辽宁省辽东南2024届高三年级下册开学考试数学试卷(含答案)

辽宁省辽东南名校2024届高三下学期开学考试数学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一'选择题

1.已知集合A={—1,0,1,2},B={x|x（x-2）＜0）,则AB=（）.

A.0B.{0}C.{1}D.{0,l}

2.复数工的虚部为（）.

2+i

A.-2B.2C.-lD.l

22

3.双曲线上—匕=1的渐近线方程为（）.

169

343

A.y=±—xB.y=±—犬C・y=±—%_-

43516

4.已知℃（0,冗），2sin（兀一2a）=cos2a-l,则sina=（）.

A.lB正C一旦D.也

5555

5.已知点M是边长为2的正方形ABC。的内切圆内（含边界）一动点，则MA.MB的

取值范围是（）

A.[-l,0]B,[-l,2]C.[-l,3]D.[-l,4]

6.《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466-485年

间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日

增加的数量相同.已知第一日织布5尺,30日共织布390尺，则该女子织布每日增加

_______尺（）

"B.更C.AD.3

7291531

7.将2名教师,4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个

小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）

A.12种B.10种C.9种D.8种

8.已知椭圆c工+q=1（。〉5〉0）的离心率为逅，直线依-勿=0与圆

a2b23

M：/+丁_”+工=0相切，则实数机的值是（）

-4

A.±］B.+2C.+4D.+8

二、多项选择题

9.已知函数/00=45由，》-；1-1,则下列结论正确的是()

A./(x)的最小正周期为兀

B.函数/(x)在「_巴,把］上单调递增

88

C.将函数/(X)图像的横坐标缩短为原来的一半,再向左平移四个单位后关于y轴对称

6

D.函数/(%)在巴止］上的最小值为_20.1

48_

10.已知正方体A3CD-的棱长为。，点瓦EG分别棱AB，44］,£2的中点，下列

结论正确的是()

A.BD\，平面ACgB.四面体AC5Q］的体积等于1/

C.R7与平面ABCD所成角的正切值为gD.BQ］〃平面EFG

11.已知函数y=/(x)是R上的奇函数，对于任意xeR,都有〃龙+4)=〃力+〃2)成

立，当xe［0,2)时〃%)=2。1,则下列结论中正确的是()

A./(O)=O8.函数丁=/(另在［-6,—2］上单调递增

C.函数y=/⑴在［-6,6］上有3个零点D.点(4,0)是函数y=/⑴的图象的一个对称

中心

三、填空题

12.据统计，某段时间内由内地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次为5:2:3,现使

用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n人，若青年旅客抽到60人，则

n=.

13.已知直三棱柱ABC-4与G的6个顶点都在球0的球面上，若

AB=1，AC=7LABJ_AC，AA=4,则球。的表面积为.

14.已知函数/(x)=|1gH，若0<a<£>且/⑷=/0),则a+2办的取值范围为

四、解答题

15.已知函数/(x)=x-aex,〃£R.

(1)当a=1时,求曲线y=/(%)在点(0,/(0))处的切线的方程

(2)若曲线y=/("与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围.

16.某校积极响应习近平总书记关于共建学习型社会的号召，开展了“学党史,强信仰，跟

党走”的主题学习活动.在一次“党史”知识竞赛活动中,给出了A、B、C三道题，答对A、

B、C分别得2分、2分、4分，答错不得分.已知甲同学答对问题A、B、C的概率分别

为3、2、L乙同学答对问题A、B、C的概率均为2,甲、乙两位同学都需回答这三

4323

道题，且各题回答正确与否相互独立.

(1)求甲同学至少有一道题不能答对的概率；

(2)请结合统计的知识判断甲、乙两人在本次“党史”知识竞赛中，哪位同学得分高.

17.如图，在四棱锥p—ACS。中，底面A3CD为矩形，义,底面A5CD，B4=AB=2,点E

是棱中点.

(1)证明:平面ACE_L平面P3C.

(2)若BC=3,求二面角A-CE-。的余弦值.

18.已知抛物线C：V=2px(p>0)上的点>0)到其焦点的距离为2.

(1)求点P的坐标及抛物线C的方程；

(2)若点M、N在抛物线C上,且即用小冲=—求证：直线过定点.

19.对于给定的正整数机和实数若数列｛4｝满足如下两个性质：

①6+出+…+。枕=a；②对V”eN*，,则称数列｛a“｝具有性质Q”(a).

(1)若数列｛4｝具有性质鸟⑴，求数列｛%｝的前10项和；

（2）对于给定的正奇数f,若数列｛4｝同时具有性质舄（4）和《⑺，求数列｛4｝的通项公

式；

（3）若数列｛%｝具有性质以（①,求证：存在自然数N,对任意的正整数匕不等式

%+1+/N+2+…+即+尢＞«_均成立.

km

参考答案

I.答案：C

解析：由题设，B={x|x（x-2）<0}={x|0<x<2}>而4={-1,0,1,2}，

/.AB={1}.

故选：C.

2.答案：C

解析：5（,］）故虚部为一1.

2+z（2+z）（2-z）5

故选：C

3.答案：A

22

解析：因为双曲线C：二一匕=1，所以a=4，b=3,

169

所以双曲线的渐近线方程为y=±2x=±3x.

a4

故选：A

4.答案：D

解析：解：由2sin（7i—2a）=cos2a—l，得2sin2a=cos2o—l，

^T^4sin6zcoscr=l-2sin2cr-l?即2sinc）fcoscr=-sin2a'

因为aw（0,兀），所以sinawO,

所以2cosa=-sina，

因为sin2a+cos2a=1，

所以sin2a+—sin2a=1所以sin2a=3，

45

因为。£（0,兀），所以sina>0,所以sina=2^，

故选：D

5.答案：C

解析：如图所示,

y

由题意可得：点M所在的圆的方程为：(x-l)2+(y—l)2=l(0<x<2,0<y<2).

设点MQ,y),A(O,O),3(2,0)

MA-MB-(-x,-y)•(2-%,-y)--x(2-x)+y2-(%—I)2+y2-1,

由J(x-l)2+y2e[0,2],

MA-MBe[-1,?],

故选：C.

6.答案：B

解析：由题意，可知该女子每日织布数呈等差数列｛4｝,

设等差数列为｛4｝的公差为〃其中首项4=5,邑。=390,

可得5x30+^^1=390,解得竺.

229

故选：B.

7.答案：A

解析：第一步，为甲地选一名老师，有C；=2种选法；

第二步，为甲地选两个学生，有Cj=6种选法；

第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法，故不同的安排方案共有2x6x1=12

种，

故选：A.

8.答案：B

解析：由题意知,c=^-a，则a=gb<.•直线以-力=0,即y=Gx，代入

3

%2+y2-mx+—=0得,4x2-mx+，=0,由A=〃/_4=0解得m=±2-

44

故选：B.

9.答案：AB

解析：T=@=兀，故最小正周期为兀，A正确；

2

713兀7171

当xe，而当xe时,y=sinx单调递增，故B正确;

I,T422

将函数f(x)图象的横坐标缩短为原来的一半，得到丁=45皿14》-：]-1,再向左平移器个

单位，得到y=4sin4卜+')—：—l=4sin(4x+；1)—1,不关于y轴对称，故C错误;

当xeK时,2x-%-季0，故/⑴4―5,—1卜故D错误.

故选：AB.

10.答案：ABC

解析：对于A,正方体ABCD中,〔AC，5。,，AC,又5。DR=D,

AC_L平面BDD],50u平面BDD},AC±BDV

同理,A耳LB%又ABJAC^A,:.BDl，平面AC片,故A正确；

对于B,以D为原点，建立空间直角坐标系，

则A(a,0,0),C(0,a,O),D1(0,0,a),Bl(a,a,a),

AB{=(0,a,a)，AC=(-。,。,0)，A£>[=(-a,0,a)，

设平面ABC的法向量“=ay,z),

rn.ifn-AD.=-ax+az=Q而/曰“1、、

则{1，取％=1,得〃=(1,1,1),

n•AC=-ax+ay=0

用到平面ACD,的距离d=।世川=丝,

\n\百

二四面体ACBQ]的体积：

V=-xSxd=—x—xy/2axy/2axx.故B正确;

33ACD322J33

对于C,F(a,0,|),G(0,ga),FG=(—a,

平面ABCD的法向量”=(OQ1),

设尸G与平面ABCD所成角为。，

a

则sin。J.小2_1

\n\-\FG\12a2a2后

ClH---1---

44

••.cose=\Q=卓,tan人也*,

v6V6cos05

.：FG与平面ABC。所成角的正切值为立，故C正确;

5

对于D,E(a,1,0),G(0,|,tz),EF=(0,-|,|),EG=(—a,0,a),5Q=5£>=(—a,—a,0),

设平面EFG的法向量加=a，%zi),

,m-EF=--y,+—z,=0„/口

则n2力2।，取为=1,得根=(1』,1),

m•EG——axx+az1=0

BDm=—a，,耳2与平面EFG不平行，故D错误.

故选：ABC.

11.答案：AD

解析：由〃x+4)=/(x)+〃2),令％=—2,得/(-2)=0,

又函数丁=是R上的奇函数，则/(0)=0>A正确;

由/⑵=—/(—2)=0,得〃x+4)=/(x),则周期为丁=4,

作出函数〃尤)的部分图象，如图所示：

./4/

-6X4-y(92Z46x

由图象知：函数y=/(%)在(-6,-2)上单调递增，又〃-6)=/(-2)="2)=0,在2处不

连续，

则函数丁=/(可在［-6,-2］上不单调，

由"6)=/⑵=0J(-6)=/(-2)=0,〃0)=0,/(T)=/(4)=0,

则函数y=/(x)在［-6,6］上有7个零点，故BC错误；

因为(0,0)是函数的一个个对称中心，则(4,0)也是函数的一个对称中心，故D正确；

故选：AD.

12.答案：200

解析：青年旅客抽到60人,则老、中年旅客的人数分别为竺x5=100和胆x2=40,

33

故〃=60+100+40=200・

故答案为：200.

13.答案：20K

解析：如图所示：

因为AB=1，AC=e,ABLAC，则5C=2,

所以BC,B©的中点a分,。2别为△ABC,△4与£的外接圆的圆心,

所以直三棱柱ABC-431cl的外接球的球心是002的中点，

所以其半径R=J竿;+［与：=万乔=6，

所以球的表面积5=4成之=20兀-

故答案为：20兀.

14.答案：（3,+oo）

解析：画出/（力=|坨乂的图象如图：

0<tz</?,-&/（a）=/（/?）,

.•.|lgiz|=|lgZ?|M0<a<b/?>h

2

/.-lga=lgb,即=y=a+2b=〃+—,〃£（0,1）,

由图象得y=a+2在（0,1）上为减函数，

y>1+2=3,

:.a+2b的取值范围是（3,+oo）.

故答案为：（3,+oo）.

°V20

15.答案：（1）y+l=0

（2）q40或

e

解析：（1）当〃=1时,/（%）=%-e*,/（犬）=1-e*,

/（0）=_1,尸（0）=0,

.•.曲线y=/（%）在点（04（。））处的切线的方程为y+1=0.

(2)由/(x)=x-ae*得,/'(x)=l-ae*,

当。40时，/'。)>0，函数/(x)在R上单调递增，

止匕时f[a}^a-aea=«(l-efl)<0,/(I)=1—ae>0,

所以当aWO时，曲线y=/(x)与x轴有且只有一个交点；

当a>0时，令f'(x)=0得,x=-Ina,

xe(—oo,-Ina),f'(x)>0,f(x)单调递增,xe(—lna,+oo),f'(x)<0,f(x)单调递减,

二当x=-山。时，函数/。)有极大值，

若曲线y=/(%)与x轴有且只有一个交点，

则/（-Ina）=-ln«-«e-lno=0,解得a=-

e

综上所述，当aWO或a=』时，曲线y=/(x)与％轴有且只有一个交点.

e

16.答案：(1)-；

4

(2)乙同学的得分高

解析：⑴设甲同学三道题都答对的事件为A则P(A)=|X|X；T

所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为P=l-P(A)=l--=-.

V'44

(2)设甲同学本次竞赛中得分为X,则X的可能取值为024,6,8分,

则P（X=O）=，xLx工+

、,43224、743243224

p（x=4）』2」+-,p（x=6）=-2」=9

、7432432241743243224

所以X的概率分布列为:

X02468

1575j_

p

242424244

^f^E（X）=—x0+—x2+—x4+—x6+-x8=—（分）

2424242446

设乙同学本次竞赛中得分为匕由y的可能取值为024,6,8分

2

p(y=4)=《8

—=—，p(y=6)=c5)—x

279V''327

所以y的概率分布列为:

Y02468

14288

P

272792727

诉「]1C4c2/8,814416

所以=——XOHx2+—X4HX6Hx8o=­——-=—

v7272792727273

由于E(y)=t=]>E(X)=],

所以乙同学的得分高.

17.答案：（1）证明见解析;

(2)叵.

10

解析：（1）证明:因为Q4_L底面A3CD,8CU平面A3CD,所以

四边形A3CD为矩形，所以因为上4=所以3C_L平面PAB.

从而gCLAE,因为B4=AB=2,点E是棱形的中点，所以

因为3。=3,所以4£,平面依。.

又因为AEu平面ACE,所以平面ACE_L平面PBC.

（2）以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标

系A-xyz,

如图所示，依题意可得

A（0,0,0）,5（2,0,0）,C（2,3,0）,D（0,3,0）,E（l,0,1）,EC=（1,3,-1）,AC=（2,3,0）,

£>C=(2,0,0)

C

ECn=0,曰再+3M—4=0,

设平面AC£的法向量为〃=（%,%,zj,由＜，得《

AC〃=O2x1+3%=0

不妨令％=3,可得〃=⑶-2,-3).

EC・m=O,曰x+3%-Z=Q

设平面CE。的法向量为m=（%2，%*2），由,，得22

DC-m=02X2=0

不妨令%=1,可得m=（O,l,3）.

易知二面角A-CE—O为锐角，cos(〃,m)==王

'7\n\\m\10

所以二面角A-CE-D的余弦值为4亘.

10

18.答案：（1）尸（1,2）；y2=4x

（2）证明见解析

解析：（1）抛物线的焦点厂]],。）准线为x=-

因为点P（l,%）（%＞0）到其焦点距离为2,

所以1+"=2,解得p=2,

所以抛物线的方程为丁=4x,

因为点P（L%）（%＞。）在抛物线上，

所以打？=4，解得%=2，

所以P（l,2）,

综上,P点坐标为（1,2卜抛物线的方程为V=4x.

（2）证明：设直线A/N的方程为1=冲+〃,

M

x=my+n,

联2，付y-4my-4H=0,

y=4%

所以％+%=4m,%%=-4〃，

所以即”=产三4

%+2,

11

^4

同理可得kpN=--------,

%+2

因kpM,kpN

16

所以

(%+2)(%+2)2

所以％%+2（%+%）+36=0，

所以一〃+2机+9=0,即”=2机+9（满足A>0）,

直线MN的方程为x=z^y+2m+9=ni（y+2）+9,

所以直线MN过定点（9,-2）.

19.答案：（1）5

（2）an