甘肃省嘉峪关市一中新高考数学一模试卷及答案解析

甘肃省嘉峪关市一中新高考数学一模试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．2．已知函数，，若对任意的，存在实数满足，使得，则的最大值是()A．3 B．2 C．4 D．53．已知集合A={x|y=lg（4﹣x2）}，B={y|y=3x，x＞0}时，A∩B=（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|1≤x≤2}D．∅4．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时，表示收入完全不平等.记区域为不平等区域，表示其面积，为的面积，将称为基尼系数.对于下列说法：①越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为，则对，均有；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则；④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为，则.其中正确的是：A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④5．甲乙两人有三个不同的学习小组，，可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（）A．B．C．D．6．若为过椭圆中心的弦，为椭圆的焦点，则△面积的最大值为（）A．20 B．30 C．50 D．607．定义在R上的函数满足，为的导函数，已知的图象如图所示，若两个正数满足，的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知集合的所有三个元素的子集记为．记为集合中的最大元素，则（）A． B． C． D．9．已知m为实数，直线：，：，则“”是“”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件10．定义在上的函数满足，则（）A．-1 B．0 C．1 D．211．在中，，，，若，则实数()A． B． C． D．12．已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为（）A． B． C．8 D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．数列的前项和为，则数列的前项和_____．14．在等比数列中，，则________．15．已知实数，满足约束条件，则的最大值是__________.16．在区间内任意取一个数，则恰好为非负数的概率是________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆，左、右焦点为，点为上任意一点，若的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆的方程；（2）动直线过点与交于两点，在轴上是否存在定点，使成立，说明理由.18．（12分）已知函数（1）当时，证明，在恒成立；（2）若在处取得极大值，求的取值范围.19．（12分）已知函数，，（1）讨论的单调性；（2）若在定义域内有且仅有一个零点，且此时恒成立，求实数m的取值范围.20．（12分）已知圆上有一动点，点的坐标为，四边形为平行四边形，线段的垂直平分线交于点.（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点作直线与曲线交于两点，点的坐标为，直线与轴分别交于两点，求证：线段的中点为定点，并求出面积的最大值.21．（12分）已知函数，函数.（Ⅰ）判断函数的单调性；（Ⅱ）若时，对任意，不等式恒成立，求实数的最小值.22．（10分）某工厂生产一种产品的标准长度为，只要误差的绝对值不超过就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：（1）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；（2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求.现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

依据线性约束条件画出可行域，目标函数恒过，再分别讨论的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解【详解】作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中，直线过定点，当时，不等式表示直线及其左边的区域，不满足题意；当时，直线的斜率，不等式表示直线下方的区域，不满足题意；当时，直线的斜率，不等式表示直线上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，只需直线的斜率，解得.综上可得实数的取值范围为，故选：B.【点睛】本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题2、A【解析】

根据条件将问题转化为，对于恒成立，然后构造函数，然后求出的范围，进一步得到的最大值.【详解】，，对任意的，存在实数满足，使得，易得，即恒成立，，对于恒成立,设，则，令，在恒成立，，故存在，使得，即，当时，，单调递减；当时，，单调递增.,将代入得：，，且，故选：A【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题.3、B【解析】试题分析：由集合A中的函数y=lg(4-x2)，得到4-x2>0，解得：-2<x<2，∴集合A={x|-2<x<2}，由集合B中的函数考点：交集及其运算．4、A【解析】

对于①，根据基尼系数公式，可得基尼系数越小，不平等区域的面积越小，国民分配越公平，所以①正确.对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，由图得，均有，可得，所以②错误.对于③，因为，所以，所以③错误.对于④，因为，所以，所以④正确.故选A．5、A【解析】依题意，基本事件的总数有种，两个人参加同一个小组，方法数有种，故概率为.6、D【解析】

先设A点的坐标为，根据对称性可得，在表示出面积，由图象遏制，当点A在椭圆的顶点时，此时面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解.【详解】由题意，设A点的坐标为，根据对称性可得，则的面积为，当最大时，的面积最大，由图象可知，当点A在椭圆的上下顶点时，此时的面积最大，又由，可得椭圆的上下顶点坐标为，所以的面积的最大值为.故选：D.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化归与转化思想的应用.7、C【解析】

先从函数单调性判断的取值范围，再通过题中所给的是正数这一条件和常用不等式方法来确定的取值范围.【详解】由的图象知函数在区间单调递增，而，故由可知.故，又有，综上得的取值范围是.故选：C【点睛】本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题.8、B【解析】

分类讨论，分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数，即可得解.【详解】集合含有个元素的子集共有，所以．在集合中：最大元素为的集合有个；最大元素为的集合有；最大元素为的集合有；最大元素为的集合有；所以．故选：．【点睛】此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解.9、A【解析】

根据直线平行的等价条件，求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】当m=1时，两直线方程分别为直线l1：x+y﹣1=0，l2：x+y﹣2=0满足l1∥l2，即充分性成立，当m=0时，两直线方程分别为y﹣1=0，和﹣2x﹣2=0，不满足条件．当m≠0时，则l1∥l2⇒，由得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2，由得m≠2，则m=1，即“m=1”是“l1∥l2”的充要条件，故答案为：A【点睛】（1）本题主要考查充要条件的判断，考查两直线平行的等价条件，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题也可以利用下面的结论解答，直线和直线平行，则且两直线不重合,求出参数的值后要代入检验看两直线是否重合.10、C【解析】

推导出，由此能求出的值．【详解】∵定义在上的函数满足，∴，故选C．【点睛】本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题.11、D【解析】

将、用、表示，再代入中计算即可.【详解】由，知为的重心，所以，又，所以，，所以，.故选：D【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.12、C【解析】

由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简，结合基本不等式即可求解.【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，半焦距为，则，，设由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：，则当且仅当时，取等号.故选：C．【点睛】本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

解：两式作差，得，经过检验得出数列的通项公式，进而求得的通项公式，裂项相消求和即可．【详解】解：两式作差，得化简得，检验：当n=1时，，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；，，令故填：．【点睛】本题考查求数列的通项公式，裂项相消求数列的前n项和，解题过程中需要注意n的范围以及对特殊项的讨论，侧重考查运算能力．14、1【解析】

设等比数列的公比为,再根据题意用基本量法求解公比,进而利用等比数列项之间的关系得即可.【详解】设等比数列的公比为.由,得,解得.又由,得.则.故答案为：1【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的求解方法,属于基础题.15、【解析】

令，所求问题的最大值为,只需求出即可，作出可行域，利用几何意义即可解决.【详解】作出可行域，如图令，则，显然当直线经过时，最大，且，故的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数的最值问题，要做好此类题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题.16、【解析】

先分析非负数对应的区间长度，然后根据几何概型中的长度模型，即可求解出“恰好为非负数”的概率.【详解】当是非负数时，，区间长度是，又因为对应的区间长度是，所以“恰好为非负数”的概率是.故答案为：.【点睛】本题考查几何概型中的长度模型，难度较易.解答问题的关键是能判断出目标事件对应的区间长度.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）存在；详见解析【解析】

（1）由椭圆的性质得，解得后可得，从而得椭圆方程；（2）设，当直线斜率存在时，设为，代入椭圆方程，整理后应用韦达定理得，代入＝0由恒成立问题可求得．验证斜率不存在时也适合即得．【详解】解：（1）由题易知解得，所以椭圆方程为（2）设当直线斜率存在时，设为与椭圆方程联立得，显然所以因为化简解得即所以此时存在定点满足题意当直线斜率不存在时，显然也满足综上所述，存在定点，使成立【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定点问题，解题方法是设而不求的思想方法．设而不求思想方法是直线与圆锥曲线相交问题中常用方法，只要涉及交点坐标，一般就用此法．18、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）根据，求导，令，用导数法求其最小值.设研究在处左正右负，求导，分，，三种情况讨论求解.【详解】（1）因为，所以，令，则，所以是的增函数，故，即.因为所以，①当时，，所以函数在上单调递增.若，则若，则所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，所以在处取得极小值，不符合题意，②当时，所以函数在上单调递减.若，则若，则所以的单调递减区间是，单调递增区间是，所以在处取得极大值，符合题意.③当时，，使得，即，但当时，即所以函数在上单调递减，所以，即函数)在上单调递减，不符合题意综上所述，的取值范围是【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性和极值，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.19、（1）时，在上单调递增，时，在上递减，在上递增．（2）．【解析】

（1）求出导函数，分类讨论，由确定增区间，由确定减区间；（2）由，利用（1）首先得或，求出的最小值即可得结论．【详解】（1）函数定义域是，，当时，，单调递增；时，令得，时，，递减，时，，递增，综上所述，时，在上单调递增，时，在上递减，在上递增．（2）易知，由函数单调性，若有唯一零点，则或．当时，，，从而只需时，恒成立，即，令，，在上递减，在上递增，∴，从而．时，，，令，由，知在递减，在上递增，，∴．综上所述，的取值范围是．【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查函数零点个数与不等式恒成立问题，解题关键在于转化，不等式恒成立问题通常转化为求函数的最值．这又可通过导数求解．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解析】

（Ⅰ）先画出图形，结合垂直平分线和平行四边形性质可得为一定值，，故可确定点轨迹为椭圆（），进而求解；（Ⅱ）设直线方程为，点坐标分别为，联立直线与椭圆方程得，，分别由点斜式求得直线KA的方程为，令得，同理得，由结合韦达定理即可求解，而，当重合交于点时，可求最值；【详解】（Ⅰ），所以点的轨迹是一个椭圆，且长轴长，半焦距，所以，轨迹的方程为.（Ⅱ）当直线的斜率为0时，与曲线无交点.当直线的斜率不为0时，设过点的直线方程为，点坐标分别为.直线与椭圆方程联立得消去，得.则，.直线KA的方程为.令得.同理可得.所以.所以的中点为.不妨设点在点的上方，则.【点睛】本题考查根据椭圆的定义求椭圆的方程，椭圆中的定点定值问题，属于中档题21、(1)故函数在上单调递增，在上单调递减;(2).【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意得到的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性．（Ⅱ）分析题意可得对任意，恒成立，构造函数，则有对任意，恒成立，然后通过求函数的最值可得所求．试题解析：（I）由题意得，，∴.当时，，函数在上单调递增；当时，令，解得；令，解得.故函数在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递增；当时，函