2025年中考数学专题56 一次函数中的倍、半角问题（解析版）

例题精讲例题精讲【例1】．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A和点B，过点B的直线BC：y＝kx+b交x轴于点C（﹣8，0）．（1）k的值为；（2）点M为直线BC上一点，若∠MAB＝∠ABO，则点M的坐标是（2，5）或（﹣2，3）．解：（1）在y＝﹣2x+4中，令x＝0得y＝4，∴B（0，4），把B（0，4），C（﹣8，0）代入y＝kx+b得：，解得，∴k的值为，故答案为：；（2）如图：由（1）知，直线BC：y＝x+4，设M（m，m+4），则BM＝＝|m|，在y＝﹣2x+4中，令y＝0得x＝2，∴A（2，0），∵B（0，4），C（﹣8，0），∴AB2＝（2﹣0）2+（0﹣4）2＝20，AC2＝（2+8）2+（0+0）2＝100，BC2＝（0+8）2+（4﹣0）2＝80，∴AB2+BC2＝AC2，AB＝2，∴∠ABC＝90°＝∠AOB，若∠MAB＝∠ABO，则△AOB∽△MBA，∴＝，即＝，解得m＝2或m＝﹣2，∴M（2，5）或（﹣2，3），故答案为：（2，5）或（﹣2，3）．变式训练【变1-1】．如图，直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，点B（0，2）在y轴上，连接AB，点P为直线AB上一动点．（1）直线AB的解析式为y＝x+2；（2）若S△APC＝S△AOC，求点P的坐标；（3）当∠BCP＝∠BAO时，求直线CP的解析式及CP的长．解：（1）∵直线y＝﹣x﹣4交x轴和y轴于点A和点C，∴点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意可得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+2，故答案为：y＝x+2；（2）∵点A（﹣4，0），点C（0，﹣4），点B（0，2），∴OA＝OC＝4，OB＝2，∴BC＝6，设点P（m，m+2），当点P在线段AB上时，∵S△APC＝S△AOC，∴S△ABC﹣S△PBC＝×4×4，∴×6×4﹣×6×（﹣m）＝8，∴m＝﹣，∴点P（﹣，）；当点P在BA的延长线上时，∵S△APC＝S△AOC，∴S△PBC﹣S△ABC＝×4×4，∴×6×（﹣m）﹣×6×4＝8，∴m＝﹣，∴点P（﹣，﹣），综上所述：点P坐标为（﹣，）或（﹣，﹣）；（3）如图，当点P在线段AB上时，设CP与AO交于点H，在△AOB和△COH中，，∴△AOB≌△COH（ASA），∴OH＝OB＝2，∴点H坐标为（﹣2，0），设直线PC解析式y＝ax+c，由题意可得，解得：，∴直线PC解析式为y＝﹣2x﹣4，联立方程组得：，解得：，∴点P（﹣，），∴CP＝＝，当点P'在AB延长线上时，设CP'与x轴交于点H'，同理可求直线P'C解析式为y＝2x﹣4，联立方程组，∴点P（4，4），∴CP＝＝4，综上所述：CP的解析式为：y＝﹣2x﹣4或y＝2x﹣4；CP的长为或4．【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线AD：y＝﹣x+4交y轴于点A，交x轴于点D．直线AB交x轴于点B（﹣3，0），点P为直线AB上的动点．（1）求直线AB的关系式；（2）连接PD，当线段PD⊥AB时，直线AD上有一点动M，x轴上有一动点N，直接写出△PMN周长的最小值；（3）若∠POA＝∠BAO，直接写出点P的纵坐标．解：（1）在y＝﹣x+4中，令x＝0得y＝4，∴A（0，4），设直线AB的关系式为y＝kx+4，把B（﹣3，0）代入得：﹣3k+4＝0，解得k＝，∴直线AB的关系式为y＝x+4；（2）设P（m，m+4），∵PD⊥AB，∴BP2+PD2＝BD2，∵B（﹣3，0），D（4，0），∴（m+3）2+（m+4）2+（m﹣4）2+（m+4）2＝49，解得m＝﹣3（与B重合，舍去）或m＝﹣，∴P（﹣，），作P关于x轴的对称点S，连接PS交x轴于R，延长RP交直线AD于K，过K作KT⊥RK，取KT＝KP，如图：∴S（﹣，﹣），∵∠DKR＝∠DAO＝45°，KT⊥RK，∴∠DKR＝45°＝∠DKT，∵KT＝KP，∴P，T关于直线AD对称，连接TS交AD于M，交x轴于N，则此时△PMN周长的最小，最小值即为TS的长，在y＝﹣x+4中，令x＝﹣得y＝，∴K（﹣，），∴PK＝KT＝，∵KS＝+＝，∴TS＝＝，∴△PMN周长的最小值为；（3）当P在y轴左侧时，过P作PH⊥y轴于H，在H下方取HW＝HA，连接PW，若此时PW＝OW，则∠PWA＝∠BAO＝2∠POA，如图：∵OB＝3，OA＝4，∴＝＝，设PH＝3t，则AH＝HW＝4t，∴PW＝5t＝OW，∵OW+HW+AH＝OA＝4，∴5t+4t+4t＝4，解得t＝，∴OH＝9t＝，∴P的纵坐标为；当P在y轴右侧时，过P作PF⊥y轴于F，如图：∵∠BAO＝2∠POA，∴∠POA+∠APO＝2∠POA，∴∠APO＝∠POA，∴AO＝AP＝4，∵＝＝，∴AF＝，∴OF＝，∴P的纵坐标为，综上所述，P的纵坐标为或．【例2】．如图，直线y＝kx+b与直线y＝﹣x+4相交于点A（2，2），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线y＝kx+b的函数表达式；（2）若直线y＝﹣x+4与y轴交于点D，点P在直线y＝﹣x+4上，当∠ABO＝∠POD时，直接写出点P的坐标．解：（1）∵直线y＝kx+b与直线y＝﹣x+4相交于点A（2，2），与y轴交于点B（0，﹣2）．∴，，∴直线y＝kx+b的函数表达式为y＝2x﹣2；（2）①点P在y轴右侧时，∵∠ABO＝∠POD，∴OP∥AB，∵直线AB的函数表达式为y＝2x﹣2，∴直线OP为y＝2x．联立y＝﹣x+4得：，解得x＝，∴P（，）；②点P在y轴左侧时，过点A作AM⊥x轴于M，减OP于N，设AB交x轴于点C，∴∠OMN＝∠BOC＝90°，∵A（2，2），∴M（0，2），∵B（0，﹣2），∴OM＝BO＝2，∵∠ABO＝∠POD，∴△CBO≌△MON，∴MN＝OC，∵直线AB的函数表达式为y＝2x﹣2，∴点C（1，0），∴OC＝1，∴MN＝1，∴N（﹣1，2），设直线ON的函数表达式为y＝mx，∴﹣x＝2，解得x＝﹣2，∴直线ON的函数表达式为y＝﹣2x，联立y＝﹣x+4得：，解得x＝﹣4，∴P（﹣4，8）．综上所述：点P坐标为（，）或（﹣4，8）．变式训练【变2-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式为y＝﹣x+b，它与坐标轴分别交于A、B两点，已知点B的纵坐标为4．（1）求出A点的坐标．（2）在第一象限的角平分线上是否存在点Q使得∠QBA＝90°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为y轴上一点，连结AP，若∠APO＝2∠ABO，求点P的坐标．解：（1）∵B的纵坐标为4．直线ly＝﹣x+b，与坐标轴分别交于A、B两点，∴点B（0，4），将点B（0，4）代入直线l的解析式y＝﹣x+b得：b＝4，∴直线l的解析式为：y＝﹣x+4，令y＝0得：x＝3，∴A（3，0）；（2）存在，∵A（3，0），B（0，4），∴AB＝＝＝5，∵Q在第一象限的角平分线上，设Q（x，x），根据勾股定理：QB2+BA2＝QA2，x2+（x﹣4）2+52＝x2+（x﹣3）2，解得x＝16，故Q（16，16）；（3）如图：①当点P为y轴正半轴上一点时，∵∠APO＝2∠ABO，∠APO＝∠ABO+∠PAB，∴∠ABO＝∠PAB，∴PA＝PB，设P（0，p），∴PA2＝PB2，∴32+p2＝（4﹣p）2，∴p＝，∴P（0，）；②当点P为y轴负半轴上一点时，∠AP′P＝∠APO＝2∠ABO，∴AP＝AP′，∵AO⊥PP′，∴OP′＝OP＝，∴P′（0，﹣）．综上所述：点P的坐标为（0，）或P（0，﹣）．【变2-2】．如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）求直线BC的函数解析式；（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为，求点Q的坐标；②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．解：（1）对于y＝x+3，由x＝0得：y＝3，∴B（0，3）．由y＝0得：x+3＝0，解得x＝﹣6，∴A（﹣6，0），∵点C与点A关于y轴对称．∴C（6，0）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+3；（2）①设点M（m，0），则点P（m，m+3），点Q（m，﹣m+3），过点B作BD⊥PQ与点D，则PQ＝|﹣m+3﹣（m+3）|＝|m|，BD＝|m|，则△PQB的面积＝PQ•BD＝m2＝，解得m＝±，故点Q的坐标为（，3﹣）或（﹣，3+）；②如图2，当点M在y轴的左侧时，∵点C与点A关于y轴对称，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠BMP＝∠BAC，∴∠BMP＝∠BCA，∵∠BMP+∠BMC＝90°，∴∠BMC+∠BCA＝90°∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，∴BM2+BC2＝MC2，设M（x，0），则P（x，x+3），∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45，∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x＝﹣，∴P（﹣，），如图2，当点M在y轴的右侧时，同理可得P（，），综上，点P的坐标为（﹣，）或（，）．1．如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、点B（0，2）．（1）求直线AB的表达式；（2）设点C为线段AB上一点，过点C分别作CD⊥x轴、CE⊥y轴，垂足分别为D、E，当OC平分∠AOB时，求点C的坐标．解：（1）设直线AB的表达式为：y＝kx+b，把A（4，0）、B（0，2）代入y＝kx+b得：，解得：，∴直线AB的表达式为：；（2）设点C的坐标为．∵CD⊥x轴、CE⊥y轴，OC平分∠AOB，∵CD＝CE，∴．解得，∴点C的坐标为．2．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（8，0），与y轴交于B（0，8），点D为OA延长线上一动点，以BD为直角边在其上方作等腰三角形BDE，连接EA．（1）求证∠EAD＝∠OAB；（2）求直线EA与y轴交点F的坐标．（1）证明：过点E作EG⊥x轴，如图1所示，∴∠EGD＝∠DOB＝∠EDB＝90°，ED＝DB，∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，在△EGD和△DOB中，，∴△EGD≌△DOB（AAS），∴EG＝DO，GD＝OB，∵A（8，0），B（0，8），∴OB＝OA＝8，∴GD＝OA，∴DO＝DA+OA＝DA+DG＝AG，∴EG＝AG，∴∠EAG＝∠GEA＝45°，又OA＝OB＝8，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∴∠EAD＝∠OAB；（2）解：如图2，∵∠EAD＝45°，∠AOF＝90°，∴∠OAF＝∠OFA＝45°，∴OA＝OF＝8，∴点F的坐标为（0，﹣8）．3．如图1，直线y＝﹣x+b分别交x，y轴于A，B两点，点C（0，2），若S△ABC＝2S△ACO．（1）求b的值；（2）若点P是射线AB上的一点，S△PAC＝S△PCO，求点P的坐标；（3）如图2，过点C的直线交直线AB于点E，已知D（﹣1，0），∠BEC＝∠CDO，求直线CE的解析式．解：（1）∵直线y＝﹣x+b分别交x，y轴于A，B两点，∴点A（b，0），点B（0，b），∴S△ABC＝＝，S△ACO＝＝，∵S△ABC＝2S△ACO，∴，解得b＝6；（2）由（1）知b＝6，直线AB表达式为y＝﹣x+6，∴A点坐标（6，0），B点坐标（0，6），设直线AC的表达式为y＝kx+b，将点A、C代入得，，解得，∴直线AC的解析式为y＝x+2，①当点P在第一象限时，过点P作PQ⊥x轴，交AC于点Q，设Q（x，﹣x+2），则点P（x，﹣x+6），方法一：∴PQ＝﹣x+6﹣（﹣x+2）＝﹣+4，∴S△PAC＝S△PCQ+S△PAQ＝+＝12﹣2x，S△PCO＝＝x，∵S△PAC＝S△PCO，即12﹣2x＝x，解得：x＝4，则P点坐标（4，2）；方法二：∵S△PAC＝S△BCA﹣S△BCP，∴S△PAC＝﹣＝＝12﹣2x，∵S△PCO＝＝，∴S△PAC＝S△PCO，∴12﹣2x＝x，解得x＝4，∴P（4，2）；②当P点在第二象限时，设点P（x，﹣x+6），∴S△PAC＝S△PBC+S△ABC＝+＝12﹣2x，S△PCO＝＝﹣x，∵S△PAC＝S△PCO，即12﹣2x＝﹣x，解得：x＝12，∴第二象限x＜0，x＝12不符合题意舍去，∴P点坐标（4，2）；（3）过点C作CF⊥AB于点F，∵CF⊥AB，直线AB解析式为y＝﹣x+6，且点C（0，2），∴可得直线CF的解析式为y＝x+2，联立得，解得，即交点F坐标（2，4），∴CF＝＝2，设点E（x，﹣x+6），∴EF＝＝（x﹣2），∵∠BEC＝∠CDO，∠COD＝∠CFE＝90°，∴△CDO∽△CEF，∴＝，即＝，解得：x＝3，∴点E坐标（3，3），点C（0，2），设直线CE解析式为y＝ax+b，将点E、C代入得，解得，∴直线CE的解析式为y＝．解法二：如图，过点D作DF⊥CD交EC于点F，过点F作FH∠OD于H，设EC交x轴于点G．∵∠BEC＝∠CDO，∴∠BAO+∠EGA＝∠EGA+∠DCG，∴∠DCG＝∠AO＝45°，∴CD＝DF，∵∠FDH+∠CDO＝90°，∠CDO+∠DCO＝90°，∴∠DCO＝∠FDH，∵∠FHD＝∠DOC＝90°，∴△FHD≌△DOC（AAS），∴FH＝OD＝1，DH＝OC＝2，∴F（﹣3，1），∴直线CE的解析式为y＝．4．在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝mx（m≠0）的图象经过点A（2，4），过点A的直线y＝kx+b（k＞0）与x轴、y轴分别交于B，C两点．（1）求正比例函数的表达式；（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的倍，求直线y＝kx+b的表达式；（3）在（2）的条件下，若一条平行于OA的直线DE与直线BC在第二象限内相交于点D，与y轴相交于点E，连接OD，当OC平分∠AOD时，求点D的坐标．解：（1）把点A（2，4）代入正比例函数y＝mx（m≠0），∴2m＝4，解得m＝2，∴正比例函数的表达式为：y＝2x；（2）当点B在x轴负半轴时，根据题意可画出图形，如下所示，过点A作x轴和y轴的垂线，垂足分别为N和M，则AM＝2，AN＝4，设△BOC的面积为3S，则△AOB的面积为4S，∴△AOC的面积为S，即△AOB的面积＝4△AOC的面积，∵△AOC的面积＝OC•AM＝OC，△AOB的面积＝OB•AN＝2OB，∴2OB＝4OC，即OB＝2OC，令x＝0，则y＝b，∴C（0，b），∴OC＝b，∴OB＝2b，即B（﹣2b，0），将B（﹣2b，0），A（2，4）代入函数解析式，可得，，解得，∴直线AB的解析式为：y＝x+3；当点B在x轴正半轴时，如图所示，设△BOC的面积为3S，则△AOB的面积为4S，∴△AOC的面积为7S，即7△AOB的面积＝4△AOC的面积，∵△AOC的面积＝OC•AM＝OC，△AOB的面积＝OB•AN＝2OB，∴14OB＝4OC，即OB＝OC，令x＝0，则y＝b，∴C（0，b），∴OC＝b，∴OB＝b，即B（﹣b，0），将B（﹣b，0），A（2，4）代入函数解析式，可得，，解得，∴直线AB的解析式为：y＝x﹣3；综上，直线AB的解析式为：y＝x+3或y＝x﹣3；（3）如图，作点A关于y轴的对称点A′，连接OA′，由对称可知，∠AOC＝∠A′OC，即OC平分∠AOA′，∴线段OA′与直线AB的交点即为点D．由对称可知，A′（﹣2，4），∴直线OA′的解析式为：y＝﹣2x，令﹣2x＝x+3，解得x＝﹣，∴y＝﹣2x＝，∴D（﹣，）．5．综合与探究如图1，直线AB与坐标轴交于A，B两点，已知点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），点C是线段AB上一点．知识初探：如图1，求直线AB的解析式．探究计算：如图2，若点C是线段AB的中点，则点C的坐标为（2，）拓展探究：如图3，若点C是线段AB的中点，过点C作线段AB的垂线，交x轴于点M，求点M的坐标．类比探究：如图4，过点C作线段AB的垂线，交x轴于点N，连接AN，当∠OAN＝∠CAN时，则点N的坐标为（，0）解：知识初探：设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A，B两点坐标代入，得，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3；探究计算：∵点C为线段AB的中点，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），∴由中点公式得，点C（2，），故答案为：2，；拓展探究：连接AM，设M（m，0），则OM＝m，BM＝4﹣m，∵点C是线段AB的中点，CM⊥AB，∴AM＝BM＝4﹣m，在Rt△AOM中，AM2＝OM2+OA2，∴（4﹣m）2＝m2+32，∴m＝，∴M（，0）；类比探究：∵NC⊥AB，NO⊥OA，∴当∠OAN＝∠CAN时，即AN平分∠OAB时，NO＝NC，在Rt△OAN和Rt△ACN中，，∴Rt△OAN≌Rt△ACN（HL），∴AC＝AO＝3，在Rt△AOB中，由勾股定理得AB＝＝5，∴BC＝AB﹣AC＝2，设点N的坐标为（n，0），则ON＝n，则CN＝n，BN＝4﹣n，在Rt△BCN中，由勾股定理得（4﹣n）2﹣n2＝22，解得n＝，∴点MN的坐标为（，0）．故答案为：，0．6．平面直角坐标系中，已知A的坐标为（﹣2，0），B在y轴正半轴上，且，将线段AB绕点A顺时针方向旋转45°，交y轴于点C．（1）求直线AC的解析式；（2）点D是直线AC上的一点，且满足∠ADB＝∠ABC，求点D坐标．解：（1）如图：过点B作BM⊥AC于M，∵A的坐标为（﹣2，0），，∴OA＝2，，在Rt△ABO中，根据勾股定理得：，∵∠BAC＝45°，CM⊥AB，∴AM＝BM，在Rt△ABM中，由勾股定理得：，解得：，∵∠ACO＝∠BCM，∠AOC＝∠BMC，∴△ACO∽△BCM，设OC＝x，AC＝y，则，∴，即，，解得：，∴C（0，1）．设直线AC的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将点A（﹣2，0），C（0，1）代入得，，解得：，∴直线AC的函数表达式为．（2）设点D的坐标为：，∵OB＝6，∴B（0，6），∴，∵∠ADB＝∠ABC，∠AOB＝∠BMD＝90°，∴△ABO∽△BDM，∴，即，整理得：，两边同时平方：，解得：a1＝14，a2＝﹣10，当a＝14时，，当a＝﹣10时，a+1＝﹣4，∴点D的坐标为：（14，8）或（﹣10，﹣4）．7．如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）请写出点A坐标（﹣6，0），点B坐标（0，3），直线BC的函数解析式y＝﹣x+3；；（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为，求点Q的坐标；②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．解：（1）对于y＝x+3，由x＝0得：y＝3，∴B（0，3）．由y＝0得：x+3＝0，解得x＝﹣6，∴A（﹣6，0），∵点C与点A关于y轴对称．∴C（6，0）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+3；故答案为：A（﹣6，0），B（0，3），y＝﹣x+3；（2）①设点M（m，0），则点P（m，m+3），点Q（m，﹣m+3），过点B作BD⊥PQ与点D，则PQ＝|﹣m+3﹣（m+3）|＝|m|，BD＝|m|，则△PQB的面积＝PQ•BD＝m2＝，解得m＝±，故点Q的坐标为（，3﹣）或（﹣，3+）；②如图2，当点M在y轴的左侧时，∵点C与点A关于y轴对称，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠BMP＝∠BAC，∴∠BMP＝∠BCA，∵∠BMP+∠BMC＝90°，∴∠BMC+∠BCA＝90°，∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°，∴BM2+BC2＝MC2，设M（x，0），则P（x，x+3），∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45，∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x＝﹣，∴P（﹣，），如图2，当点M在y轴的右侧时，同理可得P（，），综上，点P的坐标为（﹣，）或（，）．8．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝﹣x+12与x轴交于点A，将l向下平移16个单位后交y轴于点B．（1）求∠OBA的余切值；（2）点C在平移后的直线上，其纵坐标为6，联结CA、CB，其中CA与y轴交于点E，求S△CBE：S△ABE的值；（3）点M在直线x＝3上且位于第一象限，联结MA、MB，当∠BMA＝∠OBA时，求点M的坐标．解：（1）由题意可知，直线l：y＝﹣x+12，令x＝0，则y＝12，令y＝0，则x＝8，∴直线l：y＝﹣x+12与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点A′（0，12），∴向下平移16个单位后的表达式为y＝﹣x+12﹣16＝﹣x﹣4，∴平移后的直线交y轴于点B（0，﹣4），∴OB＝4，∴cot∠OBA＝＝＝；（2）∵直线l平移后新的直线方程为y＝﹣x﹣4，且点C的纵坐标是6，∴﹣x﹣4＝6，解得x＝﹣，∴C（﹣，6），过点C作CN⊥y轴于N，∵A（8，0），∴＝＝＝；（3）如图，设AB与直线x＝3交于点F，∵A（8，0），B（0，﹣4），∴AB所在的直线方程为y＝x﹣4，∴F（3，−），∵直线MF为x＝3，∴MF∥y轴．∴∠MBO＝∠BMF，∵∠BMA＝∠OBA，∴∠ABM＝∠AMF，∵∠MAB＝∠FAM，∴△ABM∽△AMF，∴，∴AM2＝AF•AB，∵AB＝＝4，AF＝＝，∴AM2＝AF•AB＝50，∴AM＝5，设M（3，h），∴AM＝＝5，解得：h＝5或﹣5（舍去），∴D（3，5）．9．如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）求直线BC的函数解析式；（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为，求点M的坐标；②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．（1）解：对于由x＝0得：y＝3，∴B（0，3）由y＝0得：，解得x＝﹣6，∴A（﹣6，0），∵点C与点A关于y轴对称∴C（6，0）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b，∴，解得∴直线BC的函数解析式为，（2）解：设M（m，0），则P（m，）、Q（m，）如图1，过点B作BD⊥PQ于点D，∴PQ＝，BD＝|m|，∴，解得，∴M（，0）或M（，0）；（3）解：如图3，当点M在y轴的左侧时，∵点C与点A关于y轴对称∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA∵∠BMP＝∠BAC，∴∠BMP＝∠BCA∵∠BMP+∠BMC＝90°，∴∠BMC+∠BCA＝90°∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°∴BM2+BC2＝MC2设M（x，0），则P（x，）∴BM2＝OM2+OB2＝x2+9，MC2＝（6﹣x）2，BC2＝OC2+OB2＝62+32＝45∴x2+9+45＝（6﹣x）2，解得x＝∴P（，），如图2，当点M在y轴的右侧时，同理可得P（，），综上，点P的坐标为（，）或（，），解法二：如图3，当点M在y轴的左侧时，∵点C与点A关于y轴对称∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA∵∠BMP＝∠BAC，∴∠BMP＝∠BCA∵∠BMP+∠BMC＝90°，∴∠BMC+∠BCA＝90°∴∠MBC＝180°﹣（∠BMC+∠BCA）＝90°设直线BM的解析式为y＝k1x+b1，则有，∴k1＝2∴直线BM的解析式为y＝2x+b1，将点B（0，3）代入得，b1＝3，∴直线BM的解析式为y＝2x+3，由y＝0得x＝，将x＝代入得，∴P（，），如图2，当点M在y轴的右侧时，同理可得P（，），综上，点P的坐标为（，）或（，）．10．如图，直线y＝3x+3交x轴于点B，交y轴于点A，点C为x轴正半轴上一点，且AC＝BC．（1）求直线AC的解析式；（2）点P从点O出发沿y轴的正方向运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒，过点P作x轴的平行线，分别交直线AB，AC于点D、E，若设DE＝d，求d与t的函数解析式，并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点P在OA的延长线上时，连接BE，若2∠BED＝3∠BCE，求点E的坐标．解：（1）在y＝3x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1，∴A（0，3），B（﹣1，0），设C（m，0），m＞0，则AC＝，BC＝m+1，∵AC＝BC，∴＝m+1，解得m＝4，∴C（4，0），设直线AC解析式为y＝kx+3，则0＝4k+3，∴k＝﹣，∴直线AC解析式为y＝﹣x+3；（2）在y＝3x+3中，令y＝t得x＝＝﹣1，∴D（﹣1，t），在y＝﹣x+3，令y＝t得x＝﹣t+4，∴E（﹣t+4，t），当0≤t≤3时，如图：∵DE＝xE﹣xD＝（﹣t+4）﹣（﹣1）＝﹣t+5，∴d＝﹣t+5，当t＞3时，如图：∵DE＝xD﹣xE＝（﹣1）﹣（﹣t+4）＝t﹣5，∴d＝t﹣5，综上所述，d＝；（3）过B作BN⊥EC于N，过E作EM⊥AD于M，如图：∵2∠BED＝3∠BCE，∴2（∠BEC+∠DEC）＝3∠BCE，∵DE∥x轴，∴∠DEC＝∠BCE，∴2（∠BEC+∠BCE）＝3∠BCE，∴∠DEC＝∠BCE＝2∠BEC，∵AC＝BC，DE∥x轴，∴∠CAB＝∠CBA＝∠EAD＝∠EDA，∴ED＝EA，∵EM⊥AD，∴∠DEC＝2∠DEM，DM＝AD，∴∠DEM＝∠BEC，∴sin∠DEM＝sin∠BEC，即＝，∴DM•BE＝ED•BN，由（2）知：当t＞3时，ED＝t﹣5，∵BC•OA＝AC•BN，AC＝BC，∴BN＝OA＝3，∴DM•BE＝（t﹣5）×3＝5（t﹣3），由（2）知：D（﹣1，t），E（﹣t+4，t），而A（0，3），B（﹣1，0），∴DM＝AD＝＝＝＝（t﹣3），BE＝＝，∴（t﹣3）•＝5（t﹣3），∵t＞3，∴×＝5，解得t＝或t＝﹣3（舍去），∴E（﹣，）．11．平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点B、A．（1）直接写出直线AB关于x轴对称的直线BC的解析式y＝﹣2x﹣4；（2）在（1）条件下，如图1，直线BC与直线y＝﹣x交于E点，点P为y轴上一点，PE＝PB，求P点坐标；（3）在（1）（2）条件下，如图2，点P为y轴上一点，∠OEB＝∠PEA，直线EP与直线AB交于点M，求M点的坐标．解：（1）∵直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点B、A．∴A（0，4），B（﹣2，0），∵直线AB与直线BC关于x轴对称，∴C（0，﹣4），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，；∴直线BC的解析式为y＝﹣2x﹣4；故答案为：y＝﹣2x﹣4；（2）∵，∴，∴E（﹣4，4），∴AE⊥AO，设OP＝a，AP＝4﹣a，在Rt△BOP和Rt△EAP中，BP2＝4+a2，PE2＝16+（4﹣a）2，∵PE＝PB，∴4+a2＝16+（4﹣a）2，解得a＝3.5．∴P（0，3.5）．（3）①如图，当点P在点A的下方，∵∠OEB＝∠PEA，∠AEO＝45°，∴∠PEB＝45°，过点B作BN⊥BE交直线EP于点N，过点N作NQ⊥OB于Q，过点E作EH⊥OB于点H，∴△EBN为等腰直角三角形，∴EB＝BN，∵∠BEH+∠EBH＝90°，∠EBH+∠NBQ＝90°，∴∠BEH＝∠NBQ，又∵∠EHB＝∠BQN＝90°，∴△EHB≌△BQN（AAS），∴NQ＝BH＝2，BQ＝EH＝4，∴N（2，2），设直线EN的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线EN的解析式为y＝﹣x+，∴，解得，即M（﹣，）；②P点在A点的上方，由①知图1中OP＝，则AP＝，∴OP＝，设直线EP的解析式为y＝mx+，∵E（﹣4，4），∴﹣4m+＝4，解得m＝，∴直线EP的解析式为y＝x+，∴，解得，∴M（0.8，5.6）．综合以上可得点M的坐标为（﹣，）或（0.8，5.6）．12．如图1，直线y＝x﹣5与x轴、y轴分别交于B、C两点，点A为y轴正半轴上一点，且S△ABC＝75．（1）请直接写出点B、C的坐标及直线AB的解析式：（10，0）、（0，﹣5）、y＝﹣x+10；（2）如图2，点P为线段OB上一点，若∠BCP＝45°，请写出点P的坐标：（，0），并简要写出解答过程；（3）如图3，点D是AB的中点，M是OA上一点，连接DM，过点D作DN⊥DM交OB于点N，连接BM，若∠OBM＝2∠ADM，请写出点M的坐标，并简要写出解答过程．解：（1）当y＝0时，，∴x＝10，∴B（10，0），当x＝0时，y＝﹣5，∴C（0，﹣5），∵，∴＝75，∴AC＝15，∴OA＝AC﹣OC＝10，∴A（0，10），设直线AB的解析式是：y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+10，故答案是（10，0），（0．﹣5），y＝﹣x+10；（2）如图2，作BD⊥CP于D，作DE⊥OC于E，作BF⊥DE于F，∴∠CED＝∠BFD＝∠CDB＝90°，∴∠ECD+∠EDC＝90°，∠EDC+∠PDF＝90°，∴∠ECD＝∠BDF∵∠BCP＝45°，∴∠CBD＝90°﹣∠BCP＝45°，∴∠CBD＝∠BCP，∴CD＝BD，∴△CED≌△DFB（AAS），∴BF＝DE，DF＝CE，∵OE＝BF，∴OE＝DE∴DF＝CE＝OC+OE＝5+DE，∵EF＝OB＝10，∴DE+DF＝10，∴DE+（5+DE）＝10，∴OE＝DE＝，∴D（，），∵D（0，﹣5），∴直线CD的解析式是：y＝3x﹣5，∴当y＝0时，3x﹣5＝0，∴x＝，∴P（，0），故答案是（，0）；（3）如图3，连接OD，MN，在射线OB上截取EO＝ON，∵MO⊥OB，∴∠ME＝MN，∴∠EMN＝2∠OMN，∠MEN＝∠MNE，∵DN⊥DM，∴∠MDN＝∠MON＝90°，∴点M、O、N、D共圆，∴∠OMN＝∠ODN，在Rt△AOB中，OA＝OB，点D是AB的中点，∴∠OAD＝∠DON＝45°，OD＝AD，∠ADO＝90°，∵∠MDN＝90°，∴∠ADO﹣∠MDO＝∠MDN﹣∠MDO，∴∠ODN＝∠ADM，∴△ADM≌△ODN（ASA），∴AM＝ON，∵∠OBM＝2∠ADM，∴∠OBM＝∠EMN，∴∠BEM＝∠BME，∴BM＝BE，设OM＝m，∴OE＝ON＝AM＝10﹣m，∴BE＝OE+OB＝10﹣m+10＝20﹣m，在Rt△BOM中，BM2＝OB2+OM2＝100+m2，∴100+m2＝（20﹣m）2，∴m＝，∴M（0，）．13．如图，直线y＝kx+2（k＜0）与x轴、y轴分别交于点B、A．（1）如图1，点P（﹣1，3）在直线y＝kx+2（k＜0）上，求点A、B坐标；（2）在（1）的条件下，如图2，点A'是点A关于x轴的对称点，点Q是第二象限内一点，连接AQ、PQ、QA'和PA'，如果△PQA'和△AA'Q面积相等，且∠PAQ＝∠APA'，求点Q的坐标；（3）如图3，点C和点D是该直线在第一象限内的两点，点C在点D左侧，且两点的横坐标之差为1，且CD＝k+2，作CE⊥x轴，垂足为点E，连接DE，若∠OAB＝2∠DEB，求k的值．解：（1）当x＝0时，y＝2，∴A（0，2），把点P（﹣1，3）代入直线y＝kx+2（k＜0）得：﹣k+2＝3，解得：k＝﹣1，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2，当y＝0时，﹣x+2＝0，解得：x＝2，∴B（2，0）；（2）分两种情况：①点Q在直线AB的下方时，过点A'作A'Q∥AB，设AQ与A'P交点为M，延长QP交y轴于点N，如图2所示：∵平行线间的距离处处相等，且QA'为公共底边，∴△PQA'和△AA'Q面积相等，∵∠PAQ＝∠APA'，∴MA＝MP，∵A'Q∥AB，∴∠PAQ＝∠AQA'，∠APA'＝∠PA'Q，∴∠AQA'＝∠PA'Q，∴A'M＝QM，∴AQ＝A'P，∴△PQA'≌△AA'Q（SAS），∴∠PQA'＝∠AA'Q，PQ＝AA'，∵点A'是点A关于x轴的对称点，A（0，2），∴A'（0，﹣2），∴PQ＝AA'＝2+2＝4，由（1）可知OA＝OB，∴∠BAO＝45°，∵A'Q∥AP，∴∠PQA'＝∠AA'Q＝45°，∴∠QNO＝90°，∴QN⊥y轴，∵P（﹣1，3），∴PN＝1，ON＝3，∴QN＝PQ+PN＝5，∴Q（﹣5，3）；②当点Q在直线AB的上方时，如图2﹣1所示：∵∠PAQ＝∠APA'，∴AQ∥A'P，当PQ∥AA'时，四边形A'PQA是平行四边形，∴△PQA'的面积＝△AA'Q面积，此时Q（﹣1，7），满足条件；综上所述，点Q的坐标为（﹣5，3）或（﹣1，7）；（3）过D作DF⊥CE于F，如图3所示：∵∠CEB＝90°，∴∠CED＝90°﹣∠DEB，∵CE∥OA，∴∠OAB＝∠ECD，∵∠OAB＝2∠DEB，∴∠ECD＝2∠DEB，∴∠CDE＝180°﹣∠ECD﹣∠CED＝18