云南省玉溪市元江县第一中学2025届数学高一下期末质量跟踪监视试题含解析

云南省玉溪市元江县第一中学2025届数学高一下期末质量跟踪监视试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若正实数x，y满足不等式，则的取值范围是（）A． B． C． D．2．若函数（）的最大值与最小正周期相同，则下列说法正确的是（）A．在上是增函数 B．图象关于直线对称C．图象关于点对称 D．当时，函数的值域为3．方程的解集是（）A． B．C． D．4．△中，已知，，，如果△有两组解，则的取值范围（）A． B． C． D．5．已知，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．不能确定6．点，，直线与线段相交，则实数的取值范围是（）A． B．或C． D．或7．已知数列是公比为2的等比数列，满足，设等差数列的前项和为，若，则（）A．34B．39C．51D．688．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列叙述正确的是（）①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.A．①② B．③④ C．①③ D．②④9．已知函数，点A、B分别为图象在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，O为坐标原点，若△OAB为锐角三角形，则的取值范围为（）A． B． C． D．10．在区间内随机取一个实数a，使得关于x的方程有实数根的概率为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为__________.12．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，b=1,则_____________13．已知三棱锥，若平面ABC，，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为______．14．若是三角形的内角，且，则等于_____________．15．已知，，，则的最小值为______．16．已知关于实数x，y的不等式组构成的平面区域为，若，使得恒成立，则实数m的最小值是______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．求下列各式的值：（1）求的值；（2）已知，，且，，求的值.18．已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出点的坐标；（2）求线段的长度；（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．19．在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.(1)求证：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.20．在中，内角所对的边分别为，已知，且.（1）求；（2）若，求的值.21．已知直线经过两条直线:和:的交点，直线:；(1)若，求的直线方程；(2)若，求的直线方程．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

试题分析：由正实数满足不等式，得到如下图阴影所示的区域：当过点时，，当过点时，，所以的取值范围是．考点：线性规划问题．2、A【解析】

先由函数的周期可得，再结合三角函数的性质及三角函数值域的求法逐一判断即可得解.【详解】解：由函数（）的最大值与最小正周期相同，所以，即，即，对于选项A，令，解得：，即函数的增区间为，当时，函数在为增函数，即A正确，对于选项B，令，解得，即函数的对称轴方程为：，又无解，则B错误，对于选项C，令，解得，即函数的对称中心为：，又无解，则C错误，对于选项D，，则，即函数的值域为，即D错误，综上可得说法正确的是选项A，故选：A.【点睛】本题考查了三角函数的性质，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题.3、C【解析】

把方程化为，结合正切函数的性质，即可求解方程的解，得到答案.【详解】由题意，方程，可化为，解得，即方程的解集为.故答案为：C.【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及三角方程的求解，其中解答中熟记正切函数的性质，准确求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4、D【解析】由正弦定理得A+C=180°-60°=120°，

由题意得：A有两个值，且这两个值之和为180°，

∴利用正弦函数的图象可得：60°＜A＜120°，

若A=90，这样补角也是90°，一解，不合题意，＜sinA＜1，

∵x=sinA，则2＜x＜故选D5、C【解析】

根据题意，求出与的值，比较易得，变形可得答案．【详解】解：根据题意，，，易得，则有，故选：C．【点睛】本题主要考查不等式的大小比较，属于基础题．6、B【解析】

根据，在直线异侧或其中一点在直线上列不等式求解即可.【详解】因为直线与线段相交，所以，，在直线异侧或其中一点在直线上，所以，解得或，故选B.【点睛】本题主要考查点与直线的位置关系，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.7、D【解析】由数列是公比为的等比数列，且满足，得，所以，所以，设数列的公差为，则，故选D.8、D【解析】可以线在平面内，③可以是两相交平面内与交线平行的直线，②对④对，故选D.9、B【解析】

△OAB为锐角三角形等价于,再运算即可得解.【详解】解：由题意可得,,由△OAB为锐角三角形，则,即，解得：，即的取值范围为，故选：B.【点睛】本题考查了三角函数图像的性质，重点考查了向量数量积的运算，属中档题.10、C【解析】

由关于x的方程有实数根，求得，再结合长度比的几何概型，即可求解，得到答案.【详解】由题意，关于x的方程有实数根，则满足，解得，所以在区间内随机取一个实数a，使得关于x的方程有实数根的概率为.故选：C.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

根据余弦定理，可得，然后利用均值不等式，可得结果.【详解】在中，，由，所以又，当且仅当时取等号故故的最小值为故答案为：【点睛】本题考查余弦定理以及均值不等式，属基础题.12、2【解析】

根据条件，利用余弦定理可建立关于c的方程，即可解出c.【详解】由余弦定理得，即，解得或（舍去）.故填2.【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边，属于中档题.13、【解析】

过B作，且，则或其补角即为异面直线PB与AC所成角由此能求出异面直线PB与AC所成的角的余弦值．【详解】过B作，且，则四边形为菱形，如图所示：或其补角即为异面直线PB与AC所成角．设.，，平面ABC，，．异面直线PB与AC所成的角的余弦值为．故答案为．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．14、【解析】∵是三角形的内角，且，∴故答案为点睛：本题是一道易错题，在上，，分两种情况：若，则；若，则有两种情况锐角或钝角.15、【解析】

将所求的式子变形为，展开后可利用基本不等式求得最小值.【详解】解：，，，，当且仅当时取等号．故答案为1．【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式，属于基础题．由于已知条件和所求的式子都是和的形式，不能直接用基本不等式求得最值，使用“乘1法”之后，就可以利用基本不等式来求得最小值了.16、【解析】

由，使得恒成立可知，只需求出的最大值即可，再由表示平面区域内的点与定点距离的平方，因此结合平面区域即可求出结果.【详解】作出约束条件所表示的可行域如下：由，使得恒成立可知，只需求出的最大值即可；令目标函数，则目标函数表示平面区域内的点与定点距离的平方，由图像易知，点到的距离最大.由得，所以.因此，即的最小值为37.故答案为37【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，只需分析清楚目标函数的几何意义，即可结合可行域来求解，属于常考题型.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简即可．（2）利用配凑把打开即可．【详解】解：（1）原式（2），，又，，，，【点睛】本题主要考查了二倍角公式，两角和与差的正切的应用．辅助角公式．18、（1），，；（2）线段的长度分别为；（3）不垂直，理由见解析【解析】

（1）由已知条件，利用长方体的结构特征，能求出点的坐标．

（2）直接利用两点间距离公式公式求解．（3）求出，，计算数量积即可判断是否垂直.【详解】解：（1）两直线垂直，证明：由于为坐标原点，所以，由得：，因为点N是AB的中点，点M是的中点，，；（2）由两点距离公式得：，；（3）直线与直线不垂直，理由：由（1）中各点坐标得：，，与不垂直，所以直线与直线不垂直.【点睛】本题考查空间中点的坐标的求法，考查线段长的求法，以及利用向量的坐标运算判断垂直，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19、(1)证明见解析；(2)【解析】

(1)取中点,连接,可得四边形为平行四边形.再证明平面得到,进而得到即可.(2)利用等体积法,求出三棱锥的体积,进而求得到平面的距离,再得出直线与平面所成角的正弦值即可.【详解】(1)取中点,连接,则.又,故.故四边形为平行四边形.故.又,故,又底面,平面,故.又,,故,又,故平面.又平面,故.又,,故(2)因为底面,故.又,,.故.设到平面的距离为,则,解得.故直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明以及利用等体积法求点到面的距离以及线面角的求解,需要根据题意利用线面线线垂直的判定与性质证明,同时也需要在等体积法时求解对应的面的面积等.属于中档题.20、（1）；（2）.【解析】

（1）根据诱导公式、正弦定理、同角三角函数基本关系式，结合已知等式，化简，结合，可得A的值；（2）由已知根据余弦定理可得，利用正弦定理可得联立即可解得λ的值．【详解】（1），，；（2）