重庆市2023-2024学年高二年级下册中期学习能力摸底考试数学试题（含答案解析）

重庆市第十八中学2023-2024学年高二下学期中期学习能力摸

底考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知c：=c『i,则加等于（）

A.1B.3C.1或3D.1或4

2.函数〃x）=x-学在［-私兀］上的图像大致为（）

3.的展开式中的常数项是（）

A.-20B.20C.-160D.160

4.若点尸是曲线＞=lnx上任意一点，则点尸到直线y=x+3的距离的最小值为（）

行

A.1B.V2C.—D.272

2

5.已知函数V=/（x）（xeR）的图象如图所示，则不等式/（x）＞0的解集为（）.

试卷第1页，共4页

C.(-®,0)uQ,2jD.(-1,O)U(1,3)

6.若函数在［0)=-%2一41+。111%在［1,2］上单调递增，则实数。的取值范围是()

A.a>6B.a>6C.a>16D.a>\6

7.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设b,为

整数，若。和6被加除得的余数相同，则称。和6对模加同余，记为。=b(mod冽).若

Q=C；8・2+C；8・22+...+C；>2*Q=〃modlO),则b的值可以是()

A.2018B.2020

C.2022D.2024

8.已知函数/(x)是定义在(0,+功上的可导函数，/⑴=2,且+则不等式

/(尤)-e3f>l的解集为

A.(0,1)B.(1,+<»)C.(1,2)D.(2,+0))

二、多选题

9.现安排高二年级/,B,C三名同学到甲、乙、丙、丁、戊五个工厂进行社会实践，每名

同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是()

A.所有可能的方法有3，种

B.若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有61种

C.若同学/必须去工厂甲，则不同的安排方法有20种

D.若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有60种

6

10.已知(2x-iy=4+%(x_l)+°2H-----(x-1)+&(x-l)，,贝!I()

A.=1B.。］+。2++%=3’—1

6

C.a5=-672D.ax+2a2+3a3H-----------\-1a1=14x3

XIny

11.已知直线y与曲线尸之相交于45两点，与>=——相交于8,C两点，48,c的横

ex

坐标分别为国,马，当，则()

试卷第2页，共4页

X2X1

A.x2=aeB.x2=]nxxC.x3=eD.XjX3=xf

三、填空题

12.11+?](》+了)8的展开式中dy6的系数为.(用数字作答).

13.街道上有编号1,2,.3,….10的十盏路灯，为节省用电又能看清路面，可以把其中的

三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，满足

条件的关灯方法有种.

14.当x>0时，加2,2In三恒成立，则实数。的取值范围是.

ae

四、解答题

15.记函数“X)的导函数为尸(x),已知/(x)=#一停+2卜+%-6,/'⑸=3.

(1)求实数上的值；

⑵求函数在[0,5]上的值域.

16.已知(2x+:=)"展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为

\x5

⑴求〃的值；

(2)求展开式中有理项的系数之和.(用数字作答)

2

17.已知函数/(到二亍，g(x)=lnx-ax+e,其中e是自然对数的底数.

⑴求函数的极值；

⑵对“目-1,0],总存在马式24],使/(xjvg(xj成立，求实数。的取值范围.

18.已知函数/(x)=lnx-@.

X

(1)当Q=T时，求/(X)的极值；

⑵若/(x)20恒成立，求实数。的取值范围；

c3»+1

(3)证明：e>但+iy(〃eN)•

19.用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称

奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若/'(x)是“X)的导函

试卷第3页，共4页

⑴求曲线〃x)=lnx+x在(1,1)处的曲率号的平方;

⑵求余弦曲线〃(x)=cosx(xeR)曲率K2的最大值；

⑶若g(x)=e"(x)+x/z'(x),判断g(x)在区间-pj上零点的个数，并写出证明过理.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】根据组合数的性质即可求解.

【详解】由Cf=CgW-1可知:加=2冽-1或者m+2m-1=8，解得:加=1或加=3

故选：C

2.B

【分析】根据给定的函数，由奇偶性排除两个选项，再取特值即可判断作答.

【详解】函数=X-学cin定y义域为(-8,O)u(0,+功，

X

,、sin(-x)sinx,，、厂//、、

而f(-x)=-x--(二y=t-片且f(~x)丰~f(x),

即函数〃x)既不是奇函数也不是偶函数，其图象关于原点不对称，排除选项CD；

而当X=7t时，/(x)=/(7t)=7i,排除选项A,选项B符合要求.

故选：B

3.C

【分析】求出展开式的通项，令x的指数等于0,从而可得出答案.

【详解】二项展开式的通项为加=c>(2«「［一=(-iy

令3-厂=0,得〃=3,

所以，正一步展开式中的常数项为(-1)3磔-3c=-160.

故选：C.

4.D

【分析】根据题意转化为直线>=x+6与曲线y=hu相切时，切点到直线y=x+3的距离.

【详解】设直线y=x+6,当直线y=x+6与曲线y=l很相切时，切点为尸(%,Inx。)，此时

点尸到直线y=X+3的距离最小，

所以/个,=l=1，得%=1,所以尸(1,0),

点尸(1,0)到直线y=x+3的距离d』?3|=20.

故选：D

答案第1页，共12页

5.A

【分析】由/(x)的图象得到"》)的单调性，从而得到了'(%)的正负，即可得解.

【详解】由y=〃x)(xeR)的图象可知，/(x)在卜叫j和(2,+⑹上单调递增，在[|，2]上

单调递减，

则当xe[-co,；[时#(x)〉0,苫©(2,+00)时#G)〉0,丁€：2卜寸/'(%)<0,

所以不等式矿(x)>0的解集为(0,£p(2,+8).

故选：A

6.D

【分析】求出函数的导函数，依题意/'(x)=-2x-4+?20在xe[l,2]上恒成立，参变分离

得到aN2/+4x,xe[l,2],根据二次函数的性质求出2/+4x的最大值，即可得解.

【详解】f(x)=-x2-4x+a\nx,所以/'(无)=-2x-4+q,

依题意/'(X)=-2x-4+(20在xe[1,2]上恒成立，

所以“22x?+4x=2(x+-2,令g(x)=2(x+l)~-2,xe[1,2],

因为g(无)=2(尤+-2在[1,2]上单调递增，则g(x)而=g(2)=16

所以。216,即实数。的取值范围是16.

故选：D

7.A

【分析】首先利用二项式定理化简。，再确定。被10除的余数，结合选项，即可求解.

【详解】因为〃=(1+2)"-。)8=3|8-1=炉一1=(10-1)9-1

=C°-109-C*-lO^...+C^lO1-^-1

=10(C"-108-C*-107+...+C^)-2

所以。被10除得的余数为8,而2018被10除得的余数是8.

故选：A.

8.A

【分析】根据题设条件构造函数8(》)=*(〃月-1),根据已知不等式分析8(力的单调性,

答案第2页，共12页

再根据特殊值判断X需满足的不等式，即可求出解集.

【详解】由〃x)+g/'(x)<l可得3(/(x)-l)+r(x)<0,

设g(x)=则g'(x)=e313(/(x1)+广G,

.•.g'(x)<0,；.g(x)在(0,+s)上为减函数，又由〃x)—e3』>l,可得

eix(/(x)-l)>e3=e3(/(l)-l)=g(l),.-,0<x<l.

故选A.

【点睛】常见的利用导数的不等关系构造函数的类型：

(1)若已知〃x)+/'(x)>0(<0),可构造函数：g(x)=e"(x)分析问题;

(2)若已知-广(力>0(<0),可构造函数:g(x)=与分析问题;

(3)若已知〃力+矿(。>0(<0),可构造函数：g(x)=箕(x)分析问题;

(4)若已知"X)-4(力>0(<0),可构造函数：8卜广?分析问题.

9.BD

【分析】由分步计数乘法原理，结合特殊元素优先考虑原则逐项分析，计算作答.

【详解】对于A,每名同学有5种选择方法，则所有可能的方法有5?种，A不正确；

对于B,由选项A知，所有可能的方法有5?种，工厂甲没有同学去的方法有4,种，

所以工厂甲必须有同学去的不同的安排方法有5,-甲=61种，B正确；

对于C,同学/必须去工厂甲，则同学3,C的安排方法有52=25种，C不正确；

对于D,三名同学所选工厂各不相同的安排方法有A；=60种，D正确.

故选：BD

10.ABD

【分析】利用赋值法，结合导数的求导法则逐一判断即可.

【详解】A：在已知等式中，令x=l,则有(2x1-1)，=旬=1,所以本选项正确；

7

B：在已知等式中，令x=2,则有(2x2—1)=/+4+出+…+%%+。2"I—"+o7—3—1,

所以本选项正确；

C：因为(21)7=[2(1)+11，

答案第3页，共12页

所以(尤-1)5项的系数%=CX25XF=672,

D：对已知等式，两边同时求导，得7(2x-l)6x2=«j+2a2(x-1)+…+7内,-1j,在该式中,

令x=2,则有14x36=4+2%+…+7%,所以本选项正确，

故选：ABD

11.ACD

【分析】根据题意，利用导数分别求得函数夕=之和>=g的单调性和最大值，作出两个

ex

函数的图象，利用图象结合对数的运算性质，逐项判定，即可求解.

【详解】由函数>=之，可得V=W，令y'=o,可得X=l,

ee

当xe(-*1)时，y>0,y=j单调递增；

当xe(l,+⑹时，y>0,y单调递减，

所以当X=1时，函数取得最大值，最大值为

e

又由函数>=皿，可得了=匕坐，令了=0,可得X=e,

当当xe(O,e)时，y>0,y=叱单调递增；

X

当xe(e,+s)时，/>0,>=皿单调递减，

X

所以当x=e时，函数取得最大值，最大值为,，

e

作出两个函数>=三和>=皿的图象，如图所示，

ex

由3=*可得X2=ae»,所以A正确；

因为?=三=。=电红='3且了=2在(0,1)上单调递增，

122

eex2ee

又因为0<再<e,所以0<山工2<1,所以占=111%2，所以B错误；

因为=烹-=。="'且>=""在芯©(e,+°°)上单调递减,

又因为jeCe，),X>e,所以卜=£，所以C正确；

%2

由X1X3=eInx2=—"ax2=xf,所以D正确.

故选：ACD.

答案第4页，共12页

【点睛】方法技巧

已知函数零点(方程根)的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法:

1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参

数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；

3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结

合求解.

结论拓展：与e，和Inx相关的常见同构模型

®aea<blnb<^eahiea<blnb,构造函数/(x)=xlnx(或V61n6oae"We】"ln6,构

造函数g(x)=xe')；

②工<—竺，构造函数(或《<2=力<即，构造函数

41nbine"In6Inxa]nbaIn6

g(x)=5)；

③e"±a>6±ln6=e"±lne">6±lnb,构造函数f(x)=x±lnx(或

ea±6z>/?±ln/)<^>ea±^>elrf,±lnZj，构造函数g(x)=e*±x).

12.84

【分析】由11+?卜+#8=(》+»+：(x+y)8,写出(x+y)s展开式的通项，即可求出展开

式中的系数.

【详解】因为11+J(x+y)8=(x+y)8+：(x+y)8,

其中(x+y)8展开式的通项为(0W8且reN),

所以+£|(x+y)8的展开式中含x2『的项为?-C^y=84//,

所以展开式中的系数为84.

答案第5页，共12页

故答案为：84

13.20

【分析】采用插空法即可求解.

【详解】10只灯关掉3只，实际上还亮7只灯，而又要求不关掉两端的灯和相邻的灯，此

题可以转化为在7只亮着的路灯之间的6个空挡中放入3只熄灭的灯，有C：=20种方法，

故答案为：20.

14.二，+8)

【分析】将ae2x2山奈在(0,+“)上恒成立恒成立转化为e111^21+lna+2x>+Inx在

(0,+s)上恒成立，在构造函数/(x)=e'+x,再利用导数法研究函数的单调性，进而转化为

Ina2Inx-2x在(0,+8)上恒成立,等价于lna>(lnx-2x)皿，xe(0,+s).最后利用导数法研

究函数的最值，结合对数不等式即可求解.

【详解】因为当x>0时，前2，与11上7恒成立，

ae

所以ae2x2Inx-Ina-x在(0,+8)上恒成立，

所以elna+2x+Ina+2x2elnx+In%在(0,+。)上恒成立，

令/(x)=e"+x,可得/'(x)=e"+l〉0,

所以/(x)在(0,+。)上单调递增，且/(lna+2x)2/(lnx),

所以1114+2X2111%在(0,+8)上恒成立，即Ina21nx-21在(0,+。)上恒成立，

所以Ina>(lnx-2x)max,XE(0,+8)即可.

11_7Y

令g(x)=lnx-2尤，可得g'(x)=——2=-------,

XX

1_7Y1

令g'(x)=0,则--=0,解得x=彳，

当0<x<g时，g'(x)>0,

当时，g'(x)<0,

所以g(x)在［o,£|上单调递增，在\,+/)上单调递减，

答案第6页，共12页

所以g（x）Vg［；］=ln；-l=ln］,

12J22e

所以InaNln］,解得

2e2e

所以实数。的取值范围是1J,+8］.

1_2e）

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将加2,2In3在（0,+8）上恒成立恒成立转化为所

以eM心+［11a+2尤"院+［11》在（0,+8）上恒成立，在构造函数/（x）=e*+x,再利用函数的

单调性，进而转化为Ina21nx-2无在（0,+8）上恒成立，再利用导数法研究函数的最值即可.

15.（1）左=2

_,2

⑵-6,§.

【分析】（1）求导，即可代入求解，

（2）根据导数确定单调性，即可根据单调性求解极值以及端点处的函数值，比较大小即可.

【详解】（1）r（x）=x2-（^+4）x+4^

因为/'（5）=3,所以25-5（左+4）+4左=3,解得太=2

（2）由（1）可知/（x）=f-6x+8=（x-2）（x-4）

由/外）>0,解得x>4或x<2；由/'（x）<0,解得2cx<4

所以函数〃力在［0,2］,［4,5］单调递增;在［2,4］单调递减

又/（0）=-6,/（2）=|）/（4）=-|,”5）=：.

所以七（司=〃0）=-6,AaxW=/（2）=/（5）=|,

r2-

所以函数/（X）在［0,5］上的值域为-6,§.

16.（1）7；

（2）702.

【分析】（1）求出第三、第四项的系数，再列式计算即得.

（2）由（1）的结论，求出展开式的有理项的系数即可计算得解.

答案第7页，共12页

【详解】（1）依题意，（2x+上）”展开式的通项公式

y/X

4_k

兀1=《（2尤）"4（『孙=2"TC：x"不，kSn,keN'

显然第三项系数为2"2亡，第四项系数为2"-3戏,

因此二||二（AR2）=，7="，解得〃=7,

3

TC„.（"1）5-2）n-25

3x2x1

所以〃的值为7.

4k

（2）由（1）知小=27«勒/至（左=0,1,2「，7），当左=0,3,6时，对应的项是有理项,

当上=0时，展开式中对应的有理项为Tx=27cb7=128/；

当上=3时，展开式中对应的有理项为“=24C；/=560/

当左=6时，展开式中对应的有理项为7；=2cx一=14%-'

所以展开式中有理项的系数之和为128+560+14=702.

4

17.⑴/⑺极小值=。，/（%）极大值=/

⑵。J

e

【分析】（1）利用导数分析函数/（X）的单调性，即可求得该函数的极大值和极小值；

（2）由题意可得/'（xJaWg（X2），由参变量分离法可得a42三，利用导数求出函数

X2

〃（匕）=於在［2,e2］上的最大值，即可得出实数。的取值范围.

丫22丫一丫2

【详解】（1）解：因为/（x）=I，该函数的定义域为R,则（（无）=三3

ee

令/'（x）=0,得x=0或2,列表如下：

X0）0（0,2）2(2,+⑹

/'（X）-0+0-

“X)单调递减极小值单调递增极大值单调递减

答案第8页，共12页

/3极小值=/(°)=°，/3极大值=/(2)=。

(2)解:由题意可得/(xjgWg(x2),

由(1)可知/(占)在[7,0]单调递减，

"(%)1mx=/(-l)=e，.•.Inz-oXz+eNe在”?目有解，a<^~,

令xe[2,e2],令“⑸=二o.

21,2

X]2Qe)e(e，/)e2

〃'(工2)+0-

In2极大值12

%(%2)单调递增单调递减

~Tee2

所以［”％入=：,

18.⑴极小值1,无极大值;

⑵。4二；

e

(3)证明见解析.

【分析】(1)把。=-1代入，利用导数求出函数的极值.

(2)分离参数并构造函数，再求出函数的最小值即得.

(3)利用(2)的结论可得xNelnx,再利用赋值法结合数列求和即得.

【详解】⑴当。=-1时，/。)=出工+工的定义域为(0,+8),求导得八口」-士=闫，

XXXX

当0<x<l时,f\x)<0,当x>l时,f'(x)>0,则/(x)在(0,1)上递减，在(1,+8)上递增,

所以/(X)有极小值/(1)=1,无极大值.

(2)由/(x)20恒成，得Vx>0,aWxlnx,令g(x)=xlnx,x>0,求导得g'(x)=l+lnx,

当0<x<』时，g'(x)<0,当时，g'(x)>0,即函数g(x)在(0-)上递减，在d,+s)上

eeee

递增，

111

因止匕gmin(x)=g(一)二一一，贝一一，

eee

答案第9页，共12页

所以实数”的取值范围是

e

(3)由(2)知，当〃二一,时，即lnx»---=>—>eln—^>x>elnx

eexxx

于是--->eln------=e[ln(〃+l)—ln川，---->eln------=e[ln〃-In(〃-I)],L,

nnn—\n—\

22

Y>eIn—=e(ln2-Inl),

〃+]n2

因止匕----+----d-----F—>e[ln(zz+1)-In«+In«-ln(w-1)+•••+In2-InI]=eln(«+l),

nn-\I

c3n+l

所以

【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导

数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.

1

19.(1)——

125

(2)1

(3)2,证明见解析

【分析】(1)由〃尤)求出/(无)和/⑺，得到了'⑴和二⑴代入曲率公式再平方即可；

(2)由可力求出〃(x)和力"(x