用样本的数字特征估计总体的数字特征教材

2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征自

学

导

引

1.能根据实际问题的需要合理地选取样本,从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数､众数、中位数),并做出合理的解释.3.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.4.形成对数据处理过程进行初步评价的意识.1.众数､中位数､平均数众数:在样本数据中,频率分布最大值所对应的样本数据;中位数:样本数据中,累积频率为0.5时所对应的样本数据值(累积频率:样本数据小于某一数值的频率叫做该数值点的累积频率);或者定义为:将一组数据按大小顺序排列,把处在最中间位置的一个数据(或两个数据的平均数)叫这组数据的中位数.平均数:样本数据的算术平均数,即题型一众数､中位数､平均数的应用例1:某工厂人员及工资构成如下:人员 经理管理人员高级技工工人学徒合计周工资22002502202001002970人数16510 123合计22001500110020001006900典例剖析(1)指出这个问题中的众数､中位数､平均数;(2)这个问题中,平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗?为什么?分析:本题着眼于众数､中位数､平均数各自的特点,以及其适应对象.解:(1)由表格可知:众数为200.∵2200+1500=3700>1100+2000+100=3200,∴中位数为220.平均数(2200+1500+1100+2000+100)÷23=6900÷23=300.(2)不能.虽然平均数为300元/周,但由表格中所列出的数据可见,只有经理在平均数以上,其余的人都在平均数以下,故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资水平.(2)三种数字特征的优缺点①众数体现了样本数据的最大集中点,但显然它对其他数据信息的忽视使得它无法客观地反映总体特征.②中位数是样本数据所占频率的等分线,它不受少数几个极端值的影响,这在某些情况下是优点,但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点.③由于平均数与每一个样本的数据有关,所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变,这是众数､中位数都不具备的性质.也正因为这个原因,与众数､中位数比较起来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息.但平均数受数据中的极端值的影响较大,使平均数在估计总体时可靠性降低.变式训练1:在一次歌手大奖赛中,6位评委现场给每位歌手打分,然后去掉一个最高分和一个最低分,其余分数的平均数作为该歌手的成绩,已知6位评委给某位歌手的打分是:9.2,9.5,9.4,9.6,9.8,9.5.求这位歌手的得分及6位评委评分的众数和中位数.解:(1)该歌手得分为:

(9.5+9.4+9.5+9.6)=9.5.(2)9.5在这组数据中出现2次,出现次数最多,故评分的众数是9.5.(3)将这组数据按从小到大顺序排列后最中间的两个数都是9.5,故中位数是9.5.(1)众数､中位数､平均数与频率分布直方图的关系众数在样本数据的频率分布直方图中,就是最高矩形的中点的横坐标.在样本中,有50%的个体大于或等于中位数.因此,在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等,由此可以估计中位数的值.由于样本数据的频率分布直方图,只是直观地表明分布的形状,但是从直方图本身得不出原始的数据内容,所以由频率分布直方图得到的中位数估计值往往与样本的实际中位数值不一致.平均数显然是频率分布直方图的“重心”.在频率分布直方图中,平均数是直方图的平衡点.动动脑例2：在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图中，你认为众数应在哪个小矩形内？由此估计总体的众数、中位数、平均数分别是什么？月均用水量/t频率组距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O月均用水量/t频率组距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O例3:高一(2)班有男生27名,女生21名,在一次物理测试中,男生的平均分82分,中位数是75分,女生的平均分是80分,中位数是80分.(1)求这次测试全班平均分(精确到0.01).(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的学生至少有多少?(3)分析男生的平均分与中位数相差较大的主要原因是什么?分析:根据各种数的定义及意义解决问题.解:(1)由平均数公式得

(82×27+80×21)≈81.13(分).(2)∵男生的中位数是75,∴至少有14人得分不超过75分.又∵女生的中位数是80,∴至少有11人得分不超过80分.∴全班至少有25人得分低于80分.(3)男生的平均分与中位数的差别较大,说明男生中两极分化现象严重,得分高的和低的相差较大.变式训练4:某高校有甲､乙两个数学兴趣班,其中甲班40人,乙班50人,现分析两个班的一次考试成绩,算得甲班的平均成绩为90分,乙班的平均成绩为81分,则该校数学兴趣班的平均成绩是________分.解析:平均成绩为(90×40+81×50)×85基础强化1.已知一组数据为20､30､40､50､50､60､70､80,其中平均数､中位数和众数的大小关系是()A.平均数>中位数>众数 B.平均数<中位数<众数C.中位数<众数<平均数 D.众数=中位数=平均数解析:由所给数据知,众数为50,中位数为50,平均数为50,∴众数=中位数=平均数.答案:D2.已知一组数据按从小到大的顺序排列为-1,0,4,x,6,15,且这组数据中位数为5,那么数据中的众数为()A.5 B.6C.4 D.5.5解析:由中位数是5得,4+x=5×2,∴x=6.此时,这列数为-1,0,4,6,6,15,∴众数为6.答案:B3、10名工