2025年中考数学专题69 数与式中的新定义问题（解析版）

例题精讲例题精讲【例1】．定义一种新运算：，例如．若，则k＝﹣2．解：由题意得，（﹣x﹣2）dx＝k﹣1﹣2﹣1＝﹣＝﹣1，即﹣＝﹣1，解得k＝﹣2，故答案为：﹣2．变式训练【变1-1】．定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4，如果，则x的取值范围是（）A．5≤x＜7 B．5＜x＜7 C．5＜x≤7 D．5≤x≤7解：由题意得：3≤＜4，∴6≤x+1＜8，∴5≤x＜7，故选：A．【变1-2】．规定：符号[x]叫做取整符号，它表示不超过x的最大整数，例如：[5]＝5，[2.6]＝2，[0.2]＝0．现在有一列非负数a1，a2，a3，…，已知a1＝10，当n≥2时，an＝an﹣1+1﹣5（[]﹣[]），则a2022的值为11．解：∵a1＝10，∴a2＝a1+1﹣5（[]﹣0）＝11，a3＝a2+1﹣5（[]﹣[]）＝12，a4＝a3+1﹣5（[]﹣[]）＝13，a5＝a4+1﹣5（[]﹣[]）＝14，a6＝a5+1﹣5（[1]﹣[]）＝10，…∴a1，a2，a3，…，每5个结果循环一次，∵2022÷5＝404…2，∴a2022＝a2＝11，故答案为：11．【例2】．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整数的加、减、乘法运算类似．例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝4+6+i﹣2i＝10﹣i（2﹣i）（3﹣i）＝6﹣2i﹣3i+i2＝6﹣5i﹣1＝5﹣5i根据以上信息计算（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝7﹣i．解：（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝2﹣i+4i﹣2i2+4﹣4i+i2＝2+3i+2＝7﹣i．故答案为：7﹣i．变式训练【变2-1】．贾宪是生活在北宋年间的数学家，著有《黄帝九章算法细草》《释锁算书》等书，但是均已失传．所谓“贾宪三角”指的是如图所示的由数字所组成的三角形，称为“开方作法本源”图，也称为“杨辉三角”．贾宪发明的“开方作法本源“图作用之一，是为了揭示二项式（a+b）n（n＝1，2，3，4，5）展开后的系数规律，即（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．则二项式（a+b）n（n为正整数）展开后各项的系数之和为（）A．2n﹣1+1 B．2n﹣1+2 C．2n D．2n+1解：根据题意得：当n＝1时，展开后各项的系数之和为：1+1＝21，当n＝2时，展开后各项的系数之和为：1+2+1＝22，当n＝3时，展开后各项的系数之和为：1+3+3+1＝23，当n＝4时，展开后各项的系数之和为：1+4+6+4+1＝24，当n＝5时，展开后各项的系数之和为：1+5+10+10+5+1＝25，当n＝6时，展开后各项的系数之和为：1+6+15+20+15+6+1＝26，∴猜想当n＝n时，展开后各项的系数之和为：2n，故选：C．【变2-2】．已知n行n列（n≥2）的数表中，对任意的i＝1，2，…，n，j＝1，2，…，n，都有aij＝0或1．若当ast＝0时，总有（a1t+a2t+…+ant）+（as1+as2+…+asn）≥n，则称数表A为典型表，此时记表A中所有aij的和记为Sn．（1）若数表，，其中典型表是C；（2）典型表中S5的最小值为13．解：（1）数表B中a12＝0，而（a12+a22+a32）+（a11+a12+a13）＝0+0+1+0+0+1＝2＜3，∴数表B不是典型表；对于数表C中，当ast＝0时，总有（a1t+a2t+…+ant）+（as1+as2+…+asn）≥n，∴数表C是典型表；故答案为：C．（2）若典型表中S5有最小值，即典型表A中的1最少且当ast＝0时，总有（a1t+a2t+…+ant）+（as1+as2+…+asn）＝n．则A＝或A中，则S5的最小值为13．故答案为：13．1．对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如：（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，（（﹣2）⊕3）⊗2＝3⊗2＝2，则等于（）A． B．3 C． D．2解：由题意得：＝⊗＝⊗3＝，故选：C．2．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a，b}表示a、b中较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{}＝的解为（）A．1或3 B．1或﹣3 C．1 D．3解：分两种情况：当x＞0时，＜，∵Min{}＝，∴＝﹣1，1＝4﹣x，解得：x＝3，检验：当x＝3时，x≠0，∴x＝3是原方程的根；当x＜0时，＞，∵Min{}＝，∴＝﹣1，3＝4﹣x，解得：x＝1，不符合题意，舍去，综上所述：方程Min{}＝的解为3，故选：D．3．定义：如果ax＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝logaN．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．则下列说法正确的个数为（）①log61＝0；②log323＝3log32；③若log2（3﹣a）＝log827，则a＝0；④log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）．A．4 B．3 C．2 D．1解：∵60＝1，∴log61＝0，说法①符合题意；由于dm•dn＝dm+n，设M＝dm，N＝dn，则m＝logdM，n＝logdN，于是logd（MN）＝m+n＝logdM+logdN，说法④符合题意；则log323＝log3（2×2×2）＝log32+log32+log32＝3log32，说法②符合题意；设p＝logab，则ap＝b，两边同时取以c为底的对数，，则plogca＝logcb，所以p＝，即，则＝log23，∵log2（3﹣a）＝log827＝log23，∴a＝0，说法③符合题意；故选：A．4．我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc．如＝2×5﹣3×4＝﹣2，请你计算的值为20．解：＝（﹣2）×（﹣9）﹣（﹣）×4＝18﹣（﹣2）＝18+2＝20，故答案为：20．5．对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+1）◎（m﹣2）＝16，则m＝3或﹣2．解：∵a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝（a+b+a﹣b）（a+b﹣a+b）＝4ab，∴（m+1）◎（m﹣2）＝4（m+1）（m﹣2）＝4（m2﹣m﹣2）＝16，整理得m2﹣m﹣6＝0，解得m＝3或m＝﹣2，故答案为：3或﹣2．6．设n为正整数，记n！＝1×2×3×4×…×n（n≥2），1！＝1，则+++…++＝1﹣．解：+++…++＝（1﹣）+（﹣）+（）+…+（﹣）＝1﹣，故答案为：1﹣．7．新定义：任意两数m，n，按规定y＝﹣m+n得到一个新数y，称所得新数y为数m，n的“愉悦数”．则当m＝2x+1，n＝x﹣1，且m，n的“愉悦数”y为正整数时，正整数x的值是2．解：当m＝2x+1，n＝x﹣1，且y为数m，n的“愉悦数”时，y＝﹣（2x+1）+（x﹣1）＝﹣+＝＝＝＝+＝﹣x+1﹣，∵x和y均为正整数，∴1＜x＜4，当x＝2时，y＝1，当x＝3时，y＝﹣（不合题意，舍去），故答案为：2．8．对数的定义：一般地，若ax＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，比如指数式23＝8可以转化为对数式3＝log28，对数式2＝log636，可以转化为指数式62＝36．计算log39+log5125﹣log232＝0．解：log39+log5125﹣log232＝2+3﹣5＝0．故答案为：0．9．对于正整数m，我们规定：若m为奇数，则f（m）＝3m+3；若m为偶数，则f（m）＝．例如f（5）＝3×5+3＝18，f（8）＝＝4．若m1＝1，m2＝f（m1），m3＝f（m2），m4＝f（m3），…，依此规律进行下去，得到一列数m1，m2，m3，m4，…，mn，…（n为正整数），则m1+m2+m3+…+m2021＝14140．解：根据题意得：m1＝1，m2＝f（m1）＝f（1）＝6，m3＝f（m2）＝f（6）＝3，m4＝f（m3）＝f（3）＝12，m5＝f（m4）＝f（12）＝6，m6＝f（m5）＝f（6）＝3，m7＝f（m6）＝f（3）＝12，m8＝f（m7）＝f（12）＝6，m9＝f（m8）＝f（6）＝3，.....．m2021＝6，m2022＝3，2022÷3＝674，∴m1+m2+m3+…+m2021＝（6+3+12）×（674﹣1）+6+1＝14140．故答案为：14140．10．如图，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序数对（a，b）为点P的斜坐标．（1）点P（x，y）关于原点对称的点的斜坐标是（﹣x，﹣y）；（2）在某平面斜坐标系中，已知θ＝60°，点P的斜坐标为（2，4），点N与点P关于x轴对称，则点N的斜坐标是（6，﹣4）．解：（1）点P（x，y）关于原点对称的点的斜坐标（﹣x，﹣y），故答案为：（﹣x，﹣y）；（2）作P点关于x轴的对称点N，连接PN交x轴于点F，作NC∥x轴交y轴于C点，作ND∥y轴交x轴于D点，∵PA∥BC∥ND，∴∠PAF＝∠θ＝∠FDN＝60°，∵PF＝FN，∠PFA＝∠DFN＝90°，∴△PAF≌△NDF（AAS），∴PA＝DN，AF＝FD，∵点P的斜坐标为（2，4），∴OA＝BP＝2，PA＝BO＝4，∴DN＝4，∵∠PAF＝60°，∴AF＝DF＝4•cos60°＝2，∴AD＝4，∴OD＝2+4＝6，∴N（6，﹣4），故答案为：（6，﹣4）．11．欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：＝（其中a，b，c均不为零，且两两互不相等）．（1）当r＝0时，常数p的值为0．（2）利用欧拉公式计算：＝6063．解：（1）当r＝0时，＝++＝﹣+＝0，∴p＝0，故答案为：0；（2）当a＝2022，b＝2021，c＝2020，r＝3时，＝2022+2021+2020＝6063，故答案为：6063．12．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：（s、t是正整数，且s≤t），如果在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：F（n）＝．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）＝＝．给出下列关于F（n）的说法：①F（2）＝；②F（48）＝；③F（n2+n）＝；④若n非0整数，则F（n2）＝1，其中正确说法的是①③④（将正确答案的序号填写在横线上）．解：∵2＝1×2，∴F（2）＝，故语句①符合题意；∵48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，∴F（48）＝＝，故语句②不符合题意；∵n2+n＝n（n+1），∴F（n2+n）＝，故语句③符合题意；∵n2＝n×n，∴F（n2）＝＝1，故语句④符合题意，故答案为：①③④．13．对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{1，2，9}＝＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1．请结合上述材料，解决下列问题：（1）min{sin30°，cos60°，tan45°}；（2）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值．解：（1）min{sin30°，cos60°，tan45°}＝min{，，1}＝；（2）∵M{﹣2x，x2，3}＝2，∴＝2，整理得：x2﹣2x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，x﹣3＝0或x+1＝0，x＝3或x＝﹣1，∴x的值为3或﹣1．14．定义为二阶行列式，规定它的运算法则为：＝ad﹣bc．例如：＝5×8﹣6×7＝﹣2．（1）求的值．（2）若＝20，求m的值．解：（1）∵＝ad﹣bc，∴＝20172﹣2018×2016＝20172﹣（2017+1）×（2017﹣1）＝20172﹣20172+1＝1；（2）∵＝ad﹣bc，＝20，∴（m+2）（m+2）﹣（m﹣2）（m﹣2）＝20，解得m＝．15．材料：对于一个四位正整数m，如果满足百位上数字的2倍等于千位与十位的数字之和，十位上数字的2倍等于百位与个位的数字之和，那么称这个数为“相邻数”．例如：∵3579中，2×5＝3+7＝10，7×2＝5+9＝14，∴3579是“相邻数”．（1）判断7653，3210是否为“相邻数”，并说明理由；（2）若四位正整数n＝1000a+100b+10c+d为“相邻数”，其中a，b，c，d为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，设F（n）＝2c，G（n）＝2d﹣a，若为整数，求所有满足条件的n值．解：（1）7653不是“相邻数”；3210是“相邻数”，∵7653中，6×2＝7+5＝12，5×2＝10，6+3＝9，10≠9，∴7653不是“相邻数”；∵3210中，2×2＝3+1＝4，1×2＝2+0＝2，∴3210是“相邻数”；（2）∵四位正整数n＝1000a+100b+10c+d为“相邻数”，∴2b＝a+c，2c＝b+d，∵F（n）＝2c，G（n）＝2d﹣a，∴＝，∵1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，∴8≤2a+3c+6≤5，∴2a+3c+6＝17，34，51，①2a+3c＝11时，a＝1，c＝3，b＝2，d＝4，此时n＝1234，②2a+3c＝28时，a＝8，c＝4，b＝6，d＝2，此时n＝8642，③2a+3c＝45时，a＝9，c＝9，b＝9，d＝9，此时n＝9999，综上所述，所有满足条件的n的值为1234，8642，9999．16．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）5展开式共有6项，系数和为32．（2）求（2a﹣1）5的展开式；（3）利用表中规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1（不用表中规律计算不给分）；（4）设（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，则a1+a2+a3+…+a16+a17的值为217﹣1．解：（1）根据图表中的规律，可得：（a+b）5展开式共有6项，系数和为1+5+10+10+5+1＝32，故答案为：6，32；（2）（2a﹣1）5＝25a5+5×24a4（﹣1）+10×23a3（﹣1）2+10×22a2（﹣1）3+5×2a（﹣1）4+（﹣1）5＝32a5﹣80a4+80a3﹣40a2+10a﹣1；（3）根据图表中数据的规律可以发现：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝（2﹣1）5，∴25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1＝1；（4）∵（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，∴当x＝1时，（1+1）17＝a0+a1+a2+a3+…+a16+a17，当x＝0时，（0+1）17＝a0＝1，∴217＝1+a1+a2+a3+…+a16+a17，∴a1+a2+a3+…+a16+a17的值为217﹣1．故答案为：217﹣1．17．若规定f（n，m）＝n×（n+1）×（n+2）×（n+3）×…×（n+m﹣1），且m，n为正整数，例如f（3，1）＝3，f（4，2）＝4×5，f（5，3）＝5×6×7．（1）计算f（4，3）﹣f（3，4）；（2）试说明：；（3）利用（2）中的方法解决下面的问题，记a＝f（1，2）+f（2，2）+f（3，2）+…+f（27，2），b＝f（1，3）+f（2，3）+f（3，3）+…+f（11，3）．①a，b的值分别为多少？②试确定ab的个位数字．（1）解：f（4，3）﹣f（3，4）＝4×5×6﹣3×4×5×6＝4×5×6×（1﹣3）＝﹣2×4×5×6＝﹣240；（2）证明：∵f（n，m）＝n×（n+1）×（n+2）×（n+3）×…×（n+m﹣1），[f（n，m+1）﹣f（n﹣1，m+1）]＝×[n×（n+1）×（n+2）×（n+3）×…×（n+m）﹣（n﹣1）×n×（n+1）×（n+2）×（n+3）×…×（n﹣1+m+1﹣1）]＝[n×（n+1）×（n+2）×（n+3）×…×（n+m﹣1）×（m+1）]＝n×（n+1）×（n+2）×（n+3）×…×（n+m﹣1），∴；（3）解：①∵a＝f（1，2）+f（2，2）+f（3，2）+…+f（27，2）＝[f（1，3）﹣f（0，3）+f（2，3）﹣f（1，3）+f（3，3）﹣f（2，3）+…+f（27，3）﹣f（26，3）]＝[f（27，3）﹣f（0，3）]＝×27×28×29＝7308，b＝f（1，3）+f（2，3）+f（3，3）+…+f（11，3）＝[f（1，4）﹣f（0，4）+f（2，4）﹣f（1，4）+f（3，4）﹣f（2，4）+…+f（11，4）﹣f（10，4）]＝[f（11，4）﹣f（0，4）]＝×11×12×13×14＝6006；②ab＝73086006，∵61的个位数字是8，82的个位数字是8，4，2，6循环，∵6006÷4＝1501……1，∴ab的个位数字是8．18．请阅读以下材料，解决问题．我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数，即a2≥0．但是，在复数体系中，如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi（a、b为实数）的数就叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5＝3i；若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．根据材料回答：（1）填空：①（2+i）（3i﹣1）＝5i﹣5；②将m2+9（m为实数）因式分解成两个复数的积：m2+9＝（m+3i）（m﹣3i）；（2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）2022的值；（3）已知（a+i）（b+i）＝2﹣4i，求（a2﹣b2）（i2+i3+i4+…+i2023）的值．解：（1）①（2+i）（3i﹣1）＝6i﹣2+3i2﹣i＝5i﹣2﹣3＝5i﹣5，故答案为：5i﹣5；②m2+9＝（m+3i）（m﹣3i），故答案为：（m+3i）（m﹣3i）；（2）（1+2i）2＝1+4i+4i2＝﹣3+4i，∵a+bi是（1+2i）2的共轭复数，∴a＝﹣3，b＝﹣4，∴（b﹣a）2022＝（﹣4+3）2022＝1；（3）∵（a+i）（b+i）＝ab+（a+b）i﹣1＝2﹣4i，∴2＝ab﹣1，a+b＝﹣4，∴ab＝3，a+b＝﹣4，∴a﹣b＝±2，∵i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i，i6＝﹣1，i7＝﹣i，…，∴in的运算结果﹣1，﹣i，1，i循环出现，∵（2023﹣1）÷4＝505…2，∴i2+i3+i4+…+i2023＝﹣1﹣i，当a﹣b＝2时，（a2﹣b2）（i2+i3+i4+…+i2023）＝﹣8（﹣1﹣i）＝8+8i；当a﹣b＝﹣2时，（a2﹣b2）（i2+i3+i4+…+i2023）＝8（﹣1﹣i）＝﹣8﹣8i；综上所述：（a2﹣b2）（i2+i3+i4+…+i2023）的值为8+8i或﹣8﹣8i．19．式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的连续100个正整数的和，由于上述式子比较长，书写不方便，为了简便起见，可以将上述式子表示为，这里“∑”是求和的符号．例如“1+3+5+7+…+99”用“∑”可以表示为，“13+23+33+…+103”用“∑”可以表示为．（1）把写成加法的形式是12+22+32+42+52+62；（2）“2+4+6+8+…+100”用“∑”可以表示为2n；（3）计算：．解：（1）＝12+22+32+42+52+62，故答案为：12+22+32+42+52+62；（2）2+4+6+8+…+100＝2n，故答案为；2n；（3）（）＝+++...+＝1﹣+﹣+﹣+﹣+...+﹣＝1﹣＝．20．好学的小贤同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（x+4）（2x+5）（3x﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为：x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：×5×（﹣6）+2×（﹣6）×4+3×4×5＝﹣3，即一次项为﹣3x．请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．（1）计算（x﹣5）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的一次项系数为17．（2）若计算（x2+x﹣1）（x2﹣2x+a）（2x+3）所得多项式的一次项系数为2，求a的值；（3）若（x+1）2022＝a0x2022+a1x2021+a2x2020+…+a2021x+a2022，则a2021＝2022．解：（1）（x﹣5）（3x+1）（5x﹣3）的一次项系数为：1×1×（﹣3）+3×（﹣5）×（﹣3）+5×（﹣5）×1＝﹣3+45