任意角和弧度制及任意角的三角函数教师

课题：任意角和弧度制及任意角的三角函数【知识点一、象限角及终边相同的角】1．任意角、角的分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．③终边相同的角：终边与角α相同的角可写成α＋k·360°（k∈Z）．2．弧度制：①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝eq\f(l,r)，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值eq\f(l,r)与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．3．弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．【典型例题】【例1】下列与eq\f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是（）A．2kπ＋45°（k∈Z） B．k·360°＋eq\f(9,4)π（k∈Z）C．k·360°－315°（k∈Z） D．kπ＋eq\f(5π,4)（k∈Z）【答案】C．【解析】与eq\f(9π,4)的终边相同的角可以写成2kπ＋eq\f(9π,4)（k∈Z），但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．【例2】已知角α＝45°，（1）在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β；（2）设集合，判断两集合的关系．【答案】（1）β＝－675°或β＝－315°．（2）．【解析】（1）所有与角α有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°（k∈Z），则令－720°≤45°＋k×360°<0°，得－765°≤k×360°<－45°，解得－eq\f(765,360)≤k<－eq\f(45,360)，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°．（2）因为M＝{x|x＝（2k＋1）×45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N＝{x|x＝（k＋1）×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而．【例3】若且，则角θ的终边所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ>0,sin2θ>0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ>0，,cosθ>0))，故θ终边在第一象限．【举一反三】1．终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合为________．【答案】{α|α＝kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}【解析】终边在直线y＝eq\r(3)x上的角的集合为{α|α＝kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}．2．若角是第二象限角，试确定，的终边所在位置．【答案】角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上,的终边在第一象限或第三象限．【解析】∵角是第二象限角，∴，（1），∴角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上．【识点二、三角函数的定义】1．任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P（x，y），那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M．由三角函数的定义知，点P的坐标为（cos_α，sin_α），即P（cos_α，sin_α），其中cosα＝OM，sinα＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝AT．我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线4．扇形的弧长及面积公式弧长公式：l＝|α|r，扇形面积公式：S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2．【典型例题】【例1】已知角终边经过点，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于，所以由三角函数的定义可得，应选答案B．【例1】已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l．（1）若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l；（2）已知扇形的周长为10cm，面积是4cm2，求扇形的圆心角；（3）若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【答案】（1）eq\f(10π,3)（cm）．（2）圆心角为eq\f(1,2)．（3）l＝10，α＝2．【例3】已知角α的终边经过点P（m，－3），且cosα＝－eq\f(4,5)，则m等于（）A．－eq\f(11,4) B．eq\f(11,4)C．－4 D．4【答案】C【解析】由题意可知，cosα＝eq\f(m,\r(m2＋9))＝－eq\f(4,5)，又m<0，解得m＝－4．【例4】已知角α的终边与单位圆的交点P，则tanα＝（）eq\r(3) B．±eq\r(3)C．eq\f(\r(3),3) D．±eq\f(\r(3),3)【答案】B【解析】由|OP|2＝x2＋eq\f(3,4)＝1，得x＝±eq\f(1,2)，tanα＝±eq\r(3)．【例5】若扇形的圆心角，弦长，则弧长__________．【答案】【解析】画出图形，如图所示．设扇形的半径为rcm，由sin60°=，得r=4cm，∴l==×4=cm．【举一反三】1．已知角α的终边上有一点P（t，t2＋1）（t>0），则tanα的最小值为（）A．1 B．2C．eq\f(1,2) D．eq\r(2)【答案】B【解析】根据已知条件得tanα＝eq\f(t2＋1,t)＝t＋eq\f(1,t)≥2，当且仅当t＝1时，tanα取得最小值2．2．已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为（）eq\f(5π,6) B．eq\f(2π,3)C．eq\f(5π,3) D．eq\f(11π,6)【答案】D【解析】由题意知点P在第四象限，根据三角函数的定义得cosα＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)，故α＝2kπ－eq\f(π,6)（k∈Z），所以α的最小正值为eq\f(11π,6)．3．已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且cosα≤0，sinα>0，则实数a的取值范围是（）A．（－2,3] B．（－2,3）C．[－2,3） D．[－2,3]【答案】A【解析】∵cosα≤0，sinα>0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－9≤0，,a＋2>0，))∴－2<a≤3．故选A．4．已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋eq\f(3,cosα)的值．【答案】0【解析】设α终边上任一点为P（k，－3k），则r＝eq\r(k2＋－3k2)＝eq\r(10)|k|．当k>0时，r＝eq\r(10)k，∴sinα＝eq\f(－3k,\r(10)k)＝－eq\f(3,\r(10))，eq\f(1,cosα)＝eq\f(\r(10)k,k)＝eq\r(10)，∴10sinα＋eq\f(3,cosα)＝－3eq\r(10)＋3eq\r(10)＝0；当k<0时，r＝－eq\r(10)k，∴sinα＝eq\f(－3k,－\r(10)k)＝eq\f(3,\r(10))，eq\f(1,cosα)＝eq\f(－\r(10)k,k)＝－eq\r(10)，∴10sinα＋eq\f(3,cosα)＝3eq\r(10)－3eq\r(10)＝0．综上，10sinα＋eq\f(3,cosα)＝0．【课堂测评】1．一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为（）A．eq\f(π,3)B．eq\f(2π,3)C．eq\r(3) D．eq\r(2)【答案】C【解析】设圆的半径为R，则其内接正三角形的边长为eq\r(3)R，即该圆弧的弧长为eq\r(3)R，于是其圆心角的弧度数为eq\r(3)．故选C．2．下列三角函数值的符号判断错误的是（）A．sin165°＞0B．cos280°＞0C．tan170°＞0 D．tan310°＜0【答案】C【解析】165°是第二象限角，因此sin165°＞0正确；280°是第四象限角，因此cos280°＞0正确；170°是第二象限角，因此tan170°＜0，故C错误；310°是第四象限角，因此tan310°＜0正确．3．设θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，则eq\f(θ,2)是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B4．已知扇形的周长是4cm，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是（）A．2B．1C．eq\f(1,2)D．3【答案】A【解析】设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4，则面积S＝eq\f(1,2)rl＝eq\f(1,2)r（4－2r）＝－r2＋2r＝－（r－1）2＋1，∴当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2，从而α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,1)＝2．5．已知点在第二象限，则的一个变化区间是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】点在第二象限，则，由于，排除，则选C6．一扇形的圆心角为120°，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．【答案】（7＋4eq\r(3)）∶9【解析】设扇形半径为R，内切圆半径为r．则（R－r）sin60°＝r，即R＝1＋eq\f(2\r(3),3)r．又S扇＝eq\f(1,2)|α|R2＝eq\f(1,2)×eq\f(2π,3)×R2＝eq\f(π,3)R2＝eq\f(7＋4\r(3),9)πr2，∴eq\f(S扇,πr2)＝eq\f(7＋4\r(3),9)．7．已知角的终边过点,,求角的的正弦值、余弦值．易错分析：学生在做题时容易遗忘的情况．正确解析：当时，；当时，8．满足cosα≤－eq\f(1,2)的角α的集合为________【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|2kπ＋\f(2,3)π≤α≤2kπ＋\f(4,3)π，k∈Z))【课后练习】1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是（）A．eq\f(π,3)B．eq\f(π,6)C．－eq\f(π,3) D．－eq\f(π,6)【答案】C【解析】将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A、B不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的eq\f(1,6)．即为－eq\f(1,6)×2π＝－eq\f(π,3)．2．已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1＋cos40°），则α等于（）．A．10°B．20°C．70°D．80°【答案】C【解析】由已知分析可知，由二倍角的正余弦公式整理可得故α等于70°．3．已知角α和角β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－eq\f(π,3)，则sinα＝（）A．－eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)【答案】D【解析】因为角α和角β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋eq\f(π,2)（k∈Z），又β＝－eq\f(π,3)，所以α＝2kπ＋eq\f(5π,6)（k∈Z），即得sinα＝eq\f(1,2)．4．若α的终边过点P（2sin30°，－2cos30°），则sinα的值为（）A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),3)[来源Com]【答案】C【解析】P（2sin30°，－2cos30°）即P（1，－eq\r(3)），∴r＝2，故sinα＝－eq\f(\r(3),2)，故选C．5．三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为（sinA－cosB，cosA－sinC），则eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)的值是（）A．1 B．－1C．3 D．4【答案】B【解析】因为三角形ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A>90°－B，则sinA>sin（90°－B）＝cosB，sinA－cosB>0，同理cosA－sinC<0，所以点P在第四象限，eq\f(sinθ,|sinθ|)＋eq\f(cosθ,|cosθ|)＋eq\f(tanθ,|tanθ|)＝－1＋1－1＝－1．6．已知点在角的终边上，且，则的值为）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为点在角的终边上，由三角函数的定义可知，且点在第四象限，所以．7．若角满足，则的终边一定在（）A．第一象限或第二象限或第三象限B．第一象限或第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限或轴非正半轴上D．第一象限或第二象限或轴非正半轴上【答案】D【解析】当时，，终边位于第一象限，当时，，终边位于第二象限，当时，，终边位于轴的非正半轴上，当时，，终边位于第一象限，综上可知，则的终边一定在第一象限或第二象限或轴非正半轴上．故选D．8．若eq\f(3π,2)<α<2π，则直线eq\f(x,c