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开卷教育联盟高三最后一模新高考数学试题注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知倾斜角为的直线与直线垂直,则()A. B. C. D.2.已知,则()A. B. C. D.3.大衍数列,米源于我国古代文献《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和.已知该数列前10项是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则大衍数列中奇数项的通项公式为()A. B. C. D.4.已知函数的图像的一条对称轴为直线,且,则的最小值为()A. B.0 C. D.5.在“一带一路”知识测验后,甲、乙、丙三人对成绩进行预测.甲:我的成绩比乙高.乙:丙的成绩比我和甲的都高.丙:我的成绩比乙高.成绩公布后,三人成绩互不相同且只有一个人预测正确,那么三人按成绩由高到低的次序为A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙6.设a,b,c为正数,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不修要条件7.已知,满足条件(为常数),若目标函数的最大值为9,则()A. B. C. D.8.已知双曲线:的左、右两个焦点分别为,,若存在点满足,则该双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.59.设函数,则使得成立的的取值范围是().A. B.C. D.10.已知,椭圆的方程,双曲线的方程为,和的离心率之积为,则的渐近线方程为()A. B. C. D.11.下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边,已知以直角边为直径的半圆的面积之比为,记,则()A. B. C.1 D.12.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.函数的定义域为,其图象如图所示.函数是定义域为的奇函数,满足,且当时,.给出下列三个结论:①;②函数在内有且仅有个零点;③不等式的解集为.其中,正确结论的序号是________.14.设随机变量服从正态分布,若,则的值是______.15.设,分别是定义在上的奇函数和偶函数,且,则_________16.已知为双曲线的左、右焦点,过点作直线与圆相切于点,且与双曲线的右支相交于点,若是上的一个靠近点的三等分点,且,则四边形的面积为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四面体中,.(1)求证:平面平面;(2)若,二面角为,求异面直线与所成角的余弦值.18.(12分)已知为各项均为整数的等差数列,为的前项和,若为和的等比中项,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求最大的正整数,使得.19.(12分)如图,在斜三棱柱中,平面平面,,,,均为正三角形,E为AB的中点.(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)求斜三棱柱截去三棱锥后剩余部分的体积.20.(12分)某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉,观景喷泉的示意图如图所示,两点为喷泉,圆心为的中点,其中米,半径米,市民可位于水池边缘任意一点处观赏.(1)若当时,,求此时的值;(2)设,且.(i)试将表示为的函数,并求出的取值范围;(ii)若同时要求市民在水池边缘任意一点处观赏喷泉时,观赏角度的最大值不小于,试求两处喷泉间距离的最小值.21.(12分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2是圆心为(2,),半径为1的圆.(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设M为曲线C1上的点,N为曲线C2上的点,求|MN|的取值范围.22.(10分)在国家“大众创业,万众创新”战略下,某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格试销,得到一组检测数据如表所示:试销价格(元)产品销量(件)已知变量且有线性负相关关系,现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲;乙;丙,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.(1)试判断谁的计算结果正确?(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过,则称该检测数据是“理想数据”,现从检测数据中随机抽取个,求“理想数据”的个数为的概率.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
倾斜角为的直线与直线垂直,利用相互垂直的直线斜率之间的关系,同角三角函数基本关系式即可得出结果.【详解】解:因为直线与直线垂直,所以,.又为直线倾斜角,解得.故选:D.【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系,同角三角函数基本关系式,考查计算能力,属于基础题.2、B【解析】
利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式化简求解即可.【详解】,本题正确选项:【点睛】本题考查诱导公式的应用,同角三角函数基本关系式的应用,考查计算能力.3、B【解析】
直接代入检验,排除其中三个即可.【详解】由题意,排除D,,排除A,C.同时B也满足,,,故选:B.【点睛】本题考查由数列的项选择通项公式,解题时可代入检验,利用排除法求解.4、D【解析】
运用辅助角公式,化简函数的解析式,由对称轴的方程,求得的值,得出函数的解析式,集合正弦函数的最值,即可求解,得到答案.【详解】由题意,函数为辅助角,由于函数的对称轴的方程为,且,即,解得,所以,又由,所以函数必须取得最大值和最小值,所以可设,,所以,当时,的最小值,故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质,其中解答中利用三角恒等变换的公式,化简函数的解析式,合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于中档试题.5、A【解析】
利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确,则乙、丙预测错误,则甲比乙成绩高,丙比乙成绩低,故3人成绩由高到低依次为甲,乙,丙;若乙预测正确,则丙预测也正确,不符合题意;若丙预测正确,则甲必预测错误,丙比乙的成绩高,乙比甲成绩高,即丙比甲,乙成绩都高,即乙预测正确,不符合题意,故选A.【点睛】本题将数学知识与时政结合,主要考查推理判断能力.题目有一定难度,注重了基础知识、逻辑推理能力的考查.6、B【解析】
根据不等式的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解:,,为正数,当,,时,满足,但不成立,即充分性不成立,若,则,即,即,即,成立,即必要性成立,则“”是“”的必要不充分条件,故选:.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合不等式的性质是解决本题的关键.7、B【解析】
由目标函数的最大值为9,我们可以画出满足条件件为常数)的可行域,根据目标函数的解析式形式,分析取得最优解的点的坐标,然后根据分析列出一个含参数的方程组,消参后即可得到的取值.【详解】画出,满足的为常数)可行域如下图:由于目标函数的最大值为9,可得直线与直线的交点,使目标函数取得最大值,将,代入得:.故选:.【点睛】如果约束条件中含有参数,我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域,分析取得最优解是哪两条直线的交点,然后得到一个含有参数的方程(组,代入另一条直线方程,消去,后,即可求出参数的值.8、B【解析】
利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求.【详解】.选B.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率,离心率求解时,一般是把已知条件,转化为a,b,c的关系式.9、B【解析】
由奇偶性定义可判断出为偶函数,由单调性的性质可知在上单调递增,由此知在上单调递减,从而将所求不等式化为,解绝对值不等式求得结果.【详解】由题意知:定义域为,,为偶函数,当时,,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,则在上单调递减,由得:,解得:或,的取值范围为.故选:.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题;奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性,单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系,进而化简不等式.10、A【解析】
根据椭圆与双曲线离心率的表示形式,结合和的离心率之积为,即可得的关系,进而得双曲线的离心率方程.【详解】椭圆的方程,双曲线的方程为,则椭圆离心率,双曲线的离心率,由和的离心率之积为,即,解得,所以渐近线方程为,化简可得,故选:A.【点睛】本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用,椭圆与双曲线离心率表示形式,双曲线渐近线方程求法,属于基础题.11、D【解析】
根据以直角边为直径的半圆的面积之比求得,即的值,由此求得和的值,进而求得所求表达式的值.【详解】由于直角边为直径的半圆的面积之比为,所以,即,所以,所以.故选:D【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,考查二倍角公式,属于基础题.12、A【解析】
由三视图知:几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱垂直于底面,结合直观图判断外接球球心的位置,求出半径,代入求得表面积公式计算.【详解】由三视图知:几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱垂直于底面,高为2,底面为等腰直角三角形,斜边长为,如图:的外接圆的圆心为斜边的中点,,且平面,,的中点为外接球的球心,半径,外接球表面积.故选:A【点睛】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积,根据三视图判断几何体的结构特征,利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、①③【解析】
利用奇函数和,得出函数的周期为,由图可直接判断①;利用赋值法求得,结合,进而可判断函数在内的零点个数,可判断②的正误;采用换元法,结合图象即可得解,可判断③的正误.综合可得出结论.【详解】因为函数是奇函数,所以,又,所以,即,所以,函数的周期为.对于①,由于函数是上的奇函数,所以,,故①正确;对于②,,令,可得,得,所以,函数在区间上的零点为和.因为函数的周期为,所以函数在内有个零点,分别是、、、、,故②错误;对于③,令,则需求的解集,由图象可知,,所以,故③正确.故答案为:①③.【点睛】本题考查函数的图象与性质,涉及奇偶性、周期性和零点等知识点,考查学生分析问题的能力和数形结合能力,属于中等题.14、1【解析】
由题得,解不等式得解.【详解】因为,所以,所以c=1.故答案为1【点睛】本题主要考查正态分布的图像和性质,意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.15、1【解析】
令,结合函数的奇偶性,求得,即可求解的值,得到答案.【详解】由题意,函数分别是上的奇函数和偶函数,且,令,可得,所以.故答案为:1.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用,其中解答中熟记函数的奇偶性,合理赋值求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.16、60【解析】
根据题中给的信息与双曲线的定义可求得与,再在中,由余弦定理求解得,继而得到各边的长度,再根据计算求解即可.【详解】如图所示:设双曲线的半焦距为.因为,,,所以由勾股定理,得.所以.因为是上一个靠近点的三等分点,是的中点,所以.由双曲线的定义可知:,所以.在中,由余弦定理可得,所以,整理可得.所以,解得.所以.则.则,得.则的底边上的高为.所以.故答案为:60【点睛】本题主要考查了双曲线中利用定义与余弦定理求解线段长度与面积的方法,需要根据双曲线的定义表示各边的长度,再在合适的三角形里面利用余弦定理求得基本量的关系.属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)取中点连接,得,可得,可证,可得,进而平面,即可证明结论;(2)设分别为边的中点,连,可得,,可得(或补角)是异面直线与所成的角,,可得,为二面角的平面角,即,设,求解,即可得出结论.【详解】(1)证明:取中点连接,由则,则,故,,平面,又平面,故平面平面(2)解法一:设分别为边的中点,则,(或补角)是异面直线与所成的角.设为边的中点,则,由知.又由(1)有平面,平面,所以为二面角的平面角,,设则在中,从而在中,,又,从而在中,因,,因此,异面直线与所成角的余弦值为.解法二:过点作交于点由(1)易知两两垂直,以为原点,射线分别为轴,轴,轴的正半轴,建立空间直角坐标系.不妨设,由,易知点的坐标分别为则显然向量是平面的法向量已知二面角为,设,则设平面的法向量为,则令,则由由上式整理得,解之得(舍)或,因此,异面直线与所成角的余弦值为.【点睛】本题考查空间点、线、面位置关系,证明平面与平面垂直,考查空间角,涉及到二面角、异面直线所成的角,做出空间角对应的平面角是解题的关键,或用空间向量法求角,意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力,属于中档题.18、(1)(2)1008【解析】
(1)用基本量求出首项和公差,可得通项公式;(2)用裂项相消法求得和,然后解不等式可得.【详解】解:(1)由题得,即解得或因为数列为各项均为整数,所以,即(2)令所以即,解得所以的最大值为1008【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前项和公式,考查裂项相消法求数列的和.在等差数列和等比数列中基本量法是解题的基本方法.19、(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)要证明线面平行,需先证明线线平行,所以连接,交于点M,连接ME,证明;(Ⅱ)由题意可知点到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离,根据体积公式剩余部分的体积是.【详解】(Ⅰ)如图,连接,交于点M,连接ME,则.因为平面,平面,所以平面.(Ⅱ)因为平面ABC,所以点到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离.如图,设O是AC的中点,连接,OB.因为为正三角形,所以,又平面平面,平面平面,所以平面ABC.所以点到平面ABC的距离,故三棱锥的体积为.而斜三棱柱的体积为.所以剩余部分的体积为.【点睛】本题考查证明线面平行,计算体积,意在考查推理证明,空间想象能力,计算能力,属于中档题型,一般证明线面平行的方法1.证明线线平行,则线面平行,2.证明面面平行,则线面平行,关键是证明线线平行,一般构造平行四边形,则对边平行,或是构造三角形中位线.20、(1);(2)(i),;(ii).【解析】
(1)在中,由正弦定理可得所求;(2)(i)由余弦定理得,两式相加可得所求解析式.(ii)在中,由余弦定理可得,根据的最大值不小于可得关于的不等式,解不等式可得所求.【详解】(1)在中,由正弦定理得,所以,即.(2)(i)在中,由余弦定理得,在中,由余弦定理得,又所以,即.又,解得,所以所求关系式为,.(ii)当观赏角度的最大时,取得最小值.在中,由余弦定理可得,因为的最大值不小于,所以,解得,经验证知,所以.即两处喷泉间距离的最小值为.【点睛】本题考查解三角形在实际中的应用,解题时要注意把条件转化为三角形的边或角,然后借助正余弦定理进行求解.解题时要注意三角形边角关系的运用,同时还要注意所得结
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