内蒙古自治区呼伦贝尔市2024届高三年级下册二模理科数学试题（含答案与解析）

内蒙古自治区呼伦贝尔市2024届高三下学期二模试题

数学（理科）

本试卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合"='"工矿｝,若AuB中恰有三个元素，则由。的取值组成的集合为（）

A-{0}B.{-1,2}C.{0,2}D.{0,-1,2}

2.若a,buR,纯虚数z满足z—a=(22—Z?)i,则一=()

b

11

A.2B.—2C.—D.--

22

x—2y+220

3.设x,y满足约束条件42x+y-l<0,则z=2%—y的最大值为（）

x+y+2>0

A.11B.7C.-1D.-4

4.已知/，机是两条不同的直线，。,尸是两个不同的平面，且/ua;mu0,下列命题为真命题的是

（）

A.若/「加，则e〃£B.若a〃£,贝心£

C.若/，加，贝|/，尸D.若a1_万，贝加

5.已知曲线y=/+3x+幺在x=l处的切线与直线x—2y+l=0垂直，则。=（）

X

911

A.3B.-C.7D.—

22

1-

6.中，AB=2,AC=3,ABAC=60。,BE=FC=-BC,则()

7.椭圆E：二+马=1（。〉6〉0）的左、右焦点分别为目，招，若E上恰有4个不同的点P,使得△尸耳心

a"b"

为直角三角形，则E的离心率的取值范围为（）

8.已知变量x与y具有线性相关关系，在研究变量无与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据

&,%）,（%,%），•••，（七,y5）,（6,28）,（0,28）,利用此样本数据求得的线性回归方程为y=—x+——，现

发现数据（6,28）和（0,28）误差较大，剔除这两对数据后，求得的线性回归方程为£=4%+根，且

5

£%=140,则机=()

1=1

A.8B.12C.16D.20

/兀）兀兀

9.已知函数〃x）=sins+§在-5，万上的图象大致如图所示，则/（2x）的最小正周期为（）

3

10.己知递增数列｛4｝的前见项和为S",若q=l,Sn+1+2aii+1-3=-Sn,则左的取值范围为（）

K

A.（0,4）B,（4,+co）C.（0,3）D,（3,+<»）

11.在半径为5的球体内部放置一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为（）

4000714000兀2000兀2000兀

A------B.------C.------D.------

12.已知定义在R上的函数〃力满足/（2+x）-/（2-x）=4x.若〃2x—3）的图象关于点（2,1）对称,

且"0)=0,则/⑴+/(2)+…+〃50)=()

A.0B.50C.2509D.2499

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上.

13.在等差数列｛4｝中，%+%+卬8=12,则｛4｝的前19项和49=.

cos2(«+尸)

14.已知tana,tan/7是方程/+5%—3=。的两个根，则.,(--3=.

15.为了响应中央号召，某地教育部门计划安排甲、乙、丙、丁等6名教师前往四个乡镇支教，要求每

个乡镇至少安排1名教师，则甲、乙在同一乡镇支教且丙、丁不在同一乡镇支教的安排方法共有

种.

22

16.已知可，居分别是双曲线--匕=1左、右焦点，M是E的左支上一点，过居作/耳峥角平

~412一一

分线的垂线，垂足为N,。为坐标原点，贝U|ON|=.

三、解答题：共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.已知.ABC的内角A5c的对边分别为“,4c,M3«2+3c2=3^2+2^Z?csinA.

(1)求5；

(2)若b=4,a+c=6,求ABC的面积.

18.为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷

调查,将他们的成绩(满分：100分)分成7组：[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].

整理得到如下频率分布直方图.

(1)求。的值并估计该村村民成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);

(2)从成绩在［30,40),［80,90)内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3

人中成绩在［80,90)内的村民人数为X,求X的分布列与期望.

19.如图，在四棱锥P—ABCD中，平面上钻，平面ABCD,底面A3CD为菱形，NA3C=60，

AB=母PA=42PB=2,E是CD的中点.

(1)证明：平面MCI平面上4E.

(2)求二面角£>—AP—£的余弦值.

20.设抛物线C:丁=2px(p>0)的焦点为F，已知点F到圆E：(X+3)?+/=1上一点的距离的最大值为

6.

(1)求抛物线C的方程.

(2)设。是坐标原点，点p(2,4),A3是抛物线。上异于点P的两点，直线PA,依与y轴分别相交于

M,N两点(异于点。)，且。是线段的中点，试判断直线A5是否经过定点.若是，求出该定点坐

标；若不是，说明理由.

QX

21.已知函数/(%)=lnx-----.

e'

(1)当。=1时，证明：/⑶有且仅有一个零点.

(2)当x>0时，/(x)Kx恒成立，求4的取值范围.

、丁口口In2In3Inne(l-e-n)_7*、

(3)证明：----1-------1----1------<n--------------(zn>2,neN).

23ne-1

(二)选考题：共10分请考生从第22,23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一

个题目计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

22.在直角坐标系中，倾斜角为。的直线/的参数方程为1C为参数)，以坐标原点为极

y=tsma

点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为夕2+4夕cose+l=0.

（1）求/和C的直角坐标方程；

（2）若/和C恰有一个公共点，求sina.

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23.已知函数/（尤）=|2x+a|+|x-2|.

（1）若。=2,求不等式/（%）212的解集；

（2）对于任意xe[-5,-2],都有/（x）＜2a,求a的取值范围.

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合"={1'。},'={2，/},若AuB中恰有三个元素，则由。的取值组成的集合为（）

A.{0}B.{-1,2}C.{0,2}D.{0,-1,2}

【答案】D

【解析】

【分析】中恰有三个元素，则两集合中有一个相同元素，分类讨论列方程求解并检验即可.

【详解】因为中恰有三个元素，所以。=2或a=/或1="，

结合集合中元素的互异性，解得。=2或。=0或。=1（舍去）或a=-l.

故选：D.

2.若eR,纯虚数z满足z—a=（2z—b）i,则一=（）

b

i1

A.2B.-2C.£D.——

22

【答案】B

【解析】

【分析】利用纯虚线的定义假设2=〃疝，再利用复数的四则运算与复数相等的条件得到。，。关于阳的表示,

从而得解.

【详解】设2="五（/neR,且加w0）,

则一。+"尢=（2"近一〃）i=—2"/一历，

所以〃=2m，b--m,则f二一2.

b

故选：B.

x-2y+2>0

3.设羽y满足约束条件2%+y—1«0,则z=2%—y的最大值为（）

x+y+2>0

A.11B.7C.-1D.-4

【答案】A

【解析】

【分析】画出可行域和目标函数，根据2的几何意义得到当丁=2%-2过点4（3,-5）时，z取得最大值，求

出答案.

【详解】由约束条件作出可行域和目标函数，

2=2工_'变形为,=2工_2,由于-Z为y=2x-z在y轴上的截距,

要想得到z的最大值，只需得到y=2x-z在〉轴上的截距的最小值，

显然当y=2x-z过点A时，z取得最大值，

将4（3,-5）代入，z=2x-y=6+5=ll,

当直线/：z=2x—y经过点（3,—5）时，z取得最大值11.

故选：A

4.已知/，机是两条不同的直线，戊,用是两个不同的平面，目lua;mu/3,下列命题为真命题的是

()

A.若/「加，则a.0B.若aB，贝hB

C.若/，加，贝D.若a_L/?,则/〃m

【答案】B

【解析】

【分析】考查线与面，面与面之间位置关系，关键是掌握线面、面面等的位置关系及其性质，再结合图形分

析.

【详解】如图，当///"Z时，a与£可相交也可平行，故A错;

当。//，时，由平行性质可知，必有///，，故B对;

如图，当加时，///，或/口(3,故C错；当a，/7时，可相交、平行，故D错.

故选：B.

5.已知曲线丁=/+3%+@在x=l处的切线与直线x—2y+l=0垂直，则a=()

X

911

A.3B.—C.7D.—

22

【答案】C

【解析】

【分析】利用导数求出切线斜率，再结合垂直关系列式计算即得.

【详解】由丁=/+3》+幺，求导得y'=2x+3—二，当x=l时，y'=5—a,

XX

由曲线丁=必+3工+@在x=l处切线与直线x—2y+l=0垂直，得5—a=—2,

x

所以a=7.

故选：C

1--

6.在中，AB=2,AC=3,ABAC=60°,BE=FC=-BC,则()

.413229

A.—B.4C.—D.—

996

【答案】A

【解析】

【分析】根据平面向量的加法法则，减法法则，将4E，AP用AB，表示，再利用向量的数量积公式

计算即可求解.

【详解】因为3石=/。=工3。，

3

1101

所以AE=AB+3E=AB+—3C=AB+—（AC—AB）=—AB+—AC,

33、>33

111Q

AF=AC+CF=AC——BC=AC——（AC-AB\=-AB+-AC,

33、'33

又AB=2,AC=3,NB4c=60。，

2-25-2-2251241

=-AB+-ABAC+-AC=-x4+-x2x3x-+-x9=—.

99999299

故选：A.

22

7.椭圆比—+£=l（a〉》〉0）的左、右焦点分别为瓦，工，若E上恰有4个不同的点P，使得△尸耳心

为直角三角形，则E的离心率的取值范围为()、

D.

7

【答案】D

【解析】

【分析】根据椭圆的对称性，结合椭圆离心率公式进行求解即可.

【详解】设E的上顶点为A,

因为E上恰有4个不同的点尸，使得月为直角三角形，

Cr21

所以N£AE,＜90。，则一＜1,所以。2＜。2一°2,即二＜_1,

ba22

故E的离心率的取值范围为

8.已知变量尤与y具有线性相关关系，在研究变量尤与y之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据

6,%）,,%），…，（6,28）,（0,28）,利用此样本数据求得的线性回归方程为/=与％+与，现

发现数据（6,28）和（0,28）误差较大，剔除这两对数据后，求得的线性回归方程为£=4%+根，且

5

2%=140,则m=（）

；=1

A.8B.12C.16D.20

【答案】C

【解析】

【分析】由题意求出剔除后的平均数了'=28,进而求出剔除前的平均数歹，根据回归直线必过样本点中心，

得到无，进而得到将点（孔y）代入g=4x+m,即可求解.

【详解】设没剔除两对数据前的x,>的平均数分别为了，歹，

剔除两对数据后的x,》的平均数分别为亍，了，

因为£>=140,所以9=垃/=28,则亍=上？=里二生，

M5M44

因为两对数据为（6,28）和（0,28）,所以歹=；x（140+56）=28,

所以元=，j（7义了一166）=3,

（7x—6—0）28—/11碗/日,（

所以x=---------------=3=---------,解得加=16.

54

故选：C.

I7t）兀兀

9.已知函数/（x）=sin[ox+j在一3,上的图象大致如图所示，则/（2x）的最小正周期为（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据图象确定周期的范围，得出2<何|<4,再由特殊点求出。=—3—36左即可得解.

兀2兀

【详解】由图可知，5<间<兀，则2<|。|<4.

①兀兀兀

-----1—=—卜2kit,k£Z.解得口=—3—36左，k£Z,故g=—3,

1832

则/(x)=sin-3%+y,所以以（2%）=sinf-6x+g

/、2兀兀

故/（2x）的最小正周期为「a=y.

故选：B

10.己知递增数列｛4｝的前"项和为S",若q=l,Sn+l+2an+l-3=-Sn,则上的取值范围为（）

K

A.（0,4）B,（4,+co）C.（0,3）D.（3,+co）

【答案】C

【解析】

【分析】利用数列和与项的关系求出通项公式，结合递增数列的定义可得答案.

QQ。7IQ

【详解】当〃=1时，52+2^2—3=—S],即1+。2+2。2-3=—9则。2=------------.

kk3k

33

当〃22时，由5角+2%「3=尸〃，得S“+2a〃-3=尸”一

kk

32左+32k+3

得4+i+2a“+i—2%=7％,，则3%+1=—^“”，易知即二

kkQf15k

a,2k+3,2k+3

又上=f-,所以｛（qj是首项为1,公比为的等比数列.

5k3k

7Q

又｛4｝单调递增，所以>1,解得0〈左<3.

故选：c

11.在半径为5的球体内部放置一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为（）

4000兀4000?r2000兀2000兀

A.--------B.---------C.---------D.---------

81278127

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，当圆锥体积最大时，此时圆锥内接于球，且球心在圆锥的高上，求出球心到圆锥底而

的距离，然后表示出圆锥的体积，求导即可得到其最值.

【详解】由题知，如图，当圆锥体积最大时，此时圆锥内接于球，球心在圆锥的高上，

设圆锥的底面半径为r,高为〃（0</2<10）,则/2=52—（〃—5）2=—/?+10/2,

所以该圆锥的体积V=g兀/力=g兀卜川+10层），

则v'=；1兀"（—3/7+20）.当丸时,V>0,当"eg,10时，r<0.

3

故当/?=当时，v取得最大值，且最大值为"5如.

381

故选：A.

12.己知定义在R上的函数满足〃2+x）—/（2—x）=4x.若〃2x—3）的图象关于点（2,1）对称,

且/（。）=0,则/⑴+/（2）+…+/（50）=（）

A.0B.50C.2509D.2499

【答案】D

【解析】

【分析】由〃2x—3)图象的对称中心得图象的对称中心，由/•(2+x)—/(2—x)=4x,构造函数

g(x)=/(x)-2x,求出g(x)图象的对称性和周期，由

/⑴+/⑵+…+/(50)=g⑴+g⑵+…+g(50)+2(l+2+…+50)求值即可.

【详解】因为〃2x—3)的图象关于点(2,1)对称，所以〃2x—3)+/(2(4—%)—3)=2,

即/(2x-3)+/(5-2x)=2,从而/(x_3)+/(5—x)=2,

则的图象关于点(1,1)对称.

由/(2+x)-/(2-x)=4x,可得/(2+x)-2(2+x)=/(2-x)-2(2-x).

^g(x)=f(x)-2x,得g(2+x)=g(2f),则g(x)的图象关于直线x=2对称.

g(l+x)+g(l-x)=/(l+x)-2(l+x)+=/(l+x)+/(l-x)-4=-2,

则g(X)的图象关于点(1,-1)对称，则有g(2—x)+g(x)=-2,

所以g(2+尤)+g(x)=-2,g(4+x)+g(2+^r)=-2,

两式相减得g(x+4)=g(x),故g(x)是以4为周期的函数.

因为g(o)=〃。)-2x0=。,g(l)=-l,g(2)=-2-g(0)=-2,g(3)=g⑴=T,

所以〃1)+/(2)+…+/(50)=g⑴+g(2)+…+g(50)+2(l+2+…+50)

=7x12—1—2+2550=2499.

故选：D.

【点睛】方法点睛：

关于函数图象对称性的几个结论：

1、函数y=/(%)满足f(T+x)=f(T-x)(T为常数)的充要条件是y=/(尤)的图象关于直线x=T对称.

2、函数y=满足于(x)=f(2T-x)(T为常数)的充要条件是y=/(%)的图象关于直线x=T对称.

3、函数y=f{x)满足f(a+x)=f(b-x)的充要条件是y=f{x)图象关于直线

(a+x)+(b-x)a+b

x=1------------=------对称.

22

4、若满足/(%)=-/(-x),则y=f(x)的图象关于原点对称.

5、若满足〃x)=-/(-x+2a),则y=〃足的图象关于点(a,0)对称.

6、若满足了(无)=—/(—%+2a)+2)，则y=/(x)的图象关于点(a,〃)对称.

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上.

13.在等差数列中，a5+tz7+o18=12,则｛a,J的前19项和S19=.

【答案】76

【解析】

【分析】根据等差数列通项公式，化简表达式可得。i+9d=4,再由等差数列的求和公式求得19.

【详解】设｛4｝的公差为d,则%+%+%8=3囚+27〃=12,即q+9d=4.

19(4+4+18d)/、

故S19=52-------=19+9d)=76.

故答案为：76.

cos2(«+B\

14.己知tanc,tan/7是方程%2+5%-3=。的两个根，则一^——±=.

sin-

【答案】t

37

【解析】

【分析】利用韦达定理可得tana+tan〃=-5,tanatan£=-3,再利用两角和差公式和三角函数的商数关

系求解即可.

【详解】因为tantz,tan/J是方程32+5%—3=0的两个根，

所以tana+tan分=-5,tanatan6=-3,贝Ucosacos0芋0,

cos2(cif+/?)(cosacos/-sinasin尸Y(1-tanortan/?Y

所以

sin2(a-(sinqcos/?-cosasin/?J(tana-tan/?,

_____________16______________16

(tani+tan/?)-4tanciftan(337,

故答案为：鲁

37

15.为了响应中央的号召，某地教育部门计划安排甲、乙、丙、丁等6名教师前往四个乡镇支教，要求每

个乡镇至少安排1名教师，则甲、乙在同一乡镇支教且丙、丁不在同一乡镇支教的安排方法共有

种.

【答案】216

【解析】

【分析】先分组后排列计算即可得.

【详解】若这6名教师的分组为3,1,1,1,则甲、乙必在三人组中，丙、丁分开，

不同的安排方法有C：A：=96种；

若这6名教师的分组为2,2,1,1,则甲、乙必在二人组中，丙、丁分开，

不同的安排方法有C；C；A：+A：=120种.

故不同的安排方法共有216种.

故答案为：216.

22

16.已知耳，凡分别是双曲线--乙=1的左、右焦点，M是E的左支上一点，过凡作/耳”居角平

412

分线的垂线，垂足为N,。为坐标原点，则|QV|=.

【答案】2

【解析】

【分析】根据双曲线的定义求解.

22

【详解】双曲线土—匕=1的实半轴长为。=2,

412

延长KN交直线〃耳于点〃，由题意有|闻囿=|"闾，加剧=|人名|,

又O是耳月中点，所以QM=3闺叫=3（|“叫—阳闻）=5|知工|一|加4|）=a=2,

故答案为：2.

H

三、解答题：共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.己知的内角A5c的对边分别为“,4c,且3a2+3c2=3/+2&csinA.

(1)求8；

(2)若匕=4,a+c=6,求ABC的面积.

【答案】(1)8=三7T

(2)

3

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理可得asinB=bsinA,代入已知条件结合余弦定理即可求解；

(2)利用余弦定理求出这，代入三角形面积公式即可.

【小问1详解】

因为ABC中3a2+3(?=3〃+26besinA，由正弦定理"="得asin5=Z?sinA,

sinAsinB

r-r,.1J22226.22n

u\以Z?—ci+c-----besinA=a+c------etcsinB，

33

又由余弦定理可得y=4+o2—2accos3，所以"sinB=cos3,即tan5=JL

3

因为Be(O,兀)，所以8=

【小问2详解】

由(1)可知，b2=6i2+c2—6zc=(6i+c)2—3ac,

rrq7,(二匚[、[(〃+C)-/20

因b=4Aj〃+c=6,所以de—-----------=—，

33

则ABC的面积S=^acsin3=述.

23

18.为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷

调查,将他们的成绩(满分：100分)分成7组：[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].

整理得到如下频率分布直方图.

频率

（1）求a的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）从成绩在［30,40）,［80,90）内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3

人中成绩在［80,90）内的村民人数为X,求X的分布列与期望.

【答案】（1）0.005；64.5

（2）分布列见详解；E（X）=2

【解析】

【分析】（1）由频率和为1,可求。的值，再由平均数计算公式求解；

（2）根据分层抽样可确定X的取值，再分别求出概率，最后利用期望公式求解.

【小问1详解】

由图可知，10(3a+0.01+0.015+0.03x2)=l,

解得a=0.005，

该村村民成绩的平均数约为

(35+45+95)x0.05+(55+65)x0.3+75x0.15+85x0.1=64.5；

【小问2详解】

从成绩在［30,40）,［80,90）内的村民中用分层抽样的方法选取6人,

其中成绩在［30,40）的村民有6x黑开=2人，

成绩在［80,90）的村民有4人，

从中任选3人，X的取值可能为1,2,3,

P"=l）=胃4，°（X=2）=胃=|，P"=3）=窘=g

则X的分布列为

X123

131

P———

555

19.如图，在四棱锥P—A6CD中，平面？A3,平面A3CD,底面A3CD为菱形，NA3C=60，

AB=①PA=41PB=2,E是CD的中点.

（1）证明：平面P3C1平面B4E.

（2）求二面角O—AP—石的余弦值.

【答案】（1）证明见解析.

【解析】

【分析】⑴取A3中点。，连接OROC,证明尸平面A3CD,分别以BOCOP为苍y,z轴建立空

间直角坐标系，用空间向量法证明面面垂直；

（2）用空间向量法求二面角.

【小问1详解】

取A5中点。，连接OROC,如图，

因为四边形ABCD是菱形且NABC=60°,所以一ABC和八位）。都是正三角形，又E是。中点，

所以OCLABAELCD,OC=^AB=6从而有OC//AE,

2

又CE//AO,所以49CE是矩形.

XAB=y/2PA=42PB-所以B42+P52=452,所以A4_L?B，即Q43是等腰直角三角形，

所以PO=^AB=1,P01AB,

2

又因为平面RIB，平面A6CD,平面MBc平面ABC。=AB,POu平面石钻，

所以PO1平面ABC。，

分别以moc,o尸为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，

则8(1,0,0),尸(0,0,1),C(0,V3,0),A(-1,0,0),矶―。(—2,6,0),

PB=(1,0,-1),PC=(0,A/3,-1),PA=(-1,0,-1),PE=(-1,5-l),PD=(-2,瓜-1),

设平面尸3C的一个法向量是加=(x,y,z),则

PB-m=X—z=0

取y=l得病=(石,1,6),

PC-m=6y-z=0

设平面R4£的一个法向量是〃=(%0,%/0)，则

PA-n=-x-z=0

00取九0=G得〃=(g,。,—,

PE-n=-x0+6yo-z0=0

加.〃=3+0-3=0，所以m_!_〃，

所以平面尸5cl平面B4£；

【小问2详解】

设平面尸AD的一个法向量是，=(〃,4c),

PDtt——2。+y/3b—c—0

则《取Z?=1得/=(6,1,-6)，

PA，t——a—c—0

设二面角D—AP—£的大小为6，由图知。为锐角,

所以8S*E止犒=5^=绢

20.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为已知点尸到圆E:(X+3)2+/=1上一点的距离的最大值为

6.

(1)求抛物线。的方程.

(2)设。是坐标原点，点。(2,4),A3是抛物线。上异于点p的两点，直线与y轴分别相交于

”,N两点(异于点。)，且。是线段的中点，试判断直线A3是否经过定点.若是，求出该定点坐

标；若不是，说明理由.

【答案】(1)/=8%

(2)过定点，定点坐标为(0,-2)

【解析】

【分析】⑴点歹到圆E上点的最大距离为附+1,即((+3]+1=6,计算即可;

(2)由已知设M(0,m),N(0,-附，求得则E4,PB方程，联立以与抛物线。的方程求得A点坐标,

同理可得8点坐标，进而求得直线的方程得出结果.

【小问1详解】

点尸到圆E上点的最大距离为1Ml+1，即1+3+1=6,得°=4,

故抛物线。的方程为y2=8x.

【小问2详解】

4—TH4+

设M(0,〃z),N(0,一根)，则Q4方程为y=2x+冽，P3方程为y=-—x-m,

联立Q4与抛物线C方程可得―一3―尹学”=0,即(y-4)[y-/L]=o,

4-m4-mI4-m)

4m次=2m2

因此A点纵坐标为％=,代入抛物线方程可得A点横坐标为4

4—m8（4-777）'

C、’2m2、

2m47n4m

则A点坐标为2，同理可得3点坐标为

（4-m）2，4-勺（4+m）24+m

7

1A2

因此直线AB的斜率为k==—4L

-xBm

/

4-tn16—in2m

代入B点坐标可以得到AB方程为y+--=——X--------S

4+mmz4+

(1)当。=1时，证明：/a)有且仅有一个零点.

(2)当尤>0时，/(x)<x恒成立，求a的取值范围.

n

s、,XRnIn2In3Inne(l:-e-).z*、

(3)证明：----1------------1--------1----------<n---------(n>2,neN).

23ne-1

【答案】(1)证明见解析；

(2)[-e,+a>)；

(3)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)利用导数探讨函数的单调性，再利用零点存在性定理推理即得.

(2)等价变形给定的不等式，构造函数，利用导数求出函数的最大值即得.

InX|

(3)利用(2)的结论得——<1--,再赋值并借助不等式性质，等比数列前“项和公式推理即得.

x尸

【小问1详解】

11%2

当。=1时，函数/(x)=lnx—W定义域为(0,+s),则r(x)=._==e

exelxel

令g(x)=e'+f—x,则g'(x)=e*+2x—1〉0在(0,+s)上恒成立，则g(x)在(0,+s)上单调递增,

贝1Jg(x)>g(0)=l，即/'(%)>0在(0,+s)上恒成立，了⑺在(0,+8)上单调递增，

1P

而/⑴=_—<0,/(e)=l-->0,

ee

所以根据零点存在定理知，"X）有且仅有一个零点.

【小问2详解】

当尤＞0时，/（＞）4%等价于。2/吐£

X

人7/、lnx-xex4日/日7“、e^（x-l）（lnx-x-l）人/、11

令〃（%）=-----------，求导得"（%）==——、--------令0（x）=ln1—x—l,

XX

贝！Jd（x）=L^,当X£（O,1）时，（p\x）＞Q,。（工）单调递增，当X£（1,+GO）时，0（%）＜0,夕（九）单调递

X

减，

则0（X）＜0（1）=—2,于是当xe（0,1）时，勿（x）＞0,/z（x）单调递增，

当xe(l,+8)时，h'(x)<0,〃(x)单调递减，因此/z(x)4Ml)=-e,

所以a取值范围为［—e,+8）.

【小问3详解】

XI