2025年中考数学专题23 隐圆系列之点圆最值专题（解析版）

模型介绍模型介绍平面内一定的D和€O上动点M的连线中，当连线过圆心O时，线段DM有最大值和最小值。分以下情况讨论：（设OD=d，€O的半径为r）点D在€O外时，d＞r，如图：=1\*GB3①当D、M、O三点共线时，线段DM出现最值，DM的最大值为d+r，DM的最小值为d-r;②当点D在€O上时，d=r，如图：当D、O、M三点共线时，线段DM有最值；DM最大值为d+r，DM最小值为d-r=0(即点D与点M重合）③当点D在€O内时，d＜r，如图当点D、O、M三点共线时，DM有最值；DM最大值为d+r，DM最小值为|d-r|=r-d;点圆最值：平面内一定点到圆上一点的距离的最值问题.R方法：求出该定点到圆心的距离d，则最大值为d+r,最小值为|d-r|例题精讲例题精讲【例1】．如图，在长方形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝6．点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点．将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△GEF．则GC长的最小值是（）A． B． C．2 D．2解：以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点G在线段CE上时，GC的长取最小值，如图所示根据折叠可知：GE＝AE＝AB＝2．在Rt△BCE中，BE＝AB＝2，BC＝6，∠B＝90°，∴CE＝＝2，∴GC的最小值＝CE﹣GE＝2﹣2．故选：A．变式训练【变式1-1】.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝2，∠A＝45°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是．解：如图，连接MC；过点M作ME⊥CD，交CD的延长线于点E．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2，CD＝AB＝6，∵点M为AD的中点，∠A＝45°，∴DM＝MA＝，∠MDE＝∠A＝45°，∴ME＝DE＝DM＝1，∴CE＝CD+DE＝6+1＝7，由勾股定理得：CM2＝ME2+CE2，∴CM＝＝5；由翻折变换的性质得：MA′＝MA＝，点A′在以M为圆心，为半径的圆上显然，当折线MA′C与线段MC重合时，线段A′C的长度最短，此时A′C＝MC﹣MA′＝5﹣＝4，故答案为4．【变式1-2】．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，则点F与点C的最小距离为．解：如图取AB的中点G，连接FG．FC．GC．∵∠EAF＝90°，tan∠AEF＝，∴＝，∵AB＝6，AG＝GB，∴AG＝GB＝3，∵AD＝9，∴＝＝，∴＝，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠EAF＝90°，∴∠FAG＝∠EAD，∴△FAG∽△EAD，∴FG：DE＝AF：AE＝1：3，∵DE＝3，∴FG＝1，∴点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆，∵GC＝＝3，∴FC≥GC﹣FG，∴FC≥3﹣1，∴CF的最小值为3﹣1．故答案为3﹣1．【例2】.如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝24，AD⊥BC于点D，AD＝5，P是半径为3的⊙A上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为_______解：如图，连接PB，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝DB＝BC＝12，∵点E为AC的中点，∴DE是△PBC的中位线，∴DE＝PB，∴当PB取最大值时，DE的长最∵P是半径为3的⊙A上一动点，∴当PB过圆心A时，PB最大，∵BD＝12，AD＝5，∴AB＝，∵⊙A的半径为3，∴PB的最大值为13+3＝16，∴DE长的最大值为8，故选：A．

变式训练【变式2-1】.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，F是BD边上的一个动点，连接AF，过点B作BE⊥AF于E，在点F变化的过程中，线段DE的最小值是．解：如图，∵BE⊥AF于E，∴E在以AB为直径圆心为O的圆上，∴当O、E、D三点共线的时候线段DE最小，∵AB＝2，四边形ABCD为正方形，∴AO＝1＝OE，AD＝2，∴OD＝＝，∴段DE最小值为OD﹣OF＝﹣1．故答案为：﹣1．【变式2-2】．如图，AB是⊙O的直径，点C在半圆的中点，且BC＝4cm，点D是上的一个动点，连接BD，过C点作CH⊥BD于H，连接AH，在点D的运动过程中，AH长度的最小值是．解：连接AC，取BC的中点T，连接AT，TH．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵点C在半圆的中点，∴＝，∴AC＝CB＝4，∵CT＝TB＝2，∴AT＝＝＝2，∵CH⊥BD，∴∠CHB＝90°，∴点H在以BC为直径的圆上运动，∵CT＝TB，∴HT＝BC＝2，∵AH≥AT﹣HT＝2﹣2，∴AH的最小值为2﹣2，故答案为：2﹣2．

1．如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为（）A． B． C．﹣ D．﹣2解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，∴∠BAP+∠DAM＝90°，∵∠ADM＝∠BAP，∴∠ADM+∠DAM＝90°，∴∠AMD＝90°，∵AO＝OD＝2，∴OM＝AD＝2，∴点M在以O为圆心，2为半径的⊙O上，∵OB＝＝＝，∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，∴BM的最小值为﹣2．故选：D．2．如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（）A．1.5 B． C． D．2解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴点P的运动轨迹是，设所在圆的圆心为O，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：此时PA＝PC，OB⊥AC，则AD＝CD＝AC＝，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴PD＝，BD＝，∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．故选：B．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为线段AB的中点，将线段BC绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE，连接DE，则DE最大值是．解：如图，将线段BD绕点B顺时针旋转90°，得到线段BP，连接PE，PD，则DB＝PB，∠DBP＝90°，∵将线段BC绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE，∴BC＝BE，∠CBE＝90°，∴∠CBD＝∠EBP，∴△CBD≌△EBP（SAS），∴PE＝DC，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为线段AB的中点，∴DB＝CD＝AB＝1，∴PE＝1，PB＝1，∴DP＝，∵PD+PE≥DE，∴DE≤+1，∴DE最大值为+1，故答案为：+1．4．如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点P，则∠APD的度数为90°；连接CP，线段CP的最小值为﹣1．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∴∠APD＝90°，取AD的中点O，连接OP，则OP＝AD＝×2＝1（不变），根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段CP的值最小，在Rt△COD中，根据勾股定理得，CO＝＝＝，所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．故答案为：90°，﹣1．5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，BC＝10，AD是BC边上的高，E、F分别为边DC，DA上的动点，且DE：DF＝4：3，射线AE与BF相交于点M，若连接CM，则线段CM的最小值为．解：如图1，连接EF，并延长EF交边AB于点G，∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8，BC＝10，∴，∴AC：AB＝4：3，∴AC：AB＝DE：DF＝4：3，∴，∵∠BAC＝∠FDE＝90°，∴△BAC∽△FDE，∴∠GBE＝∠DFE，∵AD是BC边上的高，∴AD⊥BC，∴∠DFE+∠DEF＝90°，∴∠GBE+∠DEF＝90°，∴∠BGE＝90°，∴EG是△ABE的高，∵AD是△ABE的BE边上的高，∴BM是△ABE的AE边上的高，∴BM⊥AM，∴∠AMB＝90°，∴点M在线段AB为直径的上，如图2，作以线段AB为直径的，取圆心O，连接OC交于点N，则当点O、M、C三点共线时，线段CM的最小值，如图3，∵AB＝6，点O是圆心，∴OA＝ON＝3，∵∠BAC＝90°，AC＝8，∴，∴线段CM的最小值即，故答案为：．6．如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AB＝1，BC＝2，CD＝3，以B为圆心，半径为1的弧交BC于M，E是线段CD上一动点，EG⊥AD，垂足为G，F是弧AM上一动点，则EG+EF的最小值为．解：作AH⊥CD于点H．则四边形ABCH是矩形．DH＝CD﹣AB＝3﹣1＝2，AH＝BC＝2．则AH＝DH，△ADH是等腰直角三角形．则∠ADC＝45°．延长BC到M使CM＝BC＝2，作MN⊥AD于点N，交CD于点K．则当E到K时，EG+EF取得最小值．∵∠ADC＝90°，MN⊥AD，∴△DNK是等腰直角三角形，∠NKD＝∠CKM＝45°，同理△CMK是等腰直角三角形．则CK＝CM＝2，KM＝CM＝2，∴DK＝CD﹣CK＝3﹣2＝1，∴NK＝DK＝．则MN＝MK+NK＝2+＝，则EG+EF的最小值是﹣1＝．故答案是：．7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点O是AB的中点，以BC为直角边向外作等腰Rt△BCD，连接OD，当OD取最大值时，则∠ODB的度数是．解：如图，将△ODB绕点B逆时针旋转90°，得到△ECB，连接CO，EO，∵将△ODB绕点B逆时针旋转90°，得到△ECB，∴OB＝BE，OD＝CE，∠BCE＝∠BDO，∠OBE＝90°∵CE≤OC+OE∴当点O在CE上时，CE有最大值，即OD取最大值，∵BE＝OB，∠ABE＝90°∴∠BOE＝45°∵点O是AB中点，∠ACB＝90°∴CO＝BO∴∠ECB＝∠CBO，∵∠EOB＝∠ECB+∠OBC＝45°∴∠ECB＝22.5°＝∠BDO故答案为：22.5°8．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为正方形外一个动点，∠AED＝45°，P为AB中点，线段PE的最大值是．解：如图，若点E在正方形右侧，连接AC，BD交于点O，连接PO，EO，∵∠AED＝45°，∠ACD＝45°，∴A，C，E，D四点共圆，∵正方形ABCD的边长为2，∴OE＝OD＝BD＝，∵P为AB的中点，O是BD的中点，∴OP＝AD＝，∵PE≤OP+OE＝+，∴当点O在线段PE上时，PE＝OP+OE＝+，即线段PE的最大值为+，如图，点E在正方形ABCD上方，作斜边为AD的等腰直角△AOD，∠AOD＝90°，则点E在以O为圆心，OA为半径的圆上，∴当点P，点O，点E共线时，PE的值最大，过点O作ON⊥AB，交BA延长线于点N，∵AD＝2，AO＝DO，∠AOD＝90°∴AO＝，∠OAD＝45°，∵ON⊥AB，AD⊥AB∴∠NAO＝∠NOA＝45°∴AN＝NO＝∴PO＝＝＝∴PE最大值为+＞+，故答案为：+9．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6．（1）如图①，点E是AB的中点，点F是BC边上一点，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点P，求CP的最小值；（2）如图②，若点P是矩形ABCD内部一点，且∠BPC＝90°，求PD取得最小值时，BP的长；（3）如图③，若点P是矩形ABCD内部一点，且∠PAD+∠PBC＝60°，求AP+BP的最大值.解：（1）如图1，∵点E是AB的中点，∴BE＝AB＝2，由折叠知，PE＝BE＝2，∴点P是在以E为圆心，2为半径的半圆上运动，当点E，P，C共线时，CP最小，∵四边形ABCD时矩形，∴∠ABC＝90°，∴CE＝＝＝2，∴CP最小＝CP′＝CE﹣EP′＝2﹣2；（2）如图2，∵∠BPC＝90°，∴点P在以BC为直径的半圆O上运动，当点D，P，O共线时，PD最小，在Rt△COD中，CD＝4，OC＝BC＝3，∴OD＝5，∴P′D＝OD﹣OP′＝5﹣3＝2，作P′Q⊥BC于Q，∵∠OQP′＝∠BCD＝90°，∠COD为公共角，∴△OQP′∽△OCD，∴，∴，∴OQ＝，QP′＝，在Rt△BQP′中，QP′＝，BQ＝OB+OQ＝3+＝，∴BP′＝＝，∴当PD取得最小值时，BP的长为：；（3）如图3，∵四边形ABCD是矩形，∴∠CAB＝∠BAD＝90°，∴∠CAB+∠BAD＝180°，∵∠PAD+∠PBC＝60°，∴（∠CAB+∠BAD）﹣（∠PAD+∠PBC）＝120°，∴∠PAB+∠PBA＝120°，在△ABP中，∠APB＝180°﹣120°＝60°，延长BP至E，使PE＝PA，∴∠E＝∠PAE，∵∠E+∠PAE＝∠APB＝60°，∴∠E＝30°，在AB的右侧作等边三角形ABO，以O为圆心，AB为半径作圆O，则点E优弧AEC上运动，当BE为直径时，即点P在点O处时，AP+BP最大，最大为直径BE′＝2AB＝8．10．如图，已知四边形ABCD为正方形，△AEF为等腰直角三角形，∠AEF＝90°，连接FC，G为FC的中点，连接GD，ED．（1）如图①，当点E在AB边上时，请直接写出DE，DG的数量关系；（2）如图②，将图①中的△AEF绕点A逆时针旋转，其他条件不变．①探究（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；②若AD＝4，AE＝1，求DG的最大值和最小值．解：（1）DE＝DG，理由如下：如图①，连接EG，延长EG交BC的延长线于M，连接DM．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠B＝∠ADC＝∠DAE＝∠DCB＝∠DCM＝90°，∵∠AEF＝∠B＝90°，∴EF∥CM，∴∠CMG＝∠FEG，∵∠CGM＝∠EGF，GC＝GF，∴△CMG≌△FEG（AAS），∴EF＝CM，GM＝GE，∵AE＝EF，∴AE＝CM，∴△DCM≌△DAE（SAS），∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，∴∠EDM＝∠ADC＝90°，∴DG⊥EM，DG＝GE＝GM，∴△EGD是等腰直角三角形，∴DE＝DG．（2）①结论成立，理由如下：如图②，连接EG，延长EG到M，使得GM＝GE，连接CM，DM，延长EF交CD于R．∵EG＝GM，FG＝GC，∠EGF＝∠CGM，∴△CGM≌△FGE（SAS），∴CM＝EF，∠CMG＝∠GEF，∴CM∥ER，∴∠DCM＝∠ERC，∵∠AER+∠ADR＝180°，∴∠EAD+∠ERD＝180°，∵∠ERD+∠ERC＝180°，∴∠DCM＝∠EAD，∵AE＝EF，∴AE＝CM，∴△DAE≌△DCM（SAS），∴DE＝DM，∠ADE＝∠CDM，∴∠EDM＝∠ADC＝90°，∵EG＝GM，∴DG＝EG＝GM，∴△EDG是等腰直角三角形，∴DE＝DG；②∵AE＝1，△AEF绕点A旋转，∴点E在以点A为圆心，1为半径的圆A上运动，如图③，当点A、E、D三点共线，且点E在点A的左侧时，DE最大，此时DE＝AD+AE＝4+1＝5，由①可知，DE＝DG，∴DG＝DE＝，即DG的最大值为；如图④，当点A、E、D三点共线，且点E在点A的右侧时，DE最小，此时DE＝AD﹣AE＝4﹣1＝3，由①可知，DE＝DG，∴DG＝DE＝，即DG的最小值为；综上所述，DG的最大值为，最小值为．11．（1）如图1，A、B是⨀O上的两个点，点P在⨀O上，且△APB是直角三角形，⨀O的半径为1①请在图1中画出点P的位置；②当AB＝1时，∠APB＝30°；（2）如图2，⨀O的半径为5，A、B为⨀O外固定两点（O、A、B三点不在同一直线上），且OA＝9，P为⊙O上的一个动点（点P不在直线AB上），以PA和AB为作平行四边形PABC，求BC的最小值并确定此时点P的位置；（3）如图3，A、B是⊙O上的两个点，过A点作射线AM⊥AB，AM交⨀O于点C，若AB＝3，AC＝4，点D是平面内的一个动点，且CD＝2，E为BD的中点，在D的运动过程中，求线段AE长度的最大值与最小值．解：（1）①如图1，△APB、△AP′B是直角三角形；②在Rt△APB中，AB＝AP，∴∠APB＝30°，故答案为：30；（2）四边形PABC是平行四边形，∴BC＝AP，∴BC的最小值即AP的最小值，∵当P为OA与⊙O的交点时，AP最小，∴AP的最小值为9﹣5＝4，即BC的最小值为4；（3）连接BC，∵AM⊥AB，∴∠CAB＝90°，∴BC是⊙O的直径，∵点D是平面内的一个动点，且CD＝2，∴点D的运动路径为以C为圆心，以2为半径的圆，在直角△ABC中，BC＝＝＝5，∵O是直角△ABC斜边BC上的中点，∴AO＝BC＝，∵E是BD的中点，O是BC的中点∴OE＝CD＝1，∴AE的最小值是AO﹣OE＝，最大值是AO+OE＝．

12．【问题