工程力学：轴向拉伸与压缩（下）

1轴向拉伸与压缩§8-8简单拉压静不定问题§8-7拉压杆的变形（静定问题）2——胡克定律拉压刚度轴向拉压试验表明：比例极限内，正应力与正应变成正比弹性模量，杨氏模量一、拉压杆的胡克定律§8-7胡克定律与拉压杆的变形

3例：已知两杆拉压刚度相同，E1A1=E2A2=EA，AC杆长度l2=l

，求桁架节点A的水平与铅垂位移。（1）轴力与变形分析(缩短)(伸长)接下来如何确定节点A的新位置（位移）？解：由胡克定律：(拉)(压)由节点A的平衡：四、桁架节点位移的计算（切线代圆弧法）4（2）节点A的位移的精确计算精确位移求法：计算困难：需解二次方程组由于内力随位移变化，需迭代求解.

以B、C为圆心作圆交于Aʹ点杆1伸长到点，杆2缩短到点，5实用解法：*按结构原几何形状与尺寸计算约束反力与内力－小变形；小变形问题实用（工程）解法

工程分析方法：

1、精度略有降低；

2、分析大大简化。*节点运动轨迹采用切线代曲线的方法确定节点位移。6（2）节点位移计算（切线代圆弧方法）节点A水平位移：节点A铅垂位移：(缩短)(伸长)7例：ABC刚性杆，B为AC的中点，求节点C的位移。

然后画B点位移思考：有同学问BBʹ,CCʹ铅垂向下，刚性杆ABC杆为什么能伸长？

再画C点位移

答：CCʹ相比AC实际很小，切线代圆弧的近似。1解：先计算杆1内力与伸长8例：画节点A的位移*左图杆2不受力，不伸长,只转动。思考：点A有无水平位移？9*静不定问题：*静定问题：*静不定度：未知力数与有效平衡方程数之差。AF

123由静力平衡方程可确定全部未知力(包括支反力与内力)的问题。根据静力平衡方程不能确定全部未知力的问题。§8-8简单拉压静不定问题一度静不定静定问题10（2）几何方面（3）物理方面（胡克定律）（4）支反力计算思考：两个未知约束力，一个平衡方程，如何求解？还有什么条件没用到?补充方程：解：（1）静力学方面（平衡方程）例：如图两端固支杆AB，在C截面处受轴向载荷F作用，求杆两端的支反力。11解：2、几何方程（1、2杆拉压刚度和受力相同，节点A沿铅垂方向下移）F

123F

例：如图桁架，已知1、2杆拉压刚度均为E1A1，长度均为l，3杆拉压刚度为E3A3，与1、2杆夹角均为

，求桁架节点A的水平与铅垂位移。1、以节点A为研究对象，列平衡方程：思考：三个未知约束力，两个平衡方程，如何求解？125、联立求解平衡方程及补充方程F

1233、胡克定律4、补充方程2、几何方程13静不定问题求解思路

AF

12

34节点A点仅连接杆1和杆2时，桁架为静定结构，杆1和杆2的轴力可由平衡方程唯一确定节点A点增加杆3和杆4时，未知轴力增加2个，平衡方程数不变，桁架为2度静不定结构杆1和杆2的伸长由轴力唯一确定，点A位移确定为保证结构连续性，杆3和杆4的变形必须与杆1和杆2的变形满足一定的变形几何关系普遍规律：多余未知力个数等于变形协调条件个数，加上平衡方程，所有未知力能完全、唯一确定。A点的约束包含2个变形协调条件——变形协调条件14静不定问题求解步骤协调方程多余未知力个数=变形协调条件数求解物理方程：平衡方程1、静不定问题需综合考虑静力学、几何与物理三方面；静不定问题分析特点：2、与静定问题相比的内力特点：内力分配与杆件刚度有关，某杆刚度增大，轴力亦增大。补充方程15例：各杆拉压刚度EA，杆1，2长l，求各杆内力解：一度静不定问题（1）假定三杆均受拉伸长，画变形图，确定变形协调条件设节点C位移至C’，过C’点向三杆作垂线（2）根据变形图画受力图思考：画受力、变形图应注意：受力图中的拉力与压力应与变形图中的伸长与缩短对应，这样，在利用胡克定律建立变形与轴力间的关系时仅需考虑其绝对值。如果先画受力图，后画变形图，要注意什么？可否假设杆1，3受压，杆2受拉求解？16解：（1）平衡方程（3）物理方程（2）变形协调方程C17（5）强度校核（4）解答符合强度要求设思考：选取哪一根或哪几根杆校核？如果强度不够，怎样加强?静不定结构中，其中一根杆的拉压刚度变化会影响其它杆的受力18热应力与预应力思考：当温度变化时，杆内可能引起应力吗？A图1A图2图3图419A

静不定结构中，各构件杆变形必须服从变形协调条件，因此温度变化或杆长制造误差，一般将引起应力。

由于杆长制造误差或温度变化，结构在未受载时已存在的应力，分别称为初应力（或称预应力）与热应力。20(1)平衡方程（设各杆受拉）代入物理方程(2)变形协调方程预应力问题例：杆3设计长度为l3，制造误差为δ，三根杆拉压刚度均为EA，将三根杆强行装配上后，求各杆内力。解：设各杆均受拉伸长，画变形图和受力图21联立平衡方程和补充方程解得：思考：杆3轴力的符号为负，代表什么意思？请画出真实的变形图。22三根杆“装配”在一起前，杆3因温度变化温度变化引起的变形为：与预应力问题类比：解：预应力问题

例：杆3设计长度为l3，制造误差为δ，三根杆拉压刚度均为EA，将三根杆强行装配上后，求各杆内力。热应力问题例：三根杆拉压刚度均为EA，杆3热胀系数为α，当杆3温度变化

T时（杆1和杆2温度不变），求各杆内力。假定“装配”后三根杆均伸长，画变形图杆3较“装配”前缩短了！23问题：如何建立变形协调条件？下述变形协调条件是否正确？分析：上述变形协调条件的错误在于遗漏了初应力引起的初始变形Δl0。正确的变形协调条件是：例：钢丝绳长l，截面积A，弹性模量E，不能承压，初拉力FN0=20KN，在C作用向下载荷F=30KN，求绳两端约束力：（a）H=3l/4；（b）H=l/4

24解：(1)变形协调条件设，代入物理方程例：钢丝绳长l，截面积A，弹性模量E，不能承压，初拉力FN0=20KN，在C作用向下载荷F=30KN，求绳两端约束力：（a）H=3l/4；（b）H=l/4

25(2)C点平衡方程(3)解答：(BC绳承受压力，不合题意，舍去)由平衡：解得：26思考：如何采用载荷叠加法进行求解？例：钢丝绳长l，截面积A，弹性模量E，不能承压，初拉力FN0=20KN，F=30KN，求绳两端约束力：（a）H=3l/4；（b）H=l/4

（1）如果不考虑初始拉力（或变形），两端的约束力分别为，（3）最终约束力为两者的叠加：（2）初始拉力：或27例：画出节点A的位移杆两端均为可动点情形：平移+变形(伸长或缩短)+转动(切线代曲线)28