2024届广东省莞市中考三模数学试题含解析

2024届广东省莞市东华中学中考三模数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.对于两组数据A,B,如果SA2>SB2,且尤A=/，则（）

A.这两组数据的波动相同B.数据B的波动小一些

C.它们的平均水平不相同D.数据A的波动小一些

2.已知a,b,c在数轴上的位置如图所示，化简|a+cHa-2bHe+2b|的结果是（）

A.4b+2cB.0C.2cD.2a+2c

3.已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（）

A.8.23x106B.8.23x107C.8.23xl06D.8.23xl07

4.如图，四边形ABCD是。。的内接四边形，。。的半径为6,NADC=60。，则劣弧AC的长为（）

A.2nB.47tC.57rD.67r

5.下列运算中，计算结果正确的是（）

A.a2«a3=a6B.a2+a3=asC.（a2）3=a6D.a12-ra6=a2

6.有下列四个命题：①相等的角是对顶角；②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；③同一种正五边形一定能进

行平面镶嵌；④垂直于同一条直线的两条直线互相垂直.其中假命题的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

7.左下图是一些完全相同的小正方体搭成的几何体的三视图.这个几何体只能是（）

主视图左视图

A.D•件

8.如图，30为。。的直径，点A为弧8OC的中点，NA5O=35。，则NO3C=（）

A.20°B.35°C.15°D.45°

9.某射击选手10次射击成绩统计结果如下表，这10次成绩的众数、中位数分别是（）

成绩（环）78910

次数1432

A.8、8B.8、8.5C.8、9D.8、10

10.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8,DB=6,DH_LAB于H,则DH=()

2412

A.—B.—C.12D.24

55

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11.分解因式：也-超=_.

12.分解因式：a3-12a2+36a=.

13.某一时刻，测得一根高1.5m的竹竿在阳光下的影长为2.5m.同时测得旗杆在阳光下的影长为30m,则旗杆的高

为m.

14.如图，AABCg/XAOE,NEAC=40。，则N5=°.

B

15.现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，天猫和淘宝的支付交易额突破67000000000元，将67000000000

元用科学记数法表示为.

16.如图，AABC内接于。O,AB是。O的直径，点D在圆O上，BD=CD,AB=10,AC=6,连接OD交BC于

点E,DE=.

三、解答题（共8题，共72分）

2

17.（8分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC±,DE〃BC,且DE=—BC.如果AC=6,求AE的长;

3

设=AC=b＞求向量DE（用向量人表示）.

18.（8分）计算：陋-l|-2sin45°+V8-（-）-2

19.（8分）为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费.若用户的月用水

量不超过15吨，每吨收水费4元；用户的月用水量超过15吨，超过15吨的部分，按每吨6元收费.

（I）根据题意，填写下表：

月用水量（吨/户）41016...

应收水费（元/户）-----;—40•-------...

（II）设一户居民的月用水量为x吨，应收水费」y元，写出y关于x的函数关系式；

（III）已知用户甲上个月比用户乙多用水6吨，两户共收水费126元，求他们上个月分别用水多少吨？

20.（8分）如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1,0）和点B与y轴交于点C（0,3）,抛

物线的对称轴与x轴交于点D.

(1)求二次函数的表达式；

(2)在y轴上是否存在一点P,使APBC为等腰三角形？若存在.请求出点P的坐标；

(3)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，

以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到

何处时，AMNB面积最大，试求出最大面积.

21.(8分)如图所示：△ABC是等腰三角形，ZABC=90°.

(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线1,垂足为H.(保留作图痕迹，不写作法)；

(2)垂直平分线1交AC于点D,求证：AB=2DH.

22.(10分)已知点E是矩形A3C。的边上一点，5F_LAE于点歹，求证ZkAB歹

23.(12分)如图，。。的半径为4,B为。。外一点，连结OB,且OB=6.过点B作。O的切线BD,切点为点D,

延长BO交。。于点A,过点A作切线BD的垂线，垂足为点C.

(1)求证：AD平分NBAC；

⑵求AC的长.

24.如图，在△ABC中，D为BC边上一点，AC=DC,E为AB边的中点,

(1)尺规作图：作NC的平分线CF,交AD于点F(保留作图痕迹，不写作法);

(2)连接EF,若BD=4,求EF的长.

参考答案

一、选择题(共10小题，每小题3分，共30分)

1、B

【解析】

试题解析：方差越小，波动越小.

22

'SA>，

数据B的波动小一些.

故选B.

点睛：本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即

波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数

据越稳定.

2、A

【解析】

由数轴上点的位置得：b<a<0<c,且|b|>|c|>|a|,

/.a+c>0,a-2b>0,c+2b<0,

则原式=a+c-a+2b+c+2b=4b+2c.

故选:B.

点睛：本题考查了整式的加减以及数轴，涉及的知识有：去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本

题的关键.

3、B

【解析】

分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axio,与较大数的科学记数法不同的是其所使

用的是负指数塞，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

详解：0.000000823=8.23x10-1.

故选B.

点睛：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axlO?其中iga|V10,n为由原数左边起第一个不为零的

数字前面的0的个数所决定.

4、B

【解析】

连接OA、OC,然后根据圆周角定理求得NAOC的度数，最后根据弧长公式求解.

【详解】

连接。4、OC,

,/ZADC=6Q°,

:.ZAOC=2ZADC=120°,

则劣弧AC的长为：I,。：/6=4几

180

故选B.

【点睛】

riirr

本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式/=——.

180

5、C

【解析】

根据同底数毒相乘，底数不变指数相加；塞的乘方，底数不变指数相减；同底数塞相除，底数不变指数相减对各选项

分析判断即可得解.

【详解】

A、a2«a3=a2+3=a5,故本选项错误；

B、a?+a3不能进行运算，故本选项错误；

C、(a2)3=a2x3=a6,故本选项正确；

D、a124-a6=a12-6=a6,故本选项错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查了同底数塞的乘法、幕的乘方、同底数塞的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键.

6、D

【解析】

根据对顶角的定义，平行线的性质以及正五边形的内角及镶嵌的知识，逐一判断.

【详解】

解：①对顶角有位置及大小关系的要求，相等的角不一定是对顶角，故为假命题；

②只有当两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故为假命题；

③正五边形的内角和为540。，则其内角为108。，而360。并不是108。的整数倍，不能进行平面镶嵌，故为假命题；

④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，故为假命题.

故选：D.

【点睛】

本题考查了命题与证明.对顶角，垂线，同位角，镶嵌的相关概念.关键是熟悉这些概念，正确判断.

7、A

【解析】

试题分析：根据几何体的主视图可判断C不合题意；根据左视图可得B、D不合题意，因此选项A正确，故选A.

考点：几何体的三视图

8、A

【解析】

根据/43。=35。就可以求出初的度数，再根据3。=180°，可以求出，因此就可以求得NABC的度数，从而求

得NOBC

【详解】

解：\"ZABD=35°,

•••面的度数都是70。，

；RD为直径，

二篇的度数是180°-70°=110°,

•••点A为弧屈DC的中点，

血的度数也是110°,

,而的度数是110°+110°-180。=40。，

/.ZDBC=^X400=20。，

故选：A.

【点睛】

本题考查了等腰三角形性质、圆周角定理，主要考查学生的推理能力.

9,B

【解析】

根据众数和中位数的概念求解.

【详解】

由表可知，8环出现次数最多，有4次，所以众数为8环；

这10个数据的中位数为第5、6个数据的平均数，即中位数为9=8.5（环），

2

故选：B.

【点睛】

本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）

的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则

中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

10、A

【解析】

解：如图，设对角线相交于点O,

1111

,/AC=8,DB=6,.,.AO=-AC=-x8=4,BO=-BD=-x6=3,

2222

由勾股定理的，AB=yjAO2+BO2=A/42+32=5）

•/DH±AB,；.S菱形ABCD=AB・DH=LAOBD,

2

124

即5DH=-x8x6,解得DH=——.

25

故选A.

【点睛】

本题考查菱形的性质.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、a(a+Z?)(a-Z?)

【解析】

先提取公因式。，再利用平方差公式分解因式即可.

【详解】

«3—ab1=a[cT-Z?2)=a(o+Z?)(a-Z?)

故答案为：a(a+b)(a-b).

【点睛】

本题考查了分解因式，熟练掌握因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法的区别，根据题目选择合适的方法是解题

的关键.

12、a(a-6)2

【解析】

原式提取a,再利用完全平方公式分解即可.

【详解】

JM^=a(a2-12a+36)=a(a-6)2,

故答案为a(a-6)2

【点睛】

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

13、1.

【解析】

分析：根据同一时刻物高与影长成比例，列出比例式再代入数据计算即可.

注解..竹竿的高度旗杆的高度•L5旗杆的高度解俎诲杆的，底L5

详解：.竹竿的影长=旗杆的影H.lT3。'解得：旗杆的回度=石'3°=1.

故答案为1.

点睛：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方

程，建立数学模型来解决问题.

14、1°

【解析】

根据全等三角形的对应边相等、对应角相等得到NBAC=NDAE,AB=AD,根据等腰三角形的性质和三角形内角和定

理计算即可.

【详解】

VAABC^AADE,

/.ZBAC=ZDAE,AB=AD,

/.ZBAD=ZEAC=40°,

AZB=(180°-40°)4-2=1°,

故答案为1.

【点睛】

本题考查的是全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键.

15、6.7xlO10

【解析】

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中iw|a卜10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动

了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.

【详解】

67000000000的小数点向左移动10位得到6.7,

所以67000000000用科学记数法表示为6.7x101°,

故答案为：6.7xlO10.

【点睛】

本题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中l<|a|<10,n为整数，表示时关键要正

确确定a的值以及n的值.

16、1

【解析】

先利用垂径定理得到ODLBC,贝！JBE=CE,再证明OE为△ABC的中位线得到OE=工AC=6=3,入境计算

22

OD-OE即可.

【详解】

解：VBD=CD,

：•BD=CD，

.\OD±BC,

；.BE=CE,

而OA=OB,

，OE为AABC的中位线，

：.OE=-AC=-x6=3,

22

.,.DE=OD-OE=5-3=1.

故答案为I.

【点睛】

此题考查垂径定理，中位线的性质，解题的关键在于利用中位线的性质求解.

三、解答题(共8题，共72分)

uuu2rr

17、(1)1；(2)DE=—(Z?—tz).

【解析】

(1)由平行线截线段成比例求得AE的长度;

(2)利用平面向量的三角形法则解答.

【详解】

(1)如图，

又AC=6,

,\AE=1.

⑵VAB=a^AC=b>

numuuiuuuuii

：•BC^AC-AB=b-a-

2

又DE〃BC,DE=-BC,

3

uum21012rr

：.DE=-BC=-(b-d)

【点睛】

考查了平面向量，需要掌握平面向量的三角形法则和平行向量的定义.

18、-1

【解析】

直接利用负指数塞的性质以及绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案.

【详解】

原式=(五-1)-2x叵+2-4

2

=yf2-1-V2+2-4

=-1.

【点睛】

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

19、(I)16；66；(II)当烂15时，y=4x；当x>15时，y=6x-30；(III)居民甲上月用水量为18吨，居民乙用水

12吨

【解析】

(I)根据题意计算即可；

(II)根据分段函数解答即可；

(III)根据题意，可以分段利用方程或方程组解决用水量问题.

【详解】

解：(I)当月用水量为4吨时，应收水费=4x4=16元；

当月用水量为16吨时，应收水费=15x4+1x6=66元；

故答案为16；66；

(II)当正15时，y=4x；

当x>15时，y=15x4+(x-15)x6=6x-30；

(III)设居民甲上月用水量为X吨，居民乙用水(X-6)吨.

由题意：X-6C15且X>15时，4(X-6)+15x4+(X-15)x6=126

X=18,

，居民甲上月用水量为18吨，居民乙用水12吨.

【点睛】

本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题.注意在实际问题中，利用方程或方程组是

解决问题的常用方法.

20、(1)二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；(2)点P的坐标为：(0,3+30)或(0,3-30)或(0,-3)或(0,

0)；(3)当点M出发1秒到达D点时，AMNB面积最大，最大面积是1.此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处

或点N在对称轴上x轴下方2个单位处.

【解析】

(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；

(2)先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当APBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；

②BP=BC；③PB=PC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；

(3)设AM="!|DN=2t,由AB=2,得BM=2-t,SAMNB=-x(2-t)x2t=-t2+2t,把解析式化为顶点式，根据二

2

次函数的性质即可得△MNB最大面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x

轴下方2个单位处.

【详解】

解：(1)把A(1,0)和C(0,3)代入y=x?+bx+c,

l+/>+c=0

。=3

解得：b=-4,c=3,

...二次函数的表达式为：y=x2-4x+3；

(2)令y=0,则x2-4x+3=0,

解得：x=l或x=3,

•*.B(3,0),

:.BC=3五,

点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1,

①当CP=CB时，PC=30,，OP=OC+PC=3+3®或OP=PC-OC=30-3

APi(0,3+30),P2(0,3-30)；

②当PB=PC时，OP=OB=3,

；.P3(0,-3)；

③当BP=BC时,

VOC=OB=3

,此时P与O重合，

，P4(0,0);

综上所述，点P的坐标为：(0,3+30)或(0,3-30)或(-3,0)或(0,0)；

(3)如图2,设AM=t,由AB=2,得BM=2-t,则DN=2t,

ASAMNB=-x(2-t)x2t=-t2+2t=-(t-1)2+l,

2

当点M出发1秒到达D点时，AMNB面积最大，最大面积是1.此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在

对称轴上x轴下方2个单位处.

S2

21、⑴见解析；(2)证明见解析.

【解析】

(1)利用线段