上海市普陀区2024届高三年级下册4月质量调研(二模)数学试卷及参考答案

上海市普陀区2024届高三下学期4月质量调研(二模)数学试

卷

学校:姓名：班级：考号：

一、填空题

1.已知复数z=l+i,其中i为虚数单位，则N在复平面内所对应的点的坐标为.

2.已知aeR,设集合A={l,a,4},集合2={l,a+2},若AplB=B,则。=___.

3.若cos(；_«■]=：,贝ijsin[：+a]=.

4,已知X~NQ,22),若P(X<0)=0.02,则尸(4<X<8)=.

5.若实数。，b满足a-2620,则2〃+工的最小值为___.

4〃

6.设(l+x)”=a+ax+aXT----1-a(n>1,neN),若a•a,且a>a,则Za=.

012n5456i

i=l

7.为了提高学生参加体育锻炼的积极性，某校本学期依据学生特点针对性的组建了五个特

色运动社团，学校为了了解学生参与运动的情况，对每个特色运动社团的参与人数进行了统

计，其中一个特色运动社团开学第1周至第5周参与运动的人数统计数据如表所示.

周次尤12345

参与运动的人数y3536403945

若表中数据可用回归方程y=2.3x+b(lVx<18,xeN)来预测，则本学期第11周参与该特色

运动社团的人数约为.(精确到整数)

8.设等比数列k}的公比为虱"Nl/eN),贝-12“，a,2a成等差数列，，的一个充分非

n243

必要条件是.

1-

9.若向量之在向量B上的投影为§6,且13d-万l=ld+Bl,则cos〈d,E〉=.

10.已知抛物线尸=4后的焦点/是双曲线「的右焦点，过点/的直线/的法向量

元=(1,一/),/与>轴以及「的左支分别相交A,B两点，若B户=2BA,则双曲线「的实轴

长为-

11.设左，机，〃是正整数，S是数列{。}的前〃项和，a=2,S=a+1,若加=(S-1),

nn1nn+\ii

i=l

试卷第1页，共4页

且/e{O,l},记/(m)=f+f+--+t,则42024)=_____.

i12k

12.已知aeR,若关于x的不等式°(x-2)e-x-x>0的解集中有且仅有一个负整数，则。的

取值范围是.

二、单选题

13.从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为A、B,

白球标记为C,则它的一个样本空间可以是()

A.{AB,BC}B,{AB,AC,BC}

c.{AB,BA,BC,CB}D.{AB,BA,AC,CA,CB}

14.若一个圆锥的体积为丝用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的

3

顶角为5,则该圆锥的侧面积为()

A.也B.2C.25/2D.40

15.直线/经过定点尸(2,1),且与X轴正半轴、y轴正半轴分别相交于A,B两点，O为坐标

原点，动圆M在C04B的外部，且与直线/及两坐标轴的正半轴均相切，贝hOAB周长的最

小值是()

A.3B.5C.10D.12

16.设S是数列{a}的前"项和(〃21,weN),若数列{•}满足：对任意的〃22,存在大于

nnn

1的整数加，使得(s-a)G-a)<0成立，则称数列3}是“6数列”.现给出如下两个结

mnmn+1n

论：①存在等差数列3}是‘(数列”；②任意等比数列3}都不是“G数列”.则()

nn

A.①成立②成立B.①成立②不成立

C.①不成立②成立D.①不成立②不成立

三、解答题

17.如图，在四棱锥S-ABC。中，底面ABC。是边长为1的正方形，SA=SB=2,E、F分

别是SC、BD的中点.

试卷第2页，共4页

(1)求证：EF〃平面SAB；

(2)若二面角s-AB-。的大小为2，求直线5。与平面ABCD所成角的大小.

18.设函数/(x)=sin(cox+(p),co>0,0<<p<,它的最小正周期为.

(1)若函数y=/(x-12]是偶函数，求平的值；

(2)在12C中，角A、B、C的对边分别为。、b、c,若o=2,4=/，=

6I2J4

求。的值.

19.张先生每周有5个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，直

行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件A为“张先生驾车从左侧直行

车道通行

(1)某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同

一车道通行.记事件B为“大货车从中间直行车道通行“，求尸(ACB)；

(2)用X表示张先生每周工作日出行事件A发生的次数，求X的分布及期望E[X].

20.设椭圆「:=+y2=l(a>l),「的离心率是短轴长的也倍，直线/交「于A、B两点，C

〃24

是r上异于A、8的一点，。是坐标原点.

(1)求椭圆「的方程；

(2)若直线/过「的右焦点F，且C0=O与，CFAB=0,求5曲的值；

(3)设直线/的方程为了=依+m(KmeR),且。4+0方=C。，求I而I的取值范围.

21.对于函数y=/(x),xeD和y=g(x),xeD，设。=。，若x,xe。，且XHX,

12121212

皆有(无2)VflgGJ-gG]。>。)成立，则称函数y=/(x)与y=g(x)“具有性质

f.

⑴判断函数〃X)=X2,xe[12]与g(x)=2尤是否“具有性质虫2)”,并说明理由;

试卷第3页，共4页

⑵若函数/(X)=2+X2,工€(0,1］与8(幻=1"具有性质”“)”，求,的取值范围；

X

⑶若函数〃尤)=-+21n尤-3与y=g(x)“具有性质“⑴“，且函数y=g(x)在区间(0,+8)上

X2

存在两个零点X,X,求证X2+%2〉2.

1212

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.(1,-1)

【分析】求出复数Z的共轲复数，进而可得点的坐标.

【详解】由题意，复数7=l-i,在复平面内所对应的点的坐标为(LT).

故答案为:(1-1).

2.2

【分析】根据已知条件，结合交集的定义，讨论。+2=〃或4即可求解.

【详解】集合4={1,。,4},集合B={l,a+2},明B=B,则A是8的子集,

当a+2=a时，等式不成立，舍去，

当a+2=4时，解得。=2,此时A={1,2,4},B={1,4},满足题意，

故a=2.

故答案为：2.

3一

5

【解析】利用诱导公式，求得所求表达式的值.

(713

【详解】依题意sin［不+a=sin———cc=cos——cc

2335

3

故答案为：—

【点睛】本小题主要考查诱导公式的运用，属于基础题.

4.0.48

【分析】根据正态分布的对称性计算可得.

【详解】若X~N(4,22),且P(X<0)=0.02,

贝I」尸(X>8)=P(X<0)=0.02,

则P(4<X<8)=0.5-尸(X>8)=0.48.

故答案为：0.48

5.2

【分析】由已知2。>0,3>0,a-2b>Q,然后利用基本不等式求解即可.

4b

【详解】因为2a>0,:a-2b>0,

4b

答案第1页，共14页

所以2。+J-=2"+'22J2--=242ag>2技=2，

4b22by22b

当且仅当2。=」-,即a=Z?-0时等号成立，

22b

所以2.+"的最小值为2.

故答案为：2.

6.1023

【分析】根据题意，由二项式系数的性质可得"=10,然后分别令尤=0,x=l代入计算,

即可得到结果.

【详解】因为(l+x)"=a+ax+aX2-\-----\-a(w>1,MeN),

012n

且4>%，?>纥，所以。5是二项式系数最大的项，则"=1。，

令x=0,则1=a,

0

令犬=1,贝!]210=〃+Q+4+…+Q,

01210

则X。=a+a+・・・+〃=2io-l=lO23.

i1210

i=l

故答案为：1023

7.57

【分析】由已知求出样本点的中心的坐标，代入线性回归方程，再取x=ll求解.

【详解】Q+2+；+4+5=3,尸35+36+：+39+45=39,

把（3,39）代入y=2.3x+b,得0=39-2.3x3=32.1.

可得线性回归方程为y=2.3x+32.1.

把X=ll代入y=2.3x+32.1,可得y=2.3x11+32.1=57.4257.

故答案为：57.

8.q=3（或“=-2,答案不唯一）

【分析】根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解.

【详解】12a,a,2a成等差数列，

243

则2a=12a+2a,即安=6+«,解得q=3或g=-2,

423

故"12a,a,2a成等差数列，，的一个充分非必要条件是q=3（或《=-2）.

243

故答案为：4=3（或〃=-2,答案不唯一）

答案第2页，共14页

9.”

3

【分析】根据投影公式求出b\=J3a石，由13d1=1d+BI得可=B,代入向量夹角公

式，即可得出答案.

【详解】在B上的投影为

三2二=与，则红」，即网=府务

\b\\b\3\b\231'

又134-B\=\a+bI,平方得8港=8。%，则同=/B

a-b_a-b

即cos.@,b♦=

^d'b^d'b

故答案为：走.

3

10.2

【分析】求出直线/的方程，可得点A的坐标，利用向量的坐标运算可求出点B的坐标，代

入双曲线方程，结合以+拉=3,可得。，6的值，从而可得实轴长.

【详解】由抛物线方程y2=4后知，F(>/3,0),

又直线/的法向量力=(1,-我，

所以直线/的方程为尤-声〉-石=0,

令x=0,得y=-l,所以4(0,-1),设B(x,y),

00

由BF=2BA,得(E-x,-y)=2(-x,-1-y),

o000

所以X=-\后,y=-2,

00

设双曲线方程宜一山=lQ,b>0),将，石，一2)代入得之-3=1,

〃2b2〃2。2

因为抛物线尸=4石工的焦点/是双曲线「的右焦点，

所以02+/?2=3,解得。=1,b=y[2,

所以双曲线T的实轴长2a=2.

故答案为：2.

11.7

【分析】根据数列递推式求出｛。｝的通项，从而可得S,进而可得小，根据

ni

答案第3页，共14页

/(%)=I+f+•••+/,即可求出“2024).

12k

【详解】当〃=1,Q=S=a+1=2,故〃=1,

1122

当〃22时，a=S-S=a一”，故〃=2a,

nnn—\n+1nn+1n

a1[2,n—1

因为f=c,故q=<c、c，所以S-l=a=2-1,则加=ta+fa+...+ra,

aZn^2H-2,H>2i1+11223kk+1

当机=2024时，2024=1」+/'，2+1,4+…+/•2i,

123k

设数列b=2〃T,易知b<S<b

nnnn+19

必有1024,512,256,128,64,32,8,这7个数前面的系数为1,其余系数都是0,

故”2024)=7.

故答案为：7.

12.[上，)

2e23e

【分析】原式可化为a(x-2)>xex,然后研究函数/(x)=xe*的图象，只需当x<0时，

y=a(x-2)在〃x)下方时，只有一个负整数即可，构造不等式组求解.

【详解】原不等式可化为：a(x-2)>xex,

令f(x)=xe.x,尸(x)=(x+l)ex,显然尤<-1时，/'(x)<0,/(月单调递减；x>-l时，/'(x)>0,

/(X)单调递增，

所以/(X)=/(-1)=-!•,且XfY时，/(x)-0,xf+oo,y(x)f+CO,

mine

同一坐标系中，作出〃x)与y=a(x-2)(过定点(2,0))的图象：

—2e—22a(—2—2)

据图可知，满足题意的整数解为T,此时应满足一e—<a(-1-2),

02—2a

答案第4页，共14页

【点睛】关键点点睛：本题考查不等式解问题，关键是将不等式适当变形，转化为两个函数

交点问题.

13.B

【分析】根据样本空间的定义即可求解.

【详解】从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球的所有可能结果为

AB,AC,BC,

所以它的一个样本空间为{AB,AC,BC}.

故选：B.

14.C

【分析】由体积求出圆锥的底面圆半径和高，母线长，即可计算圆锥的侧面积.

【详解】设圆锥的底面圆半径为r,高为h,由轴截面三角形的顶角为得r=h,

所以圆锥的体积为Vnh=-n=^~,解得厂=0,

333

所以圆锥的母线长为/=0厂=2,

所以圆锥的侧面积为S=”=xj2x2=2上.

故选：C.

15.C

【分析】先设动圆M的圆心〃坐标为⑺，加)，\OA\=a,1081=。，结合直线与圆相切的性

质可得IOAI+IO8I+IA8I=I27"，当圆M与直线A8相切于点P(2,l)处时，圆M半径最小，结

合两点间距离公式即可求解.

【详解】设动圆M的圆心M坐标为(m,m),

即圆M半径r=m,由题意相＞0,

设IOAI=a,\OB\^b,圆M与直线AB相切于点N,则IMVI=〃z-a,IBNI=w-b,

^\^\OA\+\OB\+\AB\=\OA\+\OB\+\AN\+\BN\=a+b+m-a+m-b=2m,

即AOAB的周长为2,”,

所以cOAB的周长最小即为圆M半径机最小，因为＞r=m,

贝IJGn—2＞+Gn—1)Nm,整理得必-6m+520,

答案第5页，共14页

解得加之5或加wi,

当机时，圆心M在△O4B内，不合题意；

当用25时，符合题意，即圆M半径的最小值为5,aOAi?周长的最小值为2根=10.

【分析】由题意可得任意的栏2,存在大于1的整数加，使得〃<5<〃,对命题①，分

nmn+1

公差d>0或d<0两种情况讨论可判断结论，对于②，举例如"=2“，可判断结论.

n

【详解】由“G数列”的定义，对任意的论2,存在大于1的整数机，使得(S-a)(S-a)<0,

mnmn+1

成立，

则对任意的佗2,存在大于1的整数%,使得。<S<a,

nmn+1

对于命题①不成立，理由如下：

假设存在。<S<a<S<•••,

nmn+1m+1

当d>0时，总存在a>2d,由于对任意正整数〃，有a-a=d,

kn+1n

所以总存在正整数%,使得s与s-S>2d,

k-\kk-1

所以不会存在。<s<a<S<a,

nk—\n+1kn+1

当d<0时，总存在a<2d,由于对任意正整数"，有a-a=d,

kn+1n

所以总存在正整数左，使得S与s-S<2d,

k-\kk-\

所以不会存在〃<S<a<S<〃，

nk—1n+1kn+2

答案第6页，共14页

对于命题②不成立，理由如下：

举例说明：如a=2”，有S=2〃+i—2,

nn

因为4<S<Q,所以2〃<2加+1—2<2〃+i,

nmn+1

可以取机=〃，就可以保证不等式成立，

综上所述：①不成立，②不成立.

故选：D.

【点睛】考查新定义题型，考查转化思想与阅读理解能力，以及分类讨论思想的应用.

17.(1)证明见解析；

【分析】(1)取线段SB、的中点分别为“、G,连接EH、HG、FG,然后四边形

为平行四边形，得到线线平行，从而证明线面平行；

(2)根据线面角的定义，可由几何图形作出线面角，然后根据三角形求解即可.

【详解】(1)证明：取线段52、A8的中点分别为H、G,连接即、HG、FG,

她EH〃BC,EH=LBC,FG//AD,FG=-AD,

22

又底面是正方形，即BC//AD,BC=AD,

则EH//FG,EH=FG,即四边形EFGH为平行四边形，

她EF〃HG,又EF在平面SAB外，HGu平面SAB,

故EF〃平面SA反

(2)取线段AB的中点为。点，连接S。、DO,

头SA=SB=2,底面ABC。是边长为1的正方形,

答案第7页，共14页

S,

则且S0=姮，。0=正，

22

又二面角S-A8-D的大小为万，

即平面SAB_L平面ABCD,

又SOu平面S4B,平面&43n平面ABCD=4B,

则SO_L平面A3CD,

则ZSDO是直线5。与平面ABC。所成角，

在RbS。。中，tan/SD。，累=A,

即ZSDO=-,

故直线S。与平面A3C。所成角的大小为

18.(l)(P=y

(2)/7=2^

【分析】(1)利用正弦函数的周期公式可求8=2,又函数y=/(x-］；)是偶函数，结合

0<(P<K,即可求解(P的值；

(2)由=祗°,可得sinBu^c,结合题意利用正弦定理可求6=戊，由余弦

244

定理可求c,进而可求b的值.

【详解】(1)因为函数/(x)=sin(3x+(p)的最小正周期为，且3>。，

2

所以一=,即8=2,

CO

贝1y=/(x_=)=sin(2x+<p_7)，

12o

又函数y=/(x-自)是偶函数，

答案第8页，共14页

则中一=左+—,keZ,

o2

2

即(p=%+,又0<<p<,

则①=：.

(2)由——)=—c#,sinB-—c,

244

又〃=2,A=—,则sin5,Hi11-=如「,即b=/c,

6〃44

由余弦定理得，〃2=拉+。2—2bccosA=3c2+c?-2y/3c-c--

2

即c=2,则匕=2相.

19.⑴)

o

(2)答案见详解

【分析】(1)先求出事件8的概率P(B),在事件8发生的条件下事件A发生的概率为尸(A|B),

再由积事件的概率公式可得尸(ACB)；

(2)求出事件A发生的次数X的取值，然后算出对应的概率，可得X的分布，再算期望.

【详解】(1)依题意得，事件8的概率为尸(8)=；,在事件8发生的条件下事件A发生的概

率为P(A|B)=；,

则P(AcB)=尸(4IB)P(8)=LX』=L

236

(2)依题意得，事件A发生的次数X可取：0,123,4,5,所以即

则X的分布为:

34

答案第9页，共14页

贝皿X]=lx坦+2x生+3X9+4』+5X-L/

2432432432432433

则所求的X的期望E[X]=；

20.(1)：+产=1

【分析】(1)由题意，根据题目所给信息以及。，b,。之间的关系列出等式，进而可得椭

圆的方程；

(2)设r的左焦点为勺，连接cq,利用向量的运算以及椭圆的定义和对称性推出

\CF\-\CF\=2,再代入三角形面积公式中即可求解；

1

(3)设出A,B,C三点的坐标，利用向量的运算得到x=-(x+x),y=—(y+y),将

012012

直线/的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得到X和y,将点c的坐标代入椭圆方程中得

00

到4如=1+2公，此时满足△＞(),再结合弦长公式和换元法进行求解即可.

【详解】(1)由「的离心率是短轴的长的3倍，得

4

与L与即师二=*

又。＞1,则a=y/29

故椭圆「的方程为:+w=l.

(2)设「的左焦点为J连接CJ

因为C0=。耳，所以点8、C关于点。对称，

又MS8=0,则CF_LAB,

由椭圆「的对称性可得，

CF1CF,且三角形0cq与三角形歹全等,

则，=s『《叫网,

吐|+附=2&

又＜化简整理得,

CF|2+|CF|2=|FF|2=4

答案第10页，共14页

CFyCF\=2,则\跖=1.

⑶设A/甲，B（x,y）,C（x0,y。）,

又04+08=。。，则%=-（匕+己），"=一*+匕），

X21

+y2=]

由＜:2得,（l+2Z：2）x2+4mAx+2m2—2=0,

y=kx+m

A=16小2左2-8（1+2左2）（机2-1）=8（242-m2+1）,

-4mk2根2-2

由韦达定理得，X+X-———,xx=----

12I+2左2i2i+2左2

r,、八2m

又y+y=k（zx+x）+2m=--------

i2i2l+2k2

4mk-2m

贝！Jx=

01+2左2,01+242

因为点C在椭圆「上，所以（£）2+2（段）"2'

化简整理得，4M2=1+242,

2k2+1

此时，A=8（2左2—冽2+1）=8（2左2+1-----------）=6（2左2+1）>0,

4

贝!!|ABi=J（/_%]）2+亿-NJ="（1+左2）（3一:）2

,「二一/-4mk..,2m2-2.

+左2•（---------）2-4（-----）

NT+2k21+2^2

小6（2/2+1）

=J1+上.

1+2公

6+6k2

l+2k2

令”1+2左2,即此1,

则处"2=37+3=3+3式3,61

1+2%2tt

答案第11页，共14页

则的取值范围是

【点睛】关键点点睛:本题考查直线与椭圆得位置关系及弦长范围问题，关键是向量坐标化

得c坐标并代入椭圆方程得机能的等量关系.

21.(1)答案见解析

⑵h+co)

(3)证明见解析

【分析】(1)根据条件，结合性质HQ)的定义判断即可；

(2)根据/(x)=2+尤2,xe(0,1］与g(x)=」“具有性质”(/)”,可得tNxx(x+x)对x,

X12121

Xe(0,l］恒成立，再求出，的范围即可；

2

(3)根据条件，得到工+2hw-3=-!-+21nx-3,再构造函数，结合条件证明不等式即可.

%21%22

12

【详解】(1)由X,无eh,21，且Xwx,

1212

得2<x+x<4,即|x+x<4,

12112

贝"x+x\'x-x|<4|x-x,

即1x2-X2I<22x-2xI,

112112

即/(%])-/(兄2)(2年(')-4尤2)|,

则函数f(x)=X2,XJ,2]与g(x)=2无"具有性质H⑵”.