广西钦州港经济技术开发区中学高三第二次调研新高考数学试卷及答案解析

广西钦州港经济技术开发区中学高三第二次调研新高考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）A． B． C． D．2．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数的值判断拟合效果，越小，模型的拟合效果越好；③若数据的方差为1，则的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据，其线性回归方程，则“满足线性回归方程”是“，”的充要条件；其中真命题的个数为()A．4 B．3 C．2 D．13．如图，已知平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，．是平面上的一动点，且直线，与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（）A． B． C． D．4．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．5．直角坐标系中，双曲线（）与抛物线相交于、两点，若△是等边三角形，则该双曲线的离心率（）A． B． C． D．6．小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为()A． B． C． D．7．已知双曲线的一条渐近线倾斜角为，则（）A．3 B． C． D．8．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若，则λ＋μ的值为（）A． B． C． D．9．已知向量，且，则m=()A．−8 B．−6C．6 D．810．已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．11．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照，，分组，绘成频率分布直方图如下：嘉宾评分嘉宾评分的平均数为，场内外的观众评分的平均数为，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为，则下列选项正确的是（）A． B． C． D．12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为____________.14．某次足球比赛中，，，，四支球队进入了半决赛.半决赛中，对阵，对阵，获胜的两队进入决赛争夺冠军，失利的两队争夺季军.已知他们之间相互获胜的概率如下表所示.获胜概率—0.40.30.8获胜概率0.6—0.70.5获胜概率0.70.3—0.3获胜概率0.20.50.7—则队获得冠军的概率为______.15．已知向量，，，则_________.16．已知，满足约束条件，则的最小值为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某机构组织的家庭教育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度．在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果．设小孩对四种食物排除的序号依次为xAxBxCxD，家长猜测的序号依次为yAyByCyD，其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1，2，3，4四个数字的一种排列．定义随机变量X＝（xA﹣yA）2+（xB﹣yB）2+（xC﹣yC）2+（xD﹣yD）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度．（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解．（ⅰ）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（ⅱ）求X的分布列（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X＜4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由．18．（12分）如图，已知正方形所在平面与梯形所在平面垂直，BM∥AN，，，．（1）证明：平面；（2）求点N到平面CDM的距离．19．（12分）某省新课改后某校为预测2020届高三毕业班的本科上线情况，从该校上一届高三（1）班到高三（5）班随机抽取50人，得到各班抽取的人数和其中本科上线人数，并将抽取数据制成下面的条形统计图.（1）根据条形统计图，估计本届高三学生本科上线率.（2）已知该省甲市2020届高考考生人数为4万，假设以（1）中的本科上线率作为甲市每个考生本科上线的概率.（i）若从甲市随机抽取10名高三学生，求恰有8名学生达到本科线的概率（结果精确到0.01）；（ii）已知该省乙市2020届高考考生人数为3.6万，假设该市每个考生本科上线率均为，若2020届高考本科上线人数乙市的均值不低于甲市，求p的取值范围.可能用到的参考数据：取，.20．（12分）已知，.（1）解；（2）若，证明：.21．（12分）已知数列和满足：.（1）求证:数列为等比数列；（2）求数列的前项和.22．（10分）如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，分别是，的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）设，求三棱锥的体积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由已知，设．可得．于是可得，进而得出结论．【详解】解：依题意，设．则．，．设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．则，．故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2、C【解析】

①根据线性相关性与r的关系进行判断,

②根据相关指数的值的性质进行判断,

③根据方差关系进行判断,

④根据点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，可进行判断.【详解】①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故①正确;

②用相关指数的值判断模型的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好,故②错误;

③若统计数据的方差为1,则的方差为,故③正确;

④因为点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，即，不一定成立，而回归直线必过样本中心点，所以当，时，点必满足线性回归方程；因此“满足线性回归方程”是“，”必要不充分条件.故④错误;

所以正确的命题有①③.

故选：C.【点睛】本题考查两个随机变量的相关性，拟合性检验，两个线性相关的变量间的方差的关系，以及两个变量的线性回归方程，注意理解每一个量的定义，属于基础题.3、B【解析】

为所求的二面角的平面角，由得出，求出在内的轨迹，根据轨迹的特点求出的最大值对应的余弦值【详解】，，，，同理为直线与平面所成的角，为直线与平面所成的角，又，在平面内，以为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系则，设，整理可得：在内的轨迹为为圆心，以为半径的上半圆平面平面，，为二面角的平面角，当与圆相切时，最大，取得最小值此时故选【点睛】本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．4、D【解析】

可求出集合，，然后进行并集的运算即可．【详解】解：，；．故选．【点睛】考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及并集的运算．5、D【解析】

根据题干得到点A坐标为，代入抛物线得到坐标为，再将点代入双曲线得到离心率.【详解】因为三角形OAB是等边三角形，设直线OA为，设点A坐标为，代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为，代入双曲线得到故答案为：D.【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).6、A【解析】

利用计算即可，其中表示事件A所包含的基本事件个数，为基本事件总数.【详解】从7本作业本中任取两本共有种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有种不同结果，由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为.故选：A.【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.7、D【解析】

由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果.【详解】由双曲线方程可知：，渐近线方程为：，一条渐近线的倾斜角为，，解得：.故选：.【点睛】本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方程表示双曲线对于的范围的要求.8、B【解析】

建立平面直角坐标系，用坐标表示，利用，列出方程组求解即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0).不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，解得则.故选：B【点睛】本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题.9、D【解析】

由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝1．故选D．【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．10、C【解析】

根据双曲线方程求出渐近线方程：，再将点代入可得，连接，根据圆的性质可得，从而可求出，再由即可求解.【详解】由双曲线，则渐近线方程：，，连接，则，解得，所以，解得.故双曲线方程为.故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.11、C【解析】

计算出、，进而可得出结论.【详解】由表格中的数据可知，，由频率分布直方图可知，，则，由于场外有数万名观众，所以，.故选：B.【点睛】本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.12、B【解析】

由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积．【详解】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：则该四棱锥的体积为.故选：B.【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据渐近线得到，，计算得到离心率.【详解】，一条渐近线方程为：，故，，.故答案为：.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力.14、0.18【解析】

根据表中信息，可得胜C的概率；分类讨论B或D进入决赛，再计算A胜B或A胜C的概率即可求解.【详解】由表中信息可知，胜C的概率为；若B进入决赛，B胜D的概率为，则A胜B的概率为；若D进入决赛，D胜B的概率为，则A胜D的概率为；由相应的概率公式知，则A获得冠军的概率为.故答案为：0.18【点睛】本题考查了独立事件的概率应用，互斥事件的概率求法，属于基础题.15、2【解析】

由得，算出，再代入算出即可.【详解】，，，，解得：，，则.故答案为：2【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量垂直的性质，向量的模的计算.16、【解析】

作出约束条件所表示的可行域，利用直线截距的几何意义，即可得答案.【详解】画出可行域易知在点处取最小值为.故答案为：【点睛】本题考查简单线性规划的最值，考查数形结合思想，考查运算求解能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（ⅰ）（ⅱ）分布表见解析；（2）理由见解析【解析】

（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，家长的排序有种等可能结果，利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，由此能求出他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率．

（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，由此能求出X的分布列．

（2）假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，在一轮游戏中，P（X＜4）=P（X=0）+P（X=2）=，三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为，这个结果发生的可能性很小，从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解．【详解】（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序为xA，xB，xC，xD为1234的情况，家长的排序有＝24种等可能结果，其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，∴家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P＝．基小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标A，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，假设小孩的排序xA，xB，xC，xD为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB，再研究yAyByCyD的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，∴他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率为．（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，X的分布列如下表：X02468101214161820P（2）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解．理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，P（X＜4）＝P（X＝0）+P（X＝2）＝，三轮游戏结果都满足“X＜4”的概率为（）3＝，这个结果发生的可能性很小，∴这位家长对小孩饮食习惯比较了解．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）因为正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直，平面平面，，所以平面ABMN，因为平面ABMN，平面ABMN，所以，，因为，所以，因为，所以，所以，因为在直角梯形ABMN中，，所以，所以，所以，因为，所以平面．（2）如图，取BM的中点E，则，又BM∥AN，所以四边形ABEN是平行四边形，所以NE∥AB，又AB∥CD，所以NE∥CD，因为平面CDM，平面CDM，所以NE∥平面CDM，所以点N到平面CDM的距离与点E到平面CDM的距离相等，设点N到平面CDM的距离为h，由可得点B到平面CDM的距离为2h，由题易得平面BCM，所以，且，所以，又，所以由可得，解得，所以点N到平面CDM的距离为．19、(1)60%；(2)（i）0.12（ii）【解析】

（1）利用上线人数除以总人数求解；（2）（i）利用二项分布求解；（ii）甲、乙两市上线人数分别记为X，Y，得，.，利用期望公式列不等式求解【详解】（1）估计本科上线率为.（2）（i）记“恰有8名学生达到本科线”为事件A，由图可知，甲市每个考生本科上线的概率为0.6，则.（ii）甲、乙两市2020届高考本科上线人数分别记为X，Y，依题意，可得，.因为2020届高考本科上线人数乙市的均