北京市延庆区2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题

延庆区2022—2023学年第二学期期末试卷高一数学2023.7本试卷共4页，150分，考试时长120分钟.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若，，则（）A. B.2 C. D.－23.向量，，若，则（）A.4 B.2 C.1 D.－14.已知直线a与平面，，则“”是“且”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.在半径为4m的扇形中，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为（）A. B. C. D.6.如果直线a和b是空间中两条不相交的直线，则必定存在平面，使得（）A.， B.， C.， D.，7.在中，，，则（）A.－1 B.1 C. D.8.已知一个长方体的长、宽、高分别为4、4、2，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A. B. C. D.以上都不对9.已知一个正六棱台的两底面边长分别为2m，4m，高是2m，则该棱台的斜高为（）A.2m B. C. D.4m10.如图，在正方体中，Q是棱上的动点，下列结论正确的个数是（）①存在点Q，使得；②存在点Q，使得；③对于任意点Q，Q到的距离为定值；④对于任意点Q，都不是锐角三角形.A.1 B.2 C.3 D.4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.计算______.12.已知，且，则______.13.已知一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的体积为______.14.已知函数，且的相邻两个对称中心的距离为2，则______.15.在中，，，只需添加一个条件，即可使存在且唯一.在条件：①；②；③；④中，所有可以选择的条件的序号为______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题12分）已知中，，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求c；（Ⅲ）求的面积.17.（本小题15分）已知函数，其中.（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值，并求出相应的x的值.18.（本小题15分）已知中，.（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若，，求c.19.（本小题15分）如图，在三棱锥中，，，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点，平面EFG与棱BD交于点H.（Ⅰ）求证：平面EFG；（Ⅱ）求证：平面平面EFHG.20.（本小题15分）如图，在四棱锥中，已知底面ABCD是正方形，且底面ABCD，，点F为棱PC的中点，平面ADF与棱PB交于点E.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面AEFD.21.（本小题13分）已知实数集，定义.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，求集合A；（Ⅲ）若A中的元素个数为9，求的元素个数的最小值.

延庆区2022-2023学年第二学期期末考试高一数学参考答案2023.7一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.D2.A3.D4.B5.C6.C7.A8.B9.C10.A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.12.13.14.－115.②③（注：对一个3分，对两个5分，有错误0分）三、解答题（共6小题，共85分）16.（本小题12分）解：（Ⅰ）在中，由正弦定理，……1分可得，解得；……3分（Ⅱ）由余弦定理，可得，……5分整理得，解得（舍负），……8分即；……9分（Ⅲ）由的面积，……10分可得.……12分17.（本小题15分）（Ⅰ），……4分函数的最小正周期为，……6分由，，……7分解得，……9分所以的单调递增区间为，；……10分（Ⅱ）因为，所以，……11分当，即时，取最大值，最大值为，……13分当，即时，取最小值，最小值为0.……15分18.（本小题15分）（Ⅰ）由已知，由正弦定理，……1分，……2分，……3分在中，又因为，……4分所以，又因为，所以；……6分（Ⅱ）在中，由，，得，……8分又因为，……9分所以，……12分由正弦定理得.……15分19.（本小题15分）（Ⅰ）证明：因为E，F分别是AC，AD的中点，所以EF为的中位线，所以，……2分又因为平面EFG，平面EFG，……4分则平面EFG；……5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，又因为，所以，……7分又因为E，G分别是AC，BC的中点，所以，……9分又因为，所以，……11分又因为，所以平面EFHG，……13分又因为平面ABC，平面平面EFHG.……15分20.（本小题15分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD是正方形，所以，……1分平面PBC，平面PBC，……3分所以平面PBC，……4分又因为平面ADF与PB交于点E，所以平面平面，……5分平面ADFE，所以；……7分（Ⅱ）因为，，所以，……8分又因为点F为棱PC的中点，点E为PB的中点，……9分因为，点E为PB的中点，所以，……10分又因为平面ABCD，面ABCD，所以，……11分又ABCD为正方形，，……12分又因为，所以面PAB，……13分又因为面PAB，所以，……14分又因为，所以平面AEFD.……15分21.（本小题14分）解：（Ⅰ）；（多写或少写一个元素扣1分）……2分（Ⅱ）首先，，……3分其次A中有4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负.记，不妨设或者……4分①当时，，，相乘可知，，从而，从而，所以；……5分②当时，与上面类似的方法可以得到，进而，从而.……7分所以或者；……8分（Ⅲ）估值＋构造需要分类讨论A中非负元素个数.将中元素的个数记为.先证明.考虑到将A中的所有元素均变为原来的相反数时，集合不变，故不妨设A中正数个数不少于负数个数.接下来分类讨论：情况一：A中没有负数.不妨设，则上式从小到大共有个数，它们都是的元素，这表明.……11分情况二：A中至少有一个负数.设