2025年中考数学专题10 加权逆等线最值专题（解析版）

模型介绍模型介绍【模型总结】在求形如“QB+kPA”（k≠1）的式子最值问题时，关键是要通过相似三角形构造出与kPA相等的线段(即kPA=QC)，将QB+kPA”型问题转化为“QB+QC”型将军饮马问题．当k=1时，加权逆等线就变成了逆等线拼接最值模型，此种情况属于权为1的特殊情况，只需通过全等三角形构造出相等线段即可，然后将问题变为常见的将军饮马问题求解即可.需要注意的是这里的QB、PA两条线段的延长线方向必须要有交叉，方能通过相似或全等三角形得到kPA的等线段．【解题方法】利用比例线段构造相似三角形转化线段，把双动点问题转化为单动点将军饮马问题，利用“两点之间线段最短”从而解出答案.例题精讲例题精讲考点一:直角三角形中的加权逆等线模型【例1】.如图，已知BC⊥AB，BC=AB=3,E为BC边上一动点，连接AE，D点在AB延长线上，且CE=2BD,则AE+2CD的最小值为多少？解：作CF⊥CB，且使得CF=6，连接EF过点A做AG⊥CF，交FC延长线于点G∵CFCB∴△FCE∽△CBD，EF=2CD∴AE+2CD=AE+EF当A、E、F三点一线时，AE+EF取到最小值，此时AE+EF=AF易知：四边形ABCG为正方形AG=3,CG=3FG=9在Rt△FAG中，由勾股定理得AF=3AE+2CD的最小值为3变式训练【变式1-1】.如图，等腰直角△ABC中，斜边BC=2，点D、E分别为线段AB和BC上的动点，，求的最小值.解：作BF⊥BC并且使得BF=2，连接EF∵BEAD=BFAC=22=2∴EF=2CD∴AE+2CD=AE+EF当A、E、F三点共线时，AE+EF取到最小值，此时AE+EF=AF反向延长BF，过点A作AH⊥BF于点H在Rt△AHF中，由勾股定理易得：AF=10∴AE+2CD的最小值为10

【变式1-2】.如图,在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,∠ACB=90。，点E、F分别是AB、BC边上的动点,且,求12CE+AF的最小值.解：过点A作AD⊥AB，并且使得AD=12，连接DE，CD过点C作CH⊥AB于点H，CG⊥AD延长线与点G∵ADCF=AE∴△DAE∽△ACF，DE=2AF,CE+2AF=CE+DE当C、E、D三点共线时，取到最小值，此时CE+2AF=CE+DE=CD由等面积法可得：CH=245四边形AGCH为矩形，AG=CH=245在Rt△CAH中由勾股定理得：AH=18CG=AH=18在Rt△DCG中，由勾股定理得：CD=620512CE+AF=12（CE+2AF）；1考点二:特殊平行四边形中的加权逆等线模型【例2】.如图，在正方形ABCD中，AB=1，E、F分别为CB、DC上的动点，且BE=2DF,求DE+2AF的最小值.解：如图，延长BA至点,使得A=1;作点D关于BC的对称点连接E，E易知B=2DE=E∴E=2AF∵DE=E∴DE+2AF=E+E当、E、三点一线时，E+E取到最小值.此时E+E=10∴DE+2AF最小值为10变式训练【变式2-1】.如图，在矩形ABCD中，AD=4,AB=43解:连接DF,延长DC至点,使,连接AG,易证的最小值是.【变式2-2】.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分别是边AB，AD的动点，满足AM＝DN，连接CM、CN，E是边CM上的动点，F是CM上靠近C的四等分点，连接AE、BE、NF，当△CFN面积最小时，BE+AE的最小值为．解：如图，连接MN、AC，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴AB＝AD＝CD，∠BAC＝∠DAC＝∠ADC＝60°，∴△ADC和△ABC为等边三角形，∴AC＝DC，∠ACD＝60°，∵AM＝DN，∴△AMC≌△DNC（SAS），∴CM＝CN，∠DCN＝∠ACM，∴∠MCN＝∠MCA+∠ACN＝∠DCN+∠ACN＝∠ACD＝60°，∴△CMN为等边三角形，∵点F是CM上靠近点C的四等分点，∴S△CFN＝S△CMN，∴△CMN的面积最小时，△CFN的面积也最小，∵S△CMN＝，∴当CN和CM长度最短时，S△CMN的面积最小，即CN⊥AD，CM⊥AB时△CFN的面积最小，取BE的中点为点G，连接MG，∵△ABC为等边三角形，CM⊥AB，∴点M是AB的中点，∴AE＝BE，∴MG＝AE＝BE，∴BE+AE＝AE+AE＝AE，∵点E是CM上的动点，∠AME＝90°，∴AE的最小值即为AM的长度，∵CD＝4，∴AM＝AB＝2，∴（BE+AE）最小值＝×2＝3，故答案为：3．实战演练实战演练1.如图,等腰，D、E分别是AB、BC边上的动点,且满足,求的最小值.解：首先需要构建出,其次需要将AE和放到同一直线上.如图所示，构建，且相似比为，则此时即最小值为MN；如图所示，当A、E、F三点共线时，取得最小值为AF;接下来，我们求解AF的长度.∴CD的最小值为.2.如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为．方法一解：如图，过点M作MH⊥BC于H．设DF＝x，则BE＝2x．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，∵MH⊥BC，∴∠MHB＝90°，∴四边形ABHM是矩形，∴AM＝DM＝BH＝1，AB＝MH＝1，∴EH＝1﹣2x，∴ME+2AF＝+2＝+，欲求ME+2AF的最小值，相当于在x轴上找一点Q（2x，0），使得点Q到J（0，4），和K（1，1）的距离之和最小（如下图），作点J关于x轴的对称点J′，连接KJ′交x轴于Q，连接JQ，此时JQ+QK的值最小，最小值＝KJ′，∵J′（0，﹣4），K（1，1），∴KJ′＝＝，∴ME+2AF的最小值为，故答案为．方法二延长AB至点G，使得BG=4，连接GE作点G关于直线BC的对称点N，连接EN，MN∴GE=NE易证△BGE∽△DAF，∴GE=2AF故ME+2AF=ME+GE=ME+NE当M、E、N三点共线时，ME+NE取到最小值此时ME+NE=MN在Rt△MNA中，由勾股定理可得：MN=263．如图，在正方形ABCD中，P为AD上一点，且APPD=21，E、F分别为CD、BC上的动点，且BF＝3DE，若解：延长BA到点G，使得BG=3AD=9，作点G关于直线BC的对称点H连接GF，FH，由对称原理可知：FH=GF易证△GBF∽△ADE∴GF=3AE故PF+3AE=PF+GF=PF+FH当P、F、H三点共线时，PF+FH取到最小值此时PF+FH=PH在Rt△ABP中，由勾股定理可得：PH=2∴PF+3AE最小值为24．如图，在Rt△ACB，∠BCA＝90°，∠A＝30°，AC＝，点D在线段AB上，点E在线段AB的延长线上，且BE＝AD，则CE+CD的最小值是．解：如图所示，作点C关于AB的对称点G，连接CG，DG，AG，则CD＝GD，AC＝AG，∠CAG＝2∠CAB＝60°，CG⊥AB，∴△ACG是等边三角形，∴CG＝AC＝，如图，以DE，DG为边作平行四边形DEHG，则DG＝EH，HG∥DE，∴EH＝CD，CG⊥GH，∴CD+CE＝HE+CE，∴当C，E，H在同一直线上时，连接CH，CE+CD的最小值等于CH的长，∵Rt△ACB中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝tan30°×AC＝1，AB＝2BC＝2，∵DA＝BE，∴AB＝DE＝2，∴平行四边形DEHG中，HG＝2，∴Rt△CGH中，CH＝＝＝，∴CE+CD的最小值等于，故答案为：．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在边AD上，点Q在边BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值等于10．解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC＝6，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝4，连接PE，则BE＝2AB＝8，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∴CE＝＝＝10，∴PC+PB的最小值为10，即PC+QD的最小值为10，故答案为：10．6．如图，平行四边形ABCD，AB＞AD，AD＝4，∠ADB＝60°，点E、F为对角线BD上的动点，DE＝2BF，连接AE、CF，则AE+2CF的最小值为．解：如图，在直线DB的上方作∠BDT＝60°，且使得DT＝2BC．过点T作TH⊥AD交AD的延长线于H．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，AD＝BC＝4，∴∠ADB＝∠DBC＝60°，∴∠CBF＝∠TDE，∵BCDT∴△CBF∽△TDE，∴CFET∴ET＝2CF，∵∠TDH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠H＝90°，DT＝2BC＝8，∴DH＝DT•cos60°＝4，HT=3DH＝43∴AH＝AD+DH＝8，∴AT=AH2∵AE+2CF＝AE+ET，AE+ET≥AT，∴AE+2CF≥47，∴AE+2CF的最小值为47．故答案为：47．7．问题提出：（1）如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点A、B重合），连接DE，过点A作AF⊥DE，交BC于点F，则DE与AF的数量关系是：DE＝AF；问题探究：（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E、F分别在边AB、CD上，点M为线段EF上一动点，过点M作EF的垂线分别交边AD、BC于点G、点H．若线段EF恰好平分矩形ABCD的面积，且DF＝1，求GH的长；问题解决：（3）如图③，在正方形ABCD中，M为AD上一点，且，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝4，求ME+2AF的最小值．解：（1）如图1，DE＝AF，理由如下：在正方形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠BAF+∠AFB＝90°，∵AF⊥DE，∴∠AOE＝90°，∴∠BAF+∠AED＝90°，∴∠AFB＝∠AED，∴△ABF≌△DAE（AAS），∴DE＝AF，故答案是“＝”；（2）如图2，连接AC，交EF于O，∵线段EF恰好平分矩形ABCD的面积，∴O是矩形的对称中心，∴BE＝DF＝1，作DI∥EF，AJ∥GH，∵四边形ABCD是矩形，∴DF∥IE，∴四边形DIEF是平行四边形，∴EI＝DF＝1，∴AI＝AB﹣BE﹣EI＝2，同理可得，AJ＝GH，∵EF⊥GH，∴DI⊥AJ，由（1）得，∠AID＝∠AJB，∴△ADI∽△BAJ，∴＝，∴＝，∴BJ＝，在Rt△ABJ中由勾股定理得，AJ＝＝＝，∴GH＝；

（3）如图3，作EG⊥AD于G，∵，AD＝4，∴AM＝3，设DF＝a，则BE＝2a，∴GM＝AM﹣AG＝3﹣2a，在Rt△ADF中，AF＝＝，在Rt△EGM中，ME＝＝，∴ME+2AF＝+＝+ME+2AF最小值可以看作在平面直角坐标系中，点H（2a，0）到定点I（3，4），J（0，8）的距离之和最小，如图4，作J的对称点K，连接KI，则KI与x轴的交点是H点，此时ME最小，作IK⊥y轴于T，∴（ME+2AF）最小＝KI＝＝＝3．8．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝6，AC＝8，D、E分别为边AC、AB上两个动点．（1）如图1，若D为AC中点，且DE平分△ABC的周长；ⅰ）求AE﹣BE的值；ⅱ）求证：∠AED＝30°，并直接写出DE的值；（2）如图2，若AE＝CD，连接BD、CE，求BD+CE的最小值．解：（1）ⅰ）∵AC＝8，D为AC中点，∴AD＝CD＝4，∵BC＝6，DE平分△ABC的周长，∴AD+AE＝CD+BC+BE，∴4+AE＝4+6+BE，∴AE﹣BE＝6；ⅱ）如图1，取AB的中点F，连接DF，∵D为AC中点，∴DF∥BC，DF＝BC＝×6＝3，∴∠AFD＝∠B＝60°，∵∠AFD＝∠AED+∠FDE，∠AED＝30°，∴∠FDE＝30°，∴∠AED＝∠FDE，∴EF＝DF＝3，过F作FH⊥DE于H，∴FH＝EF＝，EH＝DH，∴EH＝＝，∴DE＝2EH＝3；（2）证明：过点C向上作CM∥AB，使CM＝AC，连接BM，过点M作MN⊥BC交BC的延长线于点N，∵CM∥AB，∴∠A＝∠ACM，在△EAC和△DCM中，，∴△EAC≌△DCM（SAS），∴CE＝MD，当点B，D，M三点在同一条直线上时，BD+MD的值最小为线段BM的长，即BD+CE的最小值为BM的长，∵CM∥AB，∴∠MCN＝∠ABC＝60°，∵∠N＝90°，CM＝AC＝8，∴∠CMN＝30°，∴CN＝CM＝4，∴MN＝4，∵BC＝6，∴BN＝BC+CN＝6+4＝10，∴BM＝＝＝2，∴BD+CE的最小值为2．

9．如图1，在▱ABCD中．AB＝6．AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AC，CD上的动点（点E，F不与A，C，D重合）．AE＝CF．设∠ACD＝a，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转a得到AP，连接PE，BE，BF．（1）求证：△APE≌△CBF：（2）如图2，若∠BOA＝90°，∠ACD＝40°，且点B、E、P在一条直线上，求BE+BF的值；（3）当OB＝OC，∠ACD＝60°时，BE+BF长的最小值是．解：（1）∵∠ACD＝∠PAD，∠DAC＝∠ACB∴∠PAE＝∠BCF∵AP＝BC，AE＝CF∴△APE≌△CBF（SAS）（2）由（1）可知△APE≌△CBF∴EP＝BF∴BP＝BE+PF＝BE+BF∵∠BOA＝90°∴平行四边形ABCD为菱形∴AP＝AD＝AB∵∠PAD＝40°∴∠PAB＝120°∴∠P＝30°如图，作AH⊥PB，垂足为H在Rt△AHP中AP＝6∴HP＝3∴BP＝6∴BE+BF＝6（3）如图，PH垂直BA的延长线于H∵OB＝OC∴▱ABCD为矩形由（1）可知△APE≌△CBF∴BE+BF的最小值即为BP长在Rt△AHP中，AP＝6，∠PAH＝30°∴HP＝3，AH＝9在Rt△BHP中，BH＝15，HP＝3∴BP＝＝6∴BE+BF的最小值610．平行四边形ABCD中，N为线段CD上一动点．（1）如图1，已知∠ADC＜90°．若DR＝BN，求证：四边形DRBN为平行四边形；（2）如图2，已知∠ABC＝60°．若BN为∠ABC的角平分线，T为线段BN上一点，DT的延长线交线段BC于点M，满足：tan∠BTM＝且DN＝BM．请认真思考（1）中图形，探究的值．（3）如图3，平行四边形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝BC＝2，P在线段BD上，Q在线段CD上，满足：BP＝2CQ．直接写出（2QA+AP）的最小值为2．（1）证明：如图1中，过点D作DE⊥BA交BA的延长线于E，过点B作BF⊥DC交DC的延长线于F．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，∴∠DAE＝∠BCF，∵∠DEA＝∠BFC＝90°，∴△ADE≌△CBF（AAS），∴DE＝BF，AE＝CF，∵DR＝BN，∴Rt△DER≌Rt△BFN（HL），∴ER＝FN，∴AR＝CN，∵AB＝CD，∴BR＝DN，∵DR＝BN，∴四边形DRBN为平行四边形．（2）解：如图2中，作DR∥BN交AB于R，连RM交BN于点P，∵BR∥DN，RD∥BN，∴四边形RBND是平行四边形，∴BR＝DN，∵DN＝BM，∴BR＝BM，∵∠ABC＝60°，BN为∠ABC的角平分线，∴∠RBP＝∠PBM＝30°，∴∠BPR＝90°，∵RD∥BN，∴∠PRD＝∠BPR＝90°，∵RD∥BN，∴∠BTM＝∠RDM，∵tan∠BTM＝，∴tan∠RDM＝，设BM＝a，则RM＝a，，过点A作AK⊥RD于点K，∵∠BRM＝60°，∴∠ARD＝30°＝∠ADR，∴DK＝RK＝a，∴AD＝＝＝a，在Rt△RDM中，RM2+RD2＝MD2，∴MD＝a，∴＝＝．

（3）解：如图3中，连接AC，作CM∥BD，使得CM＝AB，连接MQ，AM．∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC＝2，∠ABC＝60°，∴四边形ABCD是菱形，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠DBC＝∠BDC＝∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝2，∠ACB＝∠ACD＝60°，∵CM∥BD，∴∠DCM＝∠BDC＝30°，∴∠ABP＝∠MCQ，∵＝＝2，∴△ABP∽△MCQ，∴＝＝2，∴QM＝PA，∴2QA+PA＝2（AQ+AP）＝2（AQ+QM），∵AQ+QM≥AM，AM＝＝＝，∴AQ+QM的最小值为，∴2AQ+PA的最小值为2．故答案为：．

11．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，连接BD．（1）求BD的长；（2）点E为线段BD上一动点（不与点B，D重合），点F在边AD上，且BE＝DF．①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积；②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，请说明理由．解：（1）过点D作DH⊥AB交BA的延长线于H，如图：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝6，∵∠BAD＝120°，∴∠DAH＝60°，在Rt△ADH中，DH＝AD•sin∠DAH＝6×＝3，AH＝AD•cos∠DAH＝6×＝3，∴BD＝＝＝6；（2）①设CE⊥AB交AB于M点，过点F作FN⊥AB交BA的延长线于N，如图：菱形ABCD中，∵AB＝BC＝CD＝AD＝6，AD∥BC，∠BAD＝120°，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝60°，在Rt△BCM中，BM＝BC•cos∠ABC＝6×＝3，∵BD是菱形ABCD的对角线，∴∠DBA＝ABC＝30°，在Rt△BEM中，ME＝BM•tan∠DBM＝3×＝，BE＝＝＝2，∵BE＝DF，∴DF＝2，∴AF＝AD﹣DF＝4，在Rt△AFN中，∠FAN＝180°﹣∠BAD＝60°，∴FN＝AF•sin∠FAN＝4×＝2，AN＝AF•cos∠FAN＝4×＝2，∴MN＝AB+AN﹣BM＝6+2﹣3＝5，∴S四边形ABEF＝S△BEM+S梯形EMNF﹣S△AFN＝EM•BM+（EM+FN）•MN﹣AN•FN＝3+（+2）×5﹣2×2＝+﹣2＝7；②当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+CF的值是最小，理由：设DF＝x，则BE＝DF＝x，过点C作CH⊥AB于点H，过点F作FG⊥CH于点G，过点E作