2024年菏泽市高三数学3月份模拟考试卷及答案解析

2024年荷泽市高三数学3月份模拟考试卷

（全卷满分150分，考试时间120分钟）2024.03

第I卷（选择题）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的.

1.抛物线V=8y的焦点坐标为（）

A.（4,0）B.（0,4）C.（2,0）D.（0,2）

2.已知集合M={x|x2-3x—4W0},N={x|y=ln（x-2）},则McN=（）

A.（2,4）B.（2,4]C.（-1,4]D.[-1,4]

3.下列说法错误的是（）

A.若随机变量占、〃满足—且。⑶=3,则。⑺=12

B.样本数据50,53,55,59,62,68,70,73,77,80的第45百分位数为62

C.若事件A、8相互独立，则尸（A|3）=尸（A）

D.若A、3两组成对数据的相关系数分别为。=095、%=-0.98,则A组数据的相关性更强

4.已知{%}为等差数列，%+生+。5=15,%+%+4=33,贝！]%=（）

A.6B.12C.17D.24

5.函数〃x）=6+12x-x3的极小值点为（）

A.（4,-10）B.（-2,-10）C.4D.—2

6.在，ABC中，sin（B-A）=^,2a2+c2=2b2,贝。sinC=（）

A.-B.—C.gD.1

322

7.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活

动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（）

A.AB.Ac.2D.§

1825259

8.已知抛物线C的方程为y=',尸为其焦点，点N坐标为（0,-4）,过点尸作直线交抛物线C于A、

B两点，。是x轴上一点，且满足理=|DN|,则直线4?的斜率为（）

A.土巫B.土巫C.±72D.±73

22

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.设a,夕是关于x的方程2-+px+q=。的两根，其中p,qeR.若，=2i-3（i为虚数单位），贝|（）

A.£=2i+3B.p+q=38C.a+]3--6D.|«|+|y0|=2>/13

10.如图，已知正方体ABC。-A4GR的棱长为2,点M为BC的中点，点P为正方形AqGA内（包

含边界）的动点，则（）

A.满足"P//平面48。的点尸的轨迹为线段

B.若M尸=2应，则动点P的轨迹长度为：

ITTT

C.直线与直线所成角的范围为

o2

D.满足MP_LAM的点尸的轨迹长度为由

2

11.已知正方体ABC。-AB'C'D的棱长为1,“是AA中点，尸是AB的中点，点N满足

D'N=ADrC'（Ae[0,1]）,平面MPN截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体积分别为％%,则

下列判断正确的是（）

A.2=:时，截面面积为也B.九=:时，h=X

222

C.MF随着彳的增大先减小后增大D.|匕-用的最大值为总

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

22

12.已知椭圆C：马=1«>6>0）的左、右两焦点分别是耳、F2,其中忻剧=2c.椭圆C

ab

上存在一点A,满足肺•A8=4/,则椭圆的离心率的取值范围是

13.若曲线/(%y)=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线/(%y)=0的“自公切线”，则

下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号

为.(Dy=x2-21;@y=3sinr+4cosx;(3)3x2-孙+1=0;+y2一工一忖-1=0.

14.1675年，卡西尼在矿究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到

两定点距离之积为常数的点的轨迹.已知点耳(-2,0),8(2,0),动点尸满足|尸耳口尸阊=6,则骂

面积的最大值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱底面ABCD,PD=DC=2AD=2,E

是尸C的中点，作EFLPB交PB于点、F.

(2)求二面角3-DE-尸的正弦值.

16.设数列｛。,｝为等差数列，前〃项和为S",%+%=22,%=120.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

,1

(2)设么=丁~厂=的前〃项和为求

yJa„

17.己知函数/(x)=(x-l)e"-依2,aeR.

⑴当。=］时，求的单调区间；

(2)若方程/(力+。=0有三个不同的实根，求。的取值范围.

18.兵乓球(tabletennis),被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目.已知某次乒乓球比

赛单局赛制为：两球换发制，每人发两个球，然后由对方发球，先得11分者获胜.

(1)若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为甲接球时获胜的概率为:，甲先发球，求单局比赛中甲11:2

获胜的概率；

(2)若比赛采用三局两胜制(当一队荫得两场胜利时，该队获胜，比赛结束)，每局比赛甲获胜的概率为

每局比赛结果相互独立，记X为比赛结束时的总局数，求X的期望.(参考数据66=46656)

19.已知“X)是定义在珏上的函数，如果存在常数M>0,对区间珏的任意划分：

<xn=b,和式tVaj-yDlwM恒成立，则称为［a,々上的“绝对差有界函

Z=1

数”，注：,+4.

z=l

(1)求证：函数〃x)=sinx+cosx在j霞,0上是“绝对差有界函数”；

⑵记集合A={/(x)l存在常数々>0,对任意的菁e［a,同，有|/(王)-〃工2)|V左上-引成立.

求证：集合A中的任意函数/(x)为“绝对差有界函数”；

71

/\XCOS——,0<X<1「r

(3)求证：函数〃x)={2x不是［。,1］上的“绝对差有界函数”.

0,%=0

1.D

【解析】抛物线交点坐标为(0,，)，算出。即可.

【详解】由d=8y=2px,得P=4,故抛物线V=8y的焦点坐标为(0,2).

故选：D.

【点睛】本题考查抛物线的定义及方程，求抛物线焦点坐标时，一定要注意将方程标准化，本题是一道

基础题.

2.B

【分析】解二次不等式与求对数型函数定义域化简集合M,N,再利用集合的交集运算即可得解.

【详解】因为M={X|，-3X-4V0}={X|-1WXW4},

N={x|y=ln(x-2)}={x|x>2},

所以McN={x|2<x<4}=(2,4］.

故选：B.

3.D

【分析】根据方差的性质判断A,根据百分位数计算规则判断B,根据相互独立事件及条件概率概率公

式判断C,根据相关系数的概念判断D.

【详解】对于A：因为用=2才一1且。0=3,所以陞_1)=22XD@=12,故A正确；

对于B：因为10x45%=4.5,所以第45百分位数为从小到大排列的第5个数，即为62,故B正确；

对于C：若事件A、B相互独立，则尸(AB)=P(A)尸(3),

所以P(A|B)=*H=当群LP(A),故C正确；

对于D：若A、3两组成对数据的相关系数分别为G=0.95、^=-0.98,

因为同>以|，所以8组数据的相关性更强，故D错误.

故选：D

4.C

【分析】设等差数列｛%｝的公差为d,根据题意，结合等差数列的基本量的运算，求得d=2和%=5,

结合。9=%+6d,即可求解.

【详解】设等差数列｛g｝的公差为d,

因为%+%+。5=15,%+。6+“8=33,

可得9d=(%+/+4)—(%+/+%)—33—15=18,解得d=2,

又由4+〃3+%=15,可得%+生+%=3%=15,解得%=5,

所以。9=%+61=5+6x2=17.

故选：C.

5.D

【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出极值点.

【详解】函数〃x)=6+12x-x3的定义域为R,且广(力=12-3尤2=3(2—力(2+尤)，

所以当一2<x<2时//x)>0,当％<—2或x>2时/''(x)<。，

所以〃尤)在(-2,2)上单调递增，在(-0-2),(2,+8)上单调递减，

所以/(x)在x=-2处取得极小值，在x=2处取得极大值，

即极小值点为-2,极大值点为2.

故选：D

6.C

【分析】利用余弦定理的边角变换得到2ACOS3-2灰:osA=-c,再利用正弦定理的边角变换与三角函数的

和差公式即可得解.

【详解】因为2/+C2=2/，所以2/-2/=-C2,

因+c?——2QCCOS5,Z?2+/—=2Z?CCOSA,

两式相减，得2〃2-2b2=2accosB-2bccosA=-c1,/.2acosB-2Z?cosA=-c,

由正弦定理，得2sinAcos3-2sinBcosA=-sinC,即一2sin（B-A）=-sinC,

因为sin（8-A）=（,所以sinC=g.

故选：C.

7.C

【分析】应用分组分配法、分步计数求活动安排的方法数，最后运用古典概率模型概率公式即得.

【详解】先将5名志愿者分成3组，第一类分法是3,1,1,第二类分法是2,2,1,再分配到三项活动

中，总方法数为］攀+事＞&=150,

因甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同，故只需先把甲，乙，丙三人在三项活动上安排好，再让丁，戊两

人分别在三项活动中选择，

其方法数为A；C；C；=54.故甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为2=言=《.

故选:C.

8.B

【分析】设3（%,%），D（a,O）,直线AB方程为＞=丘+1,联立直线与抛物线方程，消元，

得到占々=-4,再由=|£）同=|ZW|=4?+42,可得3（々,%）是方程/+9-2办-16=0的

解，将y=^+i代入方程，由玉％=-4求出h

【详解】设A&,yJ,网々,%），。（。，0），直线A8方程为＞=丘+1,

y=kx+1

联立直线与抛物线方程12，可得了2—4日-4=0,

y=­x

I4

显然A>0,所以占%=-4.

又=|£）周=|£W|=Ja2+4?,即J（X]+y；=小®-。）。+y；=Ja。+4?，

即+y;—26LX]—16-0,x；+y；—2dx,—16—0,

故4（%,另），8（%2,%）是方程/+/一2"-16=0的解，

将、=依+1代入方程尤2+丁2-2以-16=0,

整理得（1+k）*2+（2左一2a）x-15=0,显然A>0,

故选：B.

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

（1）设直线方程，设交点坐标为（番,乂）、（%，%）；

（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算△；

（3）列出韦达定理；

（4）将所求问题或题中的关系转化为为+超、%%的形式；

（5）代入韦达定理求解.

9.BCD

【分析】根据虚根成对原理可得Q=-2-3,再由韦达定理求出〃、q,最后计算模即可.

【详解】因为夕是关于x的方程2/+内+4=0的两根，其中乙qeR且a=2i-3,

所以6=-2i-3,

所以c+〃=（2i-3）+（-2i-3）=-6=-^,所以p=12,

a.^=（2i-3）-（-2i-3）=13=-|,所以g=26,

则p+q=38,故A错误，B正确，C正确；

|tz|+网="一3『+2?+{(一3)2+(-2)2=2^/13，故D正确.

故选：BCD

10.AD

【分析】利用正方体的特值构造面面平行可判定A,利用圆的定义与弧长公式可判定B,设P坐标，利

用正切函数的单调性计算判定C,利用线面垂直及勾股定理可判定D.

【详解】对于A,如图所示，取棱8环4与AQQDQC的中点分别为

连接砂、FG、GH、HI、IM、ME,

根据正方体的特征易知EM//A。UGH,EFUA^BUH^GFHBDUMI,

则E,尸,共面，且BD//平面EFGH/M,BA//平面EFGHIM,

又BD,BA〕u平面BD\且相交于5,故平面BDA//平面EFGHIM

所以满足MPH平面AtBD的点P的轨迹为线段FG,

故A正确；

对于B,设M到上底面的投影为N,易知MN=2,而MP=2及,所以NP=2,

即P在以N为圆心，半径为2的圆上，

7T2兀

且尸在正方形431GA内，如图所示，即JK上，易知NJNK=],所以JK的长度为?，

故B错误；

对于C,

如图所示建立空间直角坐标系，取AD的中点。，连接M。，作

设尸(x,y,2)(x,ye[0,2]),则“l,y,O),M(1,2,0),

易知直线A3与直线MP所成角为NPMQ,

7T

显然当尸为86的中点时，此时ZPMQ=5，y=2,

当时，

\LM\2-y

易知J(X-1)2+4>2,2-ye(O,2],

TT

若NPM。最小，则需x=l,y=。，此时=故C错误；

4

对于D,取CS=：DC,RCi=：DG，

可知RN〃SM,RN=SM,即R、N、M、S共面，

cs]BM

在底面正方形中易知===贝!JSCM~MBA^ZAMS=90,

CM2AB

结合正方体的性质可知跖V，底面A3CD,A"1底面ABC。，

所以A01MN,

而MNcSM=M,MN、SA/=平面7?2VMS,

所以AW上平面&VMS,故尸在线段7W上运动，

故选：AD

11.BCD

【分析】对于A,易于判断截面形状，计算即得其面积；对于B,可由A项图形进行对称性判断得到；

对于C,要结合A项中点N从点DC运动到点C'的过程中，截面形状的变化，以及B项中的结论合并进

行判断；对于D,要在选项C的基础上判断悟-叫取最大值时，对应于4=0或4=1时的情形，故只需要

求出这两种情形下的M的值即得.

如图1,当彳=:时，点N是力C'的中点，易得截面为正六边形.其棱长为+（；『=",故截面面

积为6*¥*（1）2=乎，故A项错误；

由对称性可知.当彳=g时.平面分两部分是全等的，故体积相等，故B项正确;

图2

如图2.当4从0变化到1时.截面从四边形MO'CP变化至五边形（其中J为BC靠近8点的三

等分点）.

结合B项可知，被截面所分两部分体积之差的绝对值先减小至0,再逐渐增大，故C项正确;

|匕-％］取最大值时对应为久=0,或2=1时情形.

当冗=0时，不妨记匕为截面M0C尸左上角的部分几何体，则

门U171/11\11117

V1=VP-AMD1D+^-DD，c=3^1-4x2+3X2xl=24,

7171775

则匕=1一，=，，此时忖一匕|=------=—;

224241121242412

当％=1时，不妨记匕为截面MPJC'。左上角的部分几何体，则

匕=^P-DAMQD'+Vp—DCCD'+%—PC/+^Q-JC'C==Q--T)X-+TX1X1+TX7X1+TXTX1—TT,

312233o3372

47754795

贝ux=i—?=2,此时乂―211

272721121727236

•••MF的最大值为总，故D项正确.

故选：BCD.

【点睛】思路点睛：本题重点考查正方体的截面面积和分割成的几何体的体积问题，属于难题.

解题思路在于要有从特殊到一般的思想，先考虑点N为DC'的中点时的截面和分割成的几何体体积的关

系，再考虑点N分别与点以，点C'重合时的截面形状以及分割成的两部分的体积，总结出体积变化规

律即可.

12」恪，恪

o5

【分析】先设出点A,然后由向量数量积得到A的轨迹，应用A在椭圆上则两个曲线有交点，再求离心

率即可.

【详解】设点4(%,乂),

2

贝！］AF{-AF2=4c2=>(―°—七,—%.(c—芯,一/)=%;一/+y；=4c,

即才+才=502,所以点A在以(0,。)为圆心，半径为百c的圆上，

22

又因为A点在椭圆上，所以圆x；+y；=5c2与椭圆二+1=1有交点，

ab

根据对称性可^\b<r<a,即。<也c<a^>b2<5c2<a2^>a2-c2<5c2<a2，

所以5c之4/<6°2,即椭圆离心率四，

故答案为：［恪，恪

OJ

13.①②④

【分析】①在％=-1和x=i处的切线都是y=T,故有“自公切线”;②此函数为周期函数，过图象的最高

点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故有“自公切线”；将③化简为y=3x+,，求出

X

1113x+--(3x+—)

y'=3--设切点分别为4%,3再+—),B(X,3X+1),通过11।万之工

X2%22羽k=3一一-=3一一-=-----1---------—

解方程即可判定；④画出图形即可判断.

(.X-1)--l,x>0

【详解】①>=尤2-2国=.2,在X=T和X=1处的切线都是y=T,故①有“自公切线”;

(x+1)--l,x<0

®y=3sinx+4cosx=5sin^x+（p）,其中cose=g,sinp=g,

此函数为周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合,

故此函数有“自公切线”，即②有“自公切线”；

③3/—孙+1=0,即y=3x+」（xo0）,则y'=3-,

XX

假设有“自公切线”，设切点分别为4%,3占+工），B（x2,3x2+-）,且%RX,,

%x2

7cle1

所以切线的斜率％=3一季=3一7，解得：％=-X，

13x4----------（―3x）

则3（一%,一3%）,故心&1%玉，

%k=3——-=----------------—

再玉一（一再）

c1cl_

化简得：3%+—=3%——,无解，所以③没有“自公切线”.

xx

④12+>2_X_|X|-1-O?

当贝!］（工一1）2+>2=2,当xvO,贝!］工2+》2=1,

表示的图形如下，由于两圆相交，有公切线，所以④有“自公切线”.

【分析】根据题意可列等量关系，化简可得>2=a6/+36-X2-4=-1（，16小+36-8）2+；，即可求解.4|,

由面积公式即可求解.

【详解】已知定点为月（-2,0）,8（2,0）,

因为动点尸（x，N）满足|尸耳|忖阊=6,

所以点尸的轨迹方程为y/（x+2）2+y2-7（X-2）2+/=6,

两边同时平方可得(X2+/+4)2=36+16%2,

整理得>2=\ll6x2+36-^-4=--(7167+36-8)2+-,

164

所以卜喝a，

止匕时S4%=:闺用仅|=!'4W区3,当且仅当f=(,丁=；时，取得最大值，

故答案为：3

15.(1)证明见解析

⑵亚

9

【分析】(1)由线面垂直的判定定理证明即可；

(2)建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，求夹角的余弦值即可.

【详解】(1)证明：因为底面ABC。，3Cu平面ABC。

所以PDL3C,

因为四边形A3CD是矩形，所以CD_L3C,

又因为尸£>、CDu平面PCD,PDcCD=D,

所以3C_Z平面尸CD,又DEu平面尸CD,

所以BC_LOE,

又因为PO=OC=2,E是PC的中点，所以DE，尸C,3CcPC=C,3C,尸Cu平面P3C,

所以DE2平面PBC,

又PBu平面P8C,所以DEJ.PB,

由已知得EF_LPB,且DEcEF=瓦£>£,EFu平面DE尸，

所以P3_L平面DEF.

(2)以。为原点，以DA,DC,OP所在直线分别为x轴、了轴、z轴建立空间直角坐标系,

则。（0,0,0）,5（1,2,0）,£（0,1,1）,P（0,0,2）,

由⑴知PB_L平面DEF，所以尸3=(1,2,-2)为平面DEF的一个法向量,

又DE=(O,1,1),L>B=(1,2,0),设〃=(x,y,z)为平面出汨的一个法向量,

n-DE=0fy+z=0/、

则由得.c八取〃=(2,-1,1),

n-DB=0[x+2y=0

DD_nPB__2_76

则c°s<〃产>=丽=砺=-9，

设二面角台-DE-尸的大小为e，

所以二面角3-DE-尸的正弦值为更.

9

16.⑴。〃=2孔+1

0、J2-+3V3

22

【分析】(1)设公差，将条件利用等差数列的基本关系式列出方程组，求解即得；

,1

(2)将4=2〃+1代入a=-厂厂,分母有理化后，利用裂项相消法求和即得.

+也+1

【详解】⑴设数列｛4｝的公差为"，由%+%=22,兀=120,

「24+8d=22c7c

则Vie解得〃]二3,“=2,故=3+(〃-l)x2=2〃+l；

10〃i+454=120

(2)由(1)得力——1I-----------,2〃+3—+1

A/2〃+1+J2〃+32

+j2〃+3-j2〃+l)=-(V2n+3-73)=^2,7+j--^

:.T=-(A/5-A/3+V7-V5+A/9-A/7+

2222

17.(l)/(x)单调递增区间为(-8,0)和(L”)，单调递减区间为(0,1)

【分析】(1)求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式即可求出单调区间;

(2)由/(尤)+。=(%一1)[6'-。(*+1)],可得x=l为〃x)+<7=。的一个根，

所以e'-"(x+l)=0有两个不同于1的实根，令g(x)=e，-a(x+l),利用导数说明函数的单调性，从而

得到当。>0时g(lna)<0且g(l)wo,即可求出参数的取值范围.

【详解】⑴当时，函数/(司=(彳-1度-声2,

则/'(x)=xe*-ex=x(e*-e),令尸("=。得x=。或x=l

当xe(-oo,。)或xe(l,+co)时，>0,当xe(0,l)时，/'(x)<0,

所以/(X)在(-双0)上单调递增，在上单调递增，在(0,1)上单调递减，

即当时，””单调递增区间为(-双0)和(1,+8),单调递减区间为(0,1).

(2)/(x)+a=(x-l)[er-a(x+l)],所以x=l为+a=0的一个根，

故e、-a(x+l)=0有两个不同于1的实根，

令g(x)=e"-a(x+l),贝I]g'(x)=e*—a,

①当aWO时，g'(x)>0,故g(x)在R上单调递增，不符合题意;

②当a>0时，令g'(x)=O,得x=lna,

当x>lna时，g'(x)>0,故g(x)在区间(lna,+8)上单调递增，

当x<lna时，g'(x)<0,故g(x)在区间(-8,Ina)上单调递减，

并且当x——时，g(x)f+°；当x—+8时，g(x)f+e；

所以若要满足题意，只需g(lna)<0且g(l)wO,

因为g(lna)=e'1M—a(lna+l)=—alna<0,所以0>1,

又g(l)=e-2aw0,所以0咤

所以实数0的取值范围为(回。[，+，].

49

18•⑴国

(2)E(X)q

【分析】(1)根据题意，分3种情况分别求单局比赛中甲11:2获胜的概率，再求和；

(2)首先分析得到X=2,3,再分别求概率，以及数学期望.

【详解】(1)设事件A为“若甲先发球，单局比赛甲11:2获胜”，其可分为如下三种基本事件,

事件5为“甲发球，甲败2次”，事件C为“乙发球，甲败2次”，事件。为“甲发球，甲败1次，乙发球,

甲败1次”，

这个单局比赛中，甲发球6次，乙发球6次，最后1次是甲发球甲赢，

26

2丫11I；21602640

.•.尸(0=晨IX3--6r尸(c)Y

332

5

768

尸（0=晨一，'

P（A）=P（B）+P（C）+P（£＞）=^=己;

（2）随机变量X的所有可能取值为2,3,

22

215

p(X=2)=+

339

尸(X=3)=C；x河x|+C；x抬x抬

S4??

所以E(X)=2X§+3X5=§.

19.（1）见解析（2）见解析（3）见解析

【分析】（1）将整理为&sin[x+?＞可知f（x）在卜宗。[上单调递增；可知〃毛）＜/（03

从而可将化简为=从而可知£＞（无,）-"如）32,得到结论；（2）

取〃x）eA，根据归《%-司，可得力/（%）-〃%.1）归戊=从而可取