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文档简介
甘肃省天水市高三春季诊断性测试新高考数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,其中是虚数单位,则对应的点的坐标为()A. B. C. D.2.若,则下列关系式正确的个数是()①②③④A.1 B.2 C.3 D.43.是的()条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要4.连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为,连接4个焦点的四边形的面积为,则当取得最大值时,双曲线的离心率为()A. B. C. D.5.设f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则()A. B.C. D.6.已知,则的值构成的集合是()A. B. C. D.7.已知、分别是双曲线的左、右焦点,过作双曲线的一条渐近线的垂线,分别交两条渐近线于点、,过点作轴的垂线,垂足恰为,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.8.已知函数,其中表示不超过的最大正整数,则下列结论正确的是()A.的值域是 B.是奇函数C.是周期函数 D.是增函数9.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F且EF=,则下列结论中错误的是()A.AC⊥BE B.EF平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值 D.异面直线AE,BF所成的角为定值10.若函数的图象经过点,则函数图象的一条对称轴的方程可以为()A. B. C. D.11.已知为圆:上任意一点,,若线段的垂直平分线交直线于点,则点的轨迹方程为()A. B.C.() D.()12.已知数列的通项公式为,将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列,从上到下的行共个数的和,则数列的前2020项和为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知向量,且,则___________.14.函数的值域为_________.15.下图是一个算法的流程图,则输出的x的值为_______.16.已知函数,则函数的极大值为___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)为调研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次联考中,参考的文科生与理科生人数之比为,且成绩分布在的范围内,规定分数在50以上(含50)的作文被评为“优秀作文”,按文理科用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图,如图所示.其中构成以2为公比的等比数列.(1)求的值;(2)填写下面列联表,能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关?文科生理科生合计获奖6不获奖合计400(3)将上述调查所得的频率视为概率,现从全市参考学生中,任意抽取2名学生,记“获得优秀作文”的学生人数为,求的分布列及数学期望.附:,其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;(2)设点,若直线与曲线相交于、两点,求的值19.(12分)如图,四棱锥E﹣ABCD的侧棱DE与四棱锥F﹣ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直,,//,.(1)证明://平面BCE.(2)设平面ABF与平面CDF所成的二面角为θ,求.20.(12分)如图,三棱台的底面是正三角形,平面平面,.(1)求证:;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.21.(12分)年,山东省高考将全面实行“选”的模式(即:语文、数学、外语为必考科目,剩下的物理、化学、历史、地理、生物、政治六科任选三科进行考试).为了了解学生对物理学科的喜好程度,某高中从高一年级学生中随机抽取人做调查.统计显示,男生喜欢物理的有人,不喜欢物理的有人;女生喜欢物理的有人,不喜欢物理的有人.(1)据此资料判断是否有的把握认为“喜欢物理与性别有关”;(2)为了了解学生对选科的认识,年级决定召开学生座谈会.现从名男同学和名女同学(其中男女喜欢物理)中,选取名男同学和名女同学参加座谈会,记参加座谈会的人中喜欢物理的人数为,求的分布列及期望.,其中.22.(10分)设数列的前n项和满足,,,(1)证明:数列是等差数列,并求其通项公式﹔(2)设,求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
利用复数相等的条件求得,,则答案可求.【详解】由,得,.对应的点的坐标为,,.故选:.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查复数相等的条件,是基础题.2、D【解析】
a,b可看成是与和交点的横坐标,画出图象,数形结合处理.【详解】令,,作出图象如图,由,的图象可知,,,②正确;,,有,①正确;,,有,③正确;,,有,④正确.故选:D.【点睛】本题考查利用函数图象比较大小,考查学生数形结合的思想,是一道中档题.3、B【解析】
利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系,即可得出。【详解】设对应的集合是,由解得且对应的集合是,所以,故是的必要不充分条件,故选B。【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判断方法——集合关系法。设,如果,则是的充分条件;如果B则是的充分不必要条件;如果,则是的必要条件;如果,则是的必要不充分条件。4、D【解析】
先求出四个顶点、四个焦点的坐标,四个顶点构成一个菱形,求出菱形的面积,四个焦点构成正方形,求出其面积,利用重要不等式求得取得最大值时有,从而求得其离心率.【详解】双曲线与互为共轭双曲线,四个顶点的坐标为,四个焦点的坐标为,四个顶点形成的四边形的面积,四个焦点连线形成的四边形的面积,所以,当取得最大值时有,,离心率,故选:D.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题,涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点,焦点,菱形面积公式,重要不等式求最值,等轴双曲线的离心率,属于简单题目.5、D【解析】
利用是偶函数化简,结合在区间上的单调性,比较出三者的大小关系.【详解】是偶函数,,而,因为在上递减,,即.故选:D【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小,属于基础题.6、C【解析】
对分奇数、偶数进行讨论,利用诱导公式化简可得.【详解】为偶数时,;为奇数时,,则的值构成的集合为.【点睛】本题考查三角式的化简,诱导公式,分类讨论,属于基本题.7、B【解析】
设点位于第二象限,可求得点的坐标,再由直线与直线垂直,转化为两直线斜率之积为可得出的值,进而可求得双曲线的离心率.【详解】设点位于第二象限,由于轴,则点的横坐标为,纵坐标为,即点,由题意可知,直线与直线垂直,,,因此,双曲线的离心率为.故选:B.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算,解答的关键就是得出、、的等量关系,考查计算能力,属于中等题.8、C【解析】
根据表示不超过的最大正整数,可构建函数图象,即可分别判断值域、奇偶性、周期性、单调性,进而下结论.【详解】由表示不超过的最大正整数,其函数图象为选项A,函数,故错误;选项B,函数为非奇非偶函数,故错误;选项C,函数是以1为周期的周期函数,故正确;选项D,函数在区间上是增函数,但在整个定义域范围上不具备单调性,故错误.故选:C【点睛】本题考查对题干的理解,属于函数新定义问题,可作出图象分析性质,属于较难题.9、D【解析】
A.通过线面的垂直关系可证真假;B.根据线面平行可证真假;C.根据三棱锥的体积计算的公式可证真假;D.根据列举特殊情况可证真假.【详解】A.因为,所以平面,又因为平面,所以,故正确;B.因为,所以,且平面,平面,所以平面,故正确;C.因为为定值,到平面的距离为,所以为定值,故正确;D.当,,取为,如下图所示:因为,所以异面直线所成角为,且,当,,取为,如下图所示:因为,所以四边形是平行四边形,所以,所以异面直线所成角为,且,由此可知:异面直线所成角不是定值,故错误.故选:D.【点睛】本题考查立体几何中的综合应用,涉及到线面垂直与线面平行的证明、异面直线所成角以及三棱锥体积的计算,难度较难.注意求解异面直线所成角时,将直线平移至同一平面内.10、B【解析】
由点求得的值,化简解析式,根据三角函数对称轴的求法,求得的对称轴,由此确定正确选项.【详解】由题可知.所以令,得令,得故选:B【点睛】本小题主要考查根据三角函数图象上点的坐标求参数,考查三角恒等变换,考查三角函数对称轴的求法,属于中档题.11、B【解析】
如图所示:连接,根据垂直平分线知,,故轨迹为双曲线,计算得到答案.【详解】如图所示:连接,根据垂直平分线知,故,故轨迹为双曲线,,,,故,故轨迹方程为.故选:.【点睛】本题考查了轨迹方程,确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.12、D【解析】
由题意,设每一行的和为,可得,继而可求解,表示,裂项相消即可求解.【详解】由题意,设每一行的和为故因此:故故选:D【点睛】本题考查了等差数列型数阵的求和,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由向量平行的坐标表示得出,求解即可得出答案.【详解】因为,所以,解得.故答案为:【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数,属于基础题.14、【解析】
利用换元法,得到,利用导数求得函数的单调性和最值,即可得到函数的值域,得到答案.【详解】由题意,可得,令,,即,则,当时,,当时,,即在为增函数,在为减函数,又,,,故函数的值域为:.【点睛】本题主要考查了三角函数的最值,以及利用导数研究函数的单调性与最值,其中解答中合理利用换元法得到函数,再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键,着重考查了推理与预算能力,属于基础题.15、1【解析】
利用流程图,逐次进行运算,直到退出循环,得到输出值.【详解】第一次:x=4,y=11,第二次:x=5,y=32,第三次:x=1,y=14,此时14>10×1+3,输出x,故输出x的值为1.故答案为:.【点睛】本题主要考查程序框图的识别,“还原现场”是求解这类问题的良方,侧重考查逻辑推理的核心素养.16、【解析】
对函数求导,通过赋值,求得,再对函数单调性进行分析,求得极大值.【详解】,故解得,,令,解得函数在单调递增,在单调递减,故的极大值为故答案为:.【点睛】本题考查函数极值的求解,难点是要通过赋值,求出未知量.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),,.(2)填表见解析;在犯错误的概率不超过0.01的情况下,不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关(3)详见解析【解析】
(1)根据频率分步直方图和构成以2为公比的等比数列,即可得解;(2)由频率分步直方图算出相应的频数即可填写列联表,再用的计算公式运算即可;(3)获奖的概率为,随机变量,再根据二项分布即可求出其分布列与期望.【详解】解:(1)由频率分布直方图可知,,因为构成以2为公比的等比数列,所以,解得,所以,.故,,.(2)获奖的人数为人,因为参考的文科生与理科生人数之比为,所以400人中文科生的数量为,理科生的数量为.由表可知,获奖的文科生有6人,所以获奖的理科生有人,不获奖的文科生有人.于是可以得到列联表如下:文科生理科生合计获奖61420不获奖74306380合计80320400所以在犯错误的概率不超过0.01的情况下,不能认为“获得优秀作文”与“学生的文理科”有关.(3)由(2)可知,获奖的概率为,的可能取值为0,1,2,,,,分布列如下:012数学期望为.【点睛】本题考查频率分布直方图、统计案例和离散型随机变量的分布列与期望,考查学生的阅读理解能力和计算能力,属于中档题.18、(1)的普通方程为,的直角坐标方程为;(2).【解析】
(1)在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的普通方程,利用两角和的正弦公式以及可将直线的极坐标方程化为普通方程;(2)设直线的参数方程为(为参数),并设点、所对应的参数分别为、,利用韦达定理可求得的值.【详解】(1)由,得,,曲线的普通方程为,由,得,直线的直角坐标方程为;(2)设直线的参数方程为(为参数),代入,得,则,设、两点对应参数分别为、,,,,,.【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化,同时也考查了直线参数方程几何意义的应用,考查计算能力,属于中等题.19、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)根据线面垂直的性质定理,可得DE//BF,然后根据勾股定理计算可得BF=DE,最后利用线面平行的判定定理,可得结果.(2)利用建系的方法,可得平面ABF的一个法向量为,平面CDF的法向量为,然后利用向量的夹角公式以及平方关系,可得结果.【详解】(1)因为DE⊥平面ABCD,所以DEAD,因为AD=4,AE=5,DE=3,同理BF=3,又DE⊥平面ABCD,BF⊥平面ABCD,所以DE//BF,又BF=DE,所以平行四边形BEDF,故DF//BE,因为BE平面BCE,DF平面BCE所以DF//平面BCE;(2)建立如图空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(4,0,0),C(0,4,0),F(4,3,﹣3),,设平面CDF的法向量为,由,令x=3,得,易知平面ABF的一个法向量为,所以,故.【点睛】本题考查线面平行的判定以及利用建系方法解决面面角问题,属基础题.20、(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)取的中点为,连结,易证四边形为平行四边形,即,由于,为的中点,可得到,从而得到,即可证明平面,从而得到;(Ⅱ)易证,,两两垂直,以,,分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面的一个法向量为,设与平面所成角为,则,即可得到答案.【详解】解:(Ⅰ)取的中点为,连结.由是三棱台得,平面平面,从而.∵,∴,∴四边形为平行四边形,∴.∵,为的中点,∴,∴.∵平面平面,且交线为,平面
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