人教A版数学选修1－1课件第一章常用逻辑用语1.1.21.1.3

第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系四种命题四种命题间的相互关系2互动探究学案3课时作业学案1自主预习学案自主预习学案汉语是世界上美丽的语言．对于同样的几个字、几个词，不同的排列方式，往往产生不同的效果．在我们的校园里有着这样的宣传语：为了一切的孩子、为了孩子的一切、一切为了孩子，每一种表述有着不一样的意义．同样地，数学也是美丽的语言，这其中是否也有着同样的文字，但不同的排列含义不一样呢？1．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做__________，其中一个命题叫做_________，另一个叫做原命题的_________.2．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做___________，其中一个命题叫做_________，另一个叫做原命题的_________.3．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做_______________，其中一个命题叫做_________，另一个叫做原命题的___________.互逆命题

原命题

逆命题

互否命题

原命题

否命题

互为逆否命题

原命题

逆否命题

4．四种命题的相互关系5．(1)原命题为真，它的逆命题_________为真．(2)原命题为真，它的否命题_________为真．(3)原命题为真，它的逆否命题_______为真．即互为逆否的命题是等价命题，它们同_________同_________，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为_________的命题，它们同_______同______.不一定

不一定

一定

真

假

逆否

真

假

1．(2015·山东文)设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是(

)A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0[解析]

当原命题的条件和结论分别否定并交换时为逆否命题．D

2．(2016·山东滨州高二检测)当命题“若p，则q”为真时，下列命题中一定是真命题的是(

)A．若q，则p B．若¬p，则¬qC．若¬q，则¬p D．若¬p，则q[解析]

∵“若p，则q”为真，∴其逆否命题“若¬q，则¬p”一定为真．C3．(2016·浙江宁波高二检测)若命题p的逆命题是q，命题p的否命题是r，则命题q是命题r的(

)A．逆命题 B．否命题C．逆否命题 D．以上都不对[解析]

同一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，故选C．C4．(2016·浙江宁波高二检测)命题“对于正数a，若a>1，则lga>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中，真命题的个数为(

)A．0 B．1

C．2 D．4[解析]

原命题“对于正数a，若a>1，则lga>0”是真命题；逆命题“对于正数a，lga>0，则a>1”是真命题；否命题“对于正数a，若a≤1，则lga≤0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lga≤0，则a≤1”是真命题．D5．命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论.[解析]

是真命题．证明如下：解法一：∵m>0，∴Δ＝1＋4m>0，∴方程x2＋x－m＝0有实根，故原命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”是真命题．又∵原命题与它的逆否命题同真假，∴命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题也是真命题．互动探究学案

写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题．(1)负数的平方是正数；(2)正方形的四条边相等.[思路分析]

此题的题设和结论不很明显，因此首先将命题改写成“若p，则q”的形式，然后再写出它的逆命题、否命题与逆否命题．命题方向1⇨命题的四种形式之间的转换典例1玉[解析]

(1)改写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”．逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数．否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数．逆否命题：若一个数的平方不是正数，则它不是负数．(2)原命题可以写成：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．逆命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等．逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形．『规律方法』关于原命题的逆命题、否命题和逆否命题的写法：首先：把原命题整理成“若p，则q”的形式．其次：(1)“换位”(即交换命题的条件与结论)得到“若q，则p”，即为逆命题；(2)“换质”(即将原命题的条件与结论分别否定后作为条件和结论)得到“若非p，则非q”即为否命题；(3)既“换位”又“换质”(即把原命题的结论否定后作为新命题的条件，条件否定后作为新命题的结论)得到“若非q，则非p”即为逆否命题．关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写．〔跟踪练习1〕写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)若x2＋y2＝0，则x、y全为0；(2)若a＋b是偶数，则a、b都是偶数．[解析]

(1)逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0；否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为0；逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0.(2)逆命题：若a、b都是偶数，则a＋b是偶数；否命题：若a＋b不是偶数，则a、b不都是偶数；逆否命题：若a、b不都是偶数，则a＋b不是偶数．

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假.(1)若A∩B＝A，则A⊆B；(2)垂直于同一条直线的两直线平行；(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.[思路分析]

找准原命题的条件和结论，依照定义写出另外三种命题．命题方向2⇨四种命题的关系及真假判断典例2玉(2)逆命题：若两条直线平行，则它们垂直于同一条直线．真命题；否命题：若两条直线不垂直于同一条直线，则它们不平行．真命题；逆否命题：若两条直线互相不平行，则它们不垂直于同一条直线．假命题．(3)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0.真命题；否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0.真命题；逆否命题：若a≠0，且b≠0，则ab≠0.真命题．『规律方法』1.由原命题写出其他三种命题，关键是要分清原命题的条件与结论，尤其是写否命题和逆否命题时，要注意对原命题中条件和结论的否定，这种否定要从条件和结论的真假性上进行否定，而不是仅仅加上一个“不”字，为此可根据“互为逆否关系的命题同真假”进行检验．2．当一个命题是否定性命题且不易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假以达到目的．〔跟踪练习2〕(2016·北京昌平区高二检测)如果一个命题的逆命题是真命题，那么以下结论正确的是(

)A．该命题的否命题是真命题B．该命题的否命题是假命题C．该命题的原命题是假命题D．该命题的逆否命题是真命题[解析]

根据一个命题的逆命题和否命题同真同假，选项A正确．A我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.[思路分析]

已知函数f(x)的单调性，可将自变量的大小与函数值的大小关系相互转化，本题中条件较复杂，而结论比较简单，故转化为证明其逆否命题．命题方向3⇨正难则反，等价转化思想典例3[解析]

原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．”证明如下：若a＋b<0，则a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．

写出命题“已知a、b、c、d是实数，如果a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”的逆命题、否命题，并判断它们的真假.[错解]

逆命题：如果a＋c＝b＋d，则a、b、c、d是实数，且a＝b，c＝d.假命题．否命题：如果a、b、c、d不是实数，a≠b，c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．[错解分析]

上述解法没有弄清命题的条件，将大前提“a、b、c、d是实数”充当了条件．分清命题的条件与结论典例4[正解分析]

“a、b、c、d是实数不是条件，是大前提．”[正解]

逆命题：已知a、b、c、d是实数，如果a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．否命题：已知a、b、c、d是实数，如果a≠b，或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．C当一个命题的真假不容易证明时，常借助它的逆否命题的真假来证明；利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．关于命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否合题、逆否命题的真假性，下列结论成立的是(

)A．都真 B．都假C．否命题真 D．逆否命题真命题的间接证明典例5D[解析]

原命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”为真命题；逆命题“若{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下”为假命题，因为抛物线的开口也可能向上(a>0)；根据命题间的等价关系可知其否命题为假，逆否命题为真．故选D．『规律方法』由于原命题与其逆否命题是等价的，因此当我们证明或判断原命题感到困难时，可考虑证明它的逆否命题成立，这样也能达到证明原命题成立的目的．这种证法叫做逆否证法．1．命题“若a>0，则a>1”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是(

)A．0 B．1

C．2 D．3[解析]

逆命题：若a>1，则a>0，真命题．否命题：若a≤0，则a≤1，真命题．逆否命题：若a≤1，则a≤0，假命题．故应选C．C2．命题“若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的Δ＝b2－4ac<0，则方程无实根