高考数学专题 数列及其应用讲学案原卷

【2016考纲解读】高考对本节内容的考查仍将以常用方法求和为主，尤其是错位相减法及裂项求和，题型延续解答题的形式．预测2016高考对数列求和仍是考查的重点．数列的应用以及数列与函数等的综合的命题趋势较强，复习时应予以关注．【重点知识梳理】1．数列求和的方法技巧(1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和．(2)错位相减法这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．(5)分组转化求和法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并．2．数列的综合问题(1)等差数列与等比数列的综合．(2)数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合．(3)增长率、分期付款、利润成本效益的增减等实际应用问题．数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决.【误区警示】1．应用错位相减法求和时，注意项的对应．2．正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前n项和．【高频考点突破】考点一数列求和例1、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝35，a5和a7的等差中项为13.(1)求an及Sn；(2)令bn＝eq\f(4,a\o\al(2,n)－1)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和；【规律方法】1.分组求和的常见方法(1)根据等差、等比数列分组．(2)根据正号、负号分组．(3)根据数列的周期性分组．2．裂项后相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差．(2)裂项相消后前、后保留的项数一样多．3．错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列{an}乘以等比数列{bn}对应项({an·bn})型数列求和．(2)步骤：①求和时先乘以数列{bn}的公比．②把两个和的形式错位相减．③整理结果形式．【变式训练】已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝(－1)n－1eq\f(4n,anan＋1)，求数列{bn}的前n项和Tn.考点二数列与其他知识的综合例2、已知函数f(x)＝x2－ax＋a(x∈R)同时满足：①函数f(x)有且只有一个零点；②在定义域内存在0<x1<x2，使得不等式f(x1)>f(x2)成立．设数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．(1)求函数f(x)的表达式；(2)求数列{an}的通项公式；(3)在各项均不为零的数列{cn}中，所有满足ci·ci＋1<0的整数的个数称为数列{cn}的变号数．令cn＝1－eq\f(a,an)，求数列{cn}的变号数．【规律方法】数列与函数交汇问题的常见类型及解法(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题．(2)已知数列条件，需构造函数，利用函数知识解决问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、分式、求和方法对式子化简变形．另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解．【变式训练】(2015·广东卷)数列{an}满足：a1＋2a2＋…＋nan＝4－eq\f(n＋2,2n－1)，n∈N*.(1)求a3的值；(2)求数列{an}的前n项和Tn；(3)令b1＝a1，bn＝eq\f(Tn－1,n)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)＋\f(1,3)＋…＋\f(1,n)))an(n≥2)．证明：数列{bn}的前n项和Sn满足Sn<2＋2lnn.【经典考题精析】【2015高考福建，文17】等差数列中，，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求的值．【2015高考北京，文16】（本小题满分13分）已知等差数列满足，．（I）求的通项公式；（II）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？【2015高考安徽，文18】已知数列是递增的等比数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和..【2015高考山东，文19】已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.（I）求数列的通项公式；（II）设，求数列的前项和.【2015高考重庆，文16】已知等差数列满足=2，前3项和=.(Ⅰ)求的通项公式，(Ⅱ)设等比数列满足=，=，求前n项和.【2015高考四川，文16】设数列{an}(n＝1，2，3…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a3，且a1，a2＋1，a3成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设数列的前n项和为Tn，求Tn..【2015高考浙江，文17】（本题满分15分）已知数列和满足，.（1）求与；（2）记数列的前n项和为，求.1.【2014高考陕西卷文第14题】已知，若，则的表达式为________.2.【2014高考安徽卷文第18题】数列满足证明：数列是等差数列；设，求数列的前项和3.【2014高考北京卷文第15题】已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.4.【2014高考福建卷文第17题】在等比数列中，.求；设，求数列的前项和.5.【2014高考广东卷文第19题】设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有.6.【2014高考湖北卷文第19题】已知等差数列满足：，且、、成等比数列.（1）求数列的通项公式.（2）记为数列的前项和，是否存在正整数，使得若存在，求的最小值；若不存在，说明理由.7.【2014高考湖南卷文第16题】已知数列的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.8.【2014高考江苏第20题】设数列的前项和为.若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”.（1）若数列的前项和为，证明：是“数列”.（2）设是等差数列，其首项，公差，若是“数列”，求的值；（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立.9.【2014高考江西文第17题】已知数列的前项和.求数列的通项公式；证明：对任意，都有，使得成等比数列.10.【2014高考全国1文第17题】已知是递增的等差数列，，是方程的根。（=1\*ROMANI）求的通项公式；（=2\*ROMANII）求数列的前项和.11.【2014高考山东文第19题】在等差数列中，已知公差，是与的等比中项.求数列的通项公式；设，记，求.12.【2014高考上海文第23题】已知数列满足.若，求的取值范围；若是等比数列，且，正整数的最小值，以及取最小值时相应的仅比；若成等差数列，求数列的公差的取值范围.13.【2014高考四川文第19题】设等差数列的公差为，点在函数的图象上（）.（1）证明：数列是等比数列；（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和.14.【