24.1.2垂直于弦的直径

24.1.2垂直于弦的直径第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.2垂直与弦的直径轴经过圆心中心圆心垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧垂直弦所对的两条弧创设情境，导入新课

你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m．你想知道赵州桥的主桥拱的半径吗？圆也是轴对称图形吗？探究圆是轴对称图形．O圆也是轴对称图形吗？圆是轴对称图形．任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．圆有哪些对称轴？OOABCDE

是轴对称图形．大胆猜想已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，

CD⊥AB，垂足为E．

下图是轴对称图形吗？已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，

CD⊥AB，垂足为E．求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．⌒⌒⌒⌒证明：连结OA、OB，则OA＝OB．∵垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形OAB的对称轴又是⊙O的对称轴．∴当把圆沿着直径CD折叠时，

CD两侧的两个半圆重合，

A点和B点重合，

AE和BE重合，

AC、AD分别和BC、BD重合．∴

AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒叠合法DOABEC

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．DOABEC垂径定理AE＝BEAC＝BCAD＝BD⌒⌒⌒⌒CD是直径，AB是弦，CD⊥AB①直径过圆心②垂直于弦③平分弦④平分弦所对的优弧⑤平分弦所对的劣弧题设结论DOABEC垂径定理将题设与结论调换过来，还成立吗？

这五条进行排列组合，会出现多少个命题？①直径过圆心③平分弦②垂直于弦④平分弦所对优弧⑤平分弦所对的劣弧

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论1DOABEC已知：CD是直径，AB是弦，CD平分AB求证：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直．因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．OABMNCD注意为什么强调这里的弦不是直径？①直径过圆心④平分弦所对优弧③平分弦②垂直于弦⑤平分弦所对的劣弧垂径定理的推论2

（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．已知：CD是直径，AB是弦，并且AC＝BC

求证：CD平分AB，CD⊥AB，AD＝BD⌒⌒⌒⌒DOABEC①直径过圆心⑤平分弦所对的劣弧③平分弦④平分弦所对优弧②垂直于弦垂径定理的推论3

（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．已知：CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD

求证：CD平分AB，CD⊥AB，AC＝BC⌒⌒⌒⌒DOABEC②垂直于弦③平分弦①直径过圆心④平分弦所对优弧⑤平分弦所对的劣弧

（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论4已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB，求证：CD是直径，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒DOABEC②垂直于弦④平分弦所对优弧①直径过圆心③平分弦⑤平分弦所对的劣弧垂径定理的其他命题......②垂直于弦⑤平分弦所对的劣弧①直径过圆心③平分弦④平分弦所对优弧

（4）垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧．③平分弦④平分弦所对优弧①直径过圆心②垂直于弦⑤平分弦所对的劣弧

（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧．③平分弦⑤平分弦所对的劣弧①直径过圆心②垂直于弦④平分弦所对优弧④平分弦所对优弧⑤平分弦所对的劣弧①直径过圆心②垂直于弦③平分弦

（6）平分弦所对的两条弧的直径过圆心，并且垂直平分弦．CDABE求作：AB的中点．例1已知：AB．⌒⌒点E就是所求AB的中点．⌒作法：1．连结AB．2．作AB的垂直平分线CD，交AB于点E．⌒小练习ABC作AC的垂直平分线作BC的垂直平分线这种方法对吗？

等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线．×CABO你能确定AB的圆心吗？⌒作法：1．连结AB．2．作AB的垂直平分线，交AB于点C．⌒3．作AC、BC的垂直平分线．4．三条垂直平分线交于一点O．点O就是AB的圆心．⌒你能破镜重圆吗？ABCmnO

作弦AB、AC及它们的垂直平分线m、n，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆．作法：依据：

弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．

例2．在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE解：答：⊙O的半径为5cm．垂径定理三角形d+h=rdhar有哪些等量关系？

在a，d，r，h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．知识点一CB(3,2)

你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m．

赵州桥主桥拱的半径是多少？垂径定理的应用

用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是

的中点，CD就是拱高．解：AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2BODACR解得R≈27.9（m）在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m．OA2=AD2+OD2⌒⌒ABABAB⌒1．已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．解：连结OA．过O作OE⊥AB，

垂足为E，则OE＝3cm，AE＝BE．∵AB＝8cm∴AE＝4cm

在Rt△AOE中，根据勾股定理有OA＝5cm

∴⊙O的半径为5cm．．AEBO2．在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证：四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形．3．弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为________．

cm4．已知P为⊙O内一点，且OP＝2cm，如果⊙O的半径是3cm，，那么过P点的最短的弦等于____________．cm5．一条公路的转变处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD的圆心），其中CD=600m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD垂足为F，EF=90m．求这段弯路的半径．解:连接OC．●OCDEF┗6．在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD．证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE．

AE－CE＝BE－DE．所以，AC＝BDE．ACDBO知识点二CC4则(x-18)2+302=x2,解:设半径为xm,∴x=34.课堂小结1．圆是轴对称图形任何一条直径所在的直线都是它的对称轴．O

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．2．垂径定理DOABEC条件结论命题①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧．平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

弦的垂直平分线经过圆心，