河北省唐山市2022-2023学年高一年级下册期末数学 含解析

唐山市2022~2023学年度高一年级第二学期期末考试

数学试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡相应位置上.将条

形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑;

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案涂在试卷上一律无效.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和改正带.不按

以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回，

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设复数z=l-，，则复平面内z表示的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】求出复数z在复平面内对应的点的坐标，由此可得出结论.

【详解】Z=l-i,则复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,-1),

因此，复平面内z表示的点位于第四象限.

故选：D.

【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限的判断，属于基础题.

2.已知a=(l,m)，6=(2,4),若a〃b，则冽为()

A.-3B.-2C.0D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根据平面向量平行的坐标表示可得结果.

【详解】因为a=(l,m)，1=(2,4),alb

所以1*4—2帆=0,得加=2.

故选：D

3.某种新型牙膏需要选用两种不同的添加剂，现有芳香度分别为1,2,3,4的四种添加剂可供选用，则

选用的两种添加剂芳香度之和为5的概率为（）

AJ11B.-1C.-1D.-

2345

【答案】B

【解析】

【分析】利用列举法列出所有可能情况，再根据古典概型的概率公式即可得解.

【详解】从芳香度为1,2,3,4的四种添加剂中随机抽取两种添加剂，

其可能结果有（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）共6个，

其中选用的两种添加剂芳香度之和为5的结果有（1,4）,（2,3）共2个，

则所求概率为尸=2=工.

63

故选：B.

4.在正三棱柱ABC-AgG中，AB=A4=2,E为棱AC的中点，则异面直线4E与所成角的余

弦值为（）

A.&B.一旦C.—D.一立

101055

【答案】A

【解析】

【分析】先利用线线平行确定异面直线4E与所成角的角，再利用勾股定理求得从而利用

余弦定理即可得解.

【详解】记A5的中点为尸，连接ERA77,如图，

因为E为棱AC的中点，歹为A3的中点，所以跖//BC,

所以幺斯为异面直线A】E与的所成角（或补角），

因为在正三棱柱ABC-AgG中，AB=AAi=2,

所以45==迅，AF=小,EF=BC=1,

g、i尸AZ7Z7rh/人\E2+EF2—A1F25+1—5_旦

所以在尸中，cosZAEF=--------------------——=------T=—二

2A.EEF2x75x1"lo'

所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为逝.

10

故选：A.

5.为了解某块田地小麦的株高情况，随机抽取了10株，测量数据如下（单位cm）：60,61,62,63,65,

65,66,67,69,70,则第40百分位数是（）

A.62B.63C.64D.65

【答案】c

【解析】

【分析】根据求百分位数的定义求解可得结果.

【详解】因为10x40%=4为整数，

所以第40百分位数是如士国=64.

2

故选：C

6.若圆锥的底面半径为石，高为1,过圆锥顶点作一截面，则截面面积的最大值为（）

A.2B.百C.2nD.26兀

【答案】A

【解析】

【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出卷龙面面积的取值的最大值，由此得解.

【详解】依题意，设圆锥的母线长为/,则/=后1=2,

设圆锥的轴截面的两母线夹角为。，则©os0=2、+2'-（2屈=_

__1，

2x2x22

2兀

因为0＜。＜兀，所以。=——，

3

（2d

则过该圆锥的顶点作截面，截面上的两母线夹角设为a,a^\Q,—

I兀

故截面的面积为S=—x2x2xsin（z<2,当且仅当。=—时，等号成立，

22

故截面的面积的最大值为2.

故选：A.

7.从5名男生和4名女生中任选3人去参加学校“献爱心，暖人心”下列各事件中，互斥不对立的是（）

A.“至少有1名女生”与“都是女生”

B.“至少有1名女生”与“至少有1名男生”

C.“恰有1名女生”与“恰有2名女生”

D.“至少有1名女生”与“至多有1名男生”

【答案】C

【解析】

【分析】根据互斥事件的定义判断ABD都不是互斥事件，再结合对立事件的定义判断C.

【详解】“至少有1名女生”与“都是女生”，能够同时发生，如3人都是女生，所以不是互斥事件，A

错；

“至少有1名女生”与“至少有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，B错；

“至少有1名女生”与“至多有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，D错；

“恰有1名女生”与“恰有2名女生”不能同时发生，所以是互斥事件，又因为“恰有1名女生”与

“恰有2名女生”之外，还可能有“没有女生”与“恰有3名女生”两种情况发生，即“恰有1名女生”

与“恰有2名女生”可以同时不发生，所以不是对立事件，C正确.

故选：C.

7T

8.在.ABC中，角A,尻C的对边分别是。也c,已知A=§,。=2.若

（sinA—sinB）（6ZsinA+Z?sinB）—（41—Z?）sin2C=0,则ABC的面积为（）

A.6B.也或空~C.冥।D.1或2

33

【答案】B

【解析】

【分析】根据正弦定理角化边可得或4+从=02,分两种情况解三角形可得结果.

【详解】由（534-51115）（。534+加近6）—（4一瓦）532。二。及正弦定理得

（〃一人）（〃2+/72）-（（7-Z?）C2=0，

得a=Z?或"+k二，，

若a=b,因为A=g,a=2,所以Z?=c=2,5,ARC=—Z?csin—=—x2x2x^-=y/3»

3.ABC2322

jr

若储+人2=。2,则三角形ABC为直角三角形，C=-,

2

h讣4兀ccciM71,2^301,1c2百2A/3

因为A=不，a=2,所以3d=7，b=-----，S,=—t/Z?=—x2x------=------.

363iKr2233

综上所述：1ABe的面积百或2叵.

3

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知一组数据3,5,6,9,9,10的平均数为最，方差为$2,在这组数据中加入一个数据7后得到一组

新数据，其平均数为；人/'，方差为S'?,则下列判断正确的是（）

；f22

A.A--AB.人、-4C.s=s'D.My

【答案】AD

【解析】

【分析】根据平均数和方差的计算公式求解，即可判断各选项.

【详解】对于AB,x=-|x（3+5+6+9+9+10）=7,x,=1x（3+5+6+9+9+10+7）=7,

所以；A正确，B错误；

对于CD,52=lxr（3-7）2+（5-7）2+（6-7）2+（9-7）2+（9-7）2+（10-7）2l=—,

6LJ3

2222222

=lxr（3-7）+（5-7）+（6-7）+（9-7）+（9-7）+（10-7）+（7-7）l=—

7--7

所以Y>s，2,C错误，D正确.

故选：AD

10.在金。中，下列结论正确的是（）

A.若/>6,贝sinA>sin5B.若sinA>sin5,则/>2?

C.若力>B,贝1Jsin2A>sin25D.若。为钝角，则sinA<cos5

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于AB,利用大角对大边与正弦定理的边角变换即可判断；对于C,举反例排除即可；对于D,

利用正弦函数的单调性即可判断.

【详解】对于A,由大角对大边知，若/>B,则

所以由正弦定理得sinA>sin6,故A正确；

对于B,sinA>sinB,则由正弦定理得

所以由大边对大角/>B,故B正确；

对于C,取A=120。，B=30°,则sin2A=sin240°<0,sin2B=sin600>0,

所以sin2A>sin26不成立，故C错误；

TTTTTTJTTT

对于D,若C为钝角，则A+B<—,0<A<—,0<8<—,所以0<A<——B<~,

21212'2'

因为y=sinx在1上单调递增，所以sinA<—=cos5,故D正确.

故选：ABD.

11.若z-Z2是关于x的方程》2一2%+2=0的两个虚根，贝U()

A.Z\=z2B.z；+z]>0

c.(Z]+Z2)2>0D.>0

【答案】ACD

【解析】

【分析】解方程可得％=生旦=1土i,不妨令z=l+i,Z2=l-i,分别计算各选项即可判断.

2一

【详解】因为f―2%+2=0,所以A=(—2)2—4x1x2=—4,

根据求根公式可得x=2土户=1土i,

2

又2],Z2是关于X的方程%2一2%+2=0的两个虚根，不妨令Z]=l+i/2=l-i.

对于A,z、=z?,A正确；

对于B,z；+z；=(l+iy+(l—i)2=2i—2i=0,B错误;

②当点尸在（不含点B）上时，则=所以（x-l,y）=m:,化简丁=百（%—1）,

2J

所以2+〃=%+6y=x+3（%-1）=4%-3,

3

因为所以1<4]—3<3,即2+〃£（1,3]；

③当点尸在CD（不含点C）上时，-<%<-,且y=X3,

22-2

所以5+5<x+<万+万，即2<x+>^y<3,所以X+〃w[2,3）；

c

④当点尸在AD（不含点A、D）上时，则AP=”AD，所以（羽》）=〃：2J，化简y=y/3x，

所以2+〃=%+6y=%+3%=4%,

因为0<x<g,所以0<4x<2,所以4+〃£（0,2）；

对于A,由①知，当4+4=1时，%=1,此时点p与点5重合；

由④可知当几+〃=1时，X=-,V,此时点P在A£>的中点处；

4,4

其它均不可能，所以这样的点尸有两个，所以A错误，

对于B,由②知，当4+〃=2时，x=-,y=@,此时点尸在的中点；

由③知，当2+〃=2时，x=-,y=—,止匕时点尸在点。处；

其它均不可能，所以这样的点P有两个，所以B正确，

对于CD,由①②③④可得：

当x=y=。，即点?为点A时，丸+〃取到最小值0；

当x==即点P为点C时，2+〃取到最大值3,所以C正确，D错误,

22

故选：BC.

y

与‘pg

\///【点睛】关键点睛：此题考查平面向量基本定理的应用，解题的关键是建

AF~Bx

立平面直角坐标系，然后分类讨论，考查数形结合的思想，属于较难题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若复数马=-2+i,z2=l-3i,贝!||Z|—Z2|=.

【答案】5

【解析】

【分析】先根据复数减法法则计算Z1-Z2,再根据复数模的计算公式，即可得出结果.

【详解】：2i=—2+i,z2=l-3i,

.\|z1-z2|=|(-2+i)-(l-3i)|=|-3+4i|=A/9+16=5.

故答案为：5.

14.甲、乙两人参加驾考科目一的考试，两人考试是否通过相互独立，甲通过的概率为0.6,乙通过的概率

为0.5,则至少一人通过考试的概率为.

4

【答案】0.8

【解析】

【分析】先求两人都未通过的概率，再根据对立事件的概率和为1求解两人至少有一人通过的概率即可.

【详解】因为两人考试相互独立，

所以两人都未通过的概率为(1—0.6)X(1—0.5)=0.2,

故两人至少有一人通过的概率为1-02=0.8.

故答案为：0.8

15.若ABC的面积为S,角A3,C的对边分别是a,4c,且4S=tanAW+c2_5)^a=.

【答案】V5

【解析】

【分析】利用三角形面积公式与余弦定理的边角变换，结合切化弦得到关于。的方程，解之即可得解.

【详解】因为4S=tanA伊+C?—5),

所以4x—bcsinA=------（b1+c2-5）,

2cosA'7

TT

因为OVAVTI,且AW—,所以sinA>0,

2

则2bc=—^—（b2+c2-5）,即2Z?ccosA=b2+c2-5<

cosA'）

扇上『2

所以—^=〃2+/_5,贝匕2+o2—/=/+/—5,即4=5,

2bc

所以〃=（负值舍去）.

故答案为：5

16.在正六棱台ABCDEE—A'B,C'D'E'卢中，AB=4,AB'=3>AA=及，设侧棱延长线交于点P，

几何体P—HB，CDEP的外接球半径为%,正六棱台ABCDEF-AB'C'D'E'F'的外接球半径为&，

则此正六棱台的体积为___________,十=__________.

层

【答案】①.至YI②.-##0.6

25

【解析】

【分析】第一空，利用棱台的体积公式，结合正六边形的性质即可得解；第二空，先分析正六棱台

ABCDEP-A'B'C'D'E'L的外接球的球心所在位置，再利用勾股定理列出关于&的方程组，从而求得

R2;再利用平行线分线段成比例求得PO\,从而确定了几何体P—ABCDEF的外接球的球心所在位置,

进而求得与，由此得解.

【详解】依题意，正六棱台ABCDEF—Oc'/yE,"中，AB=4,AB'=3,A!A=42

则其上底面是由六个边长为3的正三角形组成，则其面积为§=6*且X32=%8,

142

其下底面是由六个边长为4的正三角形组成，则其面积为因=6x#x42=246，

其高为/?=—（4—3）2=1，

所以该正六棱台的体积为V=—x———+</-x24^/3+24^^xl=—^―.

32V22

\7

设上底面中心为a,下底面中心为o,，连接a。,，aa，AO',则a。垂直于上下底面，如图,

连接aA，O'A,则QA=3,ON=4,

由题意可得qo'=/?=i,

作AGLAO'垂足为G,则4G=LAG=1,

连接A。,。'。，则A0=JI+（8-I）2=5枝,

故442+4。2—A£>2=2+50—64<0,则ZA4。为钝角，

又由于正六棱台外接球球心位于平面A&D上，

故设正六棱台外接球球心为o,则。在a。,的延长线上，

因为外接球半径为&，故=0/2+O'O-,E=+,

即R；=16+O'O2,R；=9+（O,O+I）2,解得<70=3,R；=25,则R?=5,

连接po「如图，易得尸,a，。三点共线，且aa//Ao'，

所以当=芈.=』，则尸Q=3OQ，=3,

PO'AO'4

易知%。1=4。1=CQ[=DQ[=ER=FXOX-3,

所以。i是几何体P—ABCNEF的外接球的球心，则N=3,

R.3

所以十不

故答案为：至叵；

25

【点睛】关键点睛：本题解决的关键是发挥直观想象能力，结合图形确定了正六棱台

ABCDEF-AB'C'D'E'F'的外接球的球心所在位置，从而利用方程组求得4-

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17.己知平面向量a与b的夹角为60，且卜|=1,卜|=2.

（1）求w；

（2）若〃+b与2〃一左b垂直，求女的值.

【答案】（1）2

⑵-

5

【解析】

【分析】（1）化为平面向量的数量积可求出结果；

（2）根据（a+b），（2a-蛤）=0可求出结果.

【小问1详解】

12f（2。_”=J41al2+|b|2-4a-b=J41al?T|a|皿|.cos60

=J4+4—4xlx2x；=2.

【小问2详解】

因为a+Z?与2〃一左〃垂直，所以（a+b）•（2。一劭）=0，

所以21al2—%|bF+(2—Qa.〃=0,

14

所以2—4左+（2—左）xlx2x5=0,得左=1•

18.近年来，我国肥胖人群的规模急速增长，常用身体质量指数来衡量人体胖瘦程度.其计算公式是:

体重(单位:kg)

BMI=《方屋二----六,成年人的创〃数值标准是:即〃<18.5为偏瘦；18.5S皿〃<24为正常;24sBM/<28

身守(单位：nr)

为偏胖；国生28为肥胖.某公司随机抽取了100个员工的体检数据，将其血〃值分成以下五组：[12,16),

[16,20),[20,24),[24,28),[28,32],得到相应的频率分布直方图.

｛频率/组距

O121620242832RMT

(1)求々的值，并估计该公司员工的样本数据的众数与中位数(精确到0.1)；

(2)该公司共有1200名员工，用频率估计概率，估计该公司员工圆〃数值正常的人数.

【答案】⑴“=0.08,众数为22;中位数为23.3

(2)504

【解析】

【分析】(1)根据频率之和为1可求得a=0.08,从而可求得该公司员工现〃的样本数据的众数为

22;设设该公司员工创勿的样本数据的中位数为无，

则4x0.01+4x0,04+(x-20)x0.09=0.5,求解即可；

(2)根据题意可求得该公司员工创勿数值正常的概率为。.04x(2。—18.5)+0.09x(24—20)=0.42,

进而可求解.

【小问1详解】

根据频率分布直方图可知组距4,

所以4x(0.01+0.04+0.09+a+0.03)=1,解得a=0.08

该公司员工BMI的样本数据的众数为22.

设该公司员工5M的样本数据的中位数为无，

则4x0.01+4x0.04+(%—20)x0.09=0.5,解得x»23.3.

故该公司员工5M的样本数据的中位数约为23.3.

【小问2详解】

因为成年人的5M数值18.5＜24为正常，

所以该公司员工BMI数值正常的概率为

0.04x(20-18.5)+0.09x(24-20)=0.42,

所以该公司员工BMI数值正常的人数为1200x0.42=504.

19.在一ABC中，内角A,B,C的对边分别是b,c,已知ZccosC+acosB+Z7cosA=O.

(1)求角。的大小；

(2)若c=3,A3边上的中线CD=1,求.ABC的周长.

【答案】(1)—

3

⑵四+3

2

【解析】

【分析】(1)根据正弦定理边化角，再结合和角正弦公式、诱导公式，可得cosC=-L,从而可求解;

2

(2)根据余弦定理可得9=/+^+「3,再根据中线向量公式可得4=1+52一。人，从而求得

5020213

ab=-,a+b=—f进而求得周长.

22

【小问1详解】

由正弦定理得：2sinCcosC+sinAcos5+sin5cosA=0,

即2sinCcosC+sin(A+5)=0,即2sinCcosC+sinC=0.

1771

因为sinCwO,所以cosC=-—.因为0＜。＜兀，所以C=—.

23

【小问2详解】

已知c=3,CD=1,

在，ABC中，由余弦定理得：9^a2+b2+ab®，

由CD为」WC的中线，得2c7)=Ce+C4，

两边平方得4=1+^2—加②，

5,,13

联立①②得。人,

22

所以-ABC的周长为a+Z?+c=J4+/+2。/+3=41+3.

2

20.如图，在四棱锥5—AC田中，AD//CE,AD，平面ABC,AD=2,CE=LABC是边长为

2的等边三角形，尸为棱5。的中点.

（1）证明：所〃平面ABC；

（2）求AE与平面BCE所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵

5

【解析】

【分析】（1）取A3中点M,连接证明防//CM,利用线面平行的判定定理即可证明;

（2）取中点N,连接AN,EN,可得NAEN即为AE与平面BCE所成的角，求解即可.

【小问1详解】

取AB中点M,连接

产为棱5。的中点，，板//AD,板=

2

又-AD//CE,CE=-AD,

2

:.MF//CE豆MF=CE,

..・四边形MCER是平行四边形，.•.£///*,

又'Qiu平面A3C,EB9平面ABC,

；.EF//平面ABC；

【小问2详解】

取中点N,连接AN,EN,

ABC是边长为2的等边三角形，.'AN且AN=6,

AZ）_L平面ABC,AD//CE,

.•.CEJ_平面ABC,又，⑷Vu平面ABC,AN,

又•.ANIBC,且CEc3C=C,.,.⑷V，平面BCE,

ZAEN即为AE与平面BCE所成的角，

在Rt△胡。中，AC=2,CE=1,:.AE=45,

ANJ3J15

在Rt/VLEN中，则sinNARV=—="=",

AE布5

所以AE与平面BCE所成角的正弦值为正.

5

D

匕B

21.某工厂为加强安全管理，进行安全生产知识竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从A类的

5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从8类的4个问题中任选两题

依次作答，每答对一题得20分，答错得。分.若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛.甲和乙同时参赛，已

知甲每个问题答对的概率都为0.6,在A类的5个问题中，乙只能答对4个问题，在B类的4个问题中，

乙答对的概率都为0.4,甲、乙回答任一问题正确与否互不影响.

（1）求乙在第一轮比赛中得20分的概率；

（2）以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？

【答案】（1）0.6

（2）甲更容易晋级复赛

【解析】

【分析】（1）对A类的5个问题进行编号：a,b,c,d,e,设乙能答对的4个问题的编号为a,4c,d.利用

列举法，根据古典概型概率公式即可求解；

（2）按第一轮得20分且第二轮至少得20分和第一轮得0分且第二轮得40分，结合独立乘法公式和对立

事件概率公式，分别计算甲、乙晋级复赛的概率，从而可判断.

【小问1详解】

对A类的5个问题进行编号：a,b,c,d,e,

设乙能答对的4个问题的编号为a,》,c,d.

第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，可用(%,%)表示选题结果，其中巧为所选题目的编

号，样本空间为

Q={(a,b),(a,c),(«,d),(a,e),(b,c),(仇d\(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)}共10个样本点.

设“乙在第一轮得20分”事件为E,

则E={(a,。),(a,c),(a,d),(b,c),(dd),(c,d)}共6个样本点.

则乙在第一轮得20分的概率为p=9=0.6.

10

【小问2详解】

甲晋级复赛分两种情况：

①甲第一轮得20分且第二轮至少得20分的概率为：08x(1—0.42)=0.3024,

②甲第一轮得0分且第二轮得40分的概率为：(1-0.62)x0.62=0.2304.

所以甲晋级的概率A=0.3024+0.2304=0.5328.

乙晋级复赛分两种情况：

①乙第一