等式与不等式-2024年高考数学复习含解析

专题03等式与不等式-2024年高考数学（全国通用）含解析专题

03等式与不等式

考向一基本不等式的应用

【母题来源】2022年新高考全国n卷

【母题题文】若X,y满足好+丁2—肛=1,则（）

A.x+y<\B.x+y>-2C.x2+j2<2D.x2+y2>1

【答案】BC

【试题解析】因为（a,blR）,由f+产―冷=1可变形为，

（x+y）2—1=3移<31兰）］,解得—2<x+y<2,当且仅当x=y=—1时，x+y=-2,当且仅当

x=y=l时，x+y=2,所以A错误，B正确；

22

由+y2一肛=1可变形为卜2+/）_］=盯wX，解得/+,2<2,当且仅当x=y=±1时取等

号，所以C正确;

因为V+V—孙=1变形可得（X—上］+-/=1,设X—』=cos，,且y=sin。，所以

I2）4,22•

12

x=cos0+-/=-sin9,y=-^sin0,因此

95o2111

x29+y9=cos2^+—sin28+—^sinOcos。=1+—^=sin26——cos26+一

3百633

=^+|sinf20-^eR,2,所以当％=①丁=一无时满足等式，但是V+/2i不成立，所以D

33I6八3」33

错误.故选：BC.

【命题意图】本题考查基本不等式及其应用，属于中高档题目.

【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现.试题难度有易有难，是历年高考的

热点，考查学生的基本运算能力.

常见的命题角度有：

（1）利用不等式比较大小；（2）利用不等式求最值；（3）基本不等式成立的条件

【得分要点】

（1）对原不等式进行化简、变形；

（2）符合基本不等式的条件“一正、二定、三相等“，用基本不等式求解；

（3）判断等号成立的条件；

（4）利用“1”的合理变换是解题.

考向二线性规划

圆题昌魂

【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）

x+y>2,

【母题题文】若x,y满足约束条件卜+2丁<4,则z=2x-y的最大值是（）

y>0,

A.-2B.4C.8D.12

【答案】C

【试题解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示,

转化目标函数Z=2x-y为y=2x-z,

上下平移直线y=2x-z,可得当直线过点（4,0）时，

距最小，z最大，

所以Zmax=2X4-O=8-故选：C.

【命题意图】本题考查线性规划及其应用，属于比较容易题目.

【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现.试题难度较小，是历年高考的热点,

考查学生的基本作图能力和运算能力.

常见的命题角度有:

（1）线性规划求最值；（2）利用线性规划求参数的值;

【得分要点】

1.正确画出可行域;

图

2.确定目标函数平移的方向决定取得最大值或最小值

一、单选题

1.（河北省保定市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知则下列不等式一定成立的是（）

A.ac2>be2B.y>1C.a2>b2D.a3>b3

b

2.（2022•广东惠州•高三阶段练习）已知圆（x+iy+（y+2）2=4关于直线〃x+外+1=0（〃>0,b>0）对称，

则工1+2[的最小值为（）

ab

A.-B.9C.4D.8

2

x+2>0,

3.（2022・四川达州•高一期末（理））已知实数无，y满足卜2-2,，则加口3彳7^7的最小值是（）

x+y+2<0

A.2B.2A/2C.回D.372

4.（2022•江苏•宿迁中学高二期末）已知实数x>0,y>0满足x+y=孙，则尤+4y的最小值为（）

A.8B.9C.7D.10

m+1

5.（2022•江西上饶•高二期末（文））已知正数加，〃满足〃工+〃=1,则——的最小值为（）

mn

A.3B.3+20C.3A/2D.3+2#1

6.（2022•江西吉安・高二期末（文））若关于尤的不等式/_2方-2<0恒成立，则实数。的取值范围为（）

A.[—2,0]B.（—2,0]C.（—2,0）D.—2）。（0,+oo）

7.（2022・湖南.高二阶段练习）已知偶函数在[0,+8）上单调递减，若"5）=-5）,则满足上型20

X+1

的X的取值范围是（）

A.(^x),-l]u(8,+oo)B.(-8,8]

C.(-oo,-2]u(-l,+co)D.(YO,-2]U(-1,8]

8.(2022・陕西・武功县普集高级中学一模(文))使不等式(x+l)(x-2)2>0成立的一个充分不必要条件是

()

A.x>-l且xw2B.-l<x<3

C.x<lD.x>3

二、填空题

9.(2022・四川泸州•三模(理))已知无、>eR,且2工+2>=4,给出下列四个结论：

@x+y<2;②孙21；③2"+y<3；④4'+4'N8.

其中一定成立的结论是(写出所有成立结论的编号).

10.(2022.上海市川沙中学高二期末)若关于尤的不等式|2%-3|+|2%+5|<疗-2根有解，则实数机的取值范

围.

2

11.(2022•浙江•镇海中学高二期末)已知实数元22y>0,z>0,则山产+「一-的最小值为

x+2y2y+3z

12.(2020•云南德宏.高三期末(理))关于函数无)=依——(4/0)有下列四个命题:

尤

①3a,b&R,使Ax)关于y轴对称.

②\/a,beR,都有/(x)关于原点对称.

③Ba,beR,使Ax)在,上为减函数.

④若x<0,3a,bwR,使/(x)有最大值-2而可.

其中真命题的序号是.

三、解答题

13.(2021•黑龙江.大庆外国语学校高二期末)设。：实数x满足无?-4依+3/W0(a>0),q；实数x满足

V。

x—2

(1)若。=1,且。人4为真，求实数x的取值范围；

(2)若。是4的必要不充分条件，求实数。的取值范围.

14.(2022•江西抚州•高二期中(文))已知a,6都是正数.

(1)若Q+Z?=1—2A/^,证明：byfa+a4b>Aab;

(2)当a】b时，证明：aja+b4b>byfa+ay[b.

15.(2022.四川巴中.高一期末(理))已知函数4%)=%2+④；—2,/(%)>。的解集为｛%|x<-1或1>耳.

(1)求实数a、b的值；

⑵若xe(0,+®)时，求函数g(X)="?+4的最小值.

16.(2022.浙江舟山•高二期末)第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举

办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项,

109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目，

张家口赛区承办除雪车、雪橇、高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办可以带动

了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生

产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产尤千件，需另投入成本CQ)(万元).经计算若年产量尤千件

低于100千件，则这x千件产品成本C(x)=；r+10x+1100；若年产量x千件不低于100千件时，则这x

千件产品成本C(x)=120尤+巴奖-5400.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的

x-90

产品能全部售完.

(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；

(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？

专题03等式与不等式

考向一基本不等式的应用

【母题来源】2022年新高考全国II卷

【母题题文】若尤，y满足炉+）；2—肛=i,则（）

A.x+B.x+y>-2C.+y2<2D.x2+y2>1

【答案】BC

【试题解析】因为a人?幺］<”忙（a/iR）,由必+9—孙=i可变形为，

（%+丁）2_1=3移<3［三2］,解得—24x+y<2,当且仅当x=y=-1时，

x+y=-2,当且仅当x=y=l时，x+y=2,所以A错误，B正确；

22

由f+3—肛=1可变形为卜2+y2）_1=盯wx,解得/+/<2,当且仅当

x=y=±l时取等号，所以C正确;

因为必+9—孙=i变形可得（x—+1/=1,设％—1=cos，，¥〉=sin，，所以

九二cos，+J=sin仇

y^-^sinO,因此

A/3

5.2.111

x9+y9—cos90H—sin90-\—尸sin0cos0=1-\—尸sin26—cos2。H—

3GG33

2所以当x=@,y=-立时满足等式，但是/+丫221不

I3-3

成立，所以D错误.故选：BC.

【命题意图】本题考查基本不等式及其应用，属于中高档题目.

【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现.试题难度有易有难,

是历年高考的热点，考查学生的基本运算能力.

常见的命题角度有：

（1）利用不等式比较大小；（2）利用不等式求最值；（3）基本不等式成立的条件

【得分要点】

（4）对原不等式进行化简、变形；

（5）符合基本不等式的条件“一正、二定、三相等”，用基本不等式求解;

（6）判断等号成立的条件；

（4）利用“1”的合理变换是解题.

考向二线性规划

魏

【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）

x+y>2,

【母题题文】若x,y满足约束条件（x+2yV4,则z=2x-y的最大值是（）

y>0,

B.-2B.4C.8D.12

【答案】C

【试题解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，

转化目标函数z=2x-y为y=2x-z,

上下平移直线y=2x-z,可得当直线过点（4,0）时，直线截

距最小，Z最大，

所以Zmax=2义4一0=8.故选：C.

【命题意图】本题考查线性规划及其应用，属于比较容易题

目.

【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择、填空题的形式出现.试题难度较小，是历

年高考的热点，考查学生的基本作图能力和运算能力.

常见的命题角度有：

（1）线性规划求最值；（2）利用线性规划求参数的值;

【得分要点】

1.正确画出可行域；

2.确定目标函数平移的方向决定取得最大值或最小值。

一、单选题

1.（河北省保定市2021-2022学年高二下学期期末数学试题）已知。>人，则下列不等式一定

成立的是（）

A.ac2>be2B.Y>1C.a2>b2D.a3>b3

b

【答案】D

【解析】

【分析】

可以利用特殊值进行排除，以及利用不等式的性质进行判断.

【详解】

当c=0时，ac2=be2,则A错误；当b<0时，/<1,则B错误；当0>。>6时，a2<b2,

b

则C错误；当。>6>0时，a3>b3,当。>02匕时，a3>0>Z>3=>a3>Z>3,当时，

0<-a<-b^（-a）3<（一"n-a3（一户n。3a3,贝。口正确.

故选：D.

2.（2022・广东惠州.高三阶段练习）已知圆（尤+1）2+（〉+2）2=4关于直线依+力+1=。（“>0,

12

6>0）对称，则—!■丁的最小值为（）

ab

A.-B.9C.4D.8

2

【答案】B

【解析】

【分析】

由题可得a+2>=l（a>0/>0）,然后利用基本不等式即得.

【详解】

圆（x+lY+（y+2）2=4的圆心为（-1,一2）,依题意，点（-1,-2）在直线◎+勿+1=0上,

因此一a—2Z?+l=0,即a+2b=l（a>0,b>0）,

122b2a.2b2aC

—I——=+——+——>5c+2,---------=9,

ababab

当且仅当竺=学，即。=b==时取

ab3

12

所以士+：的最小值为9.

ab

故选：B.

x+2>0,

3.（2022•四川达州•高一期末（理））已知实数x,y满足”-2,,则，（x-以+（y-l）2

x+y+2<0

的最小值是（）

A.2B.2A/2C.如D.3亚

【答案】B

【解析】【分析】

根据约束条件画出可行域，根据目标函数的几何意义即可求解最小值.

【详解】

根据约束条件，画出可行域（如图），-1）?+（y一球可看成可行域内的点（％y）与定点。，1）

的距离，由图可知：当过点（1,1）的直线与x+y+2=0垂直时，距离最小，此时最小距离为:

匕罟=20.故选：B

4.（2022・江苏•宿迁中学高二期末）已知实数无>0,>>0满足x+y=孙，则x+外的最小值

为（）

A.8B.9C.7D.10

【答案】B

【解析】

【分析】

利用基本不等式“1”的代换求无+4、的最值，注意等号成立条件.

【详解】

由题设，-+-=1,

xy

所以1+4>=（l+4y）（工+工）=5+曳+二25+2]曳.±=9,

xyxy\xy

3

当且仅当无=3,y=]时等号成立，

所以x+4y的最小值为9.

故选：B

m+1

5.（2022・江西上饶•高二期末（文））已知正数m,n满足根+〃=1,则---的最小值为（）

mn

A.3B.3+2,\/2C.D.3+2^/3

【答案】B

【解析】

【分析】

m4-1919mn

化简%上=（4+±）（ZW+77）=3+-+-,再利用基本不等式得解.

mnnmnm

【详解】

777+1m+m+n2m+n,21、，、-2mn

解：由题得----=--------=------=（-+—）（加+“）=3+——+—>3+2V2.

mnmnmnnmnm

（当且仅当〃2=^/^'-l,〃=2-A/^等号成立）.

故选：B

6.（2022•江西吉安・高二期末（文））若关于x的不等式加_2a.2<0恒成立，则实数。的

取值范围为（）

A.[—2,0]B.（—2,0]C.（—2,0）D.—2）u（0,+co）

【答案】B

【解析】

【分析】

讨论a=0和。<0两种情况，即可求解.

【详解】

当a=0时，不等式成立；当〃力0时，不等式6a2-2办-2<0恒成立，

a<0,

等价于《/、2/、-2<a<0.

A=（-2cz）-4ox（-2）<0,

综上，实数。的取值范围为（-2,0].

故选：B.

7.（2022・湖南•高二阶段练习）已知偶函数〃尤）在[0,+动上单调递减，若/⑸=-/（-5）,

则满足了a-3）NO的尤的取值范围是（）

X+1

A.(^o,-l]u(8,+co)B.(-8,8]

C.（^o,-2]u（-l,+oo）D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先利用偶函数的性质得到“X）在（田,。]上单调递增，"5）=〃-5）=0.把原不等式转化为

/(无一3)20,或|/"一3)40,

即可解得.

x+1>0,一[x+l<0,

【详解】

因为偶函数“X）在[0,+8）上单调递减，所以“X）在（y,。]上单调递增，且"5）=-/（-5）,

又/(5)=/(-5),所以/(5)=〃-5)=0.

由32得叫一泞，或代.泞，所以产产345,或『『5或一25,

x+1[x+1>0,[x+1<0,[x+l>0,[x+l<0,

解得-1<XW8或xW-2.故x的取值范围是（―

故选：D.

8.（2022.陕西•武功县普集高级中学一模（文））使不等式（x+l）（x-2）2>0成立的一个充分

不必要条件是（）

A.尤>-1且XH2B.-l<x<3

C.x<\D.x>3

【答案】D

【解析】

【分析】

求解已知不等式，从集合的角度，以及充分性和必要性的定义，即可选择.

【详解】

因为（尤一2）220,故不等式（x+l）（x-2）2>0的解集为{x㈤-1且x片2},

故不等式（x+1）（无-2）2>0成立的一个充分不必要条件所构成的集合应是{x国-1且xx2}

的真子集，

显然，满足题意的只有{尤|»3}.

故选：D.

二、填空题

9.（2022・四川泸州•三模（理））已知尤、jeR,且2*+2>=4,给出下列四个结论：

①x+y<2；②孙21；③2*+y<3；®4'+4y>8.

其中一定成立的结论是（写出所有成立结论的编号）.

【答案】①④

【解析】

【分析】

利用基本不等式可判断①和④，取特殊值x=0、y=bgz3可判断②，取特殊值可判断

③.

【详解】

对于①，V2A>0,2">0,

,由2*+2'=4得，4=2*+2*2,2。2>=，

即422^/F7,解得x+y<2（当且仅当x=y=l时取等号），故①一定成立；

对于②，当x=0,y=log23时，2工+2>=4成立，但孙21不成立，故②不一定成立；

对于③，当y=1■时，由2工+2>=4得2、=4-五，

则2'+y-3=4-&+J-3=g-近>0,即2'+y>3,故③不一定成立；

④将2,+2y=4两边平方得4,+4>+2x+y+1=16,

4'+4丫=16-2'+刑，

由①可知：x+yV2nx+y+1V3n2"加<23=8-2x+y+1>-8

=^16-2A+y+1>16-8=8,

A41+4">8,当且仅当x=y=l时取等号，因此④一定成立.

故答案为：①④.

【点睛】

本题①和④利用基本不等式即可求解，需要熟练运用基本不等式求范围,对于②和③，取特

殊值验算即可快速求解.

10.（2022•上海市川沙中学高二期末）若关于X的不等式|2x-3|+|2尤+5卜病-2加有解，则

实数m的取值范围__________.

【答案】（-,—2）（4,及）

【解析】

【分析】

根据题意可得（|2x-3|+|2x+5［）*<nr-2m,根据同+\b\2卜—目可得

（|2%-3|+|2%+5|）^=8,代入求解.

【详解】

根据题意可得（|2尤一3|+|2尤+5|）扁<〃72一2机

v|2%-3|+|2x+5|>|（2x-3）-（2x+5）|=8

m2—2m>8,BPm2-2m-8>0,则根>4或%v—2

故答案为：（-oo,-2）（4,+oo）.

11.（2022•浙江•镇海中学高二期末）已知实数xN2y>。，z>0,则x+4）；+3zx的

x+2y2y+3z

最小值为.

【答案】1+0##夜+1

【解析】

【分析】

依题意利用基本不等式计算可得；

【详解】

解：因为xN2y>0,z>Q,

x+4y+3z+x_x+2y+2y+3zx_]+2y+3zix

x+2y2y+3zx+2y2y+3zx+2y2y+3z

2x2y+3z丫2x2y+3z

当“x=2y,2y+3z=——x——==2y+3z,x=2y取等号“

2x2y+3z

综上所述：土迎+方^^的最小值为1+0;

故答案为：1+行

12.（2020•云南德宏•高三期末（理））关于函数〃同=6-三（。20）有下列四个命题:

①3a,b&R,使/（尤）关于＞轴对称.

②^a,beR,都有/'（x）关于原点对称.

③3a,b&R,使/⑴在上为减函数.

④若无＜0,3a,beR,使一（X）有最大值-.

其中真命题的序号是

【答案】②③④

【解析】

【分析】

对①②，判断/（X）的奇偶性即可；

对③④，根据对勾函数的性质判断即可；

【详解】

由题，因为〃-x）=-◎+、=-“X）,且必彳0,故“X）为奇函数，①错②对；

当。>0,。<0时，由对勾函数的性质，/（x）=依-3在上为减函数，故③正确；又

当％<0时，若则f（x）在X=-处取得最大值

故④正确；

故答案为：②③④

三、解答题

13.（2021•黑龙江・大庆外国语学校高二期末）设。：实数x满足V-4办+3/w0（a>0）,q:

实数x满足二|<0

（1）若。=1,且"八4为真，求实数x的取值范围；

（2）若〃是4的必要不充分条件，求实数。的取值范围.

【答案】⑴（2,3）

⑵口，2]

【解析】

【分析】

（1）根据二次不等式与分式不等式的求解方法求得命题）,«为真时实数x的取值范围，再

求交集即可；

（2）先求得4=[。,3w，再根据P是4的必要不充分条件可得再根据集合包含关系,

根据区间端点列不等式求解即可

（1）当。=1时，X2-4X+3<0,解得1WXW3,即p为真时，实数无的取值范围为1WXW3.由

二!<0,解得2Vx<3,即4为真时，实数x的取值范围为2<尤<3.

x-2

fl<x<3/、

若P八4为真，则2〈尤<3,解得实数X的取值范围为（2,3）.

⑵若P是q的必要不充分条件，则40。且P44.

设4=卜加（必，3=｛市（无）｝,则A卫3,又3=（2,3）.

由x2—4ax+3a240,得(x-3o)(x-a)<0,因为a>0,则A=[a,3a]，有｛3<3，解得1WaW2

因此a的取值范围为[1,2].

14.(2022•江西抚州•高二期中(文))已知a,6都是正数.

(1)^a+b=l—2y[ab,证明：by[a+ay[b>4ab;

⑵当a16时，证明：ay/a+b\[b>by/a+ayJb.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

(1)根据°+6=1-2必可得右+扬=1,再结合化简,利用基本不等式证明即

(2)根据证明的不等式逆推即可

（1）证明：由a+b=l-得（6+赤）=1,即&+扬=1

by[a+ay/b（加+«）

^fa4b

向扬)=2+雪22+2

当且仅当。=b=J时"=”成立.

4

所以by[a+ay[b>4ab.

⑵要证ay[a+byfb>by/a+a^b，

只需证-b)-&(a-Z?)>0,即证(&-JF)(Q-Z?)>0,

即证(6-A/F)2(6+振)〉0,

因为(6-6)2>0,4a+4b>0,所以上式成立，所以+b枇>/?&+〃石成立.

15.(2022・四川巴中•高一期末(理))已知函数〃x)=f+办一2,〃％)>0的解集为｛%[%<—1

或尤>耳.

⑴求实数。、(的值;

⑵若xe(0,y)时，求函数g⑺=小)+4的最小值.

X

【答案】(l)a=—l,b=2

(2)2A/2-1

【解析】

【分析】

(1)分析可知-1、6是方程炉+6-2=0的两个根，利用一元二次方程根与系数的关系可

求得。、6的值；

(2)求得g⑺=龙+：-1,利用基本不等式可求得g(x)在(0,+句上的最小值.

(1)解：因为关于尤的不等式x2+ax-2>0的解集为卜上<T或x>"，

F1—々—2=0[ci=-1

所以，-1、b是方程X2+以—2=0的两个根，所以，一。，解得。.

[-l-p=-2[7b=2

(2)解：由题意知8(尤)，/(?+4=