微专题03 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题（四大题型）（原卷版）

微专题03妙用奔驰定理解决三角形面积比问题【题型归纳目录】题型一：直接使用奔驰定理题型二：利用奔驰定理解决四心问题题型三：利用奔驰定理解决三角形面积比问题（1个奔驰中心点）题型四：利用奔驰定理解决三角形面积比问题（多个奔驰中心点）【方法技巧与总结】奔驰定理---解决面积比例问题重心定理：三角形三条中线的交点.已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为.注意：（1）在中，若为重心，则．（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．重心的向量表示：．奔驰定理：，则、、的面积之比等于奔驰定理证明：如图，令，即满足，，，故.【典型例题】题型一：直接使用奔驰定理【例1】（2024·河南安阳·高一统考期末）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2024·重庆·高一校联考期末）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(

)A． B． C． D．【变式1-2】（多选题）（2024·高一单元测试）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（

）A．若是的重心，则有B．若，则是的内心C．若，则D．若是的外心，且，则题型二：利用奔驰定理解决四心问题【例2】（2024·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末）在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的心.【变式2-1】（2024·福建厦门·高一厦门双十中学校考阶段练习）在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心【变式2-2】（2024·湖南邵阳·高一统考期末）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则必有（

）A．B．C．D．题型三：利用奔驰定理解决三角形面积比问题（1个奔驰中心点）【例3】（2024·陕西安康·统考一模）已知O是内一点，，若与的面积之比为，则实数m的值为（

）A． B． C． D．【变式3-1】（2024·河南郑州·高一郑州外国语中学校考阶段练习）为等边三角形内一点，且满足，若与的面积之比为，则实数的值为（

）A． B．1 C．2 D．3【变式3-2】（2024·江西宜春·高三江西省丰城中学校考期末）已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（

）A． B． C． D．【变式3-3】（2024·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校考阶段练习）已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（

）A． B． C． D．题型四：利用奔驰定理解决三角形面积比问题（多个奔驰中心点）【例4】（2024·全国·高三专题练习）已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于（

）A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6【变式4-1】（2024·新疆·高二阶段练习）如图，设P，Q为∆ABC内的两点，且，，则∆ABP的面积与∆ABQ的面积之比为（）A． B． C． D．【变式4-2】（2024·广东广州·高一统考期末）如图所示，、为内的两点，且，＝，则的面积与的面积之比为A． B． C． D．【过关测试】一、单选题1．（2024·湖北·高一校联考期末）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为三角形内一点，且满足：，则（

）A． B． C． D．2．（2024·江西宜春·高一统考期末）已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与的面积之比为3，则（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽宿州·高一阶段练习）已知是所在平面内一点，且，则与的面积之比为A． B． C． D．4．（2024·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期末）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（

）A． B．3 C． D．5．（2024·安徽黄山·高一统考期末）为三角形内部一点，､､均为大于1的正实数，且满足，若､､分别表示､､的面积，则为（

）A． B． C． D．6．（2024·湖南岳阳·岳阳一中校考一模）设点在的外部，且，则A． B． C． D．7．（2024·四川眉山·高一校考期末）已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则（

）A． B． C． D．8．（2024·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）设点在内部，且有，点是边的中点，设与的面积分别为，则（

）A． B． C． D．9．（2024·全国·高一专题练习）设、为内的两点，且，，则的面积与的面积之比为（

）A． B． C． D．10．（2024·福建龙岩·高一阶段练习）设，为三角形内的两点，且，，则（）A． B． C． D．11．（2024·安徽黄山·高一统考期末）已知是所在平面内的一点，，，所对的边分别为，，，若，过作直线分别交、(不与端点重合)于、，若，，若与的面积之比为，则（

）A． B． C． D．12．（2024·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学阶段练习）设为等边的重心，过作直线分别交（不与端点重合）于，若，，若与的面积之比为，则（

）A． B． C． D．13．（2024·江西南昌·高三南昌二中阶段练习）已知点是的中位线上任意一点，且，实数满足，设、、、的面积分别为、、、，记,,,则取最大值时，的值为（

）A． B． C． D．二、多选题14．（2024·山东·高一校联考阶段练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（

）A．若，则为的重心B．若为的内心，则C．若，为的外心，则D．若为的垂心，，则15．（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为、、，则有，设O是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的是（

）．A．若，则O为的重心B．若，则C．若O为（不为直角三角形）的垂心，则D．若，，，则16．（2024·安徽·高一安徽省宿松中学校联考期末）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立，此结论称为三角形中的奔驰定理．由此判断以下命题中正确的有（

）A．若是等边三角形，为内任意一点，且点到三边的距离分别是，则有B．若为内一点，且，则是的内心C．若为内一点，且，则D．若的垂心在内，是的三条高，则17．（2024·广东佛山·高一校考期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若O是锐角内的一点，A，B，C是的三个内角，且点O满足.则（

）A．O为的外心 B．C． D．18．（2024·江苏常州·高一统考期末）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（

）A．为的外心B．C．D．三、填空题19．（2024·山东枣庄·高三滕州市第一中学新校校考阶段练习）点P是△所在平面上一点，若，则△与△的面积之比是.20．（2024·江苏无锡·高三无锡市第一中学校考阶段练习）已知为中线AD的中点,过点的直线与AB,AC分别交于点E,F,若与的面积之比为,则实数的值为.21．（2024·四川成都·校联考一模）已知为△的重心，过点的直线与边分别相交于点.若,则当与的面积之比为时，实数的值为.22．（2024·湖北·高二校联考阶段练习）已知等边的边长为1，．则的面积为23．（2024·全国·高一假期作业）设点O在的内部，且，则的面积与的面积之比是24．（2024·四川成都·高一成都实外校考阶段练习）已知