广东省深圳市龙岗区兰陵中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试卷

2023-2024学年广东省深圳市龙岗区兰陵中学八年级（下）第一次月考数学试卷一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）若a＜b，则下列变形错误的是（）A．a﹣2＜b﹣2 B．2a+1＜2b+1 C．﹣2a＜﹣2b D．＜2．（3分）下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（）A． B． C． D．3．（3分）若关于x的不等式（m﹣1）x＜m﹣1的解集为x＞1，则m的值可以取（）A．0 B．2 C．4 D．64．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于M，N，直线MN交BC于点D，连接AD，若∠BAD＝45°，则∠B的度数为（）A．75° B．65° C．55° D．45°5．（3分）如图，已知OC平分∠AOB，CE⊥OB于点E，CD∥OB，∠COE＝15°，CD＝2，则CE＝（）A．1 B．2 C．3 D．46．（3分）如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（）A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点7．（3分）如图，一次函数y＝ax+b的图象经过A、B两点，则关于x的不等式ax+b＜0的解集是（）A．x＜﹣1 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＞28．（3分）某种商品的进价为80元，出售时标价为120元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打几折？如果将该商品打x折销售，则下列不等式中能正确表示该商店的促销方式的是（）A．120x≥80×5% B．120x﹣80≥80×5% C．120×≥80×5% D．120×﹣80≥80×5%9．（3分）如图，用一把长方形直尺的一边压住射线OB，再用另一把完全相同的直尺的一边压住射线OA，两把直尺的另一边交于点P．下列判断错误的是（）A．射线OP是∠AOB角平分线 B．△POC是等腰三角形 C．OP是∠AOB角平分线依据是角平分线上的点到这个角两边的距离相等 D．OP是∠AOB角平分线依据是在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上10．（3分）在Rt△ABC中，AC＝BC，点D为AB中点．∠GDH＝90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论①AE+BF＝AB，②AE2+BF2＝EF2，③S四边形CEDF＝S△ABC，④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是（）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）若a＜b，则﹣5﹣2a﹣5﹣2b．12．（3分）若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角为．13．（3分）一次函数y1＝4x+5与y2＝3x+10的图象如图所示，则y1＞y2的解集是．14．（3分）不超过数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如[3.4]＝3，[﹣2.1]＝﹣3，则满足关系式＝5的x的整数值有．15．（3分）如图，边长为6的等边三角形ABC中，D是BC上一点且BD＝4，CQ为△ABC的外角∠ACP的角平分线，将△ABD沿AD翻折得到△AED，DE交CQ于点F，则CF的长为．三.解答题（共6小题，满分47分）16．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的位置如图所示，点A′的坐标是（﹣2，2）．现将△ABC平移，使点A与点A′重合，点B、C的对应点分别是点B′、C′．（1）请画出平移后的△A′B′C′，并写出点B′的坐标；（2）点P是△ABC内的一点，当△ABC平移到△A′B′C′后，若点P的对应点P′的坐标为（a，b），则点P的坐标为．17．（8分）如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，分别以点A，点B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点M，点N，连接MN，交BC于点D．（1）求∠ADC的度数；（2）已知BD＝2，求△ADC的面积．18．（8分）开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本共350本，已知A种笔记本的进价为12元/本，B种笔记本的进价为15元/本，共计4800元．（1）请问购进了A种笔记本多少本？（2）在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．受疫情影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于2348元，请求出m的最小值．19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，连接BD，点G在BC的延长线上，且CD＝CG．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若BF＝3，求CG的长．20．（9分）问题探究：同学们在学习了函数、方程与不等式的关系后，某学习小组同学想要研究不等式组﹣1＜﹣2|x|+5≤3的解集，请按照该组同学的探究思路完成以下问题：首先令y＝﹣2|x|+5，再通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行了探究．如表y与x的几组对应值：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…﹣3﹣113531﹣1﹣3…（1）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，请你画出该函数的图象；并观察函数y＝﹣2|x|+5的图象，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是；（2）若A（m，n），B（6，n）为该函数图象上不同的两点，则m＝；（3）当﹣1＜﹣2|x|+5≤3时，自变量x的取值范围是；（4）定义，例如min（2，3）＝2，min（a2，a2﹣1）＝a2﹣1，则函数的最大值为．21．（9分）在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是射线AB上的动点，AE垂直于直线CD于点E，交直线BC于点F．（1）【探索发现】如图①，若点D在AB的延长线上，点E在线段CD上时，请猜想CF，BD，AB之间的数量关系为；（2）【拓展提升】如图②，若点D在线段AB上（不与点A，B重合），试猜想CF，BD，AB之间的数量关系，并说明理由；（3）【灵活应用】当AB＝3，时，直接写出线段BD的长为．

2023-2024学年广东省深圳市龙岗区兰陵中学八年级（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【解答】解：A、∵a＜b，∴a﹣2＜b﹣2，原变形正确，故本选项不符合题意；B、∵a＜b，∴2a+1＜2b+1，原变形正确，故本选项不符合题意；C、∵a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，原变形不正确，故本选项符合题意；D、∵a＜b，∴＜，原变形正确，故本选项不符合题意；故选：C．2．【解答】解：∵x＞1，∴1处为空心圆，且折线向右，∵x＜2，∴2处为空心圆，且折线向左，∴四个选项中只有D符合题意．故选：D．3．【解答】解：∵关于x的不等式（m﹣1）x＜m﹣1的解集为x＞1，∴m﹣1＜0，则m＜1，故选：A．4．【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝45°+30°＝75°，∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∴∠B＝180°﹣75°﹣30°＝75°．故选：A．5．【解答】解：过C作CH⊥AO于H，∵OC平分∠AOB，CE⊥OB于点E，∴CE＝CH，∠AOB＝2∠COE＝30°，∵CD∥OB，∴∠CDH＝∠AOB，∵∠AOB＝2∠COE＝30°，∴∠CDH＝30°，∴CH＝CD＝1，∴CE＝1．故选：A．6．【解答】解：∵中转仓到A、B两地的距离相等，∴中转仓的位置应选在边AB的垂直平分线上，同理，中转仓的位置应选在边AC、BC的垂直平分线上，∵中转仓到A、B、C三地的距离相等，∴中转仓的位置应选在三边垂直平分线的交点上，故选：A．7．【解答】解：∵当x＜2时，y＜0，即ax+b＜0，∴关于x的不等式ax+b＜0的解集是x＜2．故选：B．8．【解答】解：根据题意可得：120×﹣80≥80×5%．故选：D．9．【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE＝PF，∵PE⊥AO，PF⊥BO，∴∠PEO＝90°，∠PFO＝90°在△PEO和△PFO中，，∴△PEO≌△PFO（HL），∴∠POE＝∠POF，∴OP平分∠AOB，∴A选项和D选项说法正确．∵PE＝PF，PF＝OG，∴PE＝OG，∵长方形直尺，∴∠CGO＝90°，∴∠CGO＝CEP，在△CGO和△CEP中，，∴△GCO≌△ECP（AAS），∴OC＝PC，∴△POC为等腰三角形，∴B选项说法正确．故选：C．10．【解答】解：连接CD，∵AC＝BC，点D为AB中点，∠ACB＝90°，∴AD＝CD＝BD＝AB．∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ADC＝∠BDC＝90°．∴∠ADE+∠EDC＝90°，∵∠EDC+∠FDC＝∠GDH＝90°，∴∠ADE＝CDF．在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，DE＝DF，S△ADE＝S△CDF．∵AC＝BC，∴AC﹣AE＝BC﹣CF，∴CE＝BF．∵AC＝AE+CE，∴AC＝AE+BF．∵AC2+BC2＝AB2，∴AC＝AB，∴AE+BF＝AB．∵DE＝DF，∠GDH＝90°，∴△DEF始终为等腰直角三角形．∵CE2+CF2＝EF2，∴AE2+BF2＝EF2．∵S四边形CEDF＝S△EDC+S△EDF，∴S四边形CEDF＝S△EDC+S△ADE＝S△ABC．∴正确的有①②③④．故选D．二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．【解答】解：两边都乘以﹣2，得﹣2a＞﹣2b，两边都加﹣5，得﹣5﹣2a＞﹣5﹣2b，故答案为：＞．12．【解答】解：∵三角形为等腰三角形，且顶角为50°，∴底角＝（180°﹣50°）÷2＝65．故填65．13．【解答】解：观察函数图象得x＞5时，一次函数y1＝4x+5的图象在函数y2＝3x+10的图象的上方，故y1＞y2的解集是x＞5．故答案为：x＞5．14．【解答】解：由题意得，30≤3x+7＜36，23≤3x＜29，，∴满足关系式＝5的x的整数值有8，9．故答案为：8，9．15．【解答】解：连接CE，过点F作FH⊥BP于H，∵边长为6的等边△ABC，∴AB＝BC＝AC＝6，∠B＝∠ACB＝60°，∵BD＝4，∴CD＝BC﹣BD＝2，∵CQ为等边△ABC的外角∠ACP的角平分线，∴，由翻折得：AE＝AB，ED＝BD＝4，∠AED＝∠B＝60°，∴AE＝AC，∠AED＝∠ACQ＝60°，∴∠ACE＝∠AEC，∴∠ACE﹣∠ACQ＝∠AEC﹣∠AED，即∠ACE﹣60°＝∠AEC﹣60°，∴∠FCE＝∠FEC，∴FC＝FE，∵FH⊥BP，∠PCQ＝90°，∠PCQ＝60°，∴∠CFH＝30°，设CH＝x，则CF＝FE＝2x，，∴DF＝DE﹣FE＝4﹣2x，CH＝DC+CH＝2+x，在Rt△DHF中，由勾股定理，得，解得：，∴，故答案为：．三.解答题（共6小题，满分47分）16．【解答】解：（1）∵点A′的坐标是（﹣2，2），点A的坐标是（3，4），∴平移方向是先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，∵点B的坐标是（1，3），点C的坐标是（4，1），∴点B′的坐标是（﹣4，1），点C′的坐标是（﹣1，﹣1），∴平移后的△A′B′C′如图所示：（2）由（1）得：平移方向是先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度，∵点P的对应点P′的坐标为（a，b），∴点P的坐标为（a+5，b+2）；17．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，由作图可知，MN垂直平分线段AB，∴DB＝DA，∴∠B＝∠DAB＝30°，∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝60°．（2）∵∠ADC＝60°，∠C＝30°，∴∠DAC＝90°，∵DB＝DA＝2，∴AC＝AD＝2，∴S△ADC＝×AD×AC＝×2×2＝2．18．【解答】解：（1）设购进了A种笔记本x本，购进了B种笔记本y本，由题意得：，解得：，答：购进了A种笔记本150本，购进了B种笔记本200本；（2）由题意得：20m+25m+（150﹣m）×20×0.7+（200﹣m）×15﹣4800≥2348，解得：m≥128，答：m的最小值为128．19．【解答】（1）证明：∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∴∠AED＝∠CFD＝90°，∵D为AC的中点，∴AD＝CD，在Rt△ADE与Rt△CDF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），∴∠A＝ACB，∴AB＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形；（2）解：由（1）知，△AC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠G+∠CDG＝60°，∵CD＝CG，∴∠G＝∠CDG＝30°，连接BD，则∠DBC＝30°，∴BD＝GD，∴BF＝FG＝3，∵∠DFC＝90°，∠BCA＝60°，∴∠CDF＝30°，∴CF＝CD＝CG，∴CG＝2．20．【解答】解：（1）函数的图象如图的所示，根据图象可得：当y随x的增大而减小时，x的取值范围是x≥0；（2）把A（m，n），b（6，n），分别代入y＝﹣2|x|+5，得，则﹣2|m|+5＝﹣7，解得：m＝±6，∵A（m，n），b（6，n），该函数图象上不同的两点，∴m＝﹣6；（3）由图象可得：当﹣1＜﹣2|x|+5≤3时，自变量x的取值范围是﹣3＜x≤﹣1或1≤x＜3；（4）由图象可得：当时，y＝min（﹣2|x|+5，x）＝﹣2|x|+5，当时，y的最大值为；当时，y＝min（﹣2|x|+5＝x，当x＝2时，y的最大值为1；当x≥2时，y＝min（﹣2|x|+5，x）＝﹣2|x|+5，当x＝2时，y的最大值为1；综上，y的最大值为1．21．【解答】解：（1）AB＝CF+BD，理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AB，∠CBA＝∠CBD＝90°，∵AE⊥CD，∴∠AED＝∠AEC＝90°，∴