湖南省邵阳市城步县2024届中考数学考前最后一卷含解析

湖南省邵阳市城步县2024届中考数学考前最后一卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，。。的直径AB垂直于弦CD,垂足为E.若NB=60°,AC=3,则CD的长为

A.6B.26C.73D.3

2.“a是实数，a?NO”这一事件是（）

A.不可能事件B.不确定事件C.随机事件D.必然事件

3.不等式5+2x<1的解集在数轴上表示正确的是（）.

4.如图，数轴上有A,B,C,D四个点，其中表示互为相反数的点是

4B1]£]>

-2-1012

A.点A和点CB.点B和点D

C.点A和点DD.点B和点C

5.已知点P（-2,4）,与点P关于V轴对称的点的坐标是（）

A.（-2,-4）B.（2,T）C.（2,4）D.（4,-2）

6.如图，将AABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E,点A的对应点为点D,当点E恰好落在边AC上时,

连接AD,若NACB=30。，则NDAC的度数是（）

A.60B.65C.70D.75

7.如图，PA和PB是。O的切线，点A和B是切点，AC是。O的直径，已知NP=40。，则NACB的大小是()

8.下列运算正确的是()

A.痴-布=由B.J(-3)2=-3C.a»a2=a2D.(2a3)2=4a6

9.如图，在6x4的正方形网格中，△ABC的顶点均为格点，贝！JsinNACB=()

A.-B.2C.-D.

254

10.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片

瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为()

x+y=100

x+y=100+y=100x+y=100

A.〈B.\C.\1D.《

3x+3y=100[%+3y=1003x+_y=iQQ3x+y=100

11.如图是某个几何体的三视图，该几何体是()

A.三棱柱B.三棱锥C.圆柱D.圆锥

12.已知数“、方、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+"-|c-"的结果是（）

II■

40b

A.a+bB.-a-cC.a+cD.a+2b-c

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.如图，在AABC中，ZC=90°,D是AC上一点，DE±AB于点E,若AC=8,BC=6,DE=3,则AD的长为

x=2ax+by-5

14.已知=］是方程组｛-］的解，则a-b的值1--------------

15.某校九年级（1）班40名同学中，14岁的有1人，15岁的有21人，16岁的有16人，17岁的有2人，则这个班

同学年龄的中位数是__岁.

16.一元二次方程（1-左）f-2x-1=。有两个不相等的实数根，则上的取值范围是.

17.如图，BD是。O的直径，BA是。O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C,OELAB于E,且AB=AC,若

CD=20,则OE的长为

18.已知一个菱形的边长为5,其中一条对角线长为8,则这个菱形的面积为.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图1,定义：在直角三角形ABC中，锐角a的邻边与对边的比叫做角a的余切，记作ctana,即ctana

=鬻瞪=蔡，根据上述角的余切定义，解下列问题：

（1）如图1,若BC=3,AB=5,贝ctanB=；

（2）ctan60°=；

（3）如图2,已知：△ABC中，NB是锐角，ctanC=2,AB=10,BC=20,试求NB的余弦cosB的值.

20.（6分）知识改变世界，科技改变生活.导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图，某校组织学生乘车到黑

龙滩（用C表示）开展社会实践活动，车到达A地后，发现C地恰好在A地的正北方向，且距离A地13千米，导航

显示车辆应沿北偏东60。方向行驶至B地，再沿北偏西37。方向行驶一段距离才能到达C地，求B、C两地的距离.（参

434

考数据：sin53°=-,cos53°--,tan53°=-）

553

2—x

21.（6分）已知：不等式一-<2+x

3

（1）求不等式的解；

（2）若实数a满足a>2,说明a是否是该不等式的解.

22.（8分）如图，在AABC中，已知AB=AC=5,BC=6,_&△ABCg△DEF,将ADEF与△ABC重合在一起，AABC

不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过点A,EF与AC交于M点.

（1）求证：ZkABEs/\ECM；

（2）探究：在ADEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；

（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积.

23.（8分）解方程：x2-4x-5=0

24.（10分）如图，在AABC中，AB=AC,ZABC=72°.

（1）用直尺和圆规作NABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）;

(2)在(1)中作出NABC的平分线BD后，求NBDC的度数.

k

25.(10分)如图，在平面直角坐标系中，直线yi=2x+b与坐标轴交于A、B两点，与双曲线y,=—(x>0)

x

交于点C,过点C作CDLx轴，垂足为D,且OA=AD,点B的坐标为(0,-2).

k

(1)求直线yi=2x+b及双曲线％=—(x>0)的表达式；

x

k

(2)当x>0时，直接写出不等式一>2%+b的解集；

x

k

(3)直线x=3交直线yi=2x+b于点E,交双曲线为=—(x>0)于点F,求△CEF的面积.

26.(12分)如图，小明在一块平地上测山高，先在5处测得山顶A的仰角为30。，然后向山脚直行60米到达C处,

再测得山顶A的仰角为45。，求山高AO的长度.(测角仪高度忽略不计)

27.(12分)如图，已知抛物线y=gx2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A(0,1),点B(-9,10),AC〃x

轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)过点P且与y轴平行的直线1与直线AB、AC分别交于点E、F,当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标;

(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q,使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存

在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、D

【解题分析】

解:因为AB是。O的直径，所以NACB=90。,又。O的直径AB垂直于弦CD,ZB=60°，所以在RtAAEC中，ZA=30°,

13

又AC=3,所以CE=—AB=-，所以CD=2CE=3,

22

故选D.

【题目点拨】

本题考查圆的基本性质；垂经定理及解直角三角形，综合性较强，难度不大.

2、D

【解题分析】

。是实数，|。|一定大于等于0,是必然事件，故选D.

3、C

【解题分析】

先解不等式得到xV-L根据数轴表示数的方法得到解集在-1的左边.

【题目详解】

5+lx<l,

移项得lx<-4,

系数化为1得x<-l.

故选C.

【题目点拨】

本题考查了在数轴上表示不等式的解集：先求出不等式组的解集，然后根据数轴表示数的方法把对应的未知数的取值

范围通过画区间的方法表示出来，等号时用实心，不等时用空心.

4、C

【解题分析】

根据相反数的定义进行解答即可.

【题目详解】

解：由A表示-2,B表示-1,C表示0.75,D表示2.

根据相反数和为0的特点，可确定点A和点D表示互为相反数的点.

故答案为C.

【题目点拨】

本题考查了相反数的定义，掌握相反数和为0是解答本题的关键.

5、C

【解题分析】

根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案.

【题目详解】

解：点P(-2,4),与点尸关于V轴对称的点的坐标是(2,4),

故选：C.

【题目点拨】

本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同,

纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互

为相反数.

6、D

【解题分析】

由题意知：

AZACB^ZDCE=30°,AC=DC,

：.ZDAC=(180°-Z£)CA)4-2=(180°-30°)4-2=75°.

故选D.

【题目点拨】

本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等.②对应点与旋转中心

所连线段的夹角等于旋转角.③旋转前、后的图形全等.

7、C

【解题分析】

试题分析:连接OB,根据PA、PB为切线可得：NOAP=NOBP=90。,根据四边形AOBP的内角和定理可得NAOB=140。,

VOC=OB,贝)NC=NOBC,根据NAOB为△OBC的外角可得：ZACB=140°4-2=70°.

考点：切线的性质、三角形外角的性质、圆的基本性质.

8、D

【解题分析】

试题解析：A.亚与《不是同类二次根式，不能合并，故该选项错误；

B.CP=3,故原选项错误；

23

C.a-a=a，故原选项错误；

D-=4合故该选项正确•

故选D.

9、C

【解题分析】

BD

如图，由图可知BD=2、CD=KBC=百，根据sinNBCA=—可得答案.

BC

【题目详解】

解：如图所示，

VBD=2>CD=1,

二BC=ylBD2+CD2=6+仔=旧，

BD22A/5

则sinZBCA=——=丁=且

BCV55

故选C.

【题目点拨】

本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握正弦函数的定义和勾股定理.

10、C

【解题分析】

设大马有X匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①大马数+小马数=100;②大马拉瓦数十小马拉瓦数=100,

根据等量关系列出方程组即可.

【题目详解】

x+y=100

解：设大马有x匹，小马有y匹，由题意得：°1,cc，

3%+—^=100

故选C.

【题目点拨】

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组.

11、A

【解题分析】

试题分析：观察可得，主视图是三角形，俯视图是两个矩形，左视图是矩形，所以这个几何体是三棱柱，故选A.

考点：由三视图判定几何体.

12、C

【解题分析】

首先根据数轴可以得到a、b、c的取值范围，然后利用绝对值的定义去掉绝对值符号后化简即可.

【题目详解】

解：通过数轴得到a<0,c<0,b>0,|a|<|b|<|c|,

.,.a+b>0,c-b<0

/.|a+b|-|c-b|=a+b-b+c=a+c,

故答案为a+c.

故选A.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、1

【解题分析】

如图，由勾股定理可以先求出AB的值，再证明△AEDsaACB,根据相似三角形的性质就可以求出结论.

【题目详解】

在RtAABC中，由勾股定理.得

AB=764+36=10,

VDE1AB,

.•.ZAED=ZC=90°.

VZA=ZA,

/.△AED^AACB,

•DE_AD

"BC-AB；

.3AD

••一―---,

610

,\AD=1.

故答案为1

【题目点拨】

本题考查了勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时求出△AEDs^ACB是解答本题的关键.

14、4;

【解题分析】

x=22a+Z?=5（2）

试题解析：把।代入方程组得：｛,，〜，

[y=12b+a=l②

①x2-②得：3a=9,即a=3,

把a=3代入②得：b=-l,

则a-b=3+l=4,

15、1.

【解题分析】

根据中位数的定义找出第20和21个数的平均数，即可得出答案.

【题目详解】

解：•.•该班有40名同学，

...这个班同学年龄的中位数是第20和21个数的平均数.

；14岁的有1人，1岁的有21人，

这个班同学年龄的中位数是1岁.

【题目点拨】

此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平

均数），熟练掌握中位数的定义是本题的关键.

16、左<2且左W1

【解题分析】

根据一元二次方程的根与判别式A的关系，结合一元二次方程的定义解答即可.

【题目详解】

由题意可得，1-片0,A=4+4（1-k）>0,

；.k<2且片1.

故答案为k<2且k^l.

【题目点拨】

本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解题中要注意不要漏掉对二次项系数1次邦的考虑.

17、V2

【解题分析】

连接。4,所以NQ4C=90。，因为所以N3=NC,根据圆周角定理可知NAOZ>=2N3=2NC,故可求出

N3和NC的度数，在RtAQ4c中，求出。4的值，再在RtAQ4E中，求出0E的值，得到答案.

【题目详解】

连接。4,

由题意可知NQ4C=90。，

'：AB^AC,

:.NB=NC,

根据圆周角定理可知NAOZ>=2N3=2NC,

'：ZOAC=90°

/.ZC+ZAOD=90°,

/.ZC+2ZC=90°,

故NC=30°=NB,

*OA1

•>在RtAOAC中，sinNzC=-----——,

OC2

：.OC=2OA,

•：Ok=OD,

：.OD+CD=2OA,

：.CD=OA=2y/2,

；OB=OA,

：.ZOAE=ZB=30°,

*»OE1

.•.在RtAOAE中，sinZOAE=—=-,

OA2

：.OA^2OE,

1「

：.OE=-OA=y/2,

故答案为

【题目点拨】

本题主要考查了圆周角定理，角的转换，以及在直角三角形中的三角函数的运用，解本题的要点在于求出的值,

从而利用直角三角形的三角函数的运用求出答案.

18、1

【解题分析】

；.AC_LBD,OB=-BD=4,

2

：•OA=y/AB2—OB2=3,

/.AC=2OA=6,

11

,这个菱形的面积为:一AC・BD=—x6x8=L

22

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、(1)-；(2)(3)

45

【解题分析】

试题分析：(1)先利用勾股定理计算出AC=4,然后根据余切的定义求解;

(2)根据余切的定义得到ctan60*—%,然后把tan6(T=«代入计算即可;

tanbu

ur

(3)作AH1BC于H,如图2,先在RtAACH中利用余切的定义得到ctanC=^=2,则可设AH=x,CH=2x,BH=BC

AH

222

-CH=20-2x,接着再在RtAABH中利用勾股定理得到(20-2x)+x=10,解得xi=6,x2=10(舍去)，所以BH=8,

然后根据余弦的定义求解.

解：⑴VBC=3,AB=5,

•*-AC=J52-32=4,

/.cta„B=^=3

AC4

1

(2)ctan60°=L=V3.

tan600V33'

(3)作AHLBC于H,如图2,

在RtAACH中，ctanC=—=2,

AH

设AH=x,贝！］CH=2x,

.*.BH=BC-CH=20-2x,

在R3ABH中，VBH2+AH2=AB2,

/.（20-2x）2+x2=102,解得xi=6,X2=10（舍去）,

/.BH=20-2x6=8,

考点：解直角三角形.

20、（20-56）千米.

【解题分析】

分析：作BDJLAC,设AD=x,在RtAABD中求得BD=在RtABCD中求得CD=±8

,由AC=AD+CD建

3

立关于x的方程，解之求得x的值，最后由BC=———可得答案.

cos/DBC

详解：过点B作BDJ.AC,

依题可得：ZBAD=60°,ZCBE=37°,AC=13（千米）,

VBD1AC,

.\ZABD=30°,ZCBD=53°,

在RtAABD中，设AD=x,

AD

/.tanZABD=-----

BD

即tan30°=-,

BD3

:.BD=Gx,

在RtADCB中,

,CD

..tanNCBD=-----

BD

CD4

即tan53°=——=

BD3

，"警

VCD+AD=AC,

・・.x+WI^=13,解得，X=4A/3-3

3

：•BD=12-3^/3,

在RSBDC中,

BD

:.cos^CBD=tan60°=-----,

BC

即:BC=COKBC==20—56（千米）,

5

故B、C两地的距离为(20-56)千米.

点睛：此题考查了方向角问题.此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角

函数的知识求解.

21、(1)x>-1；(2)a是不等式的解.

【解题分析】

(1)根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得.

(2)根据不等式的解的定义求解可得

【题目详解】

解：(1)去分母得：2-xW3(2+x),

去括号得：2-x<6+3x,

移项、合并同类项得：-4xW4,

系数化为1得：x>-l.

(2)Va>2,不等式的解集为xN-1,而2>-1,

•••a是不等式的解.

【题目点拨】

本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键

22、（1）证明见解析；（2）能；BE=1或以；（3）—

625

【解题分析】

(1)证明：VAB=AC,

/.ZB=ZC,

VAABC^ADEF,

，NAEF=NB,

又•:ZAEF+ZCEM=ZAEC=ZB+ZBAE,

；.NCEM=/BAE,

/.△ABE^AECM；

(2)能.

VZAEF=ZB=ZC,且NAME>NC,

/.ZAME>ZAEF,

，AE彳AM；

当AE=EM时，贝!]△ABE也△ECM,

/.CE=AB=5,

:.BE=BC-EC=6-5=1,

当AM=EM时，则NMAE=NMEA,

ZMAE+NBAE=ZMEA+ZCEM,即ZCAB=ZCEA,

又

/.△CAE^ACBA,

CEAC

~AC^~CB

.3工至

CB6

25

66

一11

；.BE=1或一；

6

(3)解：设BE=x,

又「△ABEs/VECM,

.CMCECM6-x

>.----=----,即an：-----=-----

BEABx5

.\CM=--+-x=--(x-3y+2,

5555

.,.AM=5-CM=1(x-3)2+y,

.•.当x=3时，AM最短为

又；当BE=x=3=-BC时,

2

.,.点E为BC的中点，

•\AE±BC,

：•AE=VAS2-BE2=4，

此时，EF_LAC,

_ir\

：.EM=VCE2-CM2=—,

5

_U,1612_96

25525

23、xi="-1,"X2=5

【解题分析】

根据十字相乘法因式分解解方程即可.

24、(1)作图见解析(2)ZBDC=72°

【解题分析】

解；(1)作图如下：

(2):在△ABC中,AB=AC,ZABC=72°,

AZA=180°-2ZABC=180°-144°=36°.

；AD是NABC的平分线，.*.ZABD=-ZABC=-x72°=36°.

22

■:ZBDC是4ABD的外角，/.ZBDC=ZA+ZABD=36°+36°=72°.

(I)根据角平分线的作法利用直尺和圆规作出NABC的平分线：

①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点E、F；

②分别以点E、F为圆心，大于!EF为半径画圆，两圆相较于点G,连接BG交AC于点D.

(2)先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出NA的度数，再由角平分线的性质得出

ZABD的度数，再根据三角形外角的性质得出NBDC的度数即可.

4

25、(1)直线解析式为yi=2x-2,双曲线的表达式为y2=—(x>0)；(2)0<x<2；

(3)-

3

【解题分析】

(1)将点B的代入直线yi=2x+b,可得b,则可以求得直线解析式；令y=0可得A点坐标为(1,0),又因为OA

=AD,则D点坐标为(2,0),把x=2代入直线解析式，可得y=2,从而得到点C的坐标为(2,2),在把(2,2)

k4

代入双曲线y2=—，可得k=4,则双曲线的表达式为y2=—(x>0).

XX

(2)由x的取值范围，结合图像可求得答案.

49

(3)把x=3代入y2函数，可得y=、；把x=3代入yi函数，可得y=4,从而得到EF：,由三角形的面积公式可

得SACEF=­.

3

【题目详解】

解：(1)将点B的坐标(0,-2)代入直线yi=2x+b,可得

-2=b,

・•・直线解析式为yi=2x-2,

令y=0,则x=L

/.A(1,0),

VOA=AD,

AD(2,0),

把x=2代入yi=2x-2,可得

y=2,

・••点C的坐标为(2,2),

把(2,2)代入双曲线y2=—，可得k=2x2=4,

x

4

・•・双曲线的表达式为yz=—(x>0)；

(2)当x>0时，不等式8>2x+b的解集为0VxV2；

X

44

(3)把x=3代入y2=—,可得y=—;把x=3代入yi=2x-2,可得y=4,

x3

4Q

，EF=4-—

33

18.4

SACEF=-x—x(3-2)=一，

233

4

AACEF的面积为一.

3

【题目点拨】

本题考察了一次函数和双曲线例函数的综合；熟练掌握由点求解析式是解题的关键；能够结合图形及三角形面积公式

是解题的关键.

26、30(0+1)米

【解题分析】

设在RtAAC。中，根据正切的概念用x表示出C。，在RtAAB。中，根据正切的概念列出方程求出x的

值即可.

【题目详解】

由题意得，ZAB£>=30°,ZACD=45°,BC=60m,

设AO=x»z,

-qAD

在R3ACD中，VtanZACP=——

CD

/.CD=AD=x,

：.BD=BC+CD=X+6^9

AD

在RtAABD中,,:tanZABZ)=

BD

x=(x+60),

・•・%=30(6+1)米,

答：山高40为30(逐+1)米.

【题目点拨】

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.

27、(1)抛物线的解析式为y='x2-2x+L⑵四边形AECP的面积的最大值是学，点P(2,-1)；⑶Q(4,1)