辽宁省沈阳市2024年高三第一次模拟考试理科数学(含答案)

2024年沈阳市高三教学质量监测（一）

数学（理科）

第I卷

选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

2

L已知，为虚数单位，则复数——所对应的点在（）

1-z

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限

2.设全集U=R,集合A={%|y=lgx},8=卜1,1},则下列结论正确的是（）

A.AB={-1}B.（^A）I3=（—oo,0）

C.AB=（0,+oo）D.（”）「5={-1}

3.下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（）

A.y=2xB.y=2忖

C.y^2x-2~xD.y^2x+2~x

4.已知两个非零向量5,3满意。<"6）=0,且2,卜班则<%]>=（）

A.30B.60C.120D.150

5.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在探讨球的体积的过程中构造的一个和谐美丽的几

何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好像两个扣

合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的

协助线.当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）

6.设等差数列{4}满意%=7,a4=3,S“是数列{q}的前n项和，则使得Sn>0最大

的自然数”是（）

A.9B.10C.11D.12

7.某函数部分图像如图所示，它的函数解析式可能是（

A.y=sin(--x+—)

65

C.y=sin（jA：+—）D.y=-cos?x+

8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，

则输出的结果是（）

A.-A/3B.0C.y/3D.336百

y<2x+2

9.实数8y满意<x+y-220,则z=|x—y]

x<2

的最大值是（）

A.2B.4C.6D.8第8题图

10.已知尸是双曲线土->2=1上随意一点，过点p分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂

3'

足分别为A、B,则PA•P5的值是（）

A.—B.—C.———D.不能确定

8168

11.将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的

分法有（）

A.24种B.28种C.32种D.36种

12.已知函数丁=必的图象在点屈疗）处的切线为/,若/也与函数y=inx,xe（0,l）的

图象相切，则「必满意（

1

A.n

。</<5B.-<%0<1

V21—

C.<<<72D.42<x0<y/3

第n卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必需

做答.第22题〜第24题为选考题，考生依据要求做答.

二.填空题：（本大题共4小一题，每小题5分，共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）

13.已知sina—cosa=—,贝Usin2a=.

14.已知抛物线x2=4y的焦点为F,准线为I,P为抛物线上一点，过P作R4_L/于点A,

当NAR9=30（0为坐标原点）时，户同=.

15.设数列｛/｝的前〃项和为S”，且q=l,4+i=25“+3,贝|邑=.

16.已知函数/(x)=1')若方程/(%)=砒+1恰有一个解时，则实数。的取

2,(l<x<2)

值范围_____________.

三.解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分12分)

在ZVLBC1中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c,C=—,且sinB=2sinA-cos(A+B).

(I)证明:b-=2a2；

(11)若443。的面积是1,求边c.

18.(本小题满分12分)

已知长方体AC1中，AD=AB=2,A4]=l,

E为RG的中点，如图所示.

(I)在所给图中画出平面与平面81EC的交线(不必说明理由);

(II)证明：8。"/平面B|EC；

(III)求平面ABD,与平面片EC所成锐二面角的大小.

19.(本小题满分12分)

某中学依据2024—2024年期间学生的爱好爱好，分别创建了“摄影”、“棋类”、“国学”

三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团胜利与否相互独立.2024年某新

生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”、“棋类”、“国学”三个社团的概率依次

为优、1n,已知三个社团他都能进入的概率为1上，至少进入一个社团的概率为士3,

3244

S.m>n.

(I)求加与"的值；

(II)该校依据三个社团活动支配状况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，

对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修

学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列及期望.

20.(本小题满分12分)

已知椭圆E的中心在坐标原点，左、右焦点K、B分别在X轴上，离心率为:，在其

上有一动点A,A到点大距离的最小值是1.过A、K作一个平行四边形，顶点A、B、

C、。都在椭圆E上，如图所示.

(1)求椭圆石的方程；

(II)推断，ABCD能否为菱形，并说明理由.

(III)当「ABCD的面积取到最大值时，

推断-ABC。的形态，并求出其最大值.

21.(本小题满分12分)

已知函数/(x)=xlnx——x+a(aeR)在其定义域内有两个不同的极值点.

(I)求。的取值范围；

(II)记两个极值点分别为毛，x2,且$<%•已知几〉0，若不等式e""<芯・%"恒成立，

求X的范围.

请考生在22,23,24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.做答时,

用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

22.(本小题满分10分)选修4一1：几何证明选讲

如图所示，两个圆相内切于点T,公切线为TN,外圆的弦TC,7Z)分别交内圆于A、B

两点，并且外圆的弦GD恰切内圆于点

(I)证明：AB//CD；

(II)证明：ACMD=BDCM.

23.(本小题满分10分)选修4一4：坐标系与参数方程

在以直角坐标原点。为极点，x的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线G的方程是夕=1，

将G向上平移1个单位得到曲线.

(I)求曲线G的极坐标方程；

(II)若曲线G的切线交曲线G于不同两点M，N,切点为T.求17MH力V|的取值范围.

24.(本小题满分10分)选修4一5：不等式选讲

已知命题"Va>b>c,^—+‘2二一”是真命题，记/的最大值为加，

a-bb-ca-c

7T

命题（iX/n^R,|n+sin/|-|n-cos/|<m4是假命题，其中/el。,/).

(I)求相的值；

(II)求〃的取值范围.

2024年沈阳市高三教学质量监测(一)

数学(理科)参考答案与评分标准

--选择题

1.A2.D3.C4.B5.B6.A7.08.B9.B10.A11.B12.D

2

题1A——=l+z,其对应的点为(1,1),故选A.

1-z

题2D化简集合4=｛x|尤>0｝,从而A、C错，CRA=｛X|XK0｝,故选D.

题3cA虽增却非奇非偶，B、D是偶函数，由奇偶函数定义可知是奇函数，由复合函数单

调性可知在其定义域内是增函数(或，=2'也2+2-1112>0),故选C.

题4B由题。~=。力，而cos<a3>=r^7=Ml=L故选B.

神2,|2

题5B

题6A解出｛4｝的公差d=9二1=—2,于是｛4｝的通项为%=5-2(〃-3)=-2n+11,

4-2

r\

可见｛。"｝是减数列，且。5>0>。6，%+。6=°，于是S9=9>0,

%+6.*0,sn='g.n<o,从而该题选A.

1022

T37r71

题7c不妨令该函数解析式为丁=Asin(m+e),由图知4=1,4=学一]=5三TT，

27rSTTf\TT67T

于是』=二，即0=2,2是函数减时经过的零点，于是？•生+夕=2左乃+不，左eZ,

CD35353

所以0可以是胃，选C.

Jr27r201TC

题8B由框图知输出的结果s=sin土+sin'+…+5M出竺，因为函数y=sin生x的

3333

TT27r67r

周期是6,所以s=336(sin§+sinq-+…+sin《-)=336x0=0,故选B.

题9B依题画出可行域如图，可见AA3C及内部区域为可行域，

令“/=y,则加为直线I:y=x+m在y轴上的截距，

由图知在点A(2,6)处加取最大值是4,在

C(2,0)处最小值是-2,所以根e[—2,4],

所以z的最大值是4,故选B.

题10A令点p(叫),口)),因该双曲线的

xx

渐近线分别是7—y=0,k+y=O,

J3J3

cosZAPB=—cosZAOB=—cos2ZAC>x=-cos—二--，

32

所以PA•尸8=|西H丽-cosZAPB=)~~=|'[-1]=-|,选A.

3

此题可以用特别位置法解决：令P为实轴右顶点，此时

|PA|=|PB|=^,<PA,PB〉=PAPB=-^,选A.

题11B由题五本书分给四名同学，每名同学至少1本，那么这四名同学中有且仅有一名同

学分到两本书，第一步骤，先选出一名同学，即：C\.这名同学分到的两本书有三种状况:

两本小说，两本诗集或是一本小说和一本诗集，因为小说、诗集都不区分，所以在第一状况

下有c；种分法(剩下三名同学中选一名同学分到一本小说,其余两名同学各分到一本诗集),

在其次状况下有1种分法(剩下三名同学各分到一本小说)，在第三状况下有C；种分法(剩

下三名同学中选一名同学分到一本诗集，其余两名同学各分到一本小说)，这样其次步骤共

有状况数是c；+l+C；=7,故本题的答案是7C：=28,选B.

解法2：将3本相同的小说记为a,a,a;2本相同的诗集记为b,b,将问题分成3种状况，分

别是1、aa,a,b,b,此种状况有=12种；2、bb,a,a,a,此种状况有C；=4种；3、

Ab,a,a,b,此种状况有A：=12种，总共有28种，故选B

2

题12D由题/'(x)=2x,/(x0)=x0,所以/的方程为了=2%(%-/)+与2=2XOX-XO2,

因为/也与函数y=Inx的图象相切，令切点坐标为(X],lnxi),/=-,所以/的方程为

X

[2x=-

y=—x+lnX]-l,这样有v°Jr1,所以l+ln2/=九,毛金仕仪)，令

2

$]-In玉=x0

g(x)=x2-ln2x-l,XG(1,+OO),所该函数的零点就是/,解除A、B选项，又因为

i2x2-1

gr(x)=2x——=-------,所以g(x)在(1,+8)上单调增，又g(l)=-ln2<0,

x%

g(五)=l-ln2五<0,g(6)=2-ln26>0,从而应</<当，选D.

填空题

244小1-1+A/5

13.—14.—15.6616.(0,—)1.(........-,1

25322

124?4

题13依题（sincr-cos。）？=1一sin2。=一，所以sin2a=—，答案为一.

252525

题14令/与y轴交点为8,在H/AABF中，ZAFB=30°,BF=2,所以45=5—,

若。（々），/＞），则毛=号3，代入必=4〉中，贝\t而

一一44XUJ

|PF|=|PA|=y0+l=-,故答案为一，

几何法：如图所示，ZAFO=30°,:.ZPAF=30°4

又,=归同二AAPF为顶角ZAPF=120。的等腰三角形

而恒同=一^―

半，附耳故答窠吟

11cos30°g

题15依题an=2sM+3(〃22),与原式作差得，an+1-an=2an,即an+l=3%,n>2,

可见，数列｛明｝从其次项起是公比为3的等比数列，a2=5,所以54=1+止2=66.

1—3

故答案为66.

题16当丁=4«+1过点3（2,2）时，则a=。，满意方程有两个解;

当丁=6«+1与/（x）=2jE相切时，则a=T丁,满意方

1f-1+J?

程有两个解；所求范围（0,上）1.

2\2

三..解答题

17.解：

(I)由A+B=»-C,以及正弦定理得，b=-2acosC,..........................3分

又。二包，所以人二亿，从而有/=2"........................................................6分

4

1x/2a=A/2

(II)由=—〃bsinC=——ab=1,所以即：＜

SiAAA/IMDL24QZ?=20,9分

b=2

jy

由余弦定理知，。2=/+/—2aZ?cosC=2+4+40——=10,.......11分

一2

所以c=W.............................................................12分

18.解:

几何解法

(I)连接3G交用C于〃，则

直线ME即为平面ABD｝与平面B,EC的

交线，如图所示；...............4分

(II)由(I)因为在长方体AG中，所以

M为3G的中点，又E为。1G的中点

所以在ARGB中是中位线，所以EM//BD],

又EAfu平面与EC,B'cz平面耳EC,

所以8Q〃平面与EC；...............8分

(III)因为在长方体AC1中，所以AQ〃8G，

平面ABR即是平面A8G2，过平面片后。上

点用作BC1的垂线于尸，如平面图①，

因为在长方体AG中，A3,平面与BCC一

87u平面与BCC「所以男尸，48,

BC1cAB=B,

所以8/，平面A3,于产.平面图②

过点尸作直线E70的垂线于N,如平面图②,

连接与N,由三垂线定理可知，耳NLEM.由二面角的平面角定义可知，在RtAB]FN中,

/81版即是平面ABQ与平面B]EC所成锐二面角的平面角.

因长方体AG中，AD=AB=2,AAl=l,在平面图①中,

_1X2_2

RF10分

FM=3WCjM=y,GE=1,在平面图②中，由AEMG相像AFMN]可知

3芯

FN_ECCFM"灯_75

EM

RF

所以‘an4M=京=忑♦忑=2,

所以平面ABDl与平面B]EC所成锐二面角的大小为arctan2.12分

空间向量解法：

(I)见上述.........................................4分

(II)因为在长方体AG中，所以两两垂直，于是以ZM,DC,">|所在直线分

别为x,y,z轴，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

因为AO=AB=2,A4]=1,所以0(0,0,0),

R(0,0,1),仇2,2,0),男(2,2,1),C(0,2,0),

E(0,l,l).所以=(-2-2,1)，CB1=(2,0,1)，

CE=(0-1,1)-6分

令平面B*C的一个法向量为根=(x,y,z)

/%

所以CB],加，CE1m,从而有,

21+z=0、

四纥°,即<,不妨令元二一1,

CE-m=0、y二z

得到平面B{EC的一个法向量为m=(-1,2,2)，

TfffBDX-m=2—4+2=0,所以3〃_1_加，又因为BD]<z平面耳EC,

所以8R〃平面B[EC.8分

(III)由(II)知历1=(0,—2,0),3〃=(—2,—2,1),令平面A5R的一个法向量为〃=(%,y,z),

所以BAI”，BQLn,从而有,

=。，即-2j=0-、人

,不妨令％=1,

-2x-2y+z=0

BD{-n=0

得到平面ABD,的一个法向量为n=(1,0,2)，10分

-—m-n-1+445

因为cos<11分

75

所以平面ABD1与平面BEC所成锐二面角的大小为arccos—.12分

}115

19.解:

111

—mn=——m=—

(I)依题，|324解得26分

n--

4

(II)由题令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X,则

X的值可以为0,1,2,3,4,5,6.............................................................7分

12311931

而尸(X=0)=—x—x—=一；尸(X=1)=—x—义一二一；

23442344

1131

尸(X=2)=—x—x—二—P(X=3)=1x|xl+lxlx|=A;

2348

尸(X=4)=—X—X—=—；尸(X=5)=—x—x—=—；尸(X=6)=—x—x—=—.

234122342423424

这样X的分布列为:(........................每答对两个，加1分)

4482412242412

20.解：

(I)依题，令椭圆£的方程为二+2=1,(a>b>0)

a2b2

c2=a2-b2(c>0),所以离心率e=£=,，即a=2c.....................................2分

a2

令点A的坐标为(%,%),所以会~+3=1,焦点耳(一°,0),即|A耳|二+cP+

=^x2+2cx+c2+b2=J~Y^O2+2CX+6Z2=

000—x+a,(没有此步，不扣分)

aQ

因为毛,所以当冗0=_4时，1mhi=〃_0，.........................................3分

由题a-c=l,结合上述可知a=2,c=l,所以廿二3,

于是椭圆E的方程为上+上=1........................................4分

43

（II）由（I）知耳（一1,0）,如图，

直线不能平行于x轴，所以令直线的方程

为％=加＞一1,人。21）,5（%,%），■

联立方程，尸+4丁-12=0,

x=my-1

得（3加之+4）y2-6m_y-9=0，

若「ABCD是菱形，则。4LQB,即。4・。3=0,于是有%・%+%•%=。，……6分

又玉•/=O%—DO?%—1）=,帝必•％一M（%+%）+］，

所以有Ot2+l）弘•，2一/"（%+，2）+1=°,.................................7分

-12m2-5

得到一z——二0，可见加没有实数解，故-ABCD不能是菱形.8分

3m2+4

（III）由题SABCD=4SM°B，而中西•Nil，又|O£|=1，

即S钻⑺=2|0制口―匆=2依+%）2-4%.%，9分

6m-9

由（II）矢口%+%=

-3m92——+4，X1•%2二3m20——+4

36疗+36（3加2+4）_m2+1

所以，SMCD=2,10分

（3疗+4>='（3根2+4）2

________1________

=24

9（苏+1）+——+6

m+1

因为函数/⑺=%+L?e[l,4w）,在r=l时，/（0min=10,...........11分

t,,

即SABCD的最大值为6,此时苏+1=1，也就是“2=0时,

这时直线AB_Lx轴，可以推断，A3CD是矩形.12分

21.解：

（I）依题,函数/（X）的定义域为（0,+8）,

所以方程/'（X）=0在（0,+8）有两个不同根.

即，方程lnx-av=0在（0,+oo）有两个不同根.…1分

(解法一)转化为，函数y=lnx与函数y=ar

的图像在(0,+8)上有两个不同交点，如图...........3分

可见，若令过原点且切于函数y=Inx图像的直线斜率为左，只须0<。<左.

令切点A(Xo，lnx°),所以左=y'|、.=x=—,又左=----,所以—=-----,

°//%%

解得，x0=e,于是左=工，所以0<。<，...............................6分

ee

Inx

(解法二)转化为，函数g(x)=——与函数y=a的图像在(0,+00)上有两个不同交点.

X

又g'(%)=l即Ovx<e时，g'(x)>0,时，g'(x)<0,

%

所以g(x)在(0,e)上单调增，在(e,+8)上单调减.从而g(x)极大=g(e)=-.....3分

又g(x)有且只有一个零点是1，且在X—。时，g(x)—YO，在在Xf十。。时，g(x)f0,

所以g(_x)的草图如下，

(解法三)令g(%)=lnx-依，从而转化为函数g(x)有两个不同零点,

ffijg,(x)=--ax=-——(x>0)

若〃<0,可见g'(x)>0在(0,+8)上恒成立，所以g(x)在(0,+8)单调增，

此时gQ)不行能有两个不同零点......................................3分

若〃>0,在0<%<，时，g'(X)〉0,在时，g\x)<0,

aa

所以g(x)在(0」)上单调增，在(士+8)上单调减，从而g(x)极大=gd)=lnL-l

aaaa

又因为在x—>0时，g(x)fYO,在在Xf+X)时，g(%)fTO,于是只须：

g(x)极大>0,即ln——l>0,所以0<o<L

ae

综上所述，0<。(工......................................................6分

2

(II)因为e"'<玉•x2等价于1+X<In玉+Xin%2.

由(I)可知为,%2分别是方程山双=0的两个根，

即In王=axx,In%=%

所以原式等价于1+X<+几。%2=。(玉+几九2),因为丸>0，0<Xj<X2,

所以原式等价于a>-1-2-...........................................7分

国+Zx2

In%

又由1口玉=叼，111元2=〃冗2作差得，In%-%2)，即〃=———.

x2Xx-x2

In五

所以原式等价于一^>-1+2

石-x2石+2X2

因为0<西<%2，原式恒成立，即比土<(1+')(,_殳2恒成立.

x2玉+2X2

令"土，rG(0,1),

x2

则不等式Int<(1+㈤"―1)在/e(0,1)上恒成立.........................8分

t+A

人“、।(1+2)(/—1)

f+2

1(1+2)2("1)("万)

Xn(t)--------------=----------------i—,

t(r+2)t(t+A)

当外21时，可见/亡(0,1)时，〃⑺>0,所以h(t｝在/e(0,1)上单调增,又/?(1)=0,

/*)<0在/6(0,1)恒成立,符合题意................................10分

当彳2<1时，可见时，〃(。>0,时〃«)<0,

所以力«)在。e(。，分)时单调增,在te(Z2,l)时单调减，又〃⑴=0,

所以丸⑺在te(0,1)上不能恒小于0,不符合题意,舍去.

综上所述，若不等式e1+A<X]•%"恒成立,只须彳221,又4〉0,所以.…12分

22.(I)由弦切角定理可知，ZNTB=ZTAB,....................3分

同理，/NTB=/TCD,所以,ZTCD=ZTAB,

所以，AB//CD.....................5分

(II)连接TM、AM,

因为CD是切内圆于点M,乙

所以由弦切角定理知，ZCMA=ZATM,

又由（I）知AB//CD,

所以，ZCMA=ZMAB,又ZMTD=/MAB,

所以NMTD=NA7M..........8分

在AMTD中，由正弦定理知，———=———,

sinZDTMsinZTMD

MCTC

在AA/TC中，由正弦定理知，----------=-----------，因N7MC=»—NZMD,

sinZATMsinZTMC

,,MDTD»