2025年中考数学专题63 二次函数背景下的倍、半角角度问题（解析版）

例题精讲例题精讲【例1】．如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，∴点B（﹣3，0），∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，如图1，当点D在点C上方时，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝30°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝×3＝，∴CD＝3﹣；若点D在点C下方时，∵∠DBC＝15°，∴∠OBD＝60°，∴tan∠DBO＝＝，∴OD＝3，∴DC＝3﹣3，综上所述：线段CD的长度为3﹣或3﹣3；（3）如图2，在BO上截取OE＝OA，连接CE，过点E作EF⊥AC，∵点A（1，0），点C（0，﹣3），∴OA＝1，OC＝3，∴AC＝＝＝，∵OE＝OA，∠COE＝∠COA＝90°，OC＝OC，∴△OCE≌△OCA（SAS），∴∠ACO＝∠ECO，CE＝AC＝，∴∠ECA＝2∠ACO，∵∠PAB＝2∠ACO，∴∠PAB＝∠ECA，∵S△AEC＝AE×OC＝AC×EF，∴EF＝＝，∴CF＝＝＝，∴tan∠ECA＝＝，如图2，当点P在AB的下方时，设AP与y轴交于点N，∵∠PAB＝∠ECA，∴tan∠ECA＝tan∠PAB＝＝，∴ON＝，∴点N（0，﹣），又∵点A（1，0），∴直线AP解析式为：y＝x﹣，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，﹣），当点P在AB的上方时，同理可求直线AP解析式为：y＝﹣x+，联立方程组得：，解得：或，∴点P坐标为：（﹣，），综上所述：点P的坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c交x轴于点A、点B，交y轴于点C．直线y＝﹣x+2经过于点C、点B，（1）求抛物线的解析式；（2）点D为第一象限抛物线上一动点，过点D作y轴的平行线交线段BC于点E，交x轴于点Q，当DE＝5EQ时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，点M为第二象限抛物线上一动点，连接DM，DM交线段OC于点H，点F在线段OB上，连接HF、DF、DC、DB，当HF＝，∠CDB＝2∠MDF时，求点M的坐标．解：（1）针对于直线y＝﹣x+2，令x＝0，则y＝2，∴C（0，2），令y＝0，则0＝﹣x+2，∴x＝4，∴B（4，0），将点B，C坐标代入抛物线y＝ax2+x+c中，得∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）如图1，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，设点D坐标为（m，﹣m2+m+2），∵DE⊥x轴交BC于E，直线BC的解析式为y＝﹣x+2，∴D（m，﹣m+2），∴DE＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+m，DQ＝﹣m+2，∵DE＝5EQ，∴﹣m2+m＝5（﹣m+2），∴m＝3或m＝4（点B的横坐标，舍去），∴D（3，3）；（3）如图2，由（2）知，D（3，3），由（1）知，B（4，0），C（0，2），∴DB＝，DC＝，BC＝2，∴DC＝DB，DB2+DC2＝BC2，∴△BDC是等腰直角三角形，∴∠BDC＝90°，∵BDC＝2∠FDM＝90°，∴∠FDM＝45°，过点D作DP⊥y轴于P，则DQ＝DP，OP＝3，∴CP＝1＝BQ，∴△DPC≌△DQB（SAS），在CP的延长线取一点G，使PG＝QF＝n，∴OF＝3﹣n，OG＝3+n，∴△DPG≌△DQF（SAS），∴DG＝DF，∠PDG＝∠QDF，∴∠FDG＝∠PDG+∠PDF＝∠QDF+∠PDG＝∠PDQ＝90°∴∠GDM＝90°﹣∠FDM＝45°＝∠GDM，∵DH＝DH，∴△GDH≌△FDH（SAS），∴GH＝FH＝，∴OH＝OG﹣GH＝3+n﹣＝n+，在Rt△HOF中，根据勾股定理得，（n+）2+（3﹣n）2＝，∴n＝1或n＝（此时，OH＝n+＝2，所以点H与点C重合，舍去），∴H（0，），∵C（3，3），∴直线CH的解析式为y＝x+①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2②，联立①②解得，或（由于点M在第二象限，所以舍去），∴M（﹣，）．【例2】．如图，直线y＝x+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方的抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大时点P的坐标；（3）若点M是抛物线上一点，请直接写出使∠MBC＝∠ABC的点M的坐标．解：（1）将点B坐标代入y＝x+c并解得：c＝﹣3，故抛物线的表达式为：y＝x2+bx﹣3，将点B坐标代入上式并解得：b＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3①；（2）过点P作PH∥y轴交BC于点H，设点P（x，x2﹣x﹣3），则点H（x，x﹣3），S四边形ACPB＝S△ABC+S△PCB，∵S△ABC是常数，故四边形面积最大，只需要S△PCB最大即可，S△PCB＝×OB×PH＝×4（x﹣3﹣x2+x+3）＝﹣x2+6x，∵﹣＜0，∴S△PCB有最大值，此时，点P（2，﹣）；（3）过点B作∠ABC的角平分线交y轴于点G，交抛物线于M′，设∠MBC＝∠ABC＝2α，过点B在BC之下作角度数为α的角，交抛物线于点M，过点G作GK⊥BC交BC于点K，延长GK交BM于点H，则GB＝BH，BC是GH的中垂线，OB＝4，OC＝3，则BC＝5，设：OG＝GK＝m，则CK＝CB﹣HB＝5﹣4＝1，由勾股定理得：（3﹣m）2＝m2+1，解得：m＝，则OG＝GK＝，GH＝2OG＝，点G（0，﹣），在Rt△GCK中，GK＝OG＝，GC＝OC﹣OG＝3﹣＝，则cos∠CGK＝＝，sin∠CGK＝，则点K（，﹣），点K是点GH的中点，则点H（，﹣），则直线BH的表达式为：y＝x﹣…②，同理直线BG的表达式为：y＝x﹣…③联立①②并整理得：27x2﹣135x+100＝0，解得：x＝或4（舍去4），则点M（，﹣）；联立①③并解得：x＝﹣，故点M′（﹣，﹣）；故点M（，﹣）或（﹣，﹣）．变式训练【变2-1】．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一点，设P点的横坐标为m．①当点P在第一象限时，过点P作PD⊥x轴，交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为E，连接PE，当△PDE和△BOC相似时，求点P的坐标；②请直接写出使∠PBA＝∠ABC的点P的坐标．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得，，∴抛物线的解析式为：；（2）令x＝0，得＝4，∴C（0，4），∴OC＝4，∵B（3，0），∴OB＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+n（k≠0），则，解得，∴直线BC的解析式为：y＝，设P（m，），则D（m，），∴DP＝，DE＝m，∴，∵∠BOC＝∠PDE＝90°，∴当△PDE和△BOC相似时，有两种情况：当△PDE∽△BOC时，则，即＝，解得，m＝，∴P（，）；当△PDE∽△COB时，则，即＝，解得，m＝2，∴P（2，4）．综上，当△PDE和△BOC相似时，点P的坐标（，）或（2，4）；②过B作BP平分∠ABC，交抛物线于点P，交OC于点M，过M作MN⊥BC于点N，如图1，则∠PBA＝∠ABC，OM＝MN，在Rt△BOM和Rt△BNM中，，∴Rt△BOM≌Rt△BNM（HL），∴BN＝BO＝3，设OM＝t，则MN＝MO＝t，CM＝4﹣t，CN＝BC﹣BN＝﹣3＝2，∵MN2+CN2＝MC2，∴t2+22＝（4﹣t）2，∴t＝，∴M（0，），设BM的解析式为：y＝mx+（m≠0），代入B（3，0）得，m＝，∴直线BM的解析式为：y＝﹣，解方程组得，，，∴P（，），取M（0，）关于x轴的对称点，K（0，﹣），连接BK，延长BK，交抛物线于点P'，如图2所示，则∠ABP＝∠ABC，设直线BK的解析式为y＝px（p≠0），代入B（3，0）得，p＝，∴直线BK的解析式为：y＝，解方程组得，，∴P'（，），综上，使∠PBA＝∠ABC的点P的坐标为（，）或（，）．【例3】．已知如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）交x轴于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点C．已知OA＝OC＝2OB．（1）求抛物线的解析式；（2）已知直线y＝2x+m，若直线与抛物线有且只有一个交点E，求△ACE的面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠EAC，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对于抛物线y＝ax2+bx﹣4，令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OC＝4，∵OA＝OC＝2OB，∴OA＝4，OB＝2，∴A（﹣4，0），B（2，0），∵点A，B在抛物线y＝ax2+bx﹣4上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4①，∵直线y＝2x+m②与抛物线有且只有一个交点E，联立①②得，，∴x2﹣x﹣（4+m）＝0，∴△＝1+4×（4+m）＝0，∴m＝﹣，∴x2﹣x﹣＝0，∴x1＝x2＝1，∴E（1，﹣），∴直线AE的解析式为y＝﹣x﹣2如图1，记直线AE与y轴的交点为F，则F（0，﹣2），∴S△ACE＝CF×|xE﹣xA|＝×2×|1﹣（﹣4）|＝5；（3）由（2）知，E（1，﹣），Ⅰ、当点P在x轴上方时，如图2，将线段AE以点E为旋转中心顺时针旋转90°得到线段EG，连接AG，则∠EAG＝45°，在Rt△AOC中，OA＝OC，∴∠OAC＝45°＝∠EAG，∴∠CAE＝∠OAG，∴点P是AG与抛物线的交点，过点E作MN∥x，过点A作AM⊥MN于M，过点G作GN⊥MN于G，∵A（﹣4，0），E（1，﹣），∴AM＝，ME＝5，∴∠AME＝∠ENG＝90°，∴∠MAE+∠AEM＝90°，由旋转知，AE＝EG，∠AEG＝90°，∴∠AEM+∠NEG＝90°，∴∠MAE＝∠NEG，∴△AME≌△ENG（AAS），∴EN＝AM＝，GN＝ME＝5，∴N（，﹣），G（，），∴直线AG的解析式为y＝x+③，∵抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4④，联立③④解得，或，∴P（，），Ⅱ、由Ⅰ知，点G的坐标为G（，），N（，﹣），∴点G与点N关于x轴对称，∴点P是直线AN与抛物线的交点，∵A（﹣4，0），∴直线AN的解析式为y＝﹣x﹣⑤，联立④⑤，解得，或，∴P（，﹣），即满足条件的点P的坐标为P（，）或（，﹣）．变式训练【变3-1】．如图，已知：抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A、B两点，与y轴的交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式的一般式．（2）若抛物线上有一点P，满足∠ACO＝∠PCB，求P点坐标．（3）直线l：y＝kx﹣k+2与抛物线交于E、F两点，当点B到直线l的距离最大时，求△BEF的面积．解：（1）把C（0，﹣3）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得﹣3a＝﹣3，解得a＝1，所以抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），即y＝x2﹣2x﹣3；（2）当点P在直线BC的下方时，如图1，过点B作BE⊥BC交CP的延长线于点E，过点E作EM⊥x轴于点M，∵y＝（x+1）（x﹣3），∴y＝0时，x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴，∵OB＝OC＝3，∴∠ABC＝45°，BC＝3，∵∠ACO＝∠PCB，∴tan，∴BE＝，∵∠CBE＝90°，∴∠MBE＝45°，∴BM＝ME＝1，∴E（4，﹣1），设直线CE的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线CE的解析式为，∴，解得，∴，当点P在直线BC的上方时，过点B作BF⊥BC交CP于点F，如图2，同理求出BF＝，FN＝BN＝1，∴F（2，1），求出直线CF的解析式为y＝2x﹣3，∴，解得：x1＝0，x2＝4，∴P（4，5）．综合以上可得点P的坐标为（4，5）或（）；（3）∵直线l：y＝kx﹣k+2，∴y﹣2＝k（x﹣1），∴x﹣1＝0，y﹣2＝0，∴直线y＝kx﹣k+2恒过定点H（1，2），如图3，连接BH，当BH⊥直线l时，点B到直线l的距离最大时，求出直线BH的解析式为y＝﹣x+3，∴k＝1，∴直线l的解析式为y＝x+1，∴，解得：，，∴E（﹣1，0），F（4，5），∴＝10．1．如图，已知直线AB：y＝x﹣3与x、y轴分别交于A、B两点；抛物线y＝x2﹣2x﹣m与y轴交于C点，与线段AB交于D、E两点（D在E左侧）（1）若D、E重合，求m值；（2）连接CD、CE，若∠BCD＝∠BEC，求m值；（3）连接OD，若OD＝CE，求m值．解：（1）把y＝x﹣3代入抛物线y＝x2﹣2x﹣m中，得x2﹣3x+3﹣m＝0，∵D、E重合，∴△＝9﹣4（3﹣m）＝4m﹣3＝0，∴m＝；（2）∵y＝x﹣3与x、y轴分别交于A、B两点；抛物线y＝x2﹣2x﹣m与y轴交于C点，∴B（0，﹣3），C（0，﹣m），∴BC＝3﹣m，解方程组得，，，∴，，∴BD＝，BE＝，∵∠BCD＝∠BEC，∠CBD＝∠EBC，∴△BCD∽△BEC，∴，即BC2＝BD•BE，∴，解得，m＝1或3，当m＝3时，B与C重合，不符合题意，舍去，∴m＝1；（3）∵OD＝CE，∴OD2＝CE2，∴+，即，解得，m＝0，或m＝5，当m＝0时，无意义，应舍去，当m＝5+时，C点在B点下方，不合题意，舍去，∴m＝5﹣，2．如图①，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积为6．（1）求这条抛物线相应的函数表达式；（2）在抛物线上是否存在一点P，使得∠POB＝∠CBO，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，M是抛物线上一点，N是射线CA上的一点，且M、N两点均在第二象限内，A、N是位于直线BM同侧的不同两点．若点M到x轴的距离为d，△MNB的面积为2d，且∠MAN＝∠ANB，求点N的坐标．解：（1）当y＝0时，x2﹣（a+1）x+a＝0，解得x1＝1，x2＝a，∵点A位于点B的左侧，∴点A坐标为（a，0），点B坐标为（1，0），当x＝0时，y＝a，∴点C坐标为（0，a），∴AB＝1﹣a，OC＝﹣a，∵△ABC的面积为6，∴，∴a1＝﹣3，a2＝4，∵a＜0，∴a＝﹣3，∴y＝x2+2x﹣3；（2）设直线BC：y＝kx﹣3，则0＝k﹣3，∴k＝3；①当点P在x轴上方时，直线OP的函数表达式为y＝3x，则，∴，，∴点P坐标为；②当点P在x轴下方时，直线OP的函数表达式为y＝﹣3x，则∴，，∴点P坐标为，综上可得点P坐标为或；（3）过点A作AE⊥BM于点E，过点N作NF⊥BM于点F，设AM与BN交于点G，延长MN与x轴交于点H；∵AB＝4，点M到x轴的距离为d，∴S△AMB＝×AB×d＝×4×d＝2d，∵S△MNB＝2d，∴S△AMB＝S△MNB，∴，∴AE＝NF，∵AE⊥BM，NF⊥BM，∴四边形AEFN是矩形，∴AN∥BM，∵∠MAN＝∠ANB，∴GN＝GA，∵AN∥BM，∴∠MAN＝∠AMB，∠ANB＝∠NBM，∴∠AMB＝∠NBM，∴GB＝GM，∴GN+GB＝GA+GM即BN＝MA，在△AMB和△NBM中∴△AMB≌△NBM（SAS），∴∠ABM＝∠NMB，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，又∵AN∥BM，∴∠ABM＝∠OAC＝45°，∴∠NMB＝45°，∴∠ABM+∠NMB＝90°，∴∠BHM＝90°，∴M、N、H三点的横坐标相同，且BH＝MH，∵M是抛物线上一点，∴可设点M的坐标为（t，t2+2t﹣3），∴1﹣t＝t2+2t﹣3，∴t1＝﹣4，t2＝1（舍去），∴点N的横坐标为﹣4，可设直线AC：y＝kx﹣3，则0＝﹣3k﹣3，∴k＝﹣1，∴y＝﹣x﹣3，当x＝﹣4时，y＝﹣（﹣4）﹣3＝1，∴点N的坐标为（﹣4，1）．3．如图1，抛物线C1：y＝ax2+c的顶点为A，直线l：y＝kx+b与抛物线C1交于A，C两点，与x轴交于点B（1，0），且OA＝2OB，S△OAC＝4．（1）求直线l的解析式；（2）求抛物线C1与x轴的交点坐标；（3）如图2，将抛物线C1向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线C，且抛物线C的顶点为P，交x轴负半轴于点M，交射线BC于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．解：（1）∵B（1，0），∴OB＝1，∵OA＝2OB，∴OA＝2，∴A（0，﹣2），设直线l的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线l的解析式为y＝2x﹣2；（2）∵S△OAC＝4，∴，∴xC＝4，∴y＝8﹣2＝6，∴C（4，6），将A（0，﹣2），C（4，6）代入y＝ax2+c，∴，解得，∴抛物线C1与的解析式为y＝；令y＝0，，解得x＝±2，∴抛物线C1与x轴的交点坐标为（2，0），（﹣2，0）．（3）设抛物线C表达式为：y＝x2﹣2﹣m，设点M（n，0），则n2﹣2﹣m＝0，抛物线C表达式为：y＝x2﹣n2…③，联立②③并解得：x＝2﹣n或2+n，则点N（2﹣n，2﹣2n），则NQ＝2﹣2n，MQ＝2﹣2n，∴△MNQ为等腰直角三角形，则∠MNQ＝45°，又点P（0，﹣n2），即点M（n，0），设直线MN与y轴的交点为H，则OH＝OM，则点H（0，﹣n），作NK⊥y轴于点K，在△NKH中，NK＝KH，则NH＝（2﹣n），又HP＝OH+OP＝n2﹣n，∵PN为角平分线，则∠MNP＝∠PNQ＝22.5°，故NH＝HP，则（2﹣n）＝n2﹣n，解得：n＝2或﹣2（舍去2），∵n2﹣2﹣m＝0，解得：m＝2．4．如图，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是直线AB上方抛物线上的一动点，①求D到AB的距离最大值及此时的D点坐标；②若∠DAB＝∠BAC，求D点的坐标．解：（1）由y＝x+2可得：当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，2），把A、B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+2；（2）①如图1，过点D作DN⊥AC于N，交AB于F，作DH⊥AB于H，∵A（﹣4，0），B（0，2），∴OA＝4，OB＝2，∴AB＝＝＝2，∵∠FAN+∠AFN＝90°，∠FDH+∠DFH＝90°，∠AFN＝∠DFH，∴∠FAN＝∠FDH，∴cos∠FAN＝cos∠FDH，∴，∴＝，∴DH＝DF，∴当DF有最大值时，DH有最大值，设点D，F，∴DF＝＝﹣（m+2）2+2，∴当m＝﹣2时，DF有最大值为2，∴DH的最大值为，∴当点D（﹣2，3）时，D到AB的距离最大值为；②如图2，延长CB，AD交于点E，∵抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于点A，点C，∴点C（1，0），∴OC＝1，∵＝，∠AOB＝∠BOC，∴△AOB∽△BOC，∴∠BAO＝∠CBO，∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠ABO+∠CBO＝90°，∴∠ABC＝90°，∵∠DAB＝∠BAC，AB＝AB，∠ABC＝∠ABE＝90°，∴△ABC≌△ABE（ASA），∴BC＝BE，∵B（0，2），点C（1，0），∴点E（﹣1，4），∴直线AE的解析式为y＝x+，联立方程组：，解得：，，∴点D（﹣，）．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线上第一象限内一点，求△DCB面积的最大值；（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），∴，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；（2）如图，过点D作DE∥y轴交BC于点E，交x轴于点F，∵B（8，0），C（0，4），∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，设D（m，﹣m2+m+4），则E（m，﹣m+4），∵D为抛物线上第一象限内一点，∴DE＝DF﹣EF＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，∴△DCB面积＝8×DE＝4（﹣m2+2m）＝﹣m2+8m＝﹣（m﹣4）2+16，∴当m＝4时，△DCB面积最大，最大值为16；（3）①当点P在BC上方时，如图，∵∠PCB＝∠ABC，∴PC∥AB，∴点C，P的纵坐标相等，∴点P的纵坐标为4，令y＝4，则﹣x2+x+4＝4，解得：x＝0或x＝6，∴P（6，4）；②当点P在BC下方时，如图，设PC交x轴于点H，∵∠PCB＝∠ABC，∴HC＝HB．设HB＝HC＝m，∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m，在Rt△COH中，∵OC2+OH2＝CH2，∴42+（8﹣m）2＝m2，解得：m＝5，∴OH＝3，∴H（3，0）．设直线PC的解析式为y＝kx+n，∴，解得：，∴y＝﹣x+4，∴，解得：，，∴P（，﹣）．综上所述，点P的坐标为（6，4）或（，﹣）．6．已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（5，0）、B（﹣3，4），抛物线的对称轴与x轴相交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）联结OB、BD．求∠BDO的余切值；（3）如果点P在线段BO的延长线上，且∠PAO＝∠BAO，求点P的坐标．解：（1）将A（5，0），B（﹣3，4）代入y＝ax2+bx，得：，解得：，∴所求抛物线的表达式为y＝x2﹣x．（2）∵抛物线的表达式为y＝x2﹣x，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴点D的坐标为（，0）．过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，如图1所示．∵点B的坐标为（﹣3，4），点D的坐标为（，0），∴BC＝4，OC＝3，CD＝3+＝，∴cot∠BDO＝＝．（3）设点P的坐标为（m，n），过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，如图2所示．则PQ＝﹣n，OQ＝m，AQ＝5﹣m．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴cot∠BAC＝＝＝2．∵∠PAO＝∠BAO，∴cot∠PAO＝＝＝2，即m﹣2n＝5①．∵BC⊥x轴，PQ⊥x轴，∴∠BCO＝∠PQA＝90°，∴BC∥PQ，∴＝，∴＝，即4m＝﹣3n②．由①、②得：，解得：，∴点P的坐标为（，﹣）．7．抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），∴，解得：，∴抛物线解析式为：y＝x2+x﹣6；（2）①设点P（a，a2+a﹣6），∵点P位于y轴的左侧，∴a＜0，PE＝﹣a，∵PD＝2PE，∴|a2+a﹣6|＝﹣2a，∴a2+a﹣6＝﹣2a或a2+a﹣6＝2a，解得：a1＝，a2＝（舍去）或a3＝﹣2，a4＝3（舍去）∴PE＝2或；②存在点P，使得∠ACP＝∠OCB，理由如下，∵抛物线y＝x2+x﹣6与y轴交于点C，∴点C（0，﹣6），∴OC＝6，∵点B（2，0），点A（﹣3，0），∴OB＝2，OA＝3，∴BC＝＝＝2，AC＝＝＝3，如图，过点A作AH⊥CP于H，∵∠AHC＝∠BOC＝90°，∠ACP＝∠BCO，∴△ACH∽△BCO，∴，∴＝，∴AH＝，HC＝，设点H（m，n），∴（）2＝（m+3）2+n2，（）2＝m2+（n+6）2，∴或，∴点H（﹣，﹣）或（﹣，），当H（﹣，﹣）时，∵点C（0，﹣6），∴直线HC的解析式为：y＝﹣x﹣6，∴x2+x﹣6＝﹣x﹣6，解得：x1＝﹣2，x2＝0（舍去），∴点P的坐标（﹣2，﹣4）；当H（﹣，）时，∵点C（0，﹣6），∴直线HC的解析式为：y＝﹣7x﹣6，∴x2+x﹣6＝﹣7x﹣6，解得：x1＝﹣8，x2＝0（舍去），∴点P的坐标（﹣8，50）；综上所述：点P坐标为（﹣2，﹣4）或（﹣8，50）．8．如图1，抛物线y＝ax2+c与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，P为x轴下方抛物线上一点，若OC＝2OA＝4．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，若∠ABP＝∠ACO，求点P的坐标；（3）如图3，点P的横坐标为1，过点P作PE⊥PF，分别交抛物线于点E，F．求点A到直线EF距离的最大值．解：（1）∵CO＝4，故c＝﹣4，则抛物线的表达式为y＝ax2﹣4，∵OC＝2OA＝4，故点A（﹣2，0），则0＝4a﹣4，解得a＝1，故抛物线的表达式为y＝x2﹣4；（2）过点A作x轴的垂线交BP的延长线于点Q，在△BAQ和△COA中，，∴△BAQ≌△COA（AAS），∴AQ＝OA＝2，∴Q（﹣2，﹣2），由点B、Q的坐标得，直线BQ解析式为y＝x﹣1，联立，解得x1＝2（舍去），x2＝，∴P（，）；（3）设E（x1，x12﹣4），F（x2，x22﹣4），P（1，﹣3），由点P、E的坐标得，yPE＝（x1+1）x﹣4﹣x1，同理可得yPF＝（x2+1）x﹣4﹣x2，又∵PE⊥PF，∴（x1+1）（x2+1）＝﹣1，∴x1x2+x1+x2+1＝﹣1，x1x2＝﹣2﹣（x1+x2）（这里可以构造三垂模型如图3，利用相似三角形的性质得到）．同理可得EF的解析式为：yEF＝（x1+x2）x﹣4﹣x1x2，∴yEF＝（x1+x2）x﹣4+2+（x1+x2）＝（x1+x2）（x+1）﹣2，∴直线EF恒过定点（﹣1，﹣2），设该点为R，连接点AR，则AR为点A到直线EF距离的最大值，∴AR＝．9．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）M是抛物线上第一象限上的一点，连接AM，正好将△ABC的面积分成相等的两部分，求M点的坐标．（3）抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）作BC的中点N，连接AN并延长交抛物线于M，如图：∵N为BC中点，∴直线AN将△ABC的面积分成相等的两部分，即M是满足条件的点，在y＝﹣x2+2x+3中，令x＝0得y＝3，∴C（0，3），∵B（3，0），N为BC中点，∴N（，），设直线AN解析式为y＝mx+n，将A（﹣1，0），N（，）代入得：，解得，∴直线AN解析式为y＝x+，解得或，∴M（，），答：M点的坐标（，）；（3）存在点P，使∠PAB＝∠ABC，理由如下：过A作AP∥BC交抛物线于P，交y轴于S，作S关于x轴的对称轴点T，作直线AT交抛物线于P'，如图：∵AP∥BC，∴∠PAB＝∠ABC，P是满足条件的点，∵S关于x轴的对称轴点为T，∴∠P'AB＝∠PAB＝∠ABC，即P'是满足条件的点，由（2）知C（0，3），设直线BC解析式为y＝tx+3，将B（3，0）代入得：3t+3＝0，∴t＝﹣1，∴直线BC解析式为y＝﹣x+3，由AP∥BC设直线AP解析式为y＝﹣x+d，将A（﹣1，0）代入得：1+d＝0，解得d＝﹣1，∴直线AP解析式为y＝﹣x﹣1，S（0，﹣1），解得或，∴P（4．﹣5），∵S（0，﹣1），S关于x轴的对称轴点为T，∴T（0，1），设直线AT解析式为y＝ex+1，将A（﹣1，0）代入得：﹣e+1＝0，解得e＝1，∴直线AT解析式为y＝x+1，解得或，∴P'（2，3），综上所述，点P的坐标为（4，﹣5）或（2，3）．10．如图（1），抛物线y＝ax2+（a﹣5）x+3（a为常数，a≠0）与x轴正半轴分别交于A，B（A在B的右边）．与y轴的正半轴交于点C．连接BC，tan∠BCO＝．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图（2），设抛物线的顶点为Q，P是第一象限抛物线上的点，连接PQ，AQ，AC，若∠AQP＝∠ACB，求点P的坐标；（3）如图（3），D是线段AC上的点，连接BD，满足∠ADB＝3∠ACB，求点D的坐标．解：（1）∵抛物线y＝ax2+（a﹣5）x+3与y轴的正半轴交于点C，∴C（0，3），∴OC＝3，∵tan∠BCO＝，∴＝，∴OB＝1，∴B（1，0），将B（1，0）代入y＝ax2+（a﹣5）x+3，得a+a﹣5+3＝0，解得：a＝1，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图（2）设PQ与x轴交于N．∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴顶点Q（2，﹣1），∵A（3，0），B（1，0），C（0，3），∴AB＝2，OC＝OA＝3，∴∠CAO＝45°，AC＝3，过Q作QH⊥x轴于H，则QH＝AH＝1，∴∠QAH＝45°，AQ＝，∴∠CAO＝∠QAH＝45°，∵∠AQP＝∠ACB，∴△CAB∽△QAN，∴＝，即＝，∴AN＝，∴ON＝3﹣＝，∴N（，0），又Q（2，﹣1），∴直线PQ解析式为：y＝3x﹣7，联立方程组，解得：，；∴P（5，8）；（3）如图（3）作BM⊥AC于M，当点D在线段CM上时，则∠ADB＝3∠ACB，∴∠CBD＝2∠ACB，作∠CBD的平分线BE交CD于点E，∴∠CBD＝2∠CBE，∴∠ACB＝∠CBE，∴BE＝CE，∵y＝x2﹣4x+3，∴A（3，0），B（1，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，∠OAC＝∠OCA＝45°，设E（a，﹣a+3），则（a﹣1）2+（a﹣3）2＝a2+a2，解得：a＝，∴E（，），设D（m，﹣m+3），∵∠BCD＝∠EBD，∠BDC＝∠EDB，∴△BCD∽△EBD，∴BD2＝CD•ED，∴（m﹣1）2+（m﹣3）2＝（m﹣）•m，解得：m＝，∴D（，）．11．如图，抛物线y＝（x﹣3）（x﹣2a）交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），＝．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接BC，点P在抛物线上，且∠BCO＝∠PBA．求点P的坐标；（3）如图②，M是抛物线上一点，N为射线CB上的一点，且M、N两点均在第一象限内，B、N是位于直线AM同侧的不同两点，tan∠AMN＝2，点M到x轴的距离为2L，△AMN的面积为5L，且∠ANB＝∠MBN，请问MN的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．解：（1）把y＝0代入抛物线y＝（x﹣3）（x﹣2a），得x＝3或x＝2a，∵点A在点B的左侧，∴A（2a，0），B（3，0），∵∴∴a＝﹣1∴抛物线的函数表达式为：y＝x2﹣x﹣6；（2）如图①，作线段BC的垂直平分线交y轴于点D，此时DC＝DB∵DC＝DB，∴∠DCB＝∠DBC，∴∠ODB＝∠DCB+∠DBC＝2∠BCO，∵∠BCO＝∠PBA∴∠PBA＝2∠BCO，∴∠ODB＝∠PBA，∴tan∠ODB＝tan∠PBA，设P（m，m2﹣m﹣6），DC＝DB＝n，∵C（0，﹣6），B（3，0），∴OC＝6，OB＝3，∴OD＝6﹣n，在Rt△BOD中，（6﹣n）2+32＝m2，解得，∴，∵tan∠ODB＝tan∠PBA∴即，解得，∴∴点P的坐标为；（3）MN的为定值，定值为5∵A（﹣2，0），B（3，0），点M到x轴的距离为2L∴，∵S△AMN＝5L∴S△ABM＝S△AMN∵△ABM和△AMN同底AM，∴点B、N到直线AM的距离相等，∴AM∥BN，∴∠MAN＝∠ANB，∠AMB＝∠MBN，∠ABC＝∠MAB∴∠ANB＝∠MBN∴∠MAN＝∠AMB∵tan∠ABC＝＝＝2，tan∠AMN＝2∴△MAB≌△AMN（ASA），∴MN＝AB＝5∴MN的为定值，定值为5．12.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3①；tan∠BCO＝，则cos∠BCO＝；①当点P（P′）在点C的右侧时，∵∠P'BC＝∠BCO，故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；当点P在点C的左侧时，设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，∵∠P'BC＝∠BCO，∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH×＝，解得：CH＝，则OH＝3﹣CH＝，故点H（0，﹣），由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝x﹣②，联立①②并解得：，故点P的坐标为（﹣5，﹣8）；②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝，故设直线AP的表达式为：y＝x+s，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，故直线AP的表达式为：y＝x+1③，联立抛物线与③并解得：，故点N（，）；设△AMN的外接圆为圆R，当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n），∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，∴∠RMH＝∠GAR，∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，∴△AGR≌△RHM（AAS），∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，∴点M（m+n，n﹣m﹣3），将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3④，由题意得：AR＝NR，即（m+3）2+n2＝（m﹣）2+（﹣n）2⑤，联立④⑤并解得：，故点M（﹣，﹣）．13．如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图2，直线l：y＝kx﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入y＝ax2+bx中，得解得∴抛物线C解析式为：y＝﹣x2﹣4x，配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴顶点为：G（﹣2，4）；（2）∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．∴新抛物线C′的顶点为：G′（2，﹣4），二次项系数为：a′＝1∴新抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x将A（﹣4，0）代入y＝kx﹣中，得0＝﹣4k﹣，解得k＝，∴直线l解析式为y＝x﹣，设D（m，﹣m2﹣4m），∵D、E关于原点O对称，∴OD＝OE∵DE＝2EM∴OM＝2OD，过点D作DF⊥x轴于F，过M作MR⊥x轴于R，∴∠OFD＝∠ORM，∵∠DOF＝∠MOR∴△ODF∽△OMR∴＝＝＝2∴OR＝2OF，RM＝2DF∴M（﹣2m，2m2+8m）∴2m2+8m＝•（﹣2m）﹣，解得：m1＝﹣3，m2＝，∵m＜﹣2∴m的值为：﹣3；（3）由（2）知：m＝﹣3，∴D（﹣3，3），E（3，﹣3），OE＝3，如图3，连接BG，在△ABG中，∵AB2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG2＝2，AG2＝20∴AB2+BG2＝AG2∴△ABG是直角三角形，∠ABG＝90°，∴tan∠GAB＝＝＝，∵∠DEP＝∠GAB∴tan∠DEP＝tan∠GAB＝，在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OH＝OE＝，过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点；∵E（3，﹣3），∴∠EOT＝45°∵∠EOH＝90°∴∠HOT＝45°∴H（﹣1，﹣1），设直线EH解析式为y＝px+q，则，解得∴直线EH解析式为y＝﹣x，解方程组，∴x＝或，∴点P的横坐标为：或．14．已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于点A（1，0）和点B（5，0），顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且AC＝AB，点D的坐标为（0，3），直线l经过点C、D．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA的值；（3）在（2）的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM＝∠AMB？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于点A（1，0），B（5，0），∴，解得．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5．（2）∵A（1，0），B（5，0），∴OA＝1，AB＝4．∵AC＝AB且点C在点A的左侧，∴AC＝4．∴CB＝CA+AB＝8．∵线段CP是线段CA、CB的比例中项，∴＝．∴CP＝4．又∵∠PCB是公共角，∴△CPA∽△CBP．∴∠CPA＝∠CBP．过P作PH⊥x轴于H．∵OC＝OD＝3，∠DOC＝90°，∴∠DCO＝45°．∴∠PCH＝45°∴PH＝CH＝CP＝4，∴H（﹣7，0），BH＝12．∴P（﹣7，﹣4）．∴tan∠CBP＝＝，tan∠CPA＝．（3）∵抛物线的顶点是M（3，﹣4），又∵P（﹣7，﹣4），∴PM∥x轴．当点E在M左侧，则∠BAM＝∠AME．过点A作AN⊥PM于点N，则N（1，﹣4）．∵∠AEM＝∠AMB，∴△AEM∽△BMA．∴＝．∴＝．∴ME＝5，∴E（﹣2，﹣4）．当点E在M右侧时，记为点E′，∵∠AE′N＝∠AEN，∴点E′与E关于直线AN对称，则E′（4，﹣4）．综上所述，E的坐标为（﹣2，﹣4）或（4，﹣4）．15．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，已知抛物线的对称轴为直线x＝，B、C两点的坐标分别为B（2，0），C（0，﹣3）．点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点（不与B、C两点重合）．（1）求此抛物线的解析式；（2）如图1，连接PB、PC得到△PBC，问是否存在着这样的点P，使得△PBC的面积最大？如果存在，求出面积的最大值和此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，连接AP交线段BC于点D，点E为线段AD的中点，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接EM、EN，则在点P的运动过程中，∠MEN的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．解：（1）∵对称轴为直线x＝，∴﹣＝，∵B（2，0），C（0，﹣3）在抛物线上，∴，解得，∴y＝x2﹣x﹣3；（2）存在点P，使得△PBC的面积最大，设P（m，m2﹣m﹣3），连接OP，则S△POC＝×OC×m＝m，S△POB＝×OB×（﹣m2+m+3）＝﹣m2+m+3，∴S四边形OCPB＝S△OPC+S△POB＝﹣m2+3m+3，∵S△OBC＝×OC×OB＝3，∴S△PBC＝S四边形OCPB﹣S△BOC＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，△PBC的面积最大，最大值为，此时点P的坐标为（，﹣3）；（3）∠MEN为定值．当y＝0时，x2﹣x﹣3＝0，解得x＝﹣或x＝2，∴A（﹣，0），在Rt△AOC中，tan∠OAC＝＝，∴∠MAC＝60°，∵DM⊥AB，DN⊥AC，E是AD的中点，∴ME＝NE＝AE＝DE，∴点M