实验一-插值方法实验

《计算方法》实验报告学院：信息学院专业：计算机科学与技术指导教师：班级学号：姓名：计算机科学与工程系

实验一插值方法一.实验目的（1）熟悉数值插值方法的基本思想，解决某些实际插值问题，加深对数值插值方法的理解。（2）熟悉Matlab编程环境，利用Matlab实现具体的插值算法，并进行可视化显示。二.实验要求用Matlab软件实现Lagrange插值、分段线性插值、三次Hermite插值、Aitken逐步插值算法，并用实例在计算机上计算和作图。实验内容1.实验题目i0123x0.460470.480.49y0.48465550.49374520.50274980.5116683（1）已知概率积分的数据表

构造适合该数据表的一次、二次和三次Lagrange插值公式，输出公式及其图形，并计算x=0.472时的积分值。（2）将区间[-5,5]分为10等份，求作的分段线性插值函数，输出函数表达式及其图形，并计算x=3.3152时的函数值。（3）仿照附录C中“文件1.2逐步插值”程序（Neville算法，课本227页）编写相应的Aitken逐步插值算法的程序，根据下表所给数据分别利用上述两种算法求正弦积分在x=0.462的值，并比较它们的结果。x0.30.40.50.60.7y0.298500.396460.493110.588130.68122（4）运行C中“文件1.3分段三次Hermite插值”程序（课本228页），要求自行选择实验数据2.设计思想（1）Lagrange插值：Lagrange具有累加的嵌套结构，容易编制其计算程序。事实上，在逻辑上表现为二重循环，内循环（j循环）累乘求得系数，然后再通过外循环（i循环）累加得出插值结果y。>>[y0,N]=Lagrange_eval(X,Y,x0)y0=0.49556314000000N=-0.200000000000001.20000000000000插值系数与作图：>>x1=0;>>[y1,N]=Lagrange_eval(X,Y,x1);>>x2=1;>>[y2,N]=Lagrange_eval(X,Y,x2);>>k=(y2-y1)/(x2-x1)k=0.90897000000001>>x=[x1,x2];>>y=[y1,y2];>>plot(x,y)二次Lagrange插值差值结果：>>X=[0.46,0.47,0.48];>>Y=[0.4846555,0.4937452,0.5027498];>>x0=0.472;>>[y0,N]=Lagrange_eval(X,Y,x0)y0=0.49555292800000N=-0.080000000000000.960000000000000.12000000000000插值系数与作图：>>x1=0;>>[y1,N]=Lagrange_eval(X,Y,x1);>>x2=1;>>[y2,N]=Lagrange_eval(X,Y,x2);>>k=(y2-y1)/(x2-x1)k=0.87918499999967>>x=[x1,x2];>>y=[y1,y2];>>plot(x,y)三次Lagrange插值差值结果：>>X=[0.46,0.47,0.48,0.49];>>Y=[0.4846555,0.4937452,0.5027498,0.5116683]；>>x0=0.472;>>[y0,N]=Lagrange_1(X,Y,x0)>>[y0,N]=Lagrange_eval(X,Y,x0)y0=0.49555296000000N=-0.048000000000000.864000000000000.21600000000000-0.03200000000000插值系数与作图>>x1=0;>>[y1,N]=Lagrange_eval(X,Y,x1);>>x2=1;>>[y2,N]=Lagrange_eval(X,Y,x2);>>k=(y2-y1)/(x2-x1)k=0.83708499999011>>x=[x1,x2];>>y=[y1,y2];>>plot(x,y)分段差值差值结果：>>Y=interp1(x,y,3.3152,'spline')Y=0.08342312935731作图：（原函数：蓝色，插值函数：红色）>>fenduan_eval请输入插值节点数N=6Neville逐步插值>>X=[0.3,0.4,0.5,0.6,0.7];>>Y=[0.29850,0.39646,0.49311,0.58813,0.68122];>>x0=0.462;>>y0=Neville_eval(X,Y,x0)y0=0.45655811276280Aitken逐步插值>>X=[0.3,0.4,0.5,0.6,0.7];>>Y=[0.29850,0.39646,0.49311,0.58813,0.68122];>>x0=0.462;>>y0=Aitken_eval(X,Y,x0)y0=0.77480886915945（4）分段三次Hermite插值>>X=[0.3,0.4,0.5,0.6,0.7];>>Y=log(X);>>DY=1./X;>>x0=0.462;>>y0=Hermite_interp(X,Y,DY,x0)y0=-0.7722实验体会通过本次课程设计，我初步掌握了MATLAB运用，了解了matlab的基本编程思想，学会了matlab的基本语法与常用操作命令，加深了对于Lagrange插值、分段线性插值、Neville逐步插值、Aitken逐步插值、Hermite插值的理解；培养了独立工作能力和创造力；更加精进了编程的能力；综合运用专业及基础知识，解决实际数学问题的能力；深入的了解和体会了计算方法—算法设计及其matlab实现的基本原理与学习思路；在本次课程设计中，在老师的精心指导下，收益匪浅。同时对数学的研究有了更深入的认识，并对以往所掌握的数学及编程知识有了回顾及更深入的探索。对于各种插值方法的精度分析也有了清晰的认识，并对各种插值算法有了深刻的的理解；Lagrange插值在高次插值时同原函数插值偏差大，拉格朗日插值模型简单，结构紧凑，是经典的插值法。但是由于拉格朗日的插值多项式和每个节点都有关，当改变节点个数时，需要重新计算。且当增大插值阶数时容易出现龙格现象。分段线性插值是将整个区间分成许多小段，运用低次插值，从而提高精度。分段线性插值算法简单，计算量小，但精度不高。Neville插值的基本思想和Aitken插值一样，不同的是Neville插值每次选取的两个插值节点都是上一步相邻节点插值后得到的，而不是新的插值节点，这样得到的插值函数和原函数更加接近。Aitken插值是对三步插值转化为两步插值的重复，先将前两个插值点插值生成新的数据，然后与第三个插值点进行新的两点