2022年广东省普通高中数学学业水平合格性考试真题卷含答案

2022年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试真题卷(时间：90分钟满分：150分)一、选择题：本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M＝{0，2，3}，N＝{1，3}，则M∪N＝()A．{3} B．{0，1，2}C．{0，1，2，3} D．{0，2，3，1，3}2．在等比数列{an}中，a2＝1，a5＝8，则这个数列的公比是()A．1 B．2C．3 D．43．已知点A(1，2)，B(4，5)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝()A．(－5，－7) B．(5，7)C．(－3，－3) D．(3，3)4．已知直线经过点A(3，1)，斜率为－1，则直线的方程是()A．y＝－x＋4 B．y＝x－2C．y＝－x－4 D．y＝x＋25．不等式(x－1)(2x－1)>0的解集是()A．{x|1<x<2} B．{x|x<1或x>2}C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<x<1)))) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,2)或x>1))))6．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是减函数的是()A．y＝2x B．y＝lnxC．y＝x3 D．y＝eq\f(1,x)7．某小组六名学生上周的体育运动时间(单位：h)为7，8，9，10，10，10，则该小组体育运动时间的平均数和方差分别是()A．10，eq\f(3,4) B．9，eq\f(4,3)C．9，8 D．9，08．已知圆C：(x－1)2＋(y＋5)2＝2，则其圆心坐标和半径分别是()A．(－1，5)，eq\r(2) B．(－1，5)，2C．(1，－5)，eq\r(2) D．(1，－5)，29．已知α是第一象限角，且sinα＝eq\f(4,5)，则cosα＝()A．－eq\f(3,5) B．eq\f(3,5)C．－eq\f(4,3) D．eq\f(4,3)10．已知a＝log3eq\f(1,2)，b＝3eq\s\up6(\f(1,2))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)，则a，b，c的大小关系是()A．a<c<b B．b<a<cC．c<a<b D．a<b<c11．已知m>0，n>0，若mn＝81，则m＋n的最小值是()A．9 B．18C．9eq\r(3) D．2712．为了得到函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图象，只要把余弦曲线上所有的点()A．向左平行移动eq\f(1,3)个单位长度B．向右平行移动eq\f(1,3)个单位长度C．向左平行移动eq\f(π,3)个单位长度D．向右平行移动eq\f(π,3)个单位长度13．某校有高一学生550人，高二学生500人，高三学生450人．现采用分层抽样方法抽取部分学生参加党史知识竞赛，在高三年级学生中抽取了18人，则在高二年级学生中应抽取的人数为()A．24 B．22C．20 D．1814．已知直线m与平面α，则下列结论成立的是()A．若直线m垂直于平面α内的一条直线，则m⊥αB．若直线m垂直于平面α内的两条直线，则m⊥αC．若直线m平行于平面α内的一条直线，则m∥αD．若直线m与平面α没有公共点，则m∥α15．古代数学名著《九章算术》中卷六《均输》记载：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱(钱是我国古代的一种重量单位)．”由此可知第一人分得的钱数是()A．eq\f(4,3) B．1C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,3)二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．16．已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，t)，且a⊥b，则t＝________．17．从甲、乙、丙3名同学中随机选出2名同学参加社区服务，则甲、乙两人中恰有一人被选中的概率为________．18．函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，f(x)＝2x＋1，则f(－3)＝________．19．斐波那契数列的前7项是1，1，2，3，5，8，13，则该数列的第8项为________．三、解答题：本大题共3小题，第20小题8分，第21题14分，第22题14分，共36分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．20．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：每户每月用水量水价不超过12m3的部分3元/m3超过12m3但不超过18m3的部分6元/m3超过18m3的部分9元/m3(1)甲用户某月的用水量为10m3，求甲用户该月需要缴纳的水费；(2)乙用户某月缴纳的水费为54元，求乙用户该月的用水量．21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2eq\r(3)，c＝2，B＝30°.(1)求b；(2)求sinA的值．22.如图，PA是圆柱的母线，AB是底面圆的直径，C是底面圆周上异于A、B的一点，且PA＝AC＝BC＝2.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)若M是PC的中点，求三棱锥B­ACM的体积．(参考公式：锥体的体积公式为V＝eq\f(1,3)Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．)参考答案1．CM∪N＝{0，1，2，3}，故选C.2．B设等比数列{an}的公比为q，由已知得：eq\f(a5,a2)＝q3＝8，所以q＝2.故选B.3．Deq\o(AB,\s\up6(→))＝(4－1，5－2)＝(3，3)，故选D.4．A由直线方程的点斜式方程得：y－1＝－1(x－3)，即：y＝－x＋4，故选A.5．D方程(x－1)(2x－1)＝0的两个根为：1或eq\f(1,2).所以(x－1)(2x－1)>0的解集为：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,2)))或x>1))，故选D.6．Dy＝2x，y＝lnx，y＝x3在(0，＋∞)上是增函数，y＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上是减函数．故选D.7．Beq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(7＋8＋9＋10＋10＋10,6)＝9，s2＝eq\f(1,6)[(7－9)2＋(8－9)2＋(9－9)2＋3(10－9)2]＝eq\f(8,6)＝eq\f(4,3).故选B.8．C圆C：(x－1)2＋(y＋5)2＝2的圆心为(1，－5)，半径r＝eq\r(2).故选C.9．B因为α为第一象限象角，且sinα＝eq\f(4,5)；所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))\s\up12(2))＝eq\f(3,5).故选B.10．Aa＝log3eq\f(1,2)<log31＝0；b＝3eq\s\up6(\f(1,2))>30＝1；c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0)<1，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)>0，所以a<c<b.故选A.11．B因为m>0，n>0且mn＝81，所以m＋n≥2eq\r(mn)＝2eq\r(81)＝18，当且仅当m＝n＝9时取等号．故选B.12．Cy＝cosx的图象向左平移eq\f(π,3)个单位得到y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，故选C.13．C设从三个年级共抽取人数为x，由题意得x×eq\f(450,550＋500＋450)＝18，解得x＝60，则在高二年级中抽取的人数为60×eq\f(500,550＋500＋450)＝20.故选C.14．D由直线与平面平行的定义可知D是正确的．故选D.15．A设每个人所得钱数组成等差数列{an}，首项为a1；公差为d，由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a1＋d＝3a1＋9d，,5a1＋\f(5×4,2)d＝5.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(4,3)，,d＝－\f(1,6).))故选A.16．解析：因为a⊥b，所以a·b＝0，即－1×2＋2×t＝0，解得t＝1.答案：117．解析：从甲、乙、丙3名同学随机选出2名同学共有：甲乙、甲丙、乙丙三种情况；其中甲、乙两人恰好一人被选中有甲丙、乙丙两种情况，所以甲、乙两人恰好一人被选中的概率为eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)18．解析：因为f(x)是定义域R上的偶函数，所以f(－3)＝f(3)＝23＋1＝9.答案：919．解析：已知的数列从第三项开始后面每一项是前两项的和，所以第8项为8＋13＝21.答案：2120．解：(1)因为甲用户用水量是10m3，没有超过12m3，所以甲用户需要缴纳的水费为3×10＝30(元)．(2)设用户乙该月的用水量为xm3，乙用户缴纳水费54元，由已知可知用水量超过12m3，不超过18m3，则3×12＋(x－12)×6＝54，解得x＝15(m3)．所以乙用户的用水量为15m3.21．解：(1)由余弦定理得b2＝(2eq\r(3))2＋22－2×2eq\r(3)×2×cos30°＝12＋4－2×2eq\r(3)×2×eq\f(\r(3),2)＝4，所以b＝2.(2)由正弦定理得eq\f(2\r(3),sinA)＝eq\f(2,sin30°)，所以sinA＝eq\r(3)sin30°＝eq\f(\r(3),2).22．(1)证明：因为PA是圆锥的母线，所以PA⊥底面ABC，又因为BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.因为AB是底面的直径