜B<，则＜2B<π,所以﹣1＜cos2B＜0，根据二次函数的性质可知，当COs2B=−时*）取得最大值.1912分）如图4，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是边长为2的正三角形，侧面ACC1A1为等腰梯形，且A1C1＝AA1＝1，D为A1C1的中点.（1）证明：AC⊥BD；（2）记二面角A1﹣AC﹣B的大小为θ,θ∈[，]时，求直线AA1与平面BB1C1C所成角的正弦值的取值范围.【解答】（1）证明：如图，作AC的中点M，连接DM，BM，在等腰梯形ACC1A1中，D，M为A1C1，AC的中点，∴AC⊥DM，在正△ABC中，M为AC的中点，∴AC⊥BM，∵AC⊥DM，AC⊥BM，DM∩BM＝M，DM，BM⊂平面BDM，∴AC⊥平面BDM，又BD⊂平面BDM，∴AC⊥BD.（2）解：∵AC⊥平面BDM，在平面BDM内作Mz⊥BM，以M为坐标原点，以MA，MB，Mz，分别为x，y，z，轴正向，如图建立空间直角坐标系，设平面BB1C1C的法向量为=(x，y，z)，=(1，3，0)，C1=(，COsθ,sinθ)，则有，1==00，即+sθ+zsinθ=0，可得令y=3，x=﹣3，z=3(sθ)，sinθ又A1=(，cosθ,sinθ)，∴sina=|cos＜A1，＞|=4+1−2cos2θ=,∴sina∈[，].2012分）已知函数f（xex+cosx﹣2，f'（x）为f（x）的导数.（1）当x≥0时，求f'（x）的最小值；（2）当x≥时，xex+xcosx﹣ax2﹣2x≥0恒成立，求a的取值范围.【解答】解1）f'（xex﹣sinx，令g（xex﹣sinx，x≥0，则g'（xex﹣cosx.当x∈[0，π)时，g'（x）为增函数，g'（x）≥g'（0）＝0；故x≥0时，g'（x）≥0，g（x）为增函数，故g（x）min＝g（0）＝1，即f'（x）的最小值为1.（2）令h（x）＝ex+cosx﹣2﹣ax，h'（x）＝ex﹣sinx﹣a，则x≥时，x•h（x）≥0恒成立.当a≤1时，若x≥0，则由（1）可知，h'（x）≥1﹣a≥0，所以h（x）为增函数，故h（x）≥h（0）＝0恒成立，即x•h（x）≥0恒成立；若x∈[，0]，则h''（x）＝ex﹣cosx，h'''（x）＝ex+sinx在[，0]上为增函数，）＝故存在唯一x0∈(，0)，使得h'''（x0）＝0.当x∈(，x0)时，h'''（x0，h''（x）为减函数；x∈（x0，0）时，h'''（x）≥0，h''（x）为增函数.又ℎ″()=e，h''（0）＝0，故存在唯一x1∈(，0)使得h''（x1）＝0.故x∈(，x1)时，h''（x1）＞0，h'（x）为增函数；x∈（x1，0）时，h''（x10，h'（x）为减函数.）＝所以x∈[，0]时，h'（x0，h（x）为增函数，）＝当a＞1时，由（1）可知h'（xex﹣sinx﹣a在[0，+∞)上为增函数，且h'（0）＝1﹣a＜0，h'（1+a）≥e1+a﹣1﹣a＞0，故存在唯一x2∈（0，+∞),使得h'（x2）＝0.则当x∈（0，x2）时，h'（x0，h（x）为减函数，所以h（xh（00，此时x•h（x0，与x•h（x）≥0恒成立矛盾.综上所述，a≤1.2112分）甲、乙两人进行象棋比赛，赛前每人发3枚筹码．一局后负的一方，需将自己的一枚筹码给对方；若平局，双方的筹码不动，当一方无筹码时，比赛结束，另一方最终获胜．由以往两人的比赛结果可知，在一局中甲胜的概率为0.3、乙胜的概率为0.2.（1）第一局比赛后，甲的筹码个数记为X，求X的分布列和期望；（2）求四局比赛后，比赛结束的概率；明：{Pi+1﹣Pi}（i＝0，1，2，ⅆ,5）为等比数列.【解答】解1）X的所有可能取值为2，3，4，P（X＝2）＝0.2，P（X＝3）＝