2024高考数学大题创新题精练-数列（原卷）

大题创新题精练02数列冲刺2024高考数学【突破新题型】（原

卷）

【前言】自九省联考新题型以来，各地模拟卷题目发生根本性变化。数列主要发

生以下变化：（1）2小问变成3小问，（2）数列与三角函数综合，（3）强化数列

与概率统计综合，（4）数列与导数综合，（5）数列新定义题目层出不穷。

题型探究

SS"...............................................................................................................................

【题型一】数列与三角函数综合

【题型二】数列与概率统计综合

【题型三】数列与导数综合

【题型四】数列新定义题

知识温习（略）

•_,,--（S],n=],

1.Sn与an的关系

ISn—Sn-i，n>2.

2.等差数列

（1）递推公式：an+ian=d（n£N*）或andni=d（n22,n£N*）

（2）中项性质：a,A,b成等差数列Q2A=a+bOA=?.

（3）通项公式：an=ai+（nl）d.

（4）前n项和：已知首项、末项与项数，则S。上色辿.

已知首项、公差与项数，贝!IS,=g+的/d.

3.等比数列

递推公式：包^qln&N*）或三-=q（nN2,n£N*）,

anan-l

通项公式：arad)

中项性质：在等比数列｛aj中，若k+1=m+n(k,1,m,n£N*),贝!J产aA.特别地，若m+n=2r

(m,n,rGN*),则aman=a^.

n

pi(l-q)(i)

前n项和公式：已知首项、公比与项数，S『l-q旧',

nai(q=1)

rai-anqz,x

已知首项、末项与公比S.=l-q旧J，

nai(q=1)

各个击破

【题型一】数列与三角函数综合

【知识回顾】(略)

1.(2024•浙江台州•二模)已知数列｛。"｝满足％=；,。用=厂\.

⑴求。2024(只需写出数值，不需要证明)；

(2)若数列｛%,｝的通项可以表示成。.=；-瓜苗(0”+彷［()<0<3,"第的形式，求

2.(2024・广东・二模)已知正项数列｛4｝,｛4｝,满足〃向="力向=笥£(其中c>0).

⑴若。尸4,且为+6户2c,证明:数列｛%-2｝和｛。“+6“-2c｝均为等比数列；

(2)若%>々,％+仇=2c,以明,4,c为三角形三边长构造序列耳(其中

JT

48“=c/C=a“，4C=，)，记A4£C外接圆的面积为S“，证明：S„>-c:

⑶在(2)的条件下证明：数列｛$,｝是递减数列.

3.(2024・上海青浦•二模)若无穷数列｛%｝满足：存在正整数7,使得。“+7=%对一切正整

数〃成立，则称｛%｝是周期为T的周期数歹11.

Tin兀

⑴若%=sin一+—（其中正整数仅为常数，«eN,»>l）,判断数列｛%｝是否为周期数列,

m3

并说明理由;

（2）若。用a„+sin47„（neN,H>l）,判断数列｛3｝是否为周期数列，并说明理由;

（3）设也｝是无穷数列,已知%M=4+sin%（"eN,〃Wl）.求证："存在%,使得｛4｝是周期

数列”的充要条件是"也｝是周期数列

【题型二】数列与概率统计综合

【知识回顾】（略）

4.（2024・贵州贵阳•模拟预测）甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜

一个成语，已知甲、乙第一轮猜对的概率都为［甲如果第4（AeN*）轮猜对，则他第4+1轮

也猜对的概率为|,如果第4轮猜错，则他第左+1轮也猜错的概率为：；乙如果第左轮猜对,

则他第左+1轮也猜对的概率为:，如果第左轮猜错，则他第4+1轮也猜错的概率为;.在每

轮活动中，甲乙猜对与否互不影响.

⑴若前两轮活动中第二轮甲乙都猜对成语，求两人第一轮也都猜对成语的概率；

⑵若一条信息有>1,”6N*）种可能的情形且各种情形互斥，每种情形发生的概率分别为

A，B，L,A，则称》=-次（耳log2耳）为该条信息的信息燧（单位为比特），用于量度

Z=1

该条信息的复杂程度.试求甲乙两人在第二轮活动中猜对成语的个数X的信息端H；

⑶如果“星队”在每一轮中活动至少有一人猜对成语，游戏就可以一直进行下去，直到他们都

猜错为止.设停止游戏时"星队"进行了y轮游戏，求证：£代）<4.

5.（2024•黑龙江哈尔滨•一模）据统计，2024年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79

万人次，实现旅游总收入59.14亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值.现对某一时间

段冰雪大世界的部分游客做问卷调查，其中75%的游客计划只游览冰雪大世界，另外25%的

游客计划既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人.每位游客若只游览冰雪大世界，则

得到1份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人，则获得2份文旅纪

念品.假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力音乐公园大雪人是相互独立的,

用频率估计概率.

⑴从冰雪大世界的游客中随机抽取3人，记这3人获得文旅纪念品的总个数为X,求X的

分布列及数学期望；

⑵记〃个游客得到文旅纪念品的总个数恰为〃+1个的概率为%,求｛%｝的前"项和，；

⑶从冰雪大世界的游客中随机抽取100人，这些游客得到纪念品的总个数恰为〃个的概率为

bn,当，取最大值时，求〃的值.

6.（2024•山西朔州•一模）甲、乙、丙、丁四人练习传球，每次由一人随机传给另外三人中

的一人称为一次传球，已知甲首先发球，连续传球〃（〃€四,〃之3）次后，记事件"乙、丙、丁

三人均被传到球"的概率为匕.

⑴当〃=4时，求球又回到甲手中的概率；

⑵当〃=4时，记乙、丙、丁三人中被传到球的人数为随机变量X,求X的分布列与数学期

望；

⑶记0"=£-9-1，求证：数列｛2｝从第3项起构成等比数列，并求

7.（2024•黑龙江哈尔滨•一模）入冬以来，东北成为全国旅游和网络话题的"顶流南方的

小土豆们纷纷北上体验东北最美的冬天，这个冬天火的不只是东北的美食、东北人的热情，

还有东北的洗浴中心，拥挤程度堪比春运，南方游客直接拉着行李箱进入.东北某城市洗浴

中心花式宠"且"，为给顾客更好的体验，推出了A和8两个套餐服务，顾客可自由选择A和

5两个套餐之一，并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该洗浴中心在App平台10天

销售优惠券情况.

日期,12345678910

销售量了（千张）1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4

_i101010

经计算可得：y=^W>=2.2,乞⑨=118.73,£==385.

1U曰z=lZ=1

⑴因为优惠券购买火爆，App平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数

量大幅减少，现剔除第io天数据，求了关于/的经验回归方程（结果中的数值用分数表示）;

（2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为《，选择3套餐的概率为（，并且A套餐可以用

一张优惠券，8套餐可以用两张优惠券，记App平台累计销售优惠券为〃张的概率为匕，求

夕；

（3）记（2）中所得概率《的值构成数歹U｛£｝（〃€N*）.

①求勺的最值；

②数列收敛的定义：已知数列｛%｝,若对于任意给定的正数£，总存在正整数N。，使得当

心乂时，（。是一个确定的实数），则称数列｛%｝收敛于根据数列收敛的

定义证明数列｛勺｝收敛.

n“

xa一元）（入一刃工毛乂一行亍

参考公式：b=-.---------=上匕---------->a=y-bx.

方（占-可2之片一凉

i=l

8.（2024•湖北武汉•二模）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2

个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重

复〃次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为七.

⑴求X2的概率分布列并求£（丫2）；

（2）求证：]E（X“）一|[（〃22且〃eN*）为等比数歹U，并求出E（X”）（”22且〃eN*）.

【题型三】数列与导数综合

【知识回顾】(略)

9.(2024高三・江苏•专题练习)定义首项为1且公比为正数的等比数列为-数列

⑴已知等比数列｛%｝(〃wN*)满足：a2a4=a5,%-勿2+勿i=。，求证:数列｛"〃｝为-数列〃；

122

⑵已知数列｛〃｝满足:4=1,—-,其中S"为数列｛4｝的前〃项和.

①求数列也,｝的通项公式；

②设机为正整数，若存在数列"｛%｝("€N*),对任意正整数左，当左W机时，都有

ck<bk<ck+l成立，求m的最大值.

10.(2324高三上•上海闵行•期中)已知/■(x)=lnx+g+办(。为实常数)

(1)当。=0时，求函数y=/(x)的最小值；

⑵若<_2对一切0<玉<z都成立，求。的取值范围；

再-x2

⑶设各项为正的无穷数列｛七｝满足lnx“+一二<1,证明：尤"41.(提示：当0<"1时，

<7”1

\+q+qH------1-q=----)

i-q

11.(2023高三•全国•专题练习)已知/(x)=(l-x)e「l.

(1)证明：对任意x>0,/(x)<0.

⑵若娟，“=eJ,〃eN*,为=1,证明：｛%｝单调递减，且

12.(2023•山东潍坊•模拟预测)已知函数/(x)=ax+g+2-2a(a>0)的图像在点(1,/。))处

的切线与直线x+2y+l=0垂直.

（1）。,6满足的关系式；

（2）若/'（x）221nx在[1,+s）上恒成立，求。的取值范围；

2nV+11

⑶证明：X

k=ik4〃

【题型四】数列新定义题

【知识回顾】（略）

13.（2024•北京东城•一模）有穷数列%吗，…,%（〃＞2）中，令

S（p,q）=ap+ap+x+---+aq（\＜p＜q＜n,p,q^K^,

⑴已知数列-3,2,-1,3,写出所有的有序数对（P，4）,且P＜4,使得S（〃q）＞0；

（2）已知整数列。i，的，…，”为偶数，若S（3，+l"=l,2,…满足：当i为奇数时，

5（z＞-z+l）＞0；当i为偶数时，S（i,"i+1）＜。求同+同+-+同的最小值;

⑶已知数列％,出，…,。"满足S（L〃）＞°，定义集合/={45（，+1,〃）＞0,，=1,2,-、〃-1}.若

4={7；/2「5}化€]\"）且为非空集合，求证：S（l,〃）＞4+%+…+%*.

14.（2024・福建泉州•模拟预测）表示正整数a,b的最大公约数，若

eN*）,且差＜再,马,…,4},（尤,切）=1,则将左的最大值记

为研加）,例如：夕⑴=1,⑺⑸=4.

⑴求夕⑵,。⑶,。（6）；

(2)已知(%〃)=1时，夕(加”)=夕(m)夕⑺.

⑴求夕(6")；

(ii)设”=3"；)_1，数列｛2｝的前"项和为人证明：Tn嚓.

15.(2024•广东梅州•二模)已知｛%｝是由正整数组成的无穷数列，该数列前〃项的最大值记

M",即｛。”｝；前〃项的最小值记为，｛令

为=maxq,a2,…,",BP=minal,a2,•••,«„),

P„=Mn-mn(>=1,2,3,…),并将数列也｝称为｛叫的"生成数列

⑴若a.=3",求其生成数列｛%｝的前〃项和；

(2)设数列｛么｝的"生成数歹卜为｛/｝,求证：PL/;

⑶若｛P,J是等差数列，证明：存在正整数〃0,当"2小时，an,an+l,a„+2,…是等差数列.

16.(2024•吉林长春•三模)入冬以来，东北成为全国旅游话题的"顶流南方游客纷纷北上,

体验东北最美的冬天.某景区为给顾客更好的体验，推出了4和2两个套餐服务，并在购

票平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择/和3两个套餐之一，下表是该景区在购票

平台10天销售优惠券情况.

日期/12345678910

销售量V(千张)1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4

1101010

经计算可得：y=-E^=2-2-=118.73,W＞；=385.

1UZ=1z=lZ=1

(1)由于同时在线人数过多，购票平台在第10天出现网络拥堵，导致当天顾客购买的优惠券

数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y关于t的回归方程(精确到0.01),并估计第10

天的正常销量；

23

(2)假设每位顾客选择A套餐的概率为选择2套餐的概率为《，其中/套餐包含一张优

惠券，8套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了〃张优惠券，设其概率为

P”，求只；

(3)记(2)中所得概率q的值构成数列｛匕｝(〃eN*).

①求数列仍,｝的最值；

②数列收敛的定义：己知数列｛%｝,若对于任意给定的正数%总存在正整数乂，使得当

〃>乂时，是一个确定的实数)，则称数列｛%｝收敛于根据数列收敛的定

\an-a\<s,(0a.

义证明数列｛匕｝收敛.

回归方程/=&+%中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：3=号---------，a=y-bx.

-rix2

i=l

17.(2024•湖南岳阳•二模)已知数列1,