高等数学教案第五章定积分

授课章节第五章定积分第一节定积分的概念与性质目的要求掌握定积分的概念、性质、几何意义。重点难点定积分的概念、性质、几何意义复习………………………3分钟第一节定积分的概念与性质定积分的问题举例曲边梯形面积：变速直线运动的路程：定积分定义定积分定义：设函数在［a，b］上有界。①分割：在［a，b］上中任意插入若干个分点，，把［a，b］分成若干个小区间，，并设。②求乘积：，其中。③求和：。④求极限：，其中若极限存在，则称此极限值为函数在［a，b］上的定积分，或函数在［a，b］上可积，记注：①区间分割是任意的；②的取法是任意的；③极限值是唯一的；④积分变量的记法与积分值无关。⑤补充定义：定积分的充分必要条件（了解内容）定理１：函数在［a，b］上连续，则在［a，b］上可积。定理２：函数在［a，b］上只有有限个不连续点，则在［a，b］上可积。定积分的几何意义：若函数在［a，b］上连续，则………………42分钟定积分的性质：（注意有些性质对的大小要求。）若在［a，b］上，，则推论１：若在［a，b］上，，则推论２：若分别是函数在［a，b］上的最大最小值，则（积分中值定理）若函数在［a，b］上连续，则至少存在一点，使。举例比较大小1.与2.与…………………………42分钟内容小结：定积分的概念、性质、几何意义思考题：定积分与不定积分的区别作业：P2333(1)(3),6(1)(3),8(1)(2)(4)备注：…………………………３分钟授课章节第五章定积分第二节微积分基本公式目的要求利用牛顿莱布尼兹公式计算定积分。重点难点牛顿莱布尼兹公式复习……………………3分钟第二节微积分基本公式引例变速直线运动的路程：，且有为寻找定积分与原函数的关系，给出积分上限函数的定义。积分上限函数及其导数积分上限函数：注：积分上限函数的可导性定理１：如果函数在［a，b］上连续，则积分上限函数在［a，b］上可导，并且分析：注：１端点可导是指左右导数存在；２是的一个原函数；３积分下限函数的导数：；４………………………42分钟牛顿莱布尼兹公式定理２：如果是连续函数的一个原函数，则证明：称上式为牛顿莱布尼兹公式（或称微积分基本公式）举例求求求求…………………………42分钟内容小结：牛顿莱布尼兹公式思考题：使用牛顿莱布尼兹公式所要满足的条件是什么?作业：P2405(1)(3),6(1)(3)(5)(7)(9)(11),9(1)(2)备注：………………………３分钟授课章节第五章定积分第三节定积分的换元法和分部积分法目的要求掌握定积分的换元法和分部积分法重点难点利用换元法时积分上下限的变换复习……………………3分钟第三节定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法回顾（不定积分换元法）定积分的换元法定理：假设函数在［a，b］上连续，满足：①②在（或）上具有连续导函数，且值域则证明：设，则注：做题方法与不定积分一样，只是注意上下限的变换。举例解：设提示：设，计算提示：设…………………………42分钟定积分的分部积分法回顾不定积分分部积分法公式定积分分部积分法公式举例求求求求…………………………42分钟内容小结：掌握定积分的换元法和分部积分法思考题：定积分与不定积分换元法的区别与联系作业：P2491单数,2(1)(2),10备注：………………………３分钟授课章节第五章定积分第四节反常积分目的要求掌握无穷区间和无界函数的反常积分重点难点无穷区间的反常积分复习……………………3分钟第四节反常积分两种：１积分区间无限；２被积函数无界。无穷限反常积分定义１（无穷限反常积分定义）：设在上连续，取，如果极限存在，则称此极限为在上的反常积分，记，也称是收敛的否则发散。同理可定义区间的反常积分。若和都收敛，则在上的反常积分存在（或）收敛），且。注：１；；２若和有一个发散，发散。举例设，证明当是收敛，发散。计算计算…………………………42分钟无界函数的反常积分瑕点：如果在的任意一个邻域内，函数都无界，则称为瑕点。定义２（无界函数的反常积分）：若在上连续，为瑕点，存在，则称此极限值为在上的反常积分，仍记为，此时称收敛，否则发散。同理定义，为瑕点的情况：，且为瑕点的情况：和都收敛，则收敛，且＝＋注：１；２为瑕点时，和由一个发散，发散。例题，证明时收敛，发散。……