从数学思维角度谈高考- 2018浙江高考展望

从数学思维角度谈高考

——2018浙江高考展望

噪州中学俞海东

引子：

数学思维：指在数学活动中的思维，是人脑和数学对象（空间形式、数量关系、

结构关系）交互作用并按照一定思维规律认识数学内容的内在理性活动.它既具

有思维的一般性质，又有自己的特性.最主要的特性表现在其思维的材料和结果

都是数学内容.

1.什么是观察：观察是有目的、有计划地通过视觉器官去认识数学对象、性质

以及相互关系的活动.观察过程是对数学思维材料的接收，或称数学思维信息的

输入过程.

例1设集合A={x|/+2x-3>0},B={x|x2-2ax-\<0,6r>1}

若AD5中恰含有一个整数，则实数〃的取值范围是（）

A（°十）BC［；,+8）D（l,4-oo）

例2已知x>yN0,求^^+旦最小值

x+yx-y

2.什么是实验：数学实验就是人们根据数学研究的需要，人为地、有目的地、

模拟地创设一些有利于观察的数学对象，并对其实行观察和研究的一种方式

例3已知|+ax+h\<c（a,beR,c>0）在［1,3］上恒成立，求c的最小值为.

3.什么是推理：推理：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的

结论的思维过程推理是形式逻辑是研究人们思维形式及其规律和一些简单的逻

辑方法

例4已知=2,求证：a+b<2

变：已知。3+/?3«2,能推出。+匕42

一、观察函数

【苏】别尔曼特一一函数的概念的定义：若对于一个变量的每一个数值，都对应

着另一个变量的一个确定的数值，则后一个变量叫做前一个变量的函数

,也就是说两个变量之间有函数关系

例5存在函数f(x)满足：对于任意xeR都有

A.f(sin2x)=sinxB.f(sin2x)=x2+xC.f(x2+l)=|x+l|D.f(x2+2x)=|x+11

1.已知定义域和对应关系得到值域

例6已知/(X)=匕2,x口,2],求值域

X

2.已知值域和对应关系得到定义域

例7已知/(x)=x+3.1+2,xe[a,b],若ye[20,6],求b-a最小值

x

3.观察函数的相似性

相似性

例8设a>0,b>0.

A,若2，+2a=2b+3b,则a>bB.^r2a+2a=2b+3b,则a<b

C.若2叱2a=2卜3忆则a>bD.若2、2a=2”3b,则a<b

3.分解

碰到函数的对应关系不是基本函数类型，无法直接作出图象的，就进入分解环节

函数的分解一般由五种形式

函数看成是两个函数的和F(x)=f(%)+g(x)

函数看成是两个函数的差b(x)=f(x)-g(x)

函数看成是两个函数的积F(x)=/(x)g(x)

函数看成是两个函数的商F(x)=四

g(x)

函数看成是两个函数的复合尸(X)=/(g(x))

内外分解(复合函数)的形象：将一个带进口与出口的小黑匣子，放入一

个带进口与出口的大黑匣子内对于从进口进入小黑匣子的任何X在出口有唯一

的t出来，对于从进口进入黑匣子的任何t在出口有唯一的y出来,其中t作为

中介，既受小黑匣子的制约，又受大黑匣子的制约，如图5所示

例9关于函数/(x)=sin2x—1g)'+g,有下面四个结论：

(1)/(x)是奇函数；(2)当x>2003时，恒成立；

(3)/(x)的最大值是|;(4)/(x)的最小值是-g.

其中正确结论的个数是().

A.1个B.2个C.3个D.4个

例10已知e为自然对数的底数，设函数/(x)=(/7)(x—l»(左=1,2),则()

A当上1时，/(X)以处取得极小值

B当&=1时，/(x)以x=l处取得极大值

C当上2时，f(x)以41处取得极小值

D当U2B寸，f(x)以x=l处取得极大值

二、观察多元函数：

文字表达：两个变量的每一对所考虑的数值对应着另一个变量的一个数值，则第

三个变量叫做前两个变量的函数

符号表达：z=/(x,y),(x,y)ED

如果让自变量之一例如x,保持常数x=a,而另一个变量y仍算作是可变的，

那么z=.f(x,y)就变成一个变量y的函数z=f(a,y)

同样如果让自变量之一例如x,保持常数y=人而另一个变量元仍算作是可变的,

那么z=/(x,y)就变成一个变量x的函数z=/(%,/?)

所以对于两元函数，如何处理成一元函数是关键

例11观察代数式的几何意义

若实数X,y满足x2+y2gl,则I2x+y—21+16—X—3y|的最小值是

三、实验

例12（浙江高考）设向量a,8满足：|a|=3,|b|=4,ab=O.以a,5,a—b的模

为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（）

A.3B.4C.5D.6

例13（2015年浙江高考）如图，已知△ABC,D是AB的中点，沿直线CD将△ACD翻折

成AACD,所成二面角A，一CD—B的平面角为a,则

A./ADBWaB.ZAfDB>aC.ZArCB<aD.ZAzCB>a

三、观察推理

1.何为代数，一个字“代”

例14对于正实数a,记为满足下述条件的函数/（x）构成的集合：VJZZGR且

X2>Xt,有_£（>2_玉）</02）_/（芭）<&（工2_玉）.下列结论中正确的是（）

A.若/(X)右此ig(x)eMa2,则/'(x>g(x)eMa|,a2

B.若g(x)&Ma2,且g(x)?0,则/里6加⑶

g(x)石

C.若/(x)eMa],g(x)6Ma2,则f(x)+g(x)Ga\+a2

D.若/(x)eMai，g(x)GMa2,且以>。2，则/(x)一g(x)e

2.由等式推出等式

在aABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2c2s4二3咨C=3c-2a,求q.

cosBbc

3由等式推出不等式

例15若且sinx=xcosy,则()

JQ尢XX

A.y<—B.—<y<—C.—<y<xD.x<y

“44~22J

例16.已知实数苍y满足/