广东省汕头市2024年高考数学一模试卷(解析版)(文科)

2024年广东省汕头市高考数学一模试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满60分）

1.已知集合A={X|H2WO},B={0,1,2,3},则ACB=（）

x

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1}D.{1,2,3}

2.已知三2-i,则在复平面内，复数z对应的点位于（）

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限

3.一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中

有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率

为（）

A.—B.—C.—D.—

32646432

4.命题"ax?-2ax+3>0恒成立"是假命题，则实数a的取值范围是（）

A.0<a<3B.aVO或a23C.aVO或a>3D.aWO或a23

7.已知向量彳、E满意：W=2,bi=1>（/□那么向量W、E的夹角

为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

22厂

8.已知双曲线的方程为4•-弓=1（a>0,b>0）,过左焦点Fi作斜率为丝的

a'3

直线交双曲线的右支于点P,且y轴平分线段F1P,则双曲线的离心率为（）

A.MB.疾+1c.V2D.2+M

9.函数f（x）=cos2x的周期是T,将f（x）的图象向右平移工个单位长度后得到

4

函数g（x）,则g（x）具有性质（）

A.最大值为1,图象关于直线x=卷对称

B.在（0,二）上单调递增，为奇函数

C.在（/，<）上单点递增，为偶函数

OO

D.周期为H,图象关于点（/，0）对称

O

10.在四面体ABCD中，AB±AD,AB=AD=BC=CD=1,且平面ABD_1_平面BCD,M

为AB中点，则线段CM的长为（）

A-V2B-V3C.亨D.

11.过抛物线C：x2=2y的焦点F的直线I交抛物线C于A、B两点，若抛物线C

在点B处的切线斜率为1,则线段|AF|=（）

A.1B.2C.3D.4

12.在4ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，且满意b=c,-="呼,

acosA

若点O是aABC外一点，ZAOB=0（0<e<n）,OA=2,OB=1,则平面四边形

OACB面积的最大值是（）

4+W^8+浦4+遥

4・----------D.------------C.OU.-------------

442

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13.如图所示的程序框图，输出的S=—

14.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为

T

2

1

俯视图

I,(2,1)是目标函数z=ax+3y(a>0)

15.设非负实数x,y满意:

2x+y<5

取最大值的最优解，则a的取值范围是

16.若直角坐标系内A,B两点满意：（1）点A,B都在f（x）的图象上;

（2）点A,B关于原点对称，则称点对（A,B）是函数f（x）的一个“姊妹点对",

X2+2X(X<C0)

点对（A,B）与（B,A）可看作一个"姊妹点对"，已知函数f（x）=

-y(x>0)

e

则f（x）的“姊妹点对"有个.

三、解答题（本大题共5小题，共60分）

17.（12分）已知数列｛aj的前n项和为Sn，ai=2,an,i=Sn+2.

（1）求数列｛aj的通项公式；

（2）已知b=log2a求数歹I｛v_r---｝的前n项和T.

nn,bnbnMn

18.（12分）如图，在三棱柱ABC-AiBiJ中，AB,平面BB©C,且四边形BBiJC

是菱形，ZBCCi=60°.

（1）求证：ACilBiC；

（2）若AC_LABi，三棱锥A-BBiC的体积为在，求AABC的面积.

19.（12分）二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的运用年数x与

销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如下数据:

运用年数X234567

售价y201286.44.43

z=lny3.002.482.081.861.481.10

（1）由折线图可以看出，可以用线性回来模型拟合z与x的关系，请用相关数

加以说明；

（2）求y关于x的回来方程并预料某辆A型号二手车当运用年数为9年时售价

约为多少？（柒彳小数点后保留两位有效数字）.

（3）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请依据（2）求

出的回来方程预料在收购该型号二手车时车辆的运用年数不得超过多少年？

参考公式：回来方程；=gx+W中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

n__n

E)(y「y)£x^^y.-nxy

八i=li=l__________

ba=y-bx，

n_32-2

〉,灯-nx

i=li=l

n

£(x「x)(yi-y)

i=l

r22

(Xi-X)f(yx-?)

Vi=li=l

参考数据:

66

xy=187,4J2

£ii=47.64,£=139,£(xi-x)=4.18,

i=li=li=li=l

(%5)2=13.96,

胫(z「W)2=1.53,lnl.46^0.38,lnO.7118^-0.34.

Vi=l1

20.(12分)已知。为坐标原点，圆M：(x+1)2+y2=16,定点F(1,0),点

N是圆M上一动点，线段NF的垂直平分线交圆M的半径MN于点Q,点Q的

轨迹为E.

(1)求曲线E的方程；

(2)已知点P是曲线E上但不在坐标轴上的随意一点，曲线E与y轴的交点分

别为Bi、B2,直线BF和B2P分别与x轴相交于C、D两点,请问线段长之积

|OC|・|OD|是否为定值？假如是恳求出定值，假如不是请说明理由；

(3)在(2)的条件下，若点C坐标为(-1,0),过点C的直线I与E相交于

A、B两点，求4ABD面积的最大值.

21.(12分)已知函数f(x)=-x2+alnx,aGR.

(1)探讨函数f(x)的单调性；

(2)当a=4时，记函数g(x)=f(x)+kx,设x】、X2(xi<X2)是方程g(x)=0

的两个根，是、的等差中项，为函数的导函数，求证：g'

XoXix2g'(x)g(x)

(x0)<0.

四、选修题

22.(10分)已知曲线C的极坐标方程是p=6cos。，以极点为平面直角坐标系的

原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线I的参数方程是

|x=l+tcos0,/AL.43、

.”(t为参数).

iy=tsmU.

(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程(一般方程)；

(2)若直线I与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=2近，求直线的倾斜角a的

值.

五、选修题

23.(10分)已知函数f(x)=|x|+x-2

(1)求关于X的不等式f(x)V3的解集；

(2)假如关于x的不等式f(x)Va的解集不是空集，求实数a的取值范围.

2024年广东省汕头市高考数学一模试卷(文科)

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满60分)

1.已知集合A={x|三WO},B={0,1,2,3},则AAB=()

x

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1}D.{1,2,3}

【考点】交集及其运算.

【分析】求出A中不等式的解集确定出A,找出A与B的交集即可.

【解答】解：由A中不等式变形得：x(x-2)W0且xWO,

解得:0VxW2,即A=(0,2],

VB={0,1,2,3},

...AC1B={1,2},

故选:A.

【点评】此题考查了交集及其运算，娴熟驾驭交集的定义是解本题的关键.

2.已知田=27,则在复平面内，复数z对应的点位于()

1-1

A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限

【考点】复数代数形式的乘除运算.

【分析】利用已知条件求出复数z,得到对应点的坐标即可推断选项.

【解答]解：=2-i,

1-1

.。=(1-i)(2-i)=1-3i

/.z=l+3i

复数z对应点(1,3)在第一象限.

故选：A.

【点评】本题考查复数的基本运算，复数的几何意义，是基础题.

3.一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个球，从中

有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率

为()

A.—B.—C.—D.—

32646432

【考点】列举法计算基本领件数及事务发生的概率.

【分析】先求出基本领件总数n=8X8=64,再求出取得两个球的编号之和不小于

15包含的基本领件个数，由此能求出取得两个球的编号之和不小于15的概率.

【解答】解：一袋中装有大小相同，编号分别为1，2,3,4,5,6,7,8的八

个球，

从中有放回地每次取一个球，共取2次，

基本领件总数n=8X8=64,

取得两个球的编号之和不小于15包含的基本领件有：

(7,8),(8,7),(8,8),共3个，

.•.取得两个球的编号之和不小于15的概率为p=^-.

64

故选：C.

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要仔细审题，留意列举法的合

理运用.

4.命题"ax2-2ax+3>0恒成立"是假命题，则实数a的取值范围是()

A.0<a<3B.aVO或a23C.a<0或a>3D.aWO或a23

【考点】命题的真假推断与应用.

【分析】命题"ax?-2ax+3>0恒成立"是假命题，即存在x@R,使“ax?-2ax+3W0,

分类探讨即可.

【解答】解：命题"ax?-2ax+3>0恒成立"是假命题，即存在x£R,使“ax?-2ax+3

W0,

当a=0时，不符合题意；

当aVO时，符合题意；

当a>0时，Z\=4a2-12a20=aN3,

综上：实数a的取值范围是：aVO或a23.

故选：B

【点评】本题考查了命题的真假的应用，转化是关键，属于基础题.

5.

A.

【考点】对数函数的图象与性质.

【分析】先由奇偶性来确定是A、B还是C、D选项中的一个，再通过对数函数,

当x=l时，函数值为0,可进一步确定选项.

【解答】解：Yf(-x)=-f(x)是奇函数，

所以解除A,B

当x=l时，f(x)=0解除C

故选D

【点评】本题主要考查将函数的性质与图象，将两者有机地结合起来，并敏捷地

运用图象及其分布是数形结合解题的关键.

JT?7T

6.已知(―,n)，sina=--,则tan(a+—)=()

254

A.-B.7C.—D.-7

77

【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用.

【分析】由己知利用同角三角函数基本关系式可求cosa,tana的值，进而利用

两角和的正切函数公式即可计算得解.

TTQ

【解答】解：*.,ae(―,R)，sina=—,

25

/.cosa=-Vl-sin2-可得：tana=谭,

/冗、tana+141

.'.tan(a+—)

41-tanai-(V)7

故选：C.

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正切函数公式在三

角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.

7.已知向量W、E满意：1=2,苗=1，(彳-百吨=。，那么向量；、E的夹角

为()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面对量数量积的运算.

【分析】设向量热E的夹角为仇由数量积的定义代入已知可得关于cose的方

程，解之可得.

【解答】解：设向量w、E的夹角为&ee[o,2

则由题意可得(a-b)-K-b-b2

=2XlXcos0-12=o,

解之可得cos0=*,故0=60°

故选C

【点评】本题考查平面对量数量积的运算，涉及向量的夹角，属中档题.

22rr

8.已知双曲线的方程为\-J=1(a>0,b>0),过左焦点Fi作斜率为当的

a2b23

直线交双曲线的右支于点P,且y轴平分线段FiP,则双曲线的离心率为()

A.MB.a+1C.近D.2+73

【考点】双曲线的简洁性质.

【分析】先求过焦点Fi(-c,0)的直线I的方程，进而可得P的坐标，代入双

曲线方程，结合几何量之间的关系，即可求出双曲线的离心率.

【解答】解：由题意，过焦点Fi(-c,0)的直线I的方程为：y=*?(x+c),

•••直线I交双曲线右支于点P,且y轴平分线段FiP,

...直I交y轴于点Q(0

,则x+c=2c,"c,，P点坐标（c,£炉c）,

设点P的坐标为(x,y)

代入双曲线方程得：｛=1

2

a

又,.,c2=a2+b2,Ac2=3a2,:

•**e=—=^3

a

故选：A.

【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算实力，确定P的坐标是关

键.

9.函数f(x)=cos2x的周期是T,将f(x)的图象向右平移三个单位长度后得到

4

函数g(x),则g(x)具有性质()

A.最大值为1,图象关于直线x=卷对称

B.在(0,二)上单调递增，为奇函数

C.在(二，萼)上单点递增，为偶函数

OO

D.周期为H,图象关于点(浮，0)对称

O

【考点】函数y=Asin(u)x+4))的图象变换.

【分析】利用诱导公式，函数y=Asin(3X+6)的图象变换规律求得g(x)的解

析式，再依据正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，得出结论.

【解答】解：函数f(x)=cos2x的周期是丁=等=兀，将f(x)的图象向右平移]=[■

244

..,.1T

个单位长度后得到函数g(x)=cos2(x--)=sin2x的图象，

可得g(x)的最大值为1,当x=卷时，g(x)=0,不是最值，故它的图象不关

JT

于直线x=k对称，故解除A.

TT

g(x)在(0,亍)上单调递增，且g(x)为奇函数，故B正确.

在(普，-y)上，2xe(-子，子)，sin2x没有单调性，故g(x)没有

单调性，故C错误.

令x=?二求得g(x)=sin2x=乎，不是最值，故g(x)的图象不关于点(等,

0)对称，故D错误，

故选:B.

【点评】本题主要考查函数y=Asin（3x+。）的图象变换规律，正弦函数的单调

性以及它的图象的对称性，属于基础题.

10.在四面体ABCD中，AB1AD,AB=AD=BC=CD=1,且平面ABD平面BCD,M

为AB中点，则线段CM的长为（）

A.V2B.MC.D.

【考点】平面与平面垂直的判定.

【分析】如图所示，取BD的中点0,连接OA,OC,利用等腰三角形的性质可

得OALBD,OC1BD.又平面ABD_L平面BCD,可得0人1_平面BCD,OA1OC.建

立空间直角坐标系.又ABLAD,可得DB=«,取OB中点N,连结MN、CN,

22

.•.MN〃0A,MN,平面BCD./.CM=VMN+MN^-

【解答】解：如图所示，取BD的中点0,连接0A,0C,

VAB=AD=BC=CD=1,AOA±BD,OC±BD.

又平面ABDJ_平面BCD,...OA，平面BCD,OA±OC.

又ABJ_AD,，DB=亚.

取OB中点N,连结MN、CN,...MN〃0A,MN,平面BCD.

VMN2=ON2+OC2,

CMTMN2+M9二孚.

故选：c,

【点评】本题考查了空间线面位置关系、向量夹角公式、等腰三角形的性质，考

查了数形结合方法、推理实力与计算实力，属于中档题.

11.过抛物线c：x2=2y的焦点F的直线I交抛物线C于A、B两点，若抛物线C

在点B处的切线斜率为1,则线段|AF|=()

A.1B.2C.3D.4

【考点】抛物线的简洁性质.

【分析】利用抛物线C在点B处的切线斜率为1,求出B的坐标，可得直线I的

方程，利用抛物线的定义，即可求出|AF|.

【解答】M：Vx2=2y,.,.y=x,

...抛物线C在点B处的切线斜率为1,

.•.B(1,*),

Vx2=2y的焦点F(0,方)，准线方程为y=-p

直线I的方程为丫=*,

A|AFj=l.

故选:A.

【点评】本题考查抛物线的简洁性质，考查导数学问，正确运用抛物线的定义是

关键.

12.在AABC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，且满意b=c,-」一0号,

acosA

若点O是4ABC外一点，ZAOB=0(0<9<n),0A=2,OB=1,则平面四边形

OACB面积的最大值是()

4+573R8+573ro口奸泥

A.----------------D.-----------U.OU.---------

442

【考点】正弦定理；余弦定理.

【分析】由卜=上等，化为sinC=sinA,又b=c,可得aABC是等边三角形，设

acosA

该三角形的边长为a,则SoACB=[xiX2sin9+擀a?,利用余弦定理、两角和差的正

24

弦公式及其单调性即可得出.

【解答】解：由kJ.吁〉,化为sinBcosA=sinA-sinAcosB,

acosA

二•sin(A+B)=sinA,

.e.sinC=sinA,A,C£(0,n).

C=A,又b=c,

.•.△ABC是等边三角形，

设该三角形的边长为a,则：a2=l2+22-2X2Xcos0.

2

贝ISOACB=5X1X2sin0+^-a

24

=sin0+©(l2+22-2X2cos0)

4

=2sm(0------)+——,

34_

当0=名时，SOACB取得最大值竺婴.

64

故选：B.

【点评】本题考查了两角和差的正弦公式及其单调性、余弦定理、三角形的面积

计算公式，考查了推理实力与计算实力，属于中档题.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13.如图所示的程序框图，输出的S=88

【考点】程序框图.

【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变

量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的改变状况，可得答案.

【解答】解：模拟程序的运行，可得

S=0,k=l,

执行循环体，k=2,S=2

不满意条件k>5,执行循环体，k=3,S=7

不满意条件k>5,执行循环体，k=4,S=18

不满意条件k>5,执行循环体，k=5,S=41

不满意条件k>5,执行循环体，k=6,S=88

满意条件k>5,输出S的值为88.

故答案为：88.

【点评】本题考查的学问点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采

纳模拟循环的方法解答.

14.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为64+4K.

2'/2'!

<—4——4~~

正视图侧视图

—4—►

信祠图

【考点】由三视图求面积、体积.

【分析】几何体为长方体挖去一个半球，把三视图中的数据代入公式计算即可.

【解答】解：由三视图可知该几何体为长方体挖去一个半球得到的，长方体的棱

长分别为4,4,2,半球的半径为2.

，S=4X4+4X2X4+4X4-nX22+yX4HX22=64+4n.

故答案为64+4n.

【点评】本题考查了空间几何体的三视图和面积计算，属于基础题.

15.设非负实数x,y满意：，(2,1)是目标函数z=ax+3y(a>0)

{2x+y&5

取最大值的最优解，则a的取值范围是［6,+8).

【考点】简洁线性规划.

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用(2,1)

是目标函数z=ax+3y取最大值的最优解，得到直线z=ax+3y(a>0)斜率的改变,

从而求出a的取值范围.

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=ax+3y得y=-《ax+£z,即直线的截距最大，z也最大.

JJ

平移直线y=-£ax+得z,则直线的截距最大时，z也最大，

当a>0时，直线y=-£ax+^z,在A处的截距最大，此时满意条件.

OO

4a4-2

即a26,

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结

合的数学思想是解决此类问题的基本方法.

16.若直角坐标系内A,B两点满意：(1)点A,B都在f(x)的图象上；

(2)点A,B关于原点对称，则称点对(A,B)是函数f(x)的一个“姊妹点对",

x?+2x(x<0)

点对(A,B)与(B,A)可看作一个"姊妹点对"，已知函数f(X)=[2,、、，

e

则f(x)的“姊妹点对"有2个.

【考点】函数的值.

【分析】设P(x,y)(x<0),则点P关于原点的对称点为P'(-x,-y),

从而2ex+x2+2x=O,令6(x)=2ex+x2+2x,利用导数性质推导出函数力(x)在区

间(-2,-1),(-1,0)分别各有一个零点.由此能求出f(x)的“姊妹点

对"的个数.

【解答】解：设P(X,y)(x<0),则点P关于原点的对称点为P'(-x,-y),

2

于是一~=-(x?+2x),化为2ex+x2+2x=0,

e

令力(x)=2ex+x2+2x,下面证明方程6(x)=0有两解.

9

由X2+2XW0,解得-2WX<0,而~7>0(X20),.,.只要考虑X@［-2,0］即可.

e

求导巾'(x)=2ex+2x+2,

令g(x)=2ex+2x+2,则g'(x)=2ex+2>0,

.•.6‘(x)在区间［-2,0］上单调递增，

而4/(-2)=2e2-4+2<0,力，(-1)=2e1>0,

...巾(x)在区间(-2,0)上只存在一个极值点xo.

而力(-2)=2e-2>0,4)(-1)=2e-1-1<0,4(0)=2>0,

...函数。(x)在区间(-2,-1),(-1,0)分别各有一个零点.

也就是说f(x)的“姊妹点对"有2个.

故答案为：2.

【点评】本题考查函数的“姊妹点对”的个数的求法，是中档题，解题时要仔细审

题，留意函数性质的合理运用.

三、解答题(本大题共5小题，共60分)

17.(12分)(2024•汕头一模)已知数列｛a/的前n项和为Sn，ai=2,an.i=Sn+2.

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)已知bn=logan,求数歹!］｛T_T--｝的前n项和T.

2bnbrH-ln

【考点】数列的求和；数列递推式.

【分析】(1)由题意和a行Sn-Sn；化简已知的式子，由等比数列的定义推断出

数列｛an｝是等比数列，并求出公比和首项，由等比数列的通项公式求出an；

(2)由(1)和对数的运算性质化简bn，代入—化简后，利用裂项相消法

求出前n项和Tn.

【解答】解:(1)•；an+i=Sn+2,...当n22时,an=Sn.i+2,

两式相减得,3n+l3n=Sn_SR-l=3n，则3nl=23n，

所以亘吐=2(n22),

an

ai=2,/.a2=Si+2=4,满意二*=2,

al

...数列｛an｝是以2为公比、首项的等比数列,

n1n

则an=2«2'=2；

n

(2)由(1)得，bn=log2an=log22=n,

1111

bnbnHn(n+l)nn+1'

.,.Tn=(1-9++£0)+..•+

22334nn+1

=1±=3.

n+1n+1

【点评】本题考查等比数列的定义、通项公式，数列的前n项和与通项之间关系,

以及裂项相消法求数列的和，考查化简、变形实力.

18.（12分）（2024•汕头一模）如图，在三棱柱ABC-AiBRi中，AB_L平面BBiJC,

且四边形BBiCiC是菱形，ZBCCi=60°.

（1）求证：ACilBiC；

（2）若AC_LABi,三棱锥A-BBiC的体积为在，求AABC的面积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系.

【分析】（1）连结BCi，推导出ABJ_BiC,BiCIBCi，从而BiC,平面ABCi，由

此能求出ACilBiC.

（2）由AB_L平面BBiCiC,BC=BBi,知AC=ABi,由三棱锥A-BBiC的体积为Y5,

3

求出菱形BBiJC的边长，由此能求出aABC的面积.

【解答】证明：（1）连结BCi，

：ABJ_平面BBiJC,BiCu平面BBiJC,AABlBiC,

,四边形BB1C1C是菱形，，BiC，BCi,

VABnBCi=B,，BiC，平面ABJ,

VACi(=平面ABCi，AACilBiC.

解：(2)由AB_L平面BBiGC,BC=BBi,知AC=ABi,

设菱形BBiJC的边长为a,

•.•NBCCi=60°,.••BIC2=BC2+BB12-2BC・BB]・COS120°=3a2,

2222

VAC±ABi，AC+AB1=B1C=3a>/.AC=ABi=^a,

112

•.•ABJJ则面BBiJCBCu侧面BBiJC,/.AB±BC,

...在RtZ\ABC中，AB=〃C2_BC唔印

•..三棱锥A-BBiC的体积为母，

•••V_SX|XaXa><sinl200

ABB1C4^B1丝a善

,

解得a=2,AB=^^-az>y2BC=a=2,

.,.△ABC的面积SAABC=-1-XBCXAB=yX2X^^2-

【点评】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法及应用，是中档题,

解题时要仔细审题，留意空间思维实力的培育.

19.（12分）（2024•汕头一模）二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽

车的运用年数x与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如下数据：

运用年数X234567

售价y201286.44.43

z=lny3.002.482.081.861.481.10

下面是Z关于X的折线图:

（1）由折线图可以看出，可以用线性回来模型拟合Z与X的关系，请用相关数

加以说明；

（2）求y关于x的回来方程并预料某辆A型号二手车当运用年数为9年时售价

约为多少？（柒彳小数点后保留两位有效数字）.

（3）基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7118元，请依据（2）求

出的回来方程预料在收购该型号二手车时车辆的运用年数不得超过多少年？

参考公式：回来方程艮gx+彳中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

n__n

V.（*i-x）（y「y）£Xiyj-nxy

J2Ja&G

i=li=l

n__

£（x「x）（Vj-y）

i=l

r=In_n~—•

1忙（X「X）2£（y「y）2

Vi=li=l

参考数据：

666l~62-

2

£Xiy=187.4,£XjZj=47.64,£=139,£（x,-7）=4.18,

i=li=li=lVi=l

K仇与）2=13.96，

（z「W）2=1.53,lnl.46%0.38,lnO.7118^-0.34.

【考点】线性回来方程.

【分析】（1）由题意计算彳、z-求出相关系数r,推断z与x的线性相关程度;

（2）利用最小二乘估计公式计算£、a，写出z与x的线性回来方程，

求出y关于x的回来方程，计算x=9时;的值即可；

（3）利用线性回来方程求出;20.7118时x的取值范围，即可得出预料结果.

【解答】解：⑴由题意，计算星9（2+3+4+5+6+7）=4.5,

—1

=—X(3+2.48+2.08+1.86+1.48+1.10)=2,

Z6

61-6

旦£XiZj=47.64>(x-—x)=4.18,

i=lVi=l'

Jz(z「z)=L53,

!i=l

n__

£(x「x)(Vj-y)

•-i=l___________________

2

\忙(X「X)2£(yi-y)

Vi=li=l

^47.64-6X4.5X2

--4.18X1.53

__A36(成-3b)

6.39546.40

«=s-0.99；

，z与x的相关系数大约为0.99,说明z与x的线性相关程度很高;

（2）利用最小二乘估计公式计算

n

,二之T1xiv1-nxv47.64-6X4.5X2二_^36

b2

~~^~~2~2~139-6X4.5~

£xi-nx

i=l

a=z-^^=2+0.36X4.5=3.62,

，z与x的线性回来方程是:'=-0.36X+3.62,

又z=lny,

Ay关于x的回来方程是：=e936x+3.62；

令x=9,解得^=6-036X9-3.62^!46,

即预料某辆A型号二手车当运用年数为9年时售价约1.46万元；

（3）当j》0.7118时，e0.36x13.627118=elnO.7U8=e0.34?

，-0.36x+3.622-0.34,

解得xWll,

因此预料在收购该型号二手车时车辆的运用年数不得超过11年.

【点评】本题考查了线性回来方程与线性相关系数的求法与应用问题，计算量大,

计算时要细心.

20.（12分）（2024•汕头一模）已知0为坐标原点，圆M：（x+1）2+y2=16,

定点F（1,0）,点N是圆M上一动点，线段NF的垂直平分线交圆M的半径

MN于点Q,点Q的轨迹为E.

（1）求曲线E的方程；

（2）已知点P是曲线E上但不在坐标轴上的随意一点，曲线E与y轴的交点分

别为Bi、B2,直线BiP和B2P分别与x轴相交于C、D两点，请问线段长之积

|OC|・|OD|是否为定值？假如是恳求出定值，假如不是请说明理由；

（3）在（2）的条件下，若点C坐标为（-1,。），过点C的直线I与E相交于

A、B两点，求4ABD面积的最大值.

【考点】直线和圆的方程的应用.

【分析】（1）通过连结FQ,利用中垂线的性质及椭圆的定义即得结论;

（2）证明：设P（xo，yo）,可得3X02=4（3-yo2）,直线BiP的方程为:

丫=飞邑S令y=。，得XL款’同理得*产V3x0

,

V3-y0

22

3xn

IOC•OD|=|xc|•|xDI=I--------pI=4(定值)；

s-y0

(3)当点C的坐标为(-1,0)时，点D(-4,0),|CD|=3,

设直线I的方程为：x=my-1,A(xi，yi),B(x2,72)

x=my-l

联立D得(3m2+4)y2-6my-9=0

3x^+4y=12

解得：力沔6*+1,31rHym2+]

3ir/+43m2+4

12ym

lyi丫21=△ABD面积s=yXlyi

3ID2+4

312,7in2+l1841rl18

y21='

23m2+43m2+4

【解答】（1）解：连结FQ,则FQ=NQ,

•.•MQ+FQ=MQ+QN=MN=4>ME,椭圆的定义即得点Q的轨迹为以点M、F为焦

点，长轴为4的椭圆

，2a=4,即a=2,又二•焦点为(1,0),即c=l,

b2=a2-c2=4-1=3,

22

故点Q的轨迹C的方程为：工+

431

Vo+炳

（2）证明：设P（xo,y°）,直线BiP的方程为:y=——x-Vr3-

x0

*/ox

V3x0

令y=°'得xc=M'同理得乂产

By。'

|OC|.|OD|=|XC|.|XD|=I^4

3-y0

22

2

•.•点P是曲线E上但不在坐标轴上的随意一点,^0_,l0__即3X0=4(3

4+3T

-yo2)»

22

__1=4,|OC|・|OD|是否为定值4.

4+3T

（3）当点C的坐标为（-1,0）时，点D（-4,0),|CD|=3,

设直线I的方程为：x=my-1,A（xi，yi），B（X2，y2）

x=my-l

联立得(3m2+4)y2-6my-9=0

3x'+4y=12

解得._包£位担_3斓1112+1

.3m2+4，77r3m2+4

121/m2+l

，△面积

lyi-y2|=1也+1ABDs=gxiyi

3m'+42

••♦/初>1，依据•••y=3x+《在［1，+8)递增可得34百

J89

s《才至

/.m=0,即直线AB：x=-l时，"BD面积的最大为微.

【点评】本题考查了轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系，主要考查运算实

力，属于难题.

21.(12分)(2024•汕头一模)已知函数f(x)=-x2+alnx,a£R.

(1)探讨函数f(x)的单调性；

(2)当a=4时，记函数g(x)=f(x)+kx,设xi、X2(xi<X2)是方程g(x)=0

的两个根，是、的等差中项，为函数的导函数，求证：g'

XoXix2g'(x)g(x)

(x0)<0.

【考点】利用导数探讨函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.

【分析】(1)求出函数的导数，通过探讨a的范围求出函数的单调区间即可；

o}2(­-1)

X1/IX]XJxX1

(2)求出函数g(x)的导数，问题转化为-2=一9—，令t=-L,

X+X*x

X2l22+i2

x2

即tw°D,问题转化为证Intv铲2一击,令h(t)6t+击-2,

(0<t<l),依据函数的单调性证明即可.

【解答】解：(1)函数f(x)的定义域是(0,+8),

2

又f'(x)=-5--2x=-2^-22.,

xx

aWO时，在(0,+8)上f(x)是减函数，

a>0时，f(x)=0,得：、1=在或X2=-有(舍)，

在(0,患)上，f(x)>0,f(x)是增函数，

在(雪，+8)上‘f(X)<0,f(X)是减函数；

证明：(2)Vg(x)=4lnx-x2+kx,

/.g'(x)=—-2x+k,

又xi+x2=2xo,

g(X[)=41nx「xJ+kX[=O

,•,2，

g(X2)-4