教师公开招聘考试中学数学（数列）模拟试卷8

教师公开招聘考试中学数学（数列）模拟试卷8一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、已知等差数列{an}满足a2+a7=15，则a3+a6=()．A、15B、10C、5D、18标准答案：A知识点解析：已知｛an｝为等差数列，则a3+a6=(a2+d)+(a7—d)=a2+a7=15．2、已知等差数列{an}的前n项和Sn=，若第i项满足0＜ai＜1，则i=()．A、9B、10C、11D、12标准答案：D知识点解析：因为Sn=，则an=Sn—Sn—1=，若0＜ai＜1，即0＜＜1，解得11＜i＜13，即i=12．3、等比数列｛an｝中，前三项依次是，则此数列的通项公式为an=()．A、3n+1B、3n+3C、3n—1D、3n—3标准答案：D知识点解析：已知前三项的代数式，则根据等比数列的性质可知，，解得x=1．则此数列的前三项依次是，数列{an}是以为首项，3为公比的等比数列，所以通项公式an=×3n—1=3n—3．4、已知数列{an}中，若2an=an—1+an+1(n∈N*，n≥2)，则下列各不等式中一定成立的是()．A、a2a4≤a32B、a2a4＜a32C、a2a4≥a32D、a2a4＞a32标准答案：A知识点解析：由于2an=an—1+an+1(n∈N*，n≥2)，所以｛an｝为等差数列．a2a4=(a1+d)(a1+3d)=a12+4a1d+3d2，a32=(a1+2d)2=a12+4a1d+4d2，所以a2a4—a32=—d2≤0，所以a2a4≤a325、若{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且m+n=p+q，则下列选项中错误的一项是()．A、am+an=ap+aqB、am+1+an=ap+1+aqC、bm.bn=bp.bqD、bm+1.bn=bp—1.bq标准答案：D知识点解析：已知｛an｝为等差数列，则am+an=2a1+(m+n—2)d，ap+aq=2a1+(p+q—2)d，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq，故A项正确，同理可证得am+1+an=ap+1+aq，故B项正确．已知{bn}为等比数列，则bm.bn=b12qm+n—2，bp.bq=b12qp+q—2，则bm.bn=bp.bq，故C项正确；bm+1.bn=b12qm+n—1，bp—1.bq=b12qp+q—3，故bm+1.bn≠bp—1.bq．6、数列0，，…的一个通项公式为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：观察从第二项起数列中数字的分母可发现，他们分别是3、5、7…，即全部都是奇数，满足2n—1．分析分子与分母的关系可发现8=32—1，24=52—1，48=72—1，即分子与n的关系可表述为(2n—1)2—1，故此数列的一个通项公式为．本题也可直接将n=1，2，3，4代入选项，很容易得出只有A项公式前四项与题干所给数字相同．故本题选A．7、已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，且a3.a8=4，则log2a1+log2a2+…+log2a10=()．A、log220B、20C、log210D、10标准答案：D知识点解析：因为数列{an}为各项均为正数的等比数列，所以log2a1+log2a2+…+log2a10=log2(a1×a2×a3×…×a10)=log2(a110.q1+2+…+9)=log2(a110.q45)．因为a3.a8=4，即a12.q9=4，所以log2(a110.q45)=log2[(a12.q9)5]=10．8、若｛an｝为公差不为零的等差数列，且满足，则a5=()．A、6B、8C、10D、12标准答案：C知识点解析：因为{an}为等差数列，则设an=a1+(n—1)d，题中方程组即为，即{an}为首项和公差均为2的等差数列，a5=a1+4d=10．9、方程x2—20x+16=0有两个不相等的实数根，若这两根是等差数列中的两项，则其等差中项是()，若这两根是等比数列中的两项，则其等比中项是()．A、208B、204C、108D、104标准答案：D知识点解析：已知方程为x2—20x+16=0，则x1+x2=20，x1x2=16．若x1、x2为等差数列中的两项，则其等差中项为=10；若x1、x2为等比数列中的两项，则其等比中项为=4．10、若数列｛an｝是等比数列，则公比q＞1是a3＞a2＞a1的()．A、充分条件B、充要条件C、必要条件D、既不充分也不必要条件标准答案：D知识点解析：an=a1.qn—1，要使a3＞a2＞a1成立，需要使a1.q2＞a1.q＞a1，是否成立同时取决于a1和q的值．若一个数列q=2，a1=—1，则a3＜a2＜a1．若一个数列中a3＞a2＞a1，当a1=—1，q=是成立的．所以公比q＞1是a3＞a2＞a1的既不充分也不必要条件．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)11、已知等差数列{an}和等比数列{bn}(q＞0)，其中，则q=_______．FORMTEXT标准答案：2知识点解析：已知，由题意可将其转化为=b1q2，整理可得到b1+(b1+b1q)=b1q2，即q2—q—2=0，解得q=—1或2．又因为q＞0，所以q=2．12、若a、b、c为等比数列，且公比不为1，a、2b、3c成等差数列，则=________．FORMTEXT标准答案：知识点解析：已知a、b、c为等比数列，则ac=b2．a、2b、3c成等差数列，则4b=a+3c．联立两式，有，解得a=c或a=9c．题中已知等比数列的公比不为1，则a=9c，b2=9c2．.13、设数列｛an｝的前n项和公式为Sn=+(—1)n.2n，则a8=________．FORMTEXT标准答案：37．5知识点解析：根据数列的性质可知，a8=S8—S7==37．5.14、已知数列a，5，b既是等差数列又是等比数列，则其公差是_______，其公比是_______．FORMTEXT标准答案：01知识点解析：因为数列a，5，b既是等差数列又是等比数列，则满足，解得a=b=5，数列的公差d=5—5=0，公比q==1．15、设数列｛an｝为等比数列，若a1999和a2000分别为方程4x2—8x+3=0的两根，则a2001+a2002=________.FORMTEXT标准答案：18或知识点解析：解方程4x2—8x+3=0可得x1=.若a1999=，则q==3，即a2001=，a2002=，a2001+a2002=18.若a1999=，即a2001=，a2001+a2002=.三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)数列求和：16、若数列{an}的通项公式为an=(—1)n.(2n+1)，求其前2n项和S2n.标准答案：已知an=(—1)n.(2n+1)，则a1=—3，a2=5，a3=—7，…S2n=(—3)+5+(—7)+9+…+(—1)2n—1.(4n—1)+(—1)2n.(4n+1)=[(—3)+5]+[(—7)+9]+…+[(—1)2n—1.(4n—1)+(—1)2n.(4n+1)]=2n．知识点解析：暂无解析17、若数列{bn}的通项公式为bn=(—1)n.(2n+1)+n.2n，求其前2n项和T2n.标准答案：已知bn=(—1)n.(2n+1)+n.2n，即bn=an+n.2n，故有T2n=S2n+(21+2.22+…+2n.22n)，令m=21+2.22+…+2n.22n，2m=22+2.23+…+2n.22n+1，两式相减可得m=2n.22n+1—(21+22+…+22n)，化简得m=n.22n+2—22n+1+2．所以T2n=S2n+m=n.22n+2—22n+1+2n+2．知识点解析：暂无解析已知数列｛an｝中，a1=，…，则依此规律求：18、通项公式an和前n项和Sn.标准答案：分析题中列出的等式可看出，每项可看作一个整数和一个分数相加，且整数部分为(n—1)，分数部分分子为1，分母为2n，故an=(n—1)+．知识点解析：暂无解析19、若bn=1+an—1—an，且b1=1，求数列｛bn｝的通项公式bn和前n项和Tn．标准答案：bn=1+an—1—an=1+(n—2)+(n≥2)，当n=1时，b1=1；当n≥2时，bn=．则数列{bn}的通项公式为bn=.当n=1时，T1=1；当n≥2时，Tn=1+，当n=1时T1==1=b1，即n=1也符合此求和公式，所以Tn=.知识点解析：暂无解析已知｛an｝为各项均为正数的数列，且其前n项和Sn满足等式：Sn2—(n2—2n+1)Sn+(n2—2n)=0．20、求数列｛an｝的通项公式an和前n项和Sn．标准答案：已知Sn2—(n2—2n+1)Sn+(n2—2n)=0，分解因式可得：[Sn—(n2—2n)](Sn—1)=0，则Sn=n2—2n或Sn=1．因为｛an｝为各项均为正数的数列，则不可能出现n增大而Sn一直不变的情况，故Sn=1舍去，Sn=n2—2n．当n=1时，a1=S1=—1；当n≥2时，an=Sn—Sn—1=2n—3．当n=1时也符合通项公式，所以an=2n—3．知识点解析：暂无解析21、证明：若数列｛bn｝的通项公式bn=，则｛bn｝中任意一项均大于—4．标准答案：bn=所以bn=，即bn＞—4，由此可知，数列｛bn｝中任意一项均大于—4．知识点解析：暂无解析已知数列｛an｝中a1=3，当n≥2时，满足an—an—1=an—1—1.22、求数列｛an｝的通项公式.标准答案：已知n≥2时，an—an—1=an—1—1，即an=2an—1—1，利用迭代法，an=22×an—2—2—1，an=23×an—3—22—2—1，依此规律可知，an=2n—2×a2—(2n—3+2n—4+…+22+2+1)，其中1+2+22+…+2n—4+2n—3==2n—2—1．所以an=2n—2×a2—(2n—2—1)，又a1=3，则a2=2a1—1=5，代入前面的式子中可得，an=5×2n—2—(2n—2—1)=4×2n—2+1=2n+1，当n=1时，a1=3符合通项公式，故an=2n+1．知识点解析：暂无解析23、若bn=3(an—1)，求数列｛bn｝中小于100的项有多少个?标准答案：因为bn=3(an—1)，所以bn=3×2n，要求数列｛bn｝中小于100的项，即bn＜100．3×2n＜100，即2n＜．当n=5时，2n=32＜，当n=6时，2n=64＞，故可知，数列｛bn｝中小于100的项有5个．知识点解析：暂无解析小王今年大学毕业，在找工作时他同时被甲、乙两个公司录取．甲公司开出的工资待遇是：第一年月工资为3000元，以后月工资每年上涨500元．乙公司开出的工资待遇是：第一年月工资为2000元，以后月工资每年上涨20%．24、若小王连续在甲公司或乙公司工作n年，则他在第n年的月工资分别为多少?标准答案：根据已知条件可知，甲公司每年的月工资成等差数列，首项为3000，公差为500．设这个数列为{an}，则第n年的月工资为an=3000+(n—1)×500=500n+2500．乙公司每年月工资成等比数列，首项为2000，公比为(1+20％)．设这个数列为{bn}，则第n年的月工资为bn=2000.(1+20％)n—1=2000×1．2n—1．知识点解析：暂无解析25、小王打算在一家公司连续工作3年，若仅以工资收入总数决定去向，则小王应该去哪家公司?标准答案：设数列{an}的前n项和为