任意角和弧度制（讲）高一数学同步讲练测（新教材人教A版必修第一册）

0020-2021学年高一数学同步讲练测(新教材人教A版必修第一册)》

专题18任意角和弧度制(讲)

本节知识点与题型快速预览

瓠度制

安累用

弧度与角度

的换算公式

角度和弧度

混用致错

终边相

同的用

求扇形而

枳最值的

函数则怛终边在某条

直线上的

俗的集合

用弧度制表

示区域角分角，倍角

“关“角度”

所在地限的

角度制与融与“弧度”

判断思路

度制的转化概念的理蚂

知识点课前预习与精讲精析

1.任意角的概念

(1)角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

(2)角的表示

如图所示:

①始边:射线的起始位置04.

②终边:射线的终止位置OB.

③顶点:射线的端点O.

④记法:图中的角a可记为“角a”或"Na”或"N4OB”.

(3)正角、负角、零角

类型定义图示

正角按逆时针方向旋转形成的角

--------------A

负角按顺时针方向旋转形成的角

射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与

零角OA(B)

起始位置OA重合，称这样的角为零度角，又称零角

这样，我们就把角的概念推广到任意角，包括正角、负角和零角.

［知识点拨］(1)角的概念推广后，角度的范围不再限于0°〜360°(0°〜360°是指0。Wa<360°).

(2)确定任意角的度数关键看终边旋转的方向和圈数：

①表示角时，箭头的方向代表角的正负，因此箭头不能丢掉；顺时针旋转形成负角常常容易被忽视.

②当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等.始边和终边重合的角不一定

是零角，只有没作任何旋转，始边与终边重合的角才是零角.

2.象限角

使角的顶点与原点重合，角的始边与*轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除原点外)在第几象限，就说这

个角是第几象限角，即象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内，不与坐标轴重合.

如果角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限.

［知识点拨］要正确区分锐角、0°〜90。的角、小于90。的角、第一象限角.锐角是0。<61<90。的角；0。〜90。的

角是(TWa<90。的角；小于90。的角是a<90。的角(包括零角、负角)；第一象限角是｛砒-360。*<90。+心360。,

AGZ｝所表示的角.这四个概念不能混淆.

3.终边相同的角

(1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.

(2)终边相同的角的集合：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合5=｛£|尸=6(+636()。，

发GZ｝,即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.

［知识点拨］理解集合S=｛缈=a+0360。，kGZ｝要注意以下几点：

(1)式中角a为任意角：

(2火CZ这一条件必不可少；

(3)左360。与a之间是“+”，如无•360°—30°应看成>360°+(—30°),即与一30。角终边相同;

(4)当a与夕的终边相同时，a一夕=>360°/冬Z).反之亦然.

［拓展］1.象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示

(1)象限角：

象限角集合表示

第一象限角{#360。<公4-360。+90。，kb}

第二象限角{a\k-360°+90。<。<攵・360°+180°,攵£Z}

第三象限角{a|k360°+180°<a<Z?3600+270°,上GZ}

第四象限角{3600+270°<a<k360°+360°,%GZ}

(2)轴线角:

角的终边的位置集合表示

终边落在x轴的非负半轴上{a|a=%360。，％£Z}

终边落在无轴的非正半轴上{a|a=it-360o4-180o,kGZ}

终边落在y轴的非负半轴上{a|a=^360°+90°,kU]

终边落在)，轴的非正半轴上{a|a=jt-360°+270°,kGZ}

终边落在y轴上{a|«=Jt-180°+90°,依Z}

终边落在X轴上{a|a=jt-180°,kGZ}

终边落在坐标轴上{a|a=A・90。，Z£Z}

4.弧度制

(1)定义：以弧度为单位度量角的单位制叫做弧度制.

(2)度量方法：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.如图所示，圆。的半径为r,AB的长等

于r,NAOB就是1弧度的角.

［知识点拨］一定大小的圆心角a的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关.

(3)记法：弧度单位用符号rad表示，或用“弧度”两个字表示.在用弧度制表示角时，单位通常省略不

写.

5.弧度数

一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为I,那么角a的弧度数的绝对值是|a|=;.

［知识点拨］对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？

,JT

角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如a=B36(r+d(keZ),尸=2E+60。/

GZ)等写法都是不规范的，应写为6(=七360。+30。(左62),"=2E+如t6Z).

3.弧度与角度的换算公式

(1)周角的弧度数是2兀，而在角度制下的度数是360,于是360。=2兀rad,即

1°=-^—rad«O.OI745rad

[180。=TTrad|

lrad=（尊）。«57.30°

根据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了.

弧度与角度的换算公式如下：

若一个角的弧度数为a,角度数为"，则arad=(学4。，•焉rad.

(2)常用特殊角的弧度数

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

7Tn7T7C2K3兀5兀3兀

0712兀

6432T~4

［知识点拨］角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用.

用度作为单位角的大角的正

单位“。”不

角度制来度量角的单小与半负与方六十进制

能省略

位制径无关向有关

用弧度作为单角的大角的正

单位“rad”可

弧度制位来度量角的小与半负与方十进制

以省略

单位制径无关向有关

(3)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系：每一个角都有唯一的一

个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的

角)与它对应.

6.弧长公式与扇形面积公式

(1)弧长公式

在半径为厂的圆中，弧长为/的弧所对的圆心角大小为a,则|a|=£变形可得/=|a|r,此公式称为弧长公式,

其中a的单位是弧度.

(2)扇形面积公式

由圆心角为1rad的扇形面积为姝=步,而弧长为/的扇形的圆心角大小为:md,故其面积为S=：x］=

11.

将/=即代入上式可得此公式称为扇形面积公式.

(3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示

名称角度制弧度制

mir

弧长公式/-180l=\a\r

Q皿,S=贽=

扇形面积公式d-360

厂是扇形的半径，〃是圆心角的角度r是扇形的半径，a是圆心角的弧度

注意事项

数数，/是弧长

点拨：弧长公式与扇形的面积公式在角度制与弧度制下形式不同，解题时要看清角的度量制，选用相应的

公式，切不可混淆.

预习效果检测

1.计算：15°=rad.

【解析】解：：口=180°,

77

=180,

则15°=15X^=(rad).

故答案为：一.

12

2.已知扇形的圆心角为2弧度，半径为1皿，则此扇形的面积为—C/H2.

【解析】解：.•,扇形的圆心角为2弧度，半径为1cm,

扇形的弧长/=2X1=2cm,扇形的面积为S=1/r=占x2X1=1.

故答案为：1.

3.大于-360°且终边与角75°重合的负角是.

【解析】解:-360°+75°=-285°,

故答案为：-285°.

4.-135°=弧度，它是第象限角；

【解析】解：；180°=n,：.\°=高，

/.-135°=-135入高=一竽，它是第三象限角.

故答案为：一詈：三.

5.“密位制”是一种度量角的方法，我国采用的“密位制”是6000密位制，即将一个圆周角分为6000等

份，每一个等份是一个密位，那么120密位等于弧度.

【解析】解：由题意知，120密位=焉=亲（弧度）.

OUUUZD

故答案为：一.

典型题型与解题方法

置要考点一：任意角

【典型例题】若时针走过2小时40分，则分针走过的角是.

o2

【解析】解：40分=「小时，一X36O°=240°,

33

因为时针按顺时针旋转，故形成负角,

-360°X2-2400=-960°.

故答案为：-960°.

【题型强化】已知a锐角，那么2a是（)

A.小于180°的正角B.第一象限角

C.第二象限角D.第一或二象限角

【解析】解：锐角，；.0°<a<90°,A0°<2a<180°,

故选：A.

【收官验收】下列说法正确的是（）

A.三角形的内角必是第B.第一象限角必是锐角

C.不相等的角终边一定不相同

D.若角a,0满足0=a+K36O°（&6Z）,则a和0终边相同

【解析】解：对于A,三角形的内角可以为90°,是终边在坐标轴上的角，故4错误;

对于8,390。是第一象限角，不是锐角，故8错误；

对于C,30°与390°不相等，但终边相同，故C错误；

对于。，若角a,0满足0=a+k・36O°«€Z）,则a和0终边相同，故。正确.

正确的说法是。.

故选：D.

置要考点二：终边相同的角

【典型例题】与角2021°终边相同的角是（）

A.221°B.-2021°C.-221°D.139°

【解析】解：与角2021°终边相同的角是：如360°+2021°,依Z,

当％=-5时，与角2021°终边相同的角是221°.

故选:A.

【题型强化】下列各个角中与2020°终边相同的是（）

A.-150°B.680°C.220°D.320°

【解析】解：V20200=5X360°+220°,

...与2020°终边相同的是220°.

故选：C.

【收官验收】在0°〜360°范围内，与-80°角终边相同的角是（）

A.80°B.100°C.240°D.280°

【解析】解：与-80°角终边相同的角的集合是：｛a|a=k・360°+280°,kEZ].

.,.在0°〜360°范围内，与-80°角终边相同的角是280°.

故选：D.

【名师点睛】

1.把任意南化为6（+%360。收62,且（TWa<360。）的形式，关键是确定可以用观察法（a的绝对值较小）,

也可用除法.

2.要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再

依条件构建不等式求出k的值.

重要考点三：终边在某条直线上的角的集合

【典型例题】终边在直线y=V5x上的角的集合为—.

【解析】解：•••直线了=倔的斜率为，则倾斜角为60°,

.•.终边落在射线产原(x20)上的角的集合是5i={a|a=60°+k・360°,*eZ),

终边落在射线尸、&(x<0)上的角的集合是S2={a|a=240°+如360°,依Z},

终边落在直线)=/纵上的角的集合是：

S={ala=60°+妙360°,*GZ}U{a|a=240°+妙360°,keZ}

={a|a=60°+2^180°,依Z}U{a|a=60°+(2Jl+l)«180°,keZ]

={a|a=60°+”780°,neZ}.

故答案为：{a|a=60。+〃・180°,nGZ}.

【题型强化】终边落在y轴上的角的集合是—.

【解析】解：当角。的终边落在y轴的非负半轴上时，角。=2囱+名蛇Z,

当角。的终边落在y轴的非正半轴上时，角。=2Kr+苧，髭Z,

故终边落在y轴上的角的集合是{0|0=2质+热或9=2Kr+竽，k€Z}

={。|。=2丘+与，或。=2/rn+ir+勺，&€Z)={0|0="ir+不nGZ}.

故答案为{。|。=〃11+名〃口}.

【收官验收】若角a的终边为第二象限的角平分线，则a的集合为—.

37r

【解析】解：在(0,2n)内第二象限角平分线的度数为一，

4

所以和更终边相同的角的集合为{x|x=驾+2k/r,(keZ)},

4什

故答案为：{x|x=¥+2k?T,(AeZ)}

【名师点睛】

求解终边在某条直线上的角的集合的思路

1.若所求角夕的终边在某条射线上，则集合的形式为{，/?=&•36（『+a,&GZ}.

2.若所求角用的终边在某条直线上，则集合的形式为{夕族=k180。+如kWZ}.

堂要考点四：区域角的表示

【典型例题】如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.

【解析】解：如图，终边落在阴影部分的角为：30。WaV105。或210°Wa<285°

终边落在阴影部分的角的集合为:

{a|300+H360°WaV105°+如360°或210°+内360°Wa<285°+如360°,keZ]

+如180°,kez}.

【题型强化】用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（包

括边界，如图所示）.

(1)⑵

【解析】解：（1）图⑴阴影部分内的角的集合为伍|2闻一髀aW2%r+驾，kEZ]

（2）图⑵阴影部分内的角的集合为{平Ti+看参髭Z}

【收官验收】如图，分别写出适合下列条件的角的集合:

(1)终边落在射线08上；

(2)终边落在直线0A上；

(3)终边落在阴影区域内(含边界).

【解析】解：由图形得，

(1)终边落在射线上的角的集合为：{a|a=60°+K360°,kEz}.

(2)终边落在直线上的角的集合为：{a|a=30°+K180°,kEz},

(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为：

{a|30°+如180°WaW60°+'180°,依z}.

【名师点睛】

区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角.其写法可分为三步：

(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；

(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的一360°到360°范围内的角a和夕，写出最简区间{x[a<x</};

(3)起始、终止边界对应角a、4再加上360。的整数倍，即得区间角集合.

重要考点五：分角、倍角所在角限的判断思路

【典型例题】已知a是第一象限角，那么巴是第象限角.

2

【解析】解：・・・a是第一象限角，

的取值范围是(2加，2+2K1)(依Z)

2

a7i

二一的取值范围是(kn,-+E)()tGZ)

24

分类讨论

①当女=2i+l(其中iCZ)时，巴的取值范围是(n+2抗，—+2m)即士属于第三象限角.

242

②当k=2i（其中iez）时，一的取值范围是（2m,-+2m）即一属于第一象限角.

242

故答案为：一或三.

【题型强化】若角a是第四象限角，则巴是第象限角.

3

【解析】解：:a是第四象限角，

：.ae（2E+亭，2m+2n）,kel.

Z222

-ZET1

33，3

左=0时是第二象限角，

4=1时，是第三象限角，

%=2时，是第四象限角.

.•.巴是第二或第三或四象限角，

3

故答案为：第二或第三或第四象限角.

【收官验收】已知Na是第二象限角，则N2a是第一象限角.

【解析】解：・・・Na是第二象限角，

7T

+2加VaVir+2EskeZ；

2

/.TT+4&TT<2a<2n+4lai,依Z；

，/2a是第三、四象限角或y轴上的角：

故答案为：y轴上的角或三、四.

【名师点睛】

1.已知角a终边所在的象限，确定终边所在的象限时，可根据角a的范围求出的范围，再直接转化

为终边相同角即可.注意不要漏掉的终边在坐标轴上的情况.

2.已知角a终边所在的象限，确定彳终边所在象限时，运用分类讨论法时要对/的取值分/被“整除，k被

〃整除余1,人被〃整除余2,.........k被“整除余”一1进行讨论，然后再下结论；运用几何法时，依据数

形结合的思想，简单直观.

重要考点六：有关“角度”与“瓠度”概念的理解

【典型例题】用弧度制表示所有与75°终边相同的角的集合是一

【解析】解：因为180。=m

可得75。=含

与角一相同的角为：。=雪+2匕1,kWZ.

1212

可得所有与75°终边相同的角的集合是｛a|a=^+2E,keZ].

故答案为：｛a|a=1j+2Kr,蛇Z｝.

【题型强化】将角120°化成弧度为—(用含TT的代数式表示).

【解析】解：=I。=高，

.♦.120。=120x高=等

故答案为：—.

3

7

【收官验收】315°=弧度，一九弧度=0.

12

【解析】解：315°=315又看=宇

77

—7T=-X1800=105°

1212

故答案为：一;105

4

【名师点睛】

弧度与角度的概念的区别与联系

区别(1)定义不同.

(2)单位不同：弧度制以“弧度”为单位，角度制以“度”为单位.

(1)不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小

联系无关的值.

(2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化.

重要考点七：角度制与瓠度制的楂化

【典型例题】将时钟的分针拨快30加〃，则时针转过的弧度为.

【解析】解：分针拨快30〃”小是按照顺时针方向，得到的角是一负角，

30

把钟表拨快30加〃，时针走过30度的一，

60

.♦.时针走过的弧度数是一需X1=一各

故答案为：—白.

【题型强化】把-1485°化成2E+a(0<a<2n,kWZ)的形式是.

【解析】解：-1485°=-1800°+315°=-10n+仔，

故答案为：-107+与

【收官验收】将下列角度化为弧度，弧度转化为角度

、

(I)780°,(2)-1560°,(3)67.5°(4)一1程0万，(5)7—T,(6)7一7r.

3124

【解析】解：(1)780°=舞乂71弧度=等弧度，

XoU，

(2)-1560°=一鬻X7T弧度=一失弧度，

loU□

(3)67.5°=鬻兀弧度=等弧度.

(4)一学7T弧度=一学X180。=-600。,

⑸三弧度=啥=15

加7

一

6度=-

44180°=315°.

【名师点睛】

角度制与弧度制互化的关键与方法：

(1)关键：抓住互化公式兀rad=180°是关键；

(2)方法：度数乂煮=弧度数；弧度数X(侬)。=度数；

1oUIt

(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度；

(4)角度化为弧度时，其结果写成兀的形式，没特殊要求不必化成小数.

置要考点八：用弧度制表示区域角

【典型例题】如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.

(2)

【解析】解：(1)由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为｛a|一+24JTWa±兀+2々兀，keZ｝；

4

(2)由题图可知，终边落在阴影部分的角的集合为｛用±+2"《?<*+2k*keZ｝U

44

5TT77r

{pi-----F2kn<Bv------1-2/CTT,kEZ].

44

【题型强化】如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于X轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角

的集合.

故满足条件的角的集合为：｛a|苧+247rvav亨+2ATT,keZ）；

（2）若将终边为OA的一个角改写为-去此时阴影部分可以看成是0A逆时针旋转到0B所形成,

0

故满足条件的角的集合为：⑷一尹2而〈3患+2-k&Z｝；

（3）将图中x轴下方的阴影部分看成是由x轴上方的阴影部分旋转n阳d而得到，

故满足条件的角的集合为：｛amma工尹也，keZ）；

（4）与第（3）小题的解法类似，将第二象限阴影部分旋转nmd后可得到第四象限的阴影部分，

故满足条件的角的集合为：｛a|与+mvav卷+k&Z｝.

【收官验收】用弧度制分别写出第一至第四象限角的集合.

【解析】解：第一象限角的集合为｛a|2hr<aV*2e，AGZ）；

第二象限角的集合为｛a|三+2内iVaVn+2Kr,依Z｝；

2

第三象限角的集合为｛am+2Znt〈aV苧+2hr,。｝；

第四象限角的集合为｛al;*+2lcn<a<2n+2kK,kWZ].

【名师点睛】

（I）根据已知图形写出区域角的集合的步骤：

①仔细观察图形.

②写出区域边界作为终边时角的表示.

③用不等式表示区域范围的角.

（2）注意事项：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错.

堂要考点九：求扇形面积最值的函数思想

【典型例题】如图，某游乐园的平面图呈圆心角为120。的扇形A08,其两个出入口设置在点8及点C处，

且园内有一条平行于AO的小路CD.已知某人从C沿CD走到。用了8