小学数学竞赛 加乘原理之图论

7-3-3加乘原理之图论

:举国褐

1.复习乘法原理和加法原理；

2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力.

3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题.

在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分

步.并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合.

一'加乘原理概念

生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中

的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的.那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加

法原理来解决.

还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方

法.要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决.

二'加乘原理应用

应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：

⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的

不同方法数等于各类方法数之和.

⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘

积.

⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，

综合分析，正确作出分类和分步.

加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问

题可以使用加法原理解决.我们可以简记为：“加法分类，类类独立

乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不

可的，这样的问题可以使用乘法原理解决.我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”.

【例115条直线两两相交，没有两条直线平行，没有任何三条直线通过同一个点，以这5条直线的交点为

顶点能构成几个三角形？

【考点】加乘原理之图论【难度】3星【题型】解答

【解析】方法一：5条直线一共形成5x4+2=10个点，对于任何一个点，经过它有两条直线，每条直线上另

外有3个点，此外还有三个不共线的点，以这个点为顶点的三角形就有

3x3+3x3+3x3+3x2+2=30个三角形，以10个点分别为定点的三角形一共有300个三角形，但

每个三角形被重复计算3次，所以一共有100个三角形.

方法二：只要三点不共线就能构成三角形，所以我们先求出10个点中取出3个点的种数，再减去3

点共线的情况.这10个点是由5条直线互相相交得到的，在每条直线上都有4个点存在共线的情

况，这4个点中任意三个都共线，所以一共有5x[4x3x2;(3x2xl)]=20个三点共线的情况，除此

以外再也没有3点共线的情况(用反证法可证明之)，

所以一共可以构成10x9x8+(3x2x1)-20=100种情况.

【答案】100

【例2】如图，有这样的两条线，请问从这5个点中任选三个点可以构成个不同的三角形.

【考点】加乘原理之图论【难度】2星【题型】填空

【关键词】学而思杯，3年级，第4题

【解析】只要三点不共线，就能构成三角形。Cf-2=8个

【答案】8个

【例3】直线a,b上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形?

【考点】加乘原理之图论【难度】2星【题型】解答

【关键词】走美杯，4年级，决赛，第6题

【解析】画三角形需要在一条线上找1个点，另一条线上找2个点，本题分为两种情况：

⑴在a线上找一个点，有5种选取法，在b线上找两个点，有4x3+2=6种

根据乘法原理，一共有：5x6=30个三角形；

⑵在b线上找一个点，有4种选取法，在。线上找两个点，有5x4+2=10种

根据乘法原理，一共有：4x10=40个三角形；

根据加法原理，一共可以画出：30+40=70个三角形.

【答案】70

【巩固】直线a,b上分别有4个点和2个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形?

----•---,-----b

【考点】加乘原理之图论【难度】2星【题型】解答

【解析】画三角形需要在一条线上找1个点，另一条线上找2个点，本题分为两种情况：

⑴在。线上找一个点，有4种选取法，在方线上找两个点，有1种，根据乘法原理，一共有：4x1=4

个三角形；

⑵在b线上找一个点，有2种选取法，在a线上找两个点，有4x3+2=6种，根据乘法原理，一共有:

2x6=12个三角形；

根据加法原理，一共可以画出：4+12=16个三角形.

【答案】16

【巩固】直线a,b上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个四边形？

【考点】加乘原理之图论【难度】2星【题型】解答

【解析】画四边形需要在每条线上取2个点，

在°线上取2个点共有5x4+2=10种，

在b线上取2个点共有4x3+2=6种，

根据乘法原理，一共可以画出6x10=60个四边形.

【答案】60

【巩固】三条平行线上分别有2,4,3个点（下图），已知在不同直线上的任意三个点都不共线.问：以这些

点为顶点可以画出多少个不同的三角形？

【考点】加乘原理之图论【难度】3星【题型】解答

【解析】（方法一）本题分三角形的三个顶点在两条直线上和三条直线上两种情况

⑴三个顶点在两条直线上，

一共有4x3+2x2+3x2+2x2+3x2+2x4+4x3+2x3+4+3=55个

⑵三个顶点在三条直线上，由于不同直线上的任意三个点都不共线，

所以一共有：2x4x3=24个

根据加法原理，一共可以画出55+24=79个三角形.

（方法二）9个点任取三个点有9X8><7+（3X2><1）=84种取法，其中三个点都在第二条直线上有4种,

都在第三条直线上有1种，所以一共可以画出84-4-1=79个三角形.

【答案】79

【例4】一个半圆周上共有12个点，直径上5个，圆周上7个，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形?

【考点】加乘原理之图论【难度】2星【题型】解答

【解析】第一类：三角形三个顶点都在圆周上，这样的三角形一共有7x6x5-0x2x0=35种；

第二类：三角形两个顶点在圆周上，这样的三角形一共有7x6;C2xDx5=105种；

第三类：三角形一个顶点在圆周上，这样的三角形一共有7x5x4+QxD=70种；

根据加法原理，一共可以画出35+105+70=210种.

【答案】210

【例5】在一个圆周上均匀分布10个点，以这些点为顶点，可以画出多少不同的钝角三角形？（补充知识：

由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形，其中直径的边所对的角是直角，所以如

果圆周上三点在同一段半圆周上，则这三点构成钝角三角形）.

【考点】加乘原理之图论【难度】3星【题型】解答

【解析】由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取3个点，就可以画出

一个三角形，如果这三个点其中两点构成的线段小于直径，并且第三个点在被其余两点分割的较小

的圆周上，则这三个点构成钝角三角形，这样所有的钝角三角形可分为三类，第一类是长边端点之

间仅相隔一个点，这样的三角形有10x1=10个，第二类是长边端点之间相隔两个点，这样的三角形

有10x2=20个，第三类是长边端点之间相隔三个点，这样的三角形有10x3=30个，所以一共可以

画出10+20+30=60个钝角三角形.

【答案】60

【例6】从1至9这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈内，使在任意相邻两个圆圈内数字

之和都是不能被3整除的奇数，那么最多能找出种不同的挑法来.（六个数字相同、排列次

序不同的都算同一种）

【考点】加乘原理之图论【难度】2星【题型】解答

【关键词】迎春杯，决赛

【解析】显然任意两个相邻圆圈中的数只是一奇一偶，因此，应从2,4,6,8中选3个数填入3个不相邻的

圆圈中，下面就按此分类列举：

⑴填入2,4,6,这时3与9不能同时填入（否则总有一个与6相邻，3+6或9+6能被3整除），没

有3,9的有1种：1,5,7,经试填，不成立；有3或9的，其它3个奇数1,7中选一个，5必

选，有2种选法，因此有2x2=4种.

⑵填入2,4,8,这时1,7不能填入（因为7+2,7+8,1+2,1+8都能被3整除），从其余3个奇

数中选出1个，有1种选法.

⑶填入2,6,8,这时1,7不能填入，故无法填.

⑷填入4,6,8,这时3与9只能任选一个，1与7也只能任选1个，第三个数是5,因而有2x2=4

种选法.

根据加法原理，总共有4+1+0+4=9种选法.

【答案】9

7-3-3加乘原理之图论

即M蚱额举目褐

1.复习乘法原理和加法原理；

2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力.

3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题.

在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分

步.并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合.

许M蚱翅照前

一、加乘原理概念

生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中

的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的.那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加

法原理来解决.

还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方

法.要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决.

二、加乘原理应用

应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：

⑴加法原理是把完成一■件事的方法分成几类，每一1类中的任何一■种方法都能完成任务，所以完成任务的

不同方法数等于各类方法数之和.

⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘

积.

⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理,

综合分析，正确作出分类和分步.

加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问

题可以使用加法原理解决.我们可以简记为：”加法分类，类类独立

乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不

可的，这样的问题可以使用乘法原理解决.我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”.

即蝴4魔幽

【例7】5条直线两两相交，没有两条直线平行，没有任何三条直线通过同一个点，以这5条直线的交点为

顶点能构成几个三角形？

【考点】加乘原理之图论【难度】3星【题型】解答

【解析】方法一：5条直线一共形成5x4+2=10个点，对于任何一个点，经过它有两条直线，每条直线上另

外有3个点，此外还有三个不共线的点，以这个点为顶点的三角形就有

3x3+3x3+3x3+3x2+2=30个三角形，以10个点分别为定点的三角形一共有300个三角形，但

每个三角形被重复计算3次，所以一共有100个三角形.

方法二：只要三点不共线就能构成三角形，所以我们先求出10个点中取出3个点的种数，再减去3

点共线的情况.这10个点是由5条直线互相相交得到的，在每条直线上都有4个点存在共线的情

况，这4个点中任意三个都共线，所以一共有5x[4x3x2+(3x2xl)]=20个三点共线的情况，除此

以外再也没有3点共线的情况(用反证法可证明之)，

所以一共可以构成10x9x8+(3x2x1)-20=100种情况.

【答案】100

【例8】如图，有这样的两条线，请问从这5个点中任选三个点可以构成个不同的三角形.

【考点】加乘原理之图论【难度】2星【题型】填空

【关键词】学而思杯，3年级，第4题

【解析】只要三点不共线，就能构成三角形。Cf-2=8个

【答案】8个

【例9】直线a,b上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形?

a

【考点】加乘原理之图论【难度】2星【题型】解答

【关键词】走美杯，4年级，决赛，第6题

【解析】画三角形需要在一条线上找1个点，另一条线上找2个点，本题分为两种情况:

⑴在°线上找一个点，有5种选取法，在b线上找两个点，有4x3+2=6种

根据乘法原理，一共有：5x6=30个三角形；

⑵在b线上找一个点，有4种选取法，在。线上找两个点，有5x4+2=10种

根据乘法原理，一共有：4x10=40个三角形；

根据加法原理，一共可以画出：30+40=70个三角形.

【答案】70

【巩固】直线a,b上分别有4个点和2个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形?

--------•-------,----------b

【考点】加乘原理之图论【难度】2星【题型】解答

【解析】画三角形需要在一条线上找1个点，另一条线上找2个点，本题分为两种情况：

⑴在a线上找一个点，有4种选取法，在方线上找两个点，有1种，根据乘法原理，一共有：4x1=4

个三角形；

⑵在b线上找一个点，有2种选取法，在a线上找两个点，有4x3+2=6种，根据乘法原理，一共有:

2x6=12个三角形；

根据加法原理，一共可以画出：4+12=16个三角形.

【答案】16

【巩固】直线a,b上分别有5个点和4个点，以这些点为顶点可以画出多少个四边形？

【考点】加乘原理之图论【难度】2星【题型】解答

【解析】画四边形需要在每条线上取2个点，

在a线上取2个点共有5x4+2=10种，

在b线上取2个点共有4x3+2=6种，

根据乘法原理，一共可以画出6x10=60个四边形.

【答案】60

【巩固】三条平行线上分别有2,4,3个点（下图），已知在不同直线上的任意三个点都不共线.问：以这些

点为顶点可以画出多少个不同的三角形？

【考点】加乘原理之图论【难度】3星【题型】解答

【解析】（方法一）本题分三角形的三个顶点在两条直线上和三条直线上两种情况

⑴三个顶点在两条直线上，

■共有4x3+2x2+3x2+2x2+3x2+2x4+4x3+2x3+4+3=55个

⑵三个顶点在三条直线上，由于不同直线上的任意三个点都不共线，

所以一共有：2x4x3=24个

根据加法原理，一共可以画出55+24=79个三角形.

（方法二）9个点任取三个点有9x8x7+（3x2xl）=84种取法，其中三个点都在第二条直线上有4种,

都在第三条直线上有1种，所以一共可以画出84-4-1=79个三角形.

【答案】79

【例10】一个半圆周上共有12个点，直径上5个，圆周上7个，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形?

【考点】加乘原理之图论

【解析】第一类：三角形三个顶点都在圆周上，这样的三角形一共有7x6x5-0x2x0=35种;

第二类：三角形两个顶点在圆周上，这样的三角形一共有7x6;QxDx5=105种；

第三类：三角形一个顶点在圆周上，这样的三角形一共有7x5x4+QxD=70种；

根据加法原理，一共可以画出35+105+70=210种.

【答案】210

【例11】在一个圆周上均匀分布10个点，以这些点为顶点，可以画出多少不同的钝角三角形？（补充知识：

由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形，其中直径的边所对的角是直角，所以如

果圆周上三点在同一段半圆周上，则这三点构成钝角三角形）.

【考点】加乘原理之图论【难度】3星【题型】解答

【解析】由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取3个点，就可以画出

一个三角形，如果这三个点其中两点构成的线段小于直径，并且第三个点在被其余两点分割的较小

的圆周上，则这三个点构成钝角三角形，这样所有的钝角三角形可分为三类，第一类是长边端点之

间仅相隔一个点，这样的三角形有10x1=10个，第二类是长边端点之间相隔两个点，这样的三角形

有10x2=20个，第三类是长边端点之间相隔三个点，这样的三角形有10x3=30个，所以一共可以

画出10+20+30=60个钝角三角形.

【答案】60

【例12】从1至9这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈内，使在任意相邻两个圆圈内数字

之和都是不能被3整除的奇数，那么最多能找出种不同的挑法来.（六个数字相同、排列次

序不同的都算同一种）

【考点】加乘原理之图论【难度】2星【题型】解答

【关键词】迎春杯，决赛

【解析】显然任意两个相邻圆圈中的数只是一奇一偶，因此，应从2,4,6,8中选3个数填入3个不相邻的

圆圈中，下面就按此分类列举：

⑴填入2,4,6,这时3与9不能同时填入（否则总有一个与6相邻，3+6或9+6能被3整除），没

有3,9的有1种：1,5,7,经试填，不成立；有3或9的，其它3个奇数1,7中选一个，5必

选，有2种选法，因此有2x2=4种.

⑵填入2,4,8,这时1,7不能填入（因为7+2,7+8,1+2,1+8都能被3整除），从其余3个奇

数中选出1个，有1种选法.

⑶填入2,6,8,这时1,7不能填入，故无法填.

⑷填入4,6,8,这时3与9只能任选一个，1与7也只能任选1个，第三个数是5,因而有2x2=4

种选法.

根据加法原理，总共有4+1+0+4=9种选法.

【答案】9

一年级（上）

一.准备课

1.数一数

2.比多少

二位置

1.上、下、前、后

2.左、右

三.1—5的认识和加减法

1.1—5的认识

2.比多少

3.第几

4.分和合

5.加法

6.减法

7.0

四.认识图形（一）

认识图形

五.6—10的认识和加减法

1.6和7

2.8和9

3.10

4.连加、连减、加减混合

六.11—20各数的认识

1.11—20各数的认识

2.10加几、十几加几和相应的减法

七.认识钟表

认识钟表

八.20以内的进位加法

1.9力口几

2.8、7、9加几

35、4、3、2加几

4.解决问题

一年级（下）

一.认识图形（二）

认识图形

二.20以内的退位减法

1.十几减9

2.十几减8、7、6

3.十几减5、4、3、2

4.解决问题

三.分类与整理

分类与整理

四.100以内数的认识

1.数数、数的组成

2.数的顺序、比较大小

3.解决问题

4.整十数加一位数及相应的减法

五.认识人民币

1.认识人民币

2.简单的计算

六.100以内的加法和减法（一）

1.整十数加、减整十数

2.两位数加一位数、整十数

3.两位数减一位数、整十数

4.解决问题

七.找规律

1.找规律（一）

2.找规律（二）

二年级（上）

一.长度单位

1.厘米和米

2.线段

—.100以内的加法和减法（二）

1.加法

2.减法

3.连加、连减和加减混合

三.角的初步认识

1.认识角

2.认识直角

3.认识钝角和锐角

四.表内乘法（一）

1.乘法的初步认识

2.5的乘法口诀

3.2、3、4的乘法口诀

4.6的乘法口诀

五.观察物体（一）

观察物体（一）

六.表内乘法（二）

7、8、9的乘法口诀

七.认识时间

认识时间

八.数学广角一搭配（一）

数学广角一搭配（一）

二年级（下）

一.数据收集整理

数据收集整理

二.表内除法（一）

1.除法的初步认识

2.用2-6的乘法口诀求商

3.解决问题

三.图形的运动（一）

1.轴对称图形

2.平移和旋转

四.表内除法（二）

1.用7、8、9的乘法口诀求商

2.解决问题

五.混合运算

混合运算

六.有余数的除法

1.有余数的除法的意义和计算

2.解决问题

七.万以内数的认识

1.1000以内数的识

2.10000以内数的认识

3.整百、整千数加减法

八.克和千克

克和千克

九.数学广角一推理

生活中的推理

三年级（上）

一.时、分、秒

1.秒的认识

2.时间的计算

二.万以内的加法和减法（一）

1.口算两位数加减两位数

2.几百几十加减几百几十

3.三位数加减三位数的估算

三.测量

1.毫米、分米的认识

2.千米的认识

3.吨的认识

四.万以内的加法和减法（二）

1.加法

2碱法

五•倍的认识

倍的认识

六.多位数乘一位数

1.口算乘法

2.笔算乘法

3.含0的乘法

4.估算与解决问题

七.长方形和正方形

1.四边形

2.周长、长方形和正方形周长

八.分数的初步认识

1.分数的初步认识（一）

2.分数的初步认识（二）

3.分数的简单计算

4.分数的简单应用

九.数学广角一一集合

集合思想

三年级（下）

一位置与方向（一）

1认识东、南、西、北四个方向

2认识东北、东南、西北、西南四个方向

二除数是一位数的除法

1口算除法

2一位数出两、三位数的笔算除法

3商的中间或末尾有0的笔算除法

4用估算解决问题

三复式统计表

复式统计表

四两位数乘两位数

1口算乘法

2笔算乘法

五面积

1面积和面积单位

2长方形、正方形面积的计算

3面积单位间的进率

六.年、月、日

1年、月、日

224时计时法

七小数的初步认识

1认识小数

2简单的小数加、减法

八数学广角一一搭配（二）

数学广角一一搭配（二）

四年级（上）

一大数的认识

1亿以内数的认识（一）

2亿以内数的认识（二）

3数的产生、十进制计数法和亿以上数的认识

4计算工具的认识、算盘和计算器

51亿有多大

二公顷和平方千米

1认识公顷

2认识平方千米

三角的度量

1线段、直线、射线和角

2角的度量

3角的分类

4画角

四三位数乘两位数

1笔算乘法（一）

2笔算乘法（二）

五平行四边形和梯形

1平行与垂直

2平行四边形和梯形

六除数是两位数的除法

1口算除法

2笔算除法（一）

3笔算除法（二）

4笔算除法（三）

5笔算除法（四）

6商的变化规律

七条形统计图

条形统计图

八数学广角一一优化

数学广角一一优化

四年级（下）

一四则运算

1加减法的意义和各部分间的关系

2乘除法的意义和各部分间的关系

3括号

二观察物体（二）

观察物体（二）

三运算定律

1加法运算定律

2乘法运算定律

四小数的意义和性质

1小数的意义和读写法

2小数的性质和大小比较

3小数点移动引起小数大小的变化

4小数与单位换算

5小数的近似数

五三角形

1三角形的特性

2三角形的分类

3三角形的内角和

六小数的加法和减法

1小数加减法

2小数加减混合运算

3整数加法运算定律推广到小数

七图形的运动（二）

1轴对称

2平移

八平均数与条形统计图

1平均数

2复式条形统计图

九数学广角一一鸡兔同笼

数学广角一一鸡兔同笼

五年级（上）

-小数乘法

1小数乘整数

2小数乘小数

3积的近似数

4整数乘法

二位置

位置

三小数除法

1除数是整数的小数除法

2一个数除以小数

3商的近似数

4循环小数

5用计算器探索规律

6解决问题

四可能性

事件发生的可能性

五简易方程

1用字母表示数

2方程的意义及等式的性质

3解方程

4实际问题与方法

六多边形的面积

1平行四边形的面积

2三角形的面积

3梯形的面积

4组合图形的面积

七数学广角一一植树问题

数学广角一一植树问题

五年级（下）

-观察物体（三）

观察物体（三）

二因数与倍数

1因数和倍数

22、5、3的倍数的特征

3质数和合数

三长方体和正方体

1长方体和正方体的认识

2长方体和正方体的表面积

3长方体和正方体的体积

4体积单位间的进率

5容积和容积单位

四分数的意义和性质

1分数的意义

2真分数和假分数

3分数的基本性质

4约分

5通分

6分数和小数的互化

五图形的运动（三）

图形的运动（三）

六分数的加法和减法

1同分母分数加减法

2异分母分数加减法

3分数加减混合运算

七折线统计图

折线统计图

八数学广角一一找次品

数学广角一一找次品

六年级（上）

一分数乘法

1分数乘法

2小数乘分数与分数混合运算

3解决问题

二位置与方向（二）

位置与方向

三分数除法

1倒数的认识

2分数除法

3分数四则混合运算

4分数应用题

四比

1比的意义

2比的基本性质

3比的应用

五圆

1圆的认识

2圆的周长

3圆的面积

4扇形

六百分数（一）

1百分数的意义和写法

2百分数与小数、分数的互化

3用百分数解决问题

七扇形统计图

扇形统计图

八数学广角一一数与形

六年级（下）

一负数

负数

二百分数（二）

1折扣

2成数

3税率

4利率

三圆柱与圆锥

1圆柱

2圆锥

四比例

1比例的意义和基本性质

2正比例和反比例的意义

3比例的应用

五数学广角一一鸽巢问题

数学广角一一鸽巢问题

小学五年级数学上册复习教学知识点归纳总结

第一单元小数乘法

1、小数乘整数:

@意义一一求几个相同加数的和的简便运算。

如：1.5X3表示求3个1.5的和的简便运算（或1.5的3倍是多少）。

@计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数

中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。

2、小数乘小数：

@意义一一就是求这个数的几分之几是多少。

如:1.5X0.8就是求1.5的十分之八是多少（或求1.5的1.8倍是多少）。

@计算方法：先把小数扩大成整数；按整数乘法的法则算出积；再看因数

中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。

注意：按整数算出积后，小数末尾的0要去掉，也就是把小数化简；位

数不够时，要用0占位。

3、规律：

'一个数（0除外）乘大于1的数，积比原来的数大；

Y

〔一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小。

4、求近似数的方法一般有三种：

⑴四舍五入法；⑵进一法；⑶去尾法

5、计算钱数，保留两位小数，表示计算到分；保留一位小数，表示计算

到角。

6、小数四则运算顺序和运算定律跟整数是一样的。

7、运算定律和性质：

@加法：

,加法交换律：a+b=b+a

Y

、加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

@减法：

-a-b-c=a-(b+c)

Y

ia-(b+c)=a-b-c

@乘法：

，乘法交换律：aXb=bXa

<乘法结合律：(aXb)Xc=aX(bXc)

〔乘法分配律：(a+b)Xc=aXc+bXc[(a-b)Xc=aXc-bXc]

@除法：

*a4-b-rc=a-i-(bXc)

1a4-(bXc)=a+b+c

第二单元位置

1、数对：由两个数组成，中间用逗号隔开，用括号括起来。括号里面的

数由左至右分别为列数和行数，即“先列后行”。

2、作用：一组数对确定唯——个点的位置。经度和纬度就是这个原理。

例：在方格图（平面直角坐标系）中用数对（3,5）表示（第三列，第

五行）。

注：（1）在平面直角坐标系中X轴上的坐标表示列，y轴上的坐标表示

行。如：数对（3,2）表示第三列，第二行。

（2）数对（X,5）的行号不变，表示一条横线，（5,Y）的列号不变，

表示一条竖线。（有一个数不确定，不能确定一个点）

2、图形左右平移行数不变；图形上下平移列数不变。

第三单元小数除法

1、小数除法的意义：已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因

数的运算。

如：0.6+0.3表示已知两个因数的积0.6与其中的一个因数0.3,求另

一个因数的运算。

2、小数除以整数的计算方法：小数除以整数，按整数除法的方法去除。

商的小数点要和被除数的小数点对齐。整数部分不够除，商0,点上小数点。

如果有余数，要添0再除。

3、除数是小数的除法的计算方法：先将除数和被除数扩大相同的倍数，

使除数变成整数，再按“除数是整数的小数除法”的法则进行计算。

注意：如果被除数的位数不够，在被除数的末尾用0补足。

4、在实际应用中，小数除法所得的商也可以根据需要用“四舍五入”法

保留一定的小数位数，求出商的近似数。

5、除法中的变化规律：

①商不变：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变。

②除数不变，被除数扩大，商随着扩大。

③被除数不变，除数缩小，商扩大。

6、循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字

依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小

数。

@循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字。如

6.3232的循环节是32.

7、小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。小数部分的位数是无

限的小数，叫做无限小数。

第四单元可能性

1、有些事件的发生是确定的，有些是不确定的。

「可能一A（不能确定）

可能性1不可能］

卜-►（确定）

I