2025年中考数学专题30 探照灯专题（解析版）

模型介绍模型介绍定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角，则AD有最小值，即△ABC的面积有最小值.定角夹定高也叫探照灯模型.R模型剖析如何确定△ABC面积的最小值呢？首先我们连接OA,OB,OC.过O点作OH⊥BC于H点.（如右上图）显然OA+OHAD，当且仅当A,O,D三点共线时取“=”.由于∠BAC的大小是一个定值，而且它是圆O的圆周角，因此它所对的圆心角∠AOB的度数，也是一个定值.因此OH和圆O的半径有一个固定关系，所以OA+OH也和圆O的半径，有一个固定的等量关系.再根据我们刚才说的OA+OHAD，就可以求得圆O半径的最小值.简证：OA+OHAD，∵四边形OEDH为矩形，∴OH=ED，在Rt△AOE中，AO>AE，∴AO+OH=AO+ED>AE+ED=ADR步骤指引1.作定角定高三角形外接圆，并设外接圆半径为r，用r表示圆心到底边距离及底边长；2.根据“半径+弦心距≥定高”，求r的取值范围；3.用r表示定角定高三角形面积，用r取值范围求面积最小值.例题精讲例题精讲【例1】．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为．解：作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，设⊙O的半径为r，则OE＝OB＝r，BE＝OB＝r，∴BC＝r，∵OA+OE≥AD，∴r+r≥4，解得：r≥，∴BC≥，∴，∴△ABC的面积的最小值为，故答案为：．变式训练【变式1-1】．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝12，点E，F均在AD上，且∠ABE+∠FCD＝90°，则四边形BCFE面积的最大值为20．解：将△DCF向左平移，使DC与AB重合，点F的对应点为点G，∵∠ABE+∠FCD＝90°，∴∠GBE＝90°，作△BGE的外接圆O，连接OB，则OB≥AB，当点O与点A重合时，OB取得最小值，最小值为2，∴GE的最小值为4，∴△GBE的面积最小＝GE•AB＝4×2＝4，∵四边形BCFE＝矩形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDF的面积＝矩形ABCD的面积﹣△GBE的面积，∴当△GBE的面积最小时，四边形BCFE的面积有最大值，∴四边形BCFE最大＝2×12﹣4＝20，∴四边形BCFE面积的最大值为20．故答案为：20．【变式1-2】．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是4．解：将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM，由旋转得：BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，∠MAB＝∠FAD，∵∠ABC＝60°，∴∠ABM+∠ABC＝180°，∴M、B、E共线，∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°，∠EAF＝60°，AE＝AE，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴∠MEA＝∠FEA，过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，∴AH＝AK＝AB•sin60°＝2，作△AEF的外接圆⊙O，连接OA、OE、OF，过O作ON⊥EF于N，∵∠EAF＝60°，∴∠EOF＝120°，∴∠NOF＝60°，设EF＝2x，则NF＝x，Rt△ONF中，ON＝x，OF＝x，∴ON+OA＝OF+ON＝x，∵OA+ON≥AK，∴x≥2，∴x≥2，∴S△AEF＝EF•AK＝＝2x≥4，∴△AEF面积的最小值是4．【例2】．如图，已知在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD交于点E，EC＝2AE＝4，若BE＝2ED，则BD的最大值为．解：如图，作△ABC的外接圆⊙O，连接OB，OA，OC，OE，过点O作OH⊥AC于H．∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠AOC＝120°，∵EC＝2AE＝4，∴AE＝2，∴AC＝AE+EC＝6，∵OA＝OC，OH⊥AC，∴AH＝HC＝3，EH＝AH﹣AE＝1，∵∠OAC＝∠OCA＝30°，∴OH＝AH•tan30°＝，∴OE＝＝＝2，OA＝2OH＝2，∴OB＝OA＝2，∵BE≤OB+OE，∴BE≤2+2，∴BE的最大值为2+2，∵BE＝2DE，∴DE的最大值为1+，∴BD的最大值为3+3．故答案为3+3．变式训练【变式2-1】．已知点O为直线外一点，点O到直线距离为4，点A、B是直线上的动点，且∠AOB＝30°则△ABO的面积最小值为64﹣16．解：如图，过点O作直线l′∥直线l，则直线l与直线l′之间的距离为4，作点B关于直线l′的对称点B′，连接OB′，AB′，AB′交直线l′于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．在Rt△ABB′中，AB＝＝，∴AB′的值最小时，AB的值最小，∵OA+OB＝OA+OB′≥AB′，∴当A，O，B′共线时，AB′的值最小，此时AB的值最小，∵直线l垂直平分线段BB′，∴TB＝TB′，∴∠TBB′＝∠TB′B，∵∠TBA+∠TBB′＝90°，∠TAB+∠TB′B＝90°，∴∠TAB＝∠TBA，∴TA＝TB，∵cos∠AOB＝cos∠ATB＝，∴＝，∴可以假设TH＝k，AT＝TB＝2k，∴BH＝TB﹣TH＝（2﹣）k，∴AH＝k，∴AB＝＝＝2k，∵S△TAB＝•AB•TW＝•TB•AH，∴×2k×4＝×2k×k，解得k＝4，∴△ABO的面积最小值为＝∴×2×4×4＝64﹣16，故答案为：64﹣16．1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE，使△ADE∽△ABC，则△ADE面积的最小值为．解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，∴AC＝＝＝4，∴S△ABC＝×AB•AC＝6，∵△ADE∽△ABC，∴＝（）2，∴当AD⊥BC时，AD有最小值，即△ADE面积有最小值，此时，AD＝＝，∴△ADE面积的最小值＝6×（）2＝，故答案为：．2．如图，∠AOB＝45°，在边OA，OB上分别有两个动点C、D．连接CD，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，当CD的长度保持不变且等于2cm时，则OE的最大值是+．解：如图所示，在CD的左边，以CD为斜边，作等腰直角△CDF，则O、F、E三点共线时OE的值最大，∵△CDF和△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDF＝∠CDE＝45°，∴∠EDF＝90°，∵CD＝2，∴DE＝2，DF＝，由勾股定理得：EF＝＝＝，∴OE＝OF+EF＝+，∴OE的最大值是+，故答案为：+．3．如图，已知△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，交BC于D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，设AB＝c，AC＝b，在Rt△ADE中，DE＝AD•sin∠BAD＝4sin30°＝2，在Rt△ACG中，CG＝AC•sin∠BAC＝b•sin60°＝b，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF＝2，∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴AB•CG＝AB•DE+AC•DF，即：c×b＝×c×2+×b×2，∴c+b＝bc，∵（﹣）2≥0，∴c+b≥2，当且仅当b＝c时取等号，∴bc≥2，解得：bc≥，∴S△ABC＝bc≥×＝，故答案为：．4．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝135°，∠B＝60°，∠D＝120°，AD＝5，AB＝6，E、F分别为边BC及射线CD上的动点，∠EAF＝45°，△AEF面积的最小值．解：如图，过点A作AM⊥BC于M，过点E作EH⊥AF于H，AN⊥CD，交CD的延长线于N，∵∠B＝60°，AM⊥BC，∴∠BAM＝30°，∴BM＝3，AM＝3，∵∠ADC＝120°，∴∠ADN＝60°，∴∠NAD＝30°，∴DN＝AD＝，AN＝，∵∠BAD＝135°，∠EAF＝45°，∠BAM＝30°，∴∠MAE+∠DAF＝60°，又∵∠ADN＝∠DAF+∠DFA＝60°，∴∠MAE＝∠AFD，又∵∠AME＝∠N＝90°，∴△AFN∽△EAM，∴，设ME＝x，则AE＝＝，∴AF＝＝，∵∠EAF＝45°，HE⊥AF，∴HE＝AE＝×，∴△AEF面积＝×AF×HE＝×（）＝×（），∵当a，b为正数时，（a﹣b）2≥0，∴a2+b2≥2ab，∴△AEF面积＝×（）≥×2×，∴△AEF面积的最小值为，故答案为．5．已知点D（2，a）为直线y＝﹣x+3上一点，将一直角三角板的直角顶点放在D处旋转，保持两直角边始终交x轴于A、B两点，C（0，﹣1）为y轴上一点，连接AC，BC，则四边形ACBD面积的最小值为6．解：如图，取AB的中点F，连接DF，∵∠ADB＝90°，∴AB＝2DF∵点D（2，a）为直线y＝﹣x+3上一点，∴a＝﹣×2+3＝2，∴D（2，2），过点D作DE⊥AB于E，∴DE＝2，E（2，0），∴S四边形ACBD＝S△ABC+S△ABD＝AB•OC+AB•DE＝AB（OC+DE）＝AB＝3DF，要四边形ACBD的面积最小，即DF最小，∵点D（2，2），点F在x轴上，∴当DF⊥x轴时，DF最小，最小值为DE＝2，∴S四边形ACBD最小＝3×2＝6，故答案为6．6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC上，且AD＝CE，连接DE，求的最小值．解：设AB＝AC＝1，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠B＝45°，∴BC＝AB＝，设AD＝CE＝x，∴AE＝BD＝1﹣x，过点D作DF⊥BC于F，如图所示：则△BDF是等腰直角三角形，∴BF＝DF＝BD＝（1﹣x），DE＝＝＝，CF＝BC﹣BF＝﹣（1﹣x）＝（x+1），CD＝＝＝，∴＝＝，设＝y，整理得：yx2﹣2x+y﹣1＝0，∵x为实数，∴△＝（﹣2）2﹣4y（y﹣1）≥0，即：y2﹣y﹣1≤0，∴≤y≤，∴y最大值为，∴的最小值为：＝．

7．边长为a（a为常数）的正方形ABCD中，动点E、F分别在边CD和边BC上，且∠EAF＝45°（1）线段EF的最小值；（2）S△ECF的最大值；（3）S△ECF的最小值．解：（1）设CE＝x，CF＝y，∵（x﹣y）2≥0，∴x2+y2≥2xy，∵EF2＝x2+y2，∴EF最小时，x2+y2＝2xy，即（x﹣y）2＝0，∴x＝y，即CE＝CF，∴EF⊥AC，EG＝FG，∴AC垂直平分EF，∴AE＝AF，∠EAG＝∠FAG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝D＝AD，AD⊥CD，AB⊥BC，∠BAD＝90°，∠BAC＝∠DAC＝45°，∴DE＝BF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAE＝∠CAE＝∠CAF＝∠BAF，∴DE＝GE＝GF＝BF，△ECG和△FCG是等腰直角三角形，设DE＝GE＝x，则CE＝EG＝x，EF＝2x，∵DE+CE＝CD＝a，∴x+x＝a，解得：x＝（﹣1）a，∴EF＝2x＝（2﹣2）a；即EF的最小值为（2﹣2）a；（2）当CE＝CF＝（﹣1）a＝（2﹣）a时，S△ECF最大，∴S△ECF的最大值＝CE×CF＝（2﹣）a×（2﹣）a＝（3﹣2）a2．（3）当EF与CD或BC重合时，EF＝a，边EF上的高为0，S△ECF的最小值＝a×0＝0．8．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，得到△APE，点D的对应点，为点P，连接EP并延长，交BC于点F，连接AF、CP．（1）求证：∠EAF＝45°；（2）当AF∥CP时，求DE的长；（3）试探究△AEF的面积是否存在最小值，若存在，求出△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．（1）证明：∵将△ADE沿AE折叠，得到△APE，∴AD＝AP，∠D＝∠APE＝90°，∠DAE＝∠PAE，DE＝PE，∴∠B＝∠APF＝90°，AP＝AD＝AB，又∵AF＝AF，∴Rt△ABF≌Rt△APF（HL），∴∠BAF＝∠PAF，∴∠EAF＝∠PAF+∠PAE＝∠BAD＝45°；（2）解：∵Rt△ABF≌Rt△APF，∴∠AFB＝∠AFP，BF＝PF，∵AF∥CP，∴∠AFP＝∠FPC，∠AFB＝∠FCP，∴∠FPC＝∠FCP，∴PF＝CF，∴PF＝CF＝BF＝BC＝2，∵EF2＝CF2+CE2，∴（2+DE）2＝4+（4﹣DE）2，∴DE＝；（3）解：如图，作△AEF的外接圆⊙O，连接AO，EO，FO，过点O作OH⊥EF于H，设⊙O的半径r，∵∠EOF＝2∠EAF＝90°，OE＝OF＝r，OH⊥EF，∴EF＝OE＝r，OH＝EF＝r，∵AO+OH≥AP，∴r+r≥4，∴r≥8﹣4，∴当点A，点O，点H三点共线时，r有最小值为8﹣4，此时，EF最小值为8﹣8，∴△AEF面积的最小值＝×EF•AP＝×4×（8﹣8）＝16﹣16，∴△AEF面积的最小值为16﹣16．9．如图，平面直角坐标系中，O为原点，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴上．△AOB的两条外角平分线交于点P，P在反比例函数y＝的图象上．PA的延长线交x轴于点C，PB的延长线交y轴于点D，连接CD．（1）求∠P的度数及点P的坐标；（2）求△OCD的面积；（3）△AOB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．解：（1）如图，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PH⊥AB于H．∴∠PMA＝∠PHA＝90°，∵∠PAM＝∠PAH，PA＝PA，∴△PAM≌△PAH（AAS），∴PM＝PH，∠APM＝∠APH，同理可证：△BPN≌△BPH，∴PH＝PN，∠BPN＝∠BPH，∴PM＝PN，∵∠PMO＝∠MON＝∠PNO＝90°，∴四边形PMON是矩形，∴∠MPN＝90°，∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝（∠MPH+∠NPH）＝45°，∵PM＝PN，∴可以假设P（m，m），∵P（m，m）在y＝上，∴m2＝9，∵m＞0，∴m＝3，∴P（3，3）．（2）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，∴AB＝6﹣a﹣b，∵AB2＝OA2+OB2，∴a2+b2＝（6﹣a﹣b）2，可得ab＝6a+6b﹣18，∴3a+3b﹣9＝ab，∵PM∥OC，∴＝，∴＝，∴OC＝，同法可得OD＝，∴S△COD＝•OC•DO＝•＝•＝•＝9．解法二：连接OP．∵∠POA＝∠POB＝∠CPD＝45°，∴∠COP＝∠POD＝135°，∵∠POB＝∠PCO+∠OPC＝45°，∠APO+∠OPD＝45°，∴∠PCO＝∠OPD，∴△COP∽△POD，∴OC•OD＝OP2＝18，可求△COD的面积等于9．（3）设OA＝a，OB＝b，则AM＝AH＝3﹣a，BN＝BH＝3﹣b，∴AB＝6﹣a﹣b，∴OA+OB+AB＝6，∴a+b+＝6，∴2+≤6，∴（2+）≤6，∴≤3（2﹣），∴ab≤54﹣36，∴S△AOB＝ab≤27﹣18，∴△AOB的面积的最大值为27﹣18．10．在四边形ABCD中，点E在BC边上（不与B、C重合）．（1）如图（1），若四边形ABCD是正方形，AE⊥EF，AE＝EF，连CF．①求∠BCF的大小；②如图（2），点G是CF的中点，连DG、ED，若DE＝6，求DG的长；（2）如图（3），若四边形ABCD是矩形，点M在AD边上，∠AEM＝60°，CD＝9，求线段AM的最小值．解：（1）①如图（1），在AB上取一上点H，使AH＝CE，连接EH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∴BE＝BH，∴∠BHE＝45°，∴∠AHE＝135°，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，∵AE＝EF，∴△AHE≌△ECF（SAS），∴∠BCF＝∠AHE＝135°；②如图（2），在AB上取一上点H，使AH＝CE，连接EH，BD，由①知：△AHE≌△ECF，∴EH＝CF，设BE＝2x，则EH＝CF＝2x，∵G是CF的中点，∴CG＝x，∴＝＝，∵四边形ABCD是正方形，∴BD＝CD，∴＝，∵∠DBE＝∠DCG＝45°，∴△DBE∽△DCG，∴＝＝，∵DE＝6，∴＝，∴DG＝3；（2）如图（3），作△AEM的外接圆O，过点O作ON⊥AM于N，连接OA，OE，OM，∵∠AEM＝60°，∴∠AOM＝120°，∵ON⊥AM，∴AN＝MN，∠AON＝∠NOM＝60°，∴∠OAN＝∠OMN＝30°，设ON＝a，则OA＝2a，AN＝a，则OE+ON≥AB，即当E，O，N三点共线时，a最小，此时AM最小，∴a+2a＝9，∴a＝3，∴AM的最小值是6．11．如图，在Rt△ABC中，AC＝8，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于点D，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF＝120°，连接EF．（1）如图①，当DE⊥AB时，求DF的长；（2）如图②，过点D作DG⊥DE交AC于点G．连接EG．①求证：EG∥DF；②求△DEF面积的最小值．（1）解：∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴∠B＝60°，∵DE⊥AB，∴∠EDB＝30°，∵∠EDF＝120°，∴∠FDC＝180°﹣30°﹣120°＝30°，∴∠FDC＝∠C＝30°，∴FD＝FC，∵AD⊥BC，∴∠DAC＝∠FDC＝60°，∴FA＝FD＝FC＝4；（2）①证明：如图②中，EG的中点O，连接OA，OD．∵DG⊥DE，∴∠EDG＝∠EAG＝90°，∵EO＝OG，∴OA＝OG＝OE＝OD，∴A，E，D，G四点共圆，∴∠EGD＝∠BAD＝30°，∵∠EDF＝120°，∠EDG＝90°，∴∠FDG＝∠EGD＝30°，∴EG∥DF；②解：如图③中，过点D作DH⊥AC于点H，作△DGF的外接圆⊙O，连接OG，OF，OD，过点O作OT⊥AC于点T．∵EG∥DF，∴S△DEF＝S△DFG＝•FG•DH，∵∠ADC＝90°，AC＝8，∠C＝30°，∴AD＝AC＝4，∴CD＝AD＝12，∴DH＝CD＝6，∴S△DEF＝3GF，设FG＝x，∵∠GOF＝2∠GDF＝60°，OF＝OG，∴△OFG是等边三角形，∴OD＝OG＝OF＝FG＝x，OT＝x，∵OD+OT≥DH，∴x+x≥6，∴x≥24﹣12，∴FG的最小值为24﹣12，∴△DEF的面积的最小值为72﹣36．12．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分别交直线m于点P，Q．（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．解：（1）由旋转可得：AC＝A'C＝2，∵∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，∴BC＝，∵∠ACB＝90°，m∥AC，∴∠A'BC＝90°，∴cos∠A'CB＝＝，∴∠A'CB＝30°，∴∠ACA'＝60°；（2）∵M为A'B'的中点，∴∠A'CM＝∠MA'C，由旋转可得，∠MA'C＝∠A，∴∠A＝∠A'CM，∴tan∠PCB＝tan∠A＝，∴PB＝BC＝，∵∠PCQ＝∠PBC＝90°，∴∠BQC+∠BPC＝∠BCP+∠BPC＝90°，∴∠BQC＝∠BCP＝∠A，∴tan∠BQC＝tan∠A＝，∴BQ＝BC×＝2，∴PQ＝PB+BQ＝；（3）∵S四边形PA'B′Q＝S△PCQ﹣S△A'CB'＝S△PCQ﹣，∴S四边形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，∴S△PCQ＝PQ×BC＝PQ，法一：（几何法）取PQ的中点G，∵∠PCQ＝90°，∴CG＝PQ，即PQ＝2CG，当CG最小时，PQ最小，∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小，∴CGmin＝，PQmin＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形PA'B′Q＝3﹣；法二（代数法）设PB＝x，BQ＝y，由射影定理得：xy＝3，∴当PQ最小时，x+y最小，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+6+y2≥2xy+6＝12，当x＝y＝时，“＝”成立，∴PQ＝+＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形PA'B′Q＝3﹣．13．辅助圆之定角定高求解探究（1）如图①，已知线段AB，以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；（2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为AB边上的高，若CD＝4，试判断AB是否存在最小值，若存在，请求出AB最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．解：（1）如图①中，△ABC即为所求．（2）如图②中，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，作OE⊥AB于E．设OA＝OC＝2x．∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝EB，∠AOE＝∠BOE＝60°，∴OE＝OA＝x，AE＝x，∵OC+OE≥CD，∴3x≥4，∴x≥，∴x的最小值为，∵AB＝2x，∴AB的最小值为．（3）如图③中，连接AC，延长BC交AD的延长线于G，将△CDF顺时针旋转得到△CBH，作△CEH的外接圆⊙O．∵∠ADC＝∠ABC＝90°，AC＝AC，CD＝CB，∴Rt△ACD≌Rt△ACB（HL），∴S△ACD＝S△ACB，∵∠DAB＝45°，∴∠DCB＝135°，∴∠DCG＝45°，∵∠CDG＝90°，∴CD＝DG＝6，∴CG＝CD＝12，∴AB＝GB＝12+6，由（2）可知，当△CEH的外接圆的圆心O在线段BC上时，△ECH的面积最小，此时四边形AFCE的面积最大，设OC＝OE＝r，易知OB＝EB＝r，∴r+r＝6，∴r＝6（2﹣），∴EH＝r＝12（2﹣），∴四边形AFCE的面积的最大值＝2××（12+6）×6﹣×12（2﹣）×6＝144．14．问题提出（1）如图①，点O是等边△ABC的内心，连接OB、OC，则∠BOC的大小为120°；问题探究（2）如图②，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，点M、N分别是DE、BC的中点，连接MN．若BD＝8，CE＝6，求MN的长；问题解决（3）如图③，某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园ABCD，根据设计要求，在四边形ABCD中，AD∥BC，且BC＝2AD，AD与BC之间的距离为40m，∠A+∠D＝225°．试求四边形花园ABCD面积的最小值．解：（1）∵点O是等边△ABC的内心，∴BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝120°；（2）如图：过点M分别作MF∥AB交BC于点F，MG∥AC交BC于点G，又∵DE∥BC，∴四边形DBFM、MGCE都是平行四边形，∴DM＝BF，ME＝CG，MF＝BD＝8，MG＝CE＝6，∵MF∥AB交BC于点F，MG∥AC，∴∠B＝∠MFG，∠C＝∠MGF，∵∠A＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∴∠MFG+∠MGF＝90°，∴△MFG是直角三角形，即FG＝10，又∵点M、N分别是DE、BC的中点，∴DM＝ME＝BF＝CG，BN＝CN，∴BN﹣BF＝CN﹣CG，即FN＝NG，∴MN是直角三角形MFG斜边的中线，∴MN＝FG＝5；（3）如图：过点A作AH⊥BC于点H，则AH＝40，取BC的中点E，连接AE，∴BC＝2EC．∵BC＝2AD，AD∥BC，∴AD∥EC，AD＝EC，∴四边形AECD是平行四边形，∴AE∥CD，∴∠EAD+∠D＝180°，又∵∠BAD+∠D＝225°，∴∠BAE＝45°，作△ABE的外接圆⊙O，连接OA、OE、OB，过点O作OM⊥BC于点M，则∠BOE＝2∠BAE＝90°，∠BOM＝∠EOM＝45°，设⊙O的半径为r，则OM＝r＝BM＝ME，BE＝r，∵OA+OM≥AH，∴r+r≥40，解得：r≥80﹣40，∴当A、O、M三点共线时，r取得最小值80﹣40，此时BE取得最小值80﹣80，∵S四边形ABCD＝40×（AD+BC）＝20（AD+BC）＝30BC＝60BE，∴S四边形ABCD最小＝60×（80﹣80）＝4800﹣4800，∴四边形花园ABCD面积的最小值为（4800﹣4800）m2．15．问题探究（1）如图①，已知在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，BC＝6，则S△ABC＝3．（2）如图②，已知四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AD＝DC，BD＝4，请求出四边形ABCD面积的最大值．问题解决（3）如图③，某小区有一个四边形花坛ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝CD＝15m，∠B＝∠C